Elektrisitetslære TELE1002-A 13H HiST-AFT-EDT

Transkript

1 Elektrisitetslære TELE002-3H HiST-FT-EDT Øving 0; løysing Oppgåve 0 Denne oppgåva er ein smakebit på den typen fleirvalsspørsmål som skal utgjera 40 % av eksamen. erre eitt av svaralternativa er rett; tre av dei er feil. a) Ein ideell kondensator på 0,0 μf er oppladd til spenninga 40,0 V. Me koplar ein ideell spole på 4,00 mh i parallell med kondensatoren. Kor stor er straumen i spolen i den augneblinken kondensatorspenninga er null? : C max 2 = L I max 2 I max = C max L = 40,0 V 0,0µF 4,00 mh = 2,00 b) Figuren viser to parallellkopla laster. Total reaktiv effekt er: 230 V Last : P = 0 W S = 5 V induktiv Last 2: P 2 = 2 W S 2 = 5 V kapasitiv C: Q tot = ±Q i = Q Q 2 = (5 V) 2 (0W) 2 (5V ) 2 (2 W) 2 = 2,8 VR c) I eit RLC-nettverk er straum og spenning på inngangen gjevne ved i = 0 sin(ωt 20 ) og u = 50 sin(ωt+30 ) V. Kor stor aktiv effekt dreg nettverket? : P = 2 m I m cos(φ φ I ) = 0,5 50 V 0 cos50 = 6 W d) Total impedans sedd frå spenningskjelda er: I S R = 0 X L = 6 C: 0 Ω + j6 Ω j4 Ω = (0 j2) Ω E X C = 4

2 Oppgåve I figuren under er der to spenningskjelder som matar nettverket. L R S I I 2 I R R 2 2 C Verdiar: R S = 0,0 Ω ; L = 60,0 mh ; R = 00 Ω R 2 = 60,0 Ω C = 25,0 µf ; f = 50,0 Hz ; = 200 V RMS ; 2 = 300 V RMS. Spenninga 2 ligg 60 etter spenninga i fase. ruk som referanse (reell). a) Skriv opp og 2 som komplekse visarar og som tidsfunksjonar (der f = 50,0 Hz). = 200 V 0 ; u (t) = 2 sin (ωt ) = [283 sin(00π rad s t )] V 2 = 300 V 60 ; u 2 (t ) = 2 2 sin(ωt + φ) = [424sin (00π rad s t π 3 )] V b) Finn straumane I, I 2 og I. Vink: Dersom du nyttar maskestraummetoden, bør du setja unike namn på maskestraumane. I løysinga er maskestraumane markerte som I x og I y. (lternativt kan t.d. superposisjonsmetoden nyttast, men det er ikkje vist i løysinga.) Finn spenninga mellom punkt og. Kontroller resultata vha. MLTISIM. Markerer maskestraumen I x i sløyfa til venstre og I y i sløyfa til høgre. åe to er definerte i klokkeretninga. Reknar ut dei to komplekse greinimpedansane: Z = R S + j X L = R S + j2π f L = 0,0Ω + j2π 50,0 Hz 60,0 0 3 H = (0,0 + j8,9) Ω Z 2 = R 2 j X C = R 2 + (Den tredje er reint resistiv; R = 00 Ω) Maskelikningar: Maske I x : Z I x + R (I x I y ) = 2 Maske I y : R (I y I x ) + Z 2 I y = 2 j2π f C = 60,0Ω + j2π 50,0Hz 25,0 0 6 F Framstilt på matriseform, og med løysing i Octave/MTL: = (60,0 j27,3) Ω

3 [ Z +R R R Z 2 +R ] [ I x I y] [ = 2 2 ] octave:> z=0+j*(2*pi*50*0.06) z = i octave:2> z2=60+/(j*(2*pi*50* )) z2 = i octave:3> r=00; octave:4> u=200; octave:5> u2=300*exp(j*(-60)*pi/80) u2 = i octave:6> Z=[z+r -r ; -r z2+r] Z = i i i i octave:7> =[u-u2 ; u2] = i i octave:8> I=inv(Z)* I = i i octave:9> abs(i) ans = octave:0> arg(i)*80/pi ans = og dei to maskestraumane er I x = 3,825 57,04 og I y =,777 48,20. No kan dei tre greinstraumane I, I 2 og I reknast ut: I = I x = 3,825 57,04 I = I x I y = (2,08+j3,209) (,843+j,3244) = (0,8968+j,8849) = 2,087 64,56 I 2 = I y =,777 48,20 Skjema der den ukjende spenninga er teikna inn:

4 L R S I I 2 I R R 2 2 C Kirchhoffs spenningslov kan nyttast langsmed to ulike ruter; R S og R 2, eller L, og C. Det enklaste er å gå gjennom dei to resistansane: = R S I + R 2 I 2 = 0,0 Ω 3,83 57,0 + 60,0 Ω,78 48,2 = 44,5 V 50,5 Kontroll av straumane (og ) med MLTISIM: c) Teikn visardiagram for de straumane og spenningane som er oppgjevne i figuren. Teikn òg inn spenninga. Teikn diagrammet slik at samanhengane i koplinga kjem tydeleg fram. (Vink: For å gjera det lettare å teikna inn i diagrammet; finn spenninga L over spolen, og tenk over vinkelen mellom L og I. Gjer likeins for kondensatorspenninga C og I 2.) I reint reaktive komponentar er (den absolutte) fasevinkelen mellom straum og spenning 90 : L = Z L I = 8,9 Ω 90 3,825 57,04 = 72,0 V 47,04 C = Z C I 2 = 27,3 Ω 90,777 48,20 = 226,2 V 4,80 Referert til jord er spenningane i punkt og : = L = 200 V 0 72,0V 47,04 = 263,4 V 8,56 = C = 226,2V 4,80 = = 263,4 V 8,56 226,2V 4,80 = 44,5 V 50,5 Med dette er rekna ut ved å nytta Kirchhoffs spenningslov langsmed ruta L, og C. Resultatet er det same som i b. Visardiagram for koplinga i b:

5 I m I I I 2 L Re d) Rekn ut den resulterande aktive effekten i koplinga ved å summera effekten i resistansane. Finn ut kor stor aktiv effekt kvar av dei to spenningskjeldene leverer. Total aktiv effekt i resistansane: P = R S I 2 + R I 2 + R 2 I 2 2 P = 0,0 Ω (3,825 ) ,0 Ω (2,087 ) ,0 Ω (,777 ) 2 = 77,4 W Effekten levert frå kvar av kjeldene kan finnast ved å rekna ut (den komplekse) tilsynelatande effekten som produktet av straumvisaren og spenningsvisaren individuelt for kvar kjelde. Den aktive effekten P er lik den reelle komponenten av den tilsynelatande effekten: P = R( S). Kjelde : S = I * = 200V 0 (3,825 57,04 ) * = 765,0 V 57,04 P = R(S ) = R(765,0 V 57,04 ) = R((46,2 j64,9)v) = 46,2 W Kjelde 2 merk at referanseretninga til straumen I er retta mot referanseretninga til 2, og då må forteiknet bytast: S 2 = 2 ( I ) * = 300V 60 (2,087 64,56 80 ) * = 626,V 55,44 P 2 = R(S 2 ) = R(626, V 55,44) = R((355,2 j55,6)v ) = 355,2 W Kontrollrekning av totaleffekten: P = P + P 2 2 = 46,2W + 355,2W = 77,4 W Oppgåve 2 I koplinga på figuren under er: R = 20,0 Ω ; L = 0,50 H ; R = 30,0 Ω ; C = 60,0 µf. Frekvensen f til den påtrykte spenninga er variabel.

6 I R, L, f C I R a) ndersøk om det finst ein verdi for frekvensen f som gjer at straumen I vert faseforskuva 90 i høve til, og avgjer om I i so fall ligg framføre eller etter. Vink: Finn eit bokstavuttrykk for brøken / I. Dersom fasedifferensen mellom og I er 90 vil verdien til brøken ev. vera reint imaginær for den aktuelle frekvensen f. Greinstraumen I kan finnast vha. straumdeling av kjeldestraumen I, men I må då fyrst finnast ved å sjå på totalimpedansen i koplinga: Z tot = Z L + Z C R = Z L + Z C R Z C +R slik at I = Z tot = Straumdeling gjev I = I Z C Z C +R = Z L + Z C R Z C +R Z L + Z C R Z C + R Z C Z C +R Ved å dividera på og invertera båe sidene kan uttrykket omformast til I = Z L(Z C + R ) + Z C R Z C og med dei frekvensavhengige impedansane for L og C sette inn: = j ω L( I jωc + R ) + jω C R jωc = R + R ω 2 R L C + j(ωc R R + ω L) Fasedifferensen mellom og I er 90 dersom brøken / I er reint imaginær, og då er m.a.o. realdelen lik null: R( I ) = R + R ω 2 R LC = 0 og den aktuelle frekvensen er ω = R + R R L C f = ω 2π = R + R 2π R L C = 20,0Ω + 30,0Ω 2π 30,0 Ω 0,50H 60,0 0 6 F = 68,5 Hz

7 Imaginærdelen til brøken / I er positiv for alle frekvensverdiar, for komponentane kan berre ha positive verdiar: I( I ) = ωc R R + ω L > 0 Spenninga ligg altso 90 framføre straumen i fasevinkel. b) ruk MLTISIM (C Frequency under nalysis) til å sjå på korleis spenninga over R varierer som funksjon av frekvensen. Denne spenninga er i fase med I, og du kan lesa ut av kurvene den frekvensen der vinkelen er 90 grader. nder analysen i MLTISIM er påtrykt spenning sett lik V. Diagramma under (raud graf) viser modul og fase for spenninga over R. Denne spenninga er proporsjonal med straumen I. Spenninga over R (modul og fase) som funksjon av frekvensen: Punkt c) Punkt b) Punkt c) Punkt b) c) Gjer omatt punkt b med R = 5,00 Ω og R =,00 kω, og kommenter resultatet. Resultatet er vist i diagrammet over (blå graf). Me ser ein topp (som er om lag 6,5 gonger større enn ) for spenninga over R i dette tilfellet. Årsaka til det er at motstandsverdiene er endra slik at serieresonansen mellom L og C vert meir utprega. Vilkåret er at R X L og R X C for området kring resonansfrekvensen. Kommentar av V. Finanger: For å få begge kurvene i samme diagram, er kretsen tegnet to ganger i samme skjema men med komponentverdier som i punkt c den andre gangen. Dermed lar det seg enkelt gjøre å få

8 fram begge kurvene samtidig ved simulering. For å få overført kurvene til tekstbehandleren, kopierer jeg dem til utklippstavlen ved å bruke Copy as itmap under Edit i MLTISIM. Hva som skal kopieres bestemmes ved å markere en ramme rundt det aktuelle området etter at Copy as itmap er aktivert. Deretter er det bare å gå tilbake til tekstbehandleren og hente inn det som nå ligger på utklippstavla. Oppgåve 3 Z = (3,00+j4,00) Ω ; Z 2 = (2,00 j,00) Ω ; Z 3 = (0,0+j5,00) Ω ; Z L = (5,00+j2,50) Ω ; = 00 V Z Z 2 + Z 3 Z L a) Finn Thévenin-ekvivalenten for koplinga til venstre for klemmene og. ruk spenninga som referanse. Skjema for ekvivalenten: Z i o Thévenin-impedansen Z i kan finnast ved å nullstilla spenningskjelda og rekna ut impedansen mellom klemmene: Z i = Z Z 3 + Z 2 = Z Z 3 Z +Z 3 + Z 2 = Z i = (4,50+j,50) Ω = 4,74Ω 8,43 (3,00+j 4,00)Ω (0,0+ j5,00)ω (3,00+ j4,00)ω + (0,0+ j5,00)ω + (2,00 j,00)ω Thévenin-spenninga tilsvarar spenninga over klemmene når det ikkje ligg last på utgangen. Her kan verdien finnast ved enkel spenningsdeling over impedansen Z 3, for det er ingen utgangsstraum og inkje spenningsfall over Z 2 : 0 = Z 3 Z +Z 3 = 00V (0,0+ j5,00)ω (3,00+ j4,00)ω + (0,0+ j5,00)ω 0 = (70,0 j 0,0) V = 70,7 V 8,3 b) Lastimpedansen Z L skal no koplast til klemmene. Rekn ut laststraumen I L og finn den aktive effekten i lasta.

9 Z i I L 0 Z L I L = Z i +Z L = (70,0 j0,0) V (4,50+ j,50)ω + (5,00+ j,50) Ω I L = (5,882 j3,529) = 6,860 30,96 ktiv effekt i lasta: R L = R(Z L ) = 5,00 Ω P L = R L I L 2 = 5,00Ω (6,860) 2 = 235,3 W c) Skriv opp verdien for Z L som gjev maksimal aktiv effekt i lasta. Teoremet for maksimal effektoverføring seier at lastimpedansen Z L må samsvara med utgangsimpedansen Z i, uttrykt ved den komplekskonjugerte slik: Z L = Z i * = ((4,50+j,50)Ω) * = (4,50 j,50) Ω = 4,74Ω 8,43 d) Kan Thévenin-ekvivalenten brukast til å rekna ut total effektomsetjing i koplinga? Du lyt gje grunn for svaret; kom gjerne med eit moteksempel! Dersom ein skulle ha nytta Thévenin-ekvivalenten til å rekna ut totaleffekten, måtte det òg ha vore slik at Z L (opne terminalar; tomgang) gav null totaleffekt, pga. ingen straum i sløyfa. Men i den opphavlege koplinga ser ein tydeleg at Z og Z 2 dreg straum frå kjelda i tomgang òg. Det inneber at ekvivalenten ikkje har den same effektomsetjinga som den originale koplinga. Oppgåve 4 Figuren viser ei brukopling med vekselspenningspåtrykk, der måleobjektet er ein reell spole. R x, L x R R G C C

10 rukoplinga er eit måleoppset for å finna induktansen og tapsresistansen i spolen. Med fast resistans R = 200 Ω og fast kapasitans C = 0,0 µf får me utbalansert brua ved vilkårlig frekvens på den påtrykte spenninga ved å stilla inn dei variable komponentane til verdiane R = 350 Ω og C = 25,0 µf. Impedansen i den reelle spolen kallar me Z x = R x + jωl x, medan impedansen i greina med dei variable komponentane er Z = R + /jωc. a) Når brua er i balanse er straumen i galvanometeret G lik null. Vis at då gjeld: Z x Z R = Z Z C (*) Straumen i G er null dersom spenninga er den same på båe sidene. Vha. spenningsdeling ser ein at t.d. Z x Z x + Z R = Z Z C + Z som kan omformast til den nemnde likninga (*). b) Set inn frekvensavhengige impedansuttrykk for Z, Z x og Z x i likninga (*), og få ei likning som inneheld dei to ukjende L X og R X (og frekvensen ω). Finn induktansen L X og resistansen R X i spolen. Vink: For komplekse tal gjeld at = R( ) = R( ) I( ) = I( ) Impedansen i den reelle spolen er Z x = R x + jωl x, medan impedansen i greina med dei variable komponentane er Z = R + /jωc. rua er utbalansert med null straum i G, jf. (*) R x + j ω L x = R + R kan omformast til jωc jωc L x R j x = R C ωc R j R ωc Ved å skilja ut den reelle komponenten finn me ei likning der berre L X er ukjend: L x C = R R L x = R R C = 200Ω 350Ω 0,0 0 6 F = 700 mh Når me skil ut den imaginære komponenten observerer me at ω fell bort, slik at uttrykket for R X vert uavhengig av frekvensen: j R x = j R ωc ωc R C x = R C = 200 Ω 0,0 0 6 F 25,0 0 6 F = 80,0 Ω