INF110 Algoritmer og datastrukturer TRÆR. Vi skal i denne forelesningen se litt på ulike typer trær:

Transkript

1 TRÆR Vi skal i denne forelesningen se litt på ulike typer trær: Generelle trær (kap. 4.1) Binærtrær (kap. 4.2) Binære søketrær (kap. 4.3) Den siste typen trær vi skal behandle, B-trær (kap. 4.7) kommer vi tilbake til om to uker Aktuelle temaer: Bruksområder Implementasjon Innsetting/fjerning av elementer Søking etter elementer Traversering Ark 1 av 30 Forelesning

2 Trær Trær brukes gjerne til å representere en rekke typer av data som er organisert hierarkisk. Typiske eksempler er: Filorganisering Slektstrær Organisasjonskart Klassehierarki (i for eksempel Java) Object Character Number String Throwable Double Float Integer Error Exception Forelesning Ark 2 av 30

3 Definisjon Et tre er en samling noder. Et ikke-tomt tre består av en spesiell node r, kalt roten, og null eller flere ikke-tomme subtrær. Fra r går det en rettet kant til roten i hvert subtre. Terminologi A B C D E F G H Eksempler: I Aerroten (rot-noden) Berforelder til D og E DogEerbarna til B Cersøsken til B D, E, F, G og I er bladnoder (løvnoder) A, B, C og H er interne noder Forelesning Ark 3 av 30

4 Implementasjoner Forslag 1 I tillegg til data kan hver node inneholde en peker til hvert av barna. Problemer: Antall barn kan variere veldig fra node til node. Vet ikke nødvendigvis antall barn på forhånd. Forslag 2 Hver node inneholder en liste med pekere til barna. class TreNode { Object element; TreNode forstebarn; TreNode nestesosken; A B C D E F G H I Forelesning Ark 4 av 30

5 Traversering Å traversere et tre vil si å besøke alle (eventuelt bare noen av) nodene i treet, for eksempel fordi vi: Leter etter en bestemt node (element) Vil sette inne en ny node (med et nytt element) Vil fjerne en node/element Vil gjøre en eller annen beregning (eller utskrift) på alle nodene i treet. Hvilken rekkefølge vi besøker nodene i, bestemmes av det problemet vi skal løse. Forelesning Ark 5 av 30

6 To populære traverseringsmåter: Prefiks (preorder): Gjør noe med en node før vi går videre til barna. Postfiks (postorder): Gjør noe etter at vi har besøkt alle barna til noden. A B C D E F G H I Prefiks: ABDECFGHI Postfiks: DEBFGIHCA Forelesning Ark 6 av 30

7 Implementasjon av traversering class TreNode { Object element; TreNode forstebarn; TreNode nestesosken; Prefikstraversering void prefixtravers() { behandledennenoden(); if (forstebarn!= null) forstebarn.prefixtravers(); if (nestesosken!= null) nestesosken.prefixtravers(); Postfikstraversering-1 void postfixtravers() { if (forstebarn!= null) forstebarn.postfixtravers(); behandledennenoden(); if (nestesosken!= null) nestesosken.postfixtravers(); Postfikstraversering-2 void postfixtravers() { if (forstebarn!= null) forstebarn.postfixtravers(); if (nestesosken!= null) nestesosken.postfixtravers(); behandledennenoden(); Forelesning Ark 7 av 30

8 Mer terminologi En vei (sti) fra en node n 1 til en node n k er definert som en sekvens av noder n 1, n 2,...,n k slik at n i er forelder til n i+1 for 1 i k. Lengden av denne veien er antall kanter på veien, det vil si k 1. Forelesning Ark 8 av 30

9 For enhver node er dybden definert som lengden av (den unike) veien fra roten til noden. Roten har altså dybde 0. Rekursiv metode for å skrive ut dybden til alle nodene i et tre: // Kall: rot.beregndybde(0) void beregndybde(int d) { Skriv ut at node <this> har dybde d for ( < hvert barn b > ) { b.beregndybde(d + 1); Dette er et eksempel på prefiks traversering A B C D E F G H I Forelesning Ark 9 av 30

10 Høyden til en node er definert som lengden av den lengste veien fra noden til en bladnode. Alle bladnoder har dermed høyde 0. Høyden til et tre er lik høyden til roten. Rekursiv metode for å beregne høyden til alle nodene i et tre: // Kall: rot.beregnhoyde() int hoyde = 0; int beregnhoyde() { int tmp; for ( < hvert barn b > ) { tmp = b.beregnhoyde() + 1; if (tmp > hoyde) { hoyde = tmp; return hoyde; Dette er et eksempel på postfiks traversering. Oppgave: Forsøk å skriv metoden uten bruk av global variabel! Forelesning Ark 10 av 30

11 Binærtrær Et binærtre er et tre der hver node aldri har mer enn to barn. Dersom det bare er ett subtre, må det være angitt om dette er venstre eller høyre subtre. I verste fall blir dybden N-1! Implementasjon Siden hver node har maks to barn, kan vi ha pekere direkte til dem: class BinNode { Object element; BinNode venstre; BinNode hoyre; Forelesning Ark 11 av 30

12 Eksempel: Uttrykkstrær I uttrykkstrær inneholder bladnodene operander (konstanter, variable,... ), mens de interne nodene inneholder operatorer. * + * Mulige skrivemåter for dette uttrykket: Prefiks: *+53*2+14 Infiks: (5 + 3) * (2 * (1 + 4)) Postfiks: ** Forelesning Ark 12 av 30

13 Binærtrær class BinNode { int tall; BinNode venstre; BinNode hoyre; Her har jeg skrevet int tall istedenfor det generelle Object element siden jeg i resten av forelesningen vil bruke tall som eksempler. Forelesning Ark 13 av 30

14 Traversering av binærtrær oppsummering void traverser(binnode n) { if (n!= null) { < Gjør PREFIKS-operasjonene > traverser(n.venstre); < Gjør INFIKS-operasjonene > traverser(n.hoyre); < Gjør POSTFIKS-operasjonene > Forelesning Ark 14 av 30

15 Binære søketrær Binære søketrær er en variant av binærtrær hvor følgende holder for hver node i treet: Alle verdiene i nodens venstre subtre er mindre enn verdien i noden selv. Alle verdiene i nodens høyre subtre er større enn verdien i noden selv Hva hvis vi har like verdier? ( ukeoppgave) Forelesning Ark 15 av 30

16 Søking Rekursiv metode: public BinNode finn(int x, BinNode t) { if (t == null) { return null; else if (x < t.tall) { return finn(x, t.venstre); else if (x > t.tall) { return finn(x, t.hoyre); else{ return t; Ikke-rekursiv metode: public BinNode finn(int x, BinNode t) { BinNode n = t; while (n!= null && n.tall!= x) { if (x < n.tall) { n = n.venstre; else{ n = n.hoyre; return n; Forelesning Ark 16 av 30

17 Innsetting Ideen er enkel: Gå nedover i treet på samme måte som ved søking. Hvis tallet finnes i treet allerede gjøres ingenting. Hvis du kommer til en null-peker uten å ha funnet tallet: sett inn en ny node (med tallet) på dette stedet Innsetting av tallet 5 Forelesning Ark 17 av 30

18 Sletting Sletting er vanskeligere. Etter å ha funnet noden som skal fjernes har vi flere mulige situasjoner. Noden er en bladnode (node 3): Kan fjernes direkte. Noden har bare ett barn (node 4): Foreldrenoden kan enkelt hoppe over den som skal fjernes Fjerning av tallet 4 Forelesning Ark 18 av 30

19 Noden har to barn (node 2): Erstatt verdien i noden med den minste verdien i høyre subtre. Slett noden som denne minste verdien var i Fjerning av tallet 2 Forelesning Ark 19 av 30

20 Rekursiv metode for å fjerne et tall: public BinNode fjern(int x, BinNode t) { if ( t == null) { return null; // Fant ikke x, skal ikke gjøre noe if (x < t.tall) { t.venstre = fjern(x, t.venstre); else if (x > t.tall) { t.hoyre = fjern(x, t.hoyre); else if (t.venstre!= null && t.hoyre!= null) { t.tall = finnminste(t.hoyre).tall; t.hoyre = fjern(t.tall, t.hoyre); else{ if (t.venstre!= null) { t = t.venstre; else{ t=t.hoyre; return t; Denne metoden er lite effektiv, siden den leter etter minste tall i høyre subtre to ganger. En lokal variabel kan rette opp det. (Hvordan?) Forelesning Ark 20 av 30

21 Gjennomsnitts-analyse Intuitivt vil vi forvente at alle operasjonene vi utfører på et binært søketre vil ta O(log n) tid siden vi hele tiden grovt sett halverer størrelsen på treet vi jobber med. Det kan bevises at den gjennomsnittlige dybden til nodene i treet er O(log n) når alle innsettingsrekkefølger er like sannsynlige. Se MAW kapittel (detaljene er ikke pensum). Forelesning Ark 21 av 30

22 Et større eksempel Problem: Vi ønsker å analysere Henrik Ibsens skuespill Vildanden. Hvilke ord har Ibsen brukt? Hvor mange forskjellige ord er brukt? Hvilke ord er mest brukt? Implementasjon Hvilke ord har Ibsen brukt? Ide: Leser inn ordene fra fil og lagrer dem i et binært søketre. Like ord telles opp. Hvilke ord er mest brukt? Ide: Lager et nytt søketre sortert på antall ganger brukt! Forelesning Ark 22 av 30

23 import inf101.*; public class Ibsen { public static void main(string[] args) { String ord; int antallord = 0; String sep = ". :,;-?!\""; Inn innfil = new Inn(args[0]); IbsenTre tre = new IbsenTre(); innfil.skipsep(sep); while (!innfil.endoffile()) { ord = innfil.instring(sep).tolowercase(); tre.settinn(new IbsenElem(ord)); antallord++; innfil.skipsep(sep); System.out.println("Totalt antall ord: " + antallord); System.out.println("Antall ulike ord: " + tre.size()); IbsenFrekTre frektre = new IbsenFrekTre(); frektre.innsetting(tre.getrot()); frektre.skrivinnfiks(); Forelesning Ark 23 av 30

24 Klasse for å ta vare på ordene og telle opp antall forekomster: class IbsenElem implements Comparable { String ord; int antall; IbsenElem (String s) { ord = s; antall = 1; public int compareto(object x) { IbsenElem e = (IbsenElem) x; return ord.compareto(e.ord); public String tostring() { return (ord + " " + antall); Vanlig node i binært søketre: class BinNode { Comparable element; BinNode venstre; BinNode hoyre; BinNode(Comparable x) { element = x; Forelesning Ark 24 av 30

25 Vanlig binært søketre der noe gjøres ved like elementer: public class BinSokeTre { protected BinNode rot; protected int antallnoder = 0; private void settinn(comparable x, BinNode n) { int i = sammenlign(x, n.element); if (i < 0) { if (n.venstre == null) { n.venstre = new BinNode(x); antallnoder++; else{ settinn(x, n.venstre); elseif(i>0){ if (n.hoyre == null) { n.hoyre = new BinNode(x); antallnoder++; else{ settinn(x, n.hoyre); else{ oppdater(n, x); // Flere metoder følger... Oppgave: Lag settinn ikke-rekursiv! Forelesning Ark 25 av 30

26 public void settinn(comparable x) { if (rot == null) { rot = new BinNode(x); antallnoder++; else{ settinn(x, rot); protected void oppdater(binnode n, Comparable x) { // Default: Ingenting gjøres for like elementer. protected int sammenlign(comparable n1, Comparable n2) { return n1.compareto(n2); Forelesning Ark 26 av 30

27 public void skrivinnfiks() { innfiks(rot); private void innfiks(binnode n) { if (n!= null) { innfiks(n.venstre); System.out.println(n.element.toString()); innfiks(n.hoyre); public int size() { return antallnoder; public BinNode getrot() { return rot; Forelesning Ark 27 av 30

28 Tresortertpåord: class IbsenTre extends BinSokeTre { protected void oppdater(binnode n, Comparable e) { IbsenElem ie = (IbsenElem) n.element; ie.antall++; Forelesning Ark 28 av 30

29 Tre sortert på frekvens: class IbsenFrekTre extends BinSokeTre { protected int sammenlign(comparable c1, Comparable c2) { IbsenElem e1 = (IbsenElem) c1; IbsenElem e2 = (IbsenElem) c2; return e1.antall - e2.antall; protected void oppdater(binnode n, Comparable e) { if (n.venstre == null) { n.venstre = new BinNode(e); else{ BinNode b = new BinNode(e); b.venstre = n.venstre; n.venstre = b; antallnoder++; public void innsetting(binnode n) { if (n!= null) { settinn(n.element); innsetting(n.venstre); innsetting(n.hoyre); Forelesning Ark 29 av 30

30 Resultater De mest brukte ordene (fra UiB): Antall % Kum det jeg og i er at du ikke de en har som mig for til så med han den på Forelesning Ark 30 av 30