R3. forall x:y:z:u: % Ulik dørfarge hvis samme rom B(x,z) and B(y,z) and C(x,u) => not C(y,u) %% TA

Transkript

1 %% Logic and reasoning systems %% TEST EXAM 2007 %% Solution Proposal %% Norwegian/English version ( Nov ) %% Revised TA %% The translation to English is not finished %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% TASK A1. O(RA). A2 O(RZ). % Kontorer A3 A4 A5 A6 D(A). D(E). D(M). D(Z). % Dører A7 C(A,Red). A8 C(Z,Red). % Kontordører er røde (utregnet) A9 C(E,Yellow). A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 B(A,RA). B(A,West). B(Z,RZ). B(Z,East). B(E,West). B(M,West). B(M,East). R1. forall x: C(x,Red) or C(x,Blue) or C(x,Yellow). R2. forall x: C(x,u) and C(x,v) => u=v. % Høyst en farge R3. forall x:y:z:u: % Ulik dørfarge hvis samme rom B(x,z) and B(y,z) and C(x,u) => not C(y,u) %% TA Vi skal vise at Q: exists x: C(M,x) Bevis: Uformelt:

2 A er rød => M ikke er rød E er gul => M ikke er gul M er ikke rød og M er ikke gul => M er blå Konverterer formlene til klausalform: (detaljer ikke vist) R1' R2' R3' C(x,Red), C(x,Blue), C(x,Yellow). not C(x,u),not C(x,v), u=v. not B(x,z), not B(y,z), not C(x,u), not C(y,u) %% TA Negerer og klausifiserer Q: NQ' not C(M,y) [,Ans(y) ] 1. (NQ',R1',y =Blue) C(x,Red), C(x,Yellow) [,Ans(Blue)] 2. (1, R3', x=m,u=red) C(M,Yellow), not B(M,z), not B(y,z), not C(y,Red) 3. (2, A15, z=west) C(M,Yellow), not B(y,West), not C(y,Red) 4. (3, A11, y=a) C(M,Yellow), not C(A,Red) 5. (4, A6) C(M,Yellow) 6. (5, R3', x=m,u=yellow) not B(M,z), not B(y,z), not C(y,Yellow) 7. (6, A15, z=west) not B(y,West), not C(y,Yellow) 8. (7, A14, y=e) not C(E,Yellow) 9. (8, A9) [Ans(Blue)] Antagelsen om at det M ikke har noen farge leder til en selvmotsigelse når fargen er blå NB: Denne formuleringen av problemet exists x: C(M,x) gir opphav til ufullstudendig og uønsket løsning. NQ' not C(M,y),Ans(y)

3 R1 :C(x,Red), C(x,Blue), C(x,Yellow). Hvis NQ' anvendes 3 ganger mot R1 fås et trivielt bevis. Hvis vi føyer til Ans-predikat blir det tydeligere hva som skjer S1: (R1,NQ, x=m,y=blue) C(M,Red),C(M,Yellow),Ans(Blue) S2: (R1,S1, y=red) C(M,Yellow),Ans(Blue),Ans(Red) S3: (R1,S2, y=yellow) Ans(Blue),Ans(Red),Ans(Yellow) altså det ufullstendige svaret M har farge Blue,Red eller Yellow. Oppgaven ber om at vi finner denne fargen. En mer komplett formulering er å vise at M har farge Blue, og bare det: C(M,Blue) and forall(x: C(M,x) => x=blue). eller noe forenklet C(M,Blue) and not C(M,Red) and not C(M,Yellow) Det er dette som i realiteten blir bevist i løsningsforslaget. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% TASK %% Vi definerer et proforma rom O (Outside) Operasjoner: opendoor(d) closedoor(d) gotodoor(d) gothrudoor(d) dropmail(r) Open door d Close door d Go to door d Go through door d Drop mail et room d Predikater outside mailfor(r) in(r) atdoor(d) isopen(d) isclosed(d) hav (r) B(d,r) Marvin is outside Marvin has mail for room r Marvin is in room r Marvin is at door d Door d is open Door d is closed Room r has (got) mail Door D belongs to room r e.g. B(E,O) E belongs to Outside

4 Initial conditions (example) in(o). %% e.g. outside mailfor(ra). mailfor(rz). isclosed(e) isclosed(a) isopen(m) isopen(z) Goal conditions (example) in(o). hav (ra) hav (rz) isclosed(e) isclosed(a) isopen(m) isopen(z) not mailfor(ra). not mailfor(rz). b) STRIPS-operatorer er definert ved tripler Operator (Parametre) PC list D list A list Preconditions Conditions that are deleted Conditions that are added OP PC D A Operasjoner: opendoor(d) atdoor(d),isclosed(d) isclosed(d) isopen(d) OP PC D A closedoor(d) atdoor(d),isopen(d) isopen(d) isclosed(d) OP gotodoor(d) Go to door d

5 PC D A B(d,r),in(r), not atdoor(d) atdoor(d) OP gothrudoor(d) Go through open door d PC D A atdoor(d), B(d,r1),in(r1),B(d,r2),isopen(d) in(r1) in(r2) OP dropmail(r) Drop mail et room d PC D A mailfor(r), in(r) mailfor(r) hav (r) b) Det er ingen implikasjon fra å definere operatorer i STRIPS til at en lineær planlagger automatisk vil løse problemet. Et planleggingsproblem er lineært dersom det kan beskrives med en rekke mål der hvert mål kan løses suksessivet med et sett av lovlige operasjoner. Denne definisjonen gjelder også rekursivt ved at en operasjon krever oppfylt betingelser som også løses linæert. Et problem er at planen må inneholde elementer som husker hvordan en tilstand var (f. eks. dører). Et annet problem er at planens operasjoner er avhenig og av ukjente forbetingelser (f.eks. dører lukket/åpne), altså betinget planlegging. Det foreliggende problem er neppe lineært fordi det er vanskelig å lage et sett med betingelser som vil lede roboten til å utføre alt det som er fastlagt. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% TASK a) Et heuristisk søkeproblem er karakterisert ved En mengde noder som beskriver tilstander. En startnode.

6 En målnode En etterfølger relasjon, der en man kan gå fra 1 tilstand til den neste Et mål for kostnaden fra en node til den neste Et estimat som for hver node estimerer kostnaden til målnoden. I det aktuelle tilfellet er Gatehjørner noder Startnode er avsendersted Målnode er leveringssted Etterfølgerrelasjon et steg fra et gatekryss til neste via et kvartal. Mål for kostnaden er en enhet. Estimat fra node til målnode er Euklids avstand sqrt((mx-nx)**2 (My- Ny)**2) der M er målnoden og N er noden. Søking i dette rommet kan gjøres ved såkalt Graph-search, f.eks. A* algoritmen ( Ikke beskrevet her). b) Ineffektiviteten til søkingen kan defineres som antall noder som ekspanderes, men som ikke er en del av løsningen, i relasjon til antall noder som er en del av løsningen. Heuristikken er unøyaktig, men er et underestimat. Det fører til at A* algoritmen er garantert å finne en optimal løsning. Vanligvis vil en unøyaktig underestimerende heuristikk føre til at effektiviteten synker tilsvarende, men I det aktuelle tilfellet viser det seg at det ikke spiller noen rolle for effektiviteten. (Ikke bevist her). c) Med en admissibel heuristikk menes en heuristikk som altid underestimerer den virkelige kostnaden. Fordelen med en admissibel heuristikk er at man kan da vise at man garanteres å finne en optimal løsning

7 Med en monoton heuristikk menes h(n1) =< c(n1,n2)+h(n2) I praksis ( med g'(n) = g(n)) betyr det at Fordel: f'(n1) <= f'(n2) Har man funnet en node så har man også funnet den korteste veien dit, dvs. man slipper å revurdere historien (g'(n) = g(n) ), Robotens heuristikk er admissibel (underestimat) sqrt(x**2+y**2) =< max( x, y ) Robotens heuristikk er også monoton, fordi (antar uten tap av generalitet at X koordinaten forbedres med en enhet) d) sqrt(dx**2+dy**2) =< 1 + sqrt((dx-1)**2+dy**2) Dersom vi antar at heuristikken h'(n) = K*h(n) der K < 1 er tilnærmet konstant for hele søkerommet vil en ny heuristikk (i det aktuelle tilfelle, f.eks. fra et hjørne i et kvadratisk kvartal til motsatt hjørne, vil K ~= 1/sqrt(2) ~= 0.71 ) h''(n) = h'(n)/k være en mer treffsikker heuristikk. Vi bruker h'' i stedet for h' i algoritmen. Imidlertid må K estimeres dynamisk under søkingen. Dette kan gjøres ved å betrakte g(n) e) K = estimat(start,n)/kostnad(start,n) = (h'(start)-h'(n))/g(n) For å lage et søkerom med et endelig antall noder må vi tenke oss det er et stort antall noder, med en relevant nærneste nabo i retning etterfølger-relasjon. Dette kan vi forenkle for anskuelesns skyld til å la roboten kunne gå skrå i et rutenett. I dette scenario vil estimatet bli et overestimat. Det kan generelt føre til ikke optimale løsninger bli valgt. Når det gjelder effektiviteten kan denne i noen tilfeller bli bedre.

8 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% TASK a) The problem of constraint problem solving is typically the problem of assigning values to a set of variables so that a set of constraints are satisfied. For crossword, we shall here assume that the set of solution candidates are explicitly known. The crossword scenario is slightly more complicated because we cannot easily consider each square as a variable, and the letters as possible values. On the other hand, if each clue denotes a variable, then the constraints to be applied involve list of values and not single values. There ar two main strategies : Dynamic ordering of variables and values Constraint graphs Dynamic ordering of variables and values can use the principle heuristics. 1. Select the variable with the minimum number of remaining values (MRV) 2. Select the variable that is involved in the largest number of constraints (degree heuristic) 3. Select the value that rules out the fewest choices for the "neighbouring" variables. In crossword, it means e.g. filling out where we have letters already. Constraint graphs means having a graph between all variables, where the relation is the contraints. When we have to select a variable and choose a value, if there is a another variable that has no legal value that is consistent with the choice of the variable, this value can be removed. In crossword, it means that if one value implies setting a letter in a square, and no canidates for any crossing word has this letter at that squase, the candidate can be forgotten.

9 b) This is a knowledge base to be used for crossword puzzle solving. It presumes access to a semantic knowledge base with access methods. This part is about a Knowledge base for creating candidates This program will create some candidates, neglecting the information that lies in the length of the solution. Generic definitions ('-' is an operator and not an identifier character) Synonyms x means a-b-c. Just synonym Generic means that a definition is actually derived from a general rule. Due to simplified syntax limitations, all multiple words must be written with a '-' sign between, and all input must be ended with a '.' Noun phrases usually have the format like in Adjs* - Nouns* - HeadNoun barbed-whaling-spear. The head noun is treated as a category. If a keyword phrase has a solution, then the solution is also a solution for a simplified keyword phrase. The keywords used here may actually be a shorter version of the actual keyword phrases. If a keyword phrase has a solution, then any subclass or instance of the solution is also a solution. Verbs are seen as subclasses of "Activity" and follows ordinary rules of inheritage. % eat -> devour Adverbs are regarded as adjectives to the verb activities % voraciously-eat -> devour

10 Prepositional phrases like system of/ purchase of/ cost of/ are ignored Som examples of generalizations i) A gatecrasher is guest that is not invited. we can use a semantic definition gatecrasher ako uninvited-guest. so gatecrasher is a solution to uninvited-guest But since a guest is also a kind of person, gatecrasher is also a solution to the clue ii) uninvited-person. Harpoon is a solution to barbered-whaling-spear, but it is also a solution to th clue iii) whaling-spear the action gobble is a kind of a devour action therefore, if 'eat voracioysly' has a solution devour, then it also has the solution gobble. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Guardian Weekly %% ACROSS % Virtual environment -> Cyberspace cyberspace ako virtual-environment. % System of divine worship -> religion. religion ako divine-worship.

11 % Opinion -> View view ako opinion. % Lay hold of -> take take means lay-hold-of. % English cheese -> Stilton stilton isa english-cheese. % Uninvited guest -> gatecrasher gatecrasher ako uninvited-guest. % North american mammal -> raccoon raccoon ako american-mammal. % Fall -> Drop drop ako fall. % Heredity unit -> gene gene ako heredity-unit. % Mild mental disorder -> neurosis. neurosis ako mild-mental-disorder. % Outward look -> appearence appearance ako outward-look. % DOWN % Trunk -> Chest chest ako trunk. % Cut of beef -> brisket brisket ako beef. % Destroy -> ruin ruin ako destroy. % Exactly on time -> punctual punctual means exactly-on-time. % Quibble -> Cavil

12 cavil ako quibble. % Eat voraciously -> devour devour ako voraciously-eat. % Cadge -> Scavenge scavenge ako cadge. % Tufted beard on chin -> goatee goatee ako tufted-beard. % Barbered whaling spear -> harpoon harpoon ako barbed-whaling-spear. % Inexpensive -> cheap cheap means inexpensive. % Cost of purchase -> price price ako purchase. % Dialectical characteristic -> burr. burr isa dialectical-characteristic. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% TASK a) MiniMax er en metode for å analysere spilltrær for 2 agent full informasjons spill ( som sjakk, bondesjakk og Cocpit, men ikke Bridge). Vi kan kalle spillerne MAX og MIN. Man antar at spillets posisjoner kan evalueres med et tall som uttrykker fordelen for en av spillerne. Man antar også at motspilleren har den samme evalueringen, og at begge spillerne velger den mest optimale ut i fra tilgjengelig informasjon. Nodene evalueres ved framsyn et visst antall trekk, og på dette nivået blir hver node i treet blir evaluert. Deretter beregnes verdien til ikke-terminalnoden rekursivt ved Maximum verdiene til de neste nodene dersom MAX er i trekket Minimum av verdiene for dersom MIN er i trekket. b)

13 Alfa beta beskjæring går ut på at man kan unnlate å evaluere etterfølgerne til en node dersom denne noden aldri vil komme i betraktning. Det skjer dersom f.eks. noden som undersøkes er en maksimaliserende node A, som har fått en foreløpig verdi Alfa, men motparten har allerede funnet en node B som har verdi Beta som er mindre enn Alfa. Det vil si at dersom man undersøker nodene under Alfa så kan dette bare føre til at node Alfa får en enda dårligere verdi, mens den i utgangspunktet var for dårlig til å bli valgt. Alfabeta prosedyren gir nøyaktig de samme resultatene som Minimax, men med mindre søkearbeide. Alfabeta beskjæring virker best når den første verdien i en maksimaliserende node er maksimal (og v.v.), fordi denne verdien skal beskjæres på grunn av en Beta-verdi så kan alle nodene på samme nivå beskjæres. Under idelle forutsetniger kan gevinsten føre til at man kan søke dobbelt så dypt med samme søkearbeide. I verste fall får man ingen besparelse i det hele tatt. Det er ingen ulemper ved Alfabeta bortsett fra en minimalt mer kompleks algoritme. Både Alfabeta og Minimax kan implementeres med dybde først søking, så dette kan ikke regnes som en fordel for Alfabeta. c) Ved iterativ dybde først søking lager man suksessivt dypere spilltrær som blir komplettert før neste iterasjon. Dersom resonneringen blir avbrudt på tid, slik det er i reelle spillsituasjoner, vil man alltid ha et valg basert på et komplett spilltre. d) Dersom man bruker evalueringen på ett nivå til å forhåndssortere nodene som skal evaluares, og antar at evelaueringen på ett nivå heuristisk sett er tilnærmet gyldig på neste nivå, oppnår man tilsvarende fordeler som nevnt over ved forhåndssortering av nodene. Det er selvfølgelig ikke mulig å forhåndssortere nodene på nederste nivå uten å evaluere dem. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%