3.0 FORDELINGSNETT MED PARALLELLE FORSYNINGSVEIER.

Transkript

1 3.0 FORDELIGETT MED PARALLELLE FORYIGVEIER. Med unntak for de generelle formlene for parallellstrukturer, kap. 2.2, er analysemetoden som er beskrevet i kapittel 2 beregnet på radielle strukturer. I dette kapitlet skal vi ta opp noen problemstillinger som er aktuelle når nettet har parallelle forsyningsveier [ 2]. I koplingsstasjoner (kraftog transformatorstasjoner) finnes det som regel parallelle veier for å føre kraften gjennom stasjonen. Det finnes også overføringsnett som stort sett har radiell struktur, men som har noen parallelle føringer. Vi legger imidlertid den begrensning på metoden at det ikke er nødvendig å gjennomføre nettanalyse (lastflyt) for å finne konsekvensen av at en komponent i en parallell vei svikter. å lenge nettet henger sammen mellom matepunkt og lastpunkt, antar vi at forsyningen er tilfredsstillende. De problemstillingene vi skal se nærmere på er: - samleskinnefeil - planlagt vedlikehold - feil ved unormale værpåkjenninger 3. ettverksreduksjon og minimale kutt. Markovanalysen er kanskje den løsningsmetoden som lettest kan tilpasses de fleste problemstillinger, men den har det alvorlige drawback at antall tilstander, 2 n for et system med n to-tilstands komponenter, vokser svært fort med n. Vi kommer derfor bare til å benytte Markovanalyse som grunnlag for utledning av andre metoder som ikke har samme problemet med n, og forøvrig for problemer med et lite antall tilstander. For å konkretisere fremstillingen knyttes den til et enkelt eksempel, se fig x: effektbryter Fig. 3.. Linjer og transformatorer. M:\frame\fag\422-palitelighet-3

2 2 Tabell 3.. Komponentdata Komponent λ[ år ] r[ timer] ettverksreduksjon. La oss, inntil videre, anta at samleskinner (5, 6) og effektbrytere (7-0) er 00% pålitelige. Ved nettverksreduksjon danner vi ekvivalente komponenter, også kalt moduler [ ], ved å kombinere serie- og parallellkomponenter Fig ettverksreduksjon ved moduler. Pålitelighetsindekser for systemet (λ s, r s, U s ) finnes ved å benytte formlene i kap Vi benytter data fra tabell 3. og får: år λ år 4 λ 3 λ r λ 3 r timer 0.5 r 3 r 2 4 r 3 λ 3.76 timer λ s år M:\frame\fag\422-palitelighet-3

3 3.76 r s timer 2 U s λ s r s timer/år Metoden er meget enkel, men den har noen begrensninger/ulemper. A) Den kan bare benyttes på rene serie- og parallell strukturer. B) Komponenter og feiltyper aggregeres til ekvivalenter, slik at det ikke er mulig uten videre å identifisere hvilke komponenter og feiltyper som har størst innvirkning på pålitelighetsindeksene. C) Metoden kan ikke benyttes når vi ønsker å ta hensyn til flere feiltyper, vedlikehold, væravhengige feil m.m Minimale kutt. De minimale kutt [ ] benyttes til å identifisere systemets feilmodi. Derfor kan vi også kalle metoden FMEA (feilmode-feileffekt analyse). La oss som under pkt. 3.. anta at samleskinner og brytere er feilfrie. De minimale kutt blir da: Vi kan nå beregne λ, r og U for de enkelte kutt. For systemet kan vi så beregne tilnærmede verdier ved å benytte formlene for seriestruktur av kuttene (k): λ s 4 k Beregningen blir tilnærmet fordi kuttene ikke er uavhengige. Vi ser at samme komponent finnes i mer enn ett kutt. Tilnærmelsen vi gjør når feilfrekvensene for kuttene summeres, er av samme type som når en benytter addisjonssetningen for sannsynligheter knyttet til ikke-disjunkte hendelser, og gjør tilnærmelsen: M:\frame\fag\422-palitelighet-3 Fig 3.3. Minimale kutt for fig. 3. λ k (3.)

4 4 PA ( B) PA ( ) PB ( ) PA ( B) PA ( ) PB ( ) forutsatt PA ( B) «., år λr «, blir tilnærmelsen (3.) god, og vi finner dessuten en øvre grense for avbruddsfrekvensen. La oss se på resultatene, idet vi benytter data fra tabell. 3.. Tabell 3.2 Pålitelighetsindekser for fig. 3. og 3.3 Kutt(feilmode) og 2 λ[ år ] r[ timer] 5.0 U[ timer/år] og 4 63, og 2 63, og 4 23, ystem Vi sammenligner med beregningsresultatene i kap ettverksreduksjon, og ser at forskjellene er utbetydelige. Verdiene i tab. 3.2, blir som nevnt litt større. Ved tabell 3.2 får vi mer informasjon enn ved nettverksreduksjon. Vi ser f.eks. at kuttet (feilmoden) som gis av overlappende feil på og 2 (linjene) dominerer i resultatet, og at 3 og 4 (overlappende transformatorfeil) har minst betydning, tross den lange reparasjonstiden. 3.2 amleskinnefeil. Med samleskinnefeil mener vi feil på komponenter som gjør at hele samleskinnen blir frakoplet spenning ( spenningsløs ). Det kan f.eks. være kortslutning på måletransformatorer eller skillekniver som ligger på samleskinnesiden av effektbryterne. Anta for systemet i fig. 3.: Komponent λ[ år ] r[ timer] Tabell 3.3 amleskinnefeil. M:\frame\fag\422-palitelighet-3

5 5 amleskinnefeil kan håndteres med både nettverksreduksjon og minimale kutt. trukturelt fører det til 2 seriekompomenter, 5 og 6 i serie med fig (ettverksreduksjon) eller fig. 3.3 (Minimale kutt). Vi får et tillegg til tabell 3.2 fra de to komponentene, som hver for seg representerer et minimalt kutt. Kutt (feilmode) λ[ år ] r[ timer] U[ timer/år] Totalt fra tab ystem Tabell 3.4 Pålitelighetsindekser, medregnet samleskinnefeil. Med de antakelser vi har gjort m.h.t. data blir samleskinnefeilene dominerende, fordi de er seriekomponenter. Dette er ikke en generell konklusjon. elv om samleskinner strukturelt har stor pålitelighetsmessig betydning, kan de i seg selv være så pålitelige at andre feil er mer kritiske. 3.3 Planlagt vedlikehold. Planlagt vedlikehold er ikke en tilfeldig hendelse, og vedlikehold varsles på forhånd når det fører til at kunder avbrytes. Vi antar at et varslet avbrudd har mindre konsekvenser enn et ikke-varslet avbrudd, og det legges gjerne til tider hvor konsekvensene antas å være små. Pålitelighetsanalysen tar i første rekke sikte på å kartlegge ikke-varslede avbrudd, og derfor er planlagt vedlikehold av rene seriekomponenter utenfor rammen av analysen. Det som allikevel er aktuelt å inkludere i analysen er hendelser av typen: ystemet er svekket p.g.a. planlagt vedlikehold. En feil som inntreffer mens vedlikehold pågår gir avbrudd. Det typiske, enkle eksemplet er en parallellstruktur der det foregår vedlikehold på en av komponentene. Dersom det inntreffer feil på den gjenværende (parallelle) komponent, får vi avbrudd. La oss først beskrive problemet ved en eksakt Markovmodell. M:\frame\fag\422-palitelighet-3

6 6 5 µ λ m λ sviktintensitet µ 2m λ m µ m µ 6 7 µ 2 µ 2 λ 4 µ 2m µ 2 r -- reparasjonstid ved svikt µ λ m vedlikeholdsintensitet r m vedlikeholdstid µ m µ m µ λ Fig. 3.4 Tilstandsdiagram for parallellstruktur med vedlikehold. Vi kan nå gjennomføre en komplett beregning av stasjonære sannsynligheter, frekvenser og oppholdstider for tilstandene 0-7. Deretter kan formlene forenkles ved å benytte: λr «λ m r m «(3.2) Beregningen kan gjøres litt enklere ved å benytte disse to tilnærmelsene underveis i løsning av Markovligningene. For tilstand 6 gjelder: P 6 ( µ m ) P 7 λ m P 2 µ 2 (3.3) For tilstand 2 gjelder: P 2 ( µ 2 µ m ) P 6 (3.4) Av disse to ligningene får vi: ( P 6 P 2 )µ m P 7 λ m (3.5) M:\frame\fag\422-palitelighet-3

7 7 Ut fra tilstandsdiagrammet kan vi, forutsatt (3.2), slutte at tilstandene faller i følgende grupper når det gjelder størrelsesorden: ( P o, P, P 2 )«( P 3, P 4, P 5, P 6 )«P 7.0 (3.6) Gruppeinndelingen følger antall nivåer (overganger) regnet fra topp-tilstanden : nr 7. Lign. (3.5) kan nå forenkles: P 6 µ m P 7 λ m λ m P 6 λ m r m (3.7) Ved tilsvarende resonnementer vil en finne: 3.3. Feilfrekvens. P 5 m r 2m P 4 λ r P 3 r 2 Antall ganger det kan forventes svikt mens vedlikehold pågår: λ pm f f 2 P 5 λ P 6 λ ( m r 2m ) ( λ m r m ) (3.8) (3.9) (3.0) (3.) Antall ganger det forventes overlappende svikt: λ pp f o P 3 λ P 4 λ ( r 2 ) ( λ r ) (3.2) Total feilfrekvens λ s λ pm λ pp (3.3) Formlene ( ) kan tolkes som følger, idet vi tar (3.) som eksempel: λ pm (antall ganger nr. svikter (λ )) (sannsynligheten for at nr. 2 er ute for vedlikehold ( m r 2m ) ) (antall ganger nr. 2 svikter ( )) (sannsynligheten for at nr. er ute for M:\frame\fag\422-palitelighet-3

8 8 vedlikehold ( λ m r m ) ). Dette kan vi også lese ut av tilstandsdiagrammet, fig Årlig avbruddstid. P og P 2 beregnes ut fra tilstandsdiagrammet, fig P ( µ µ 2m ) P 5 λ (3.4) Benytter (3.8): P λ m r 2m r r 2m λ µ µ m r 2m m r r 2m (3.5) P 2 beregnes tilsvarende: P P 6 r 2 r m λ µ µ 2 λ m r m m r 2 r m (3.6) q pm P P 2 Årlig avbruddstid: U pm q pm 8760 [ timer/år] (3.7) Overlappende feil på komponentene fører til tilstand 0. P o ( µ µ 2 ) P 3 λ P 4 (3.8) Benytter ( ): λ r 2 λ r P o λ µ µ r r 2 2 q pp P o λ r r 2 U pp q pp 8760 [ timer/år] (3.9) Total avbruddstid: M:\frame\fag\422-palitelighet-3

9 9 U s U pm U pp (3.20) Avbruddsvarighet. r pm U pm λ pm (3.2) r pp U pp λ pp (3.22) r s U s U pp λ s U pm λ pm λ ps λ pm r pm λ pp r pp λ pm λ ps (3.23) Beskrivelse (tolkning) ved kuttesett. m m Fig Overlappende feil, og feil som inntreffer mens vedlikehold pågår Resultatene som er utledet for - feilfrekvens, lign. ( ) - årlig avbruddstid, lign. ( ) - avbruddsvarighet, lign. ( ) kan beskrives ved kuttene i fig For de enkelte kuttesettene gjelder følgende:. Kuttesett som angir overlappende feil. De vanlige formlene for parallellkopling gjelder, (3.2, 3.9, 3.22). 2. Kuttesett som beskriver feil som inntreffer mens vedlikeholdet pågår. Legg merke til at formlene for parallellkopling er litt modifisert. For et kuttesett som vist i fig. 3.6: M:\frame\fag\422-palitelighet-3

10 0 i m j Fig Komponent j svikter mens vedlikehold pågår på komponent i. gjelder formlene: λ pm ( i m, j) λ j ( λ im r im ), sml. (3.) (3.24) q pm ( i m, j) λ j ( λ im r im ) r j r im r j r im, sml. (3.5 og 3.6) (3.25) r pm ( i m, j) U pm λ pm r j r im r j r im, sml. (3.22) (3.26) Modifikasjonen tar hensyn til at hendelsen komponent i tas ut til vedlikehold mens j er til reparasjon for feil ikke anses å være aktuell. En slik hendelse vil ha frekvens: λ im ( λ j r j ), og utilgjengelighet: q im λ im ( λ j r j ) r j r im Dersom disse bidragene adderes til lign. (3.24), respektive (3.25) fås de vanlige formlene for parallellkopling av to komponenter. Konklusjonen for kap. 3.3 Planlagt vedlikehold er altså: a) Vi betrakter parallellstrukturer der aktuelle hendelser er feil som inntreffer mens det pågår planlagt vedlikehold på en parallell komponent b) Eksakt beskrivelse er ved tilstandsdiagram (Markovmodell, se fig. 3.4). c) En tilnærmet og mer anvendelig metode er å beskrive slike hendelser med kuttesett, som vist i fig Formler som gjelder for slike kuttsett er gitt ved lign. ( ). d) Kuttesettene kommer i tillegg til de vanlige kuttesettene som beskriver overlappende feil. e) For totalsystemet gjelder med god tilnærmelse de vanlige formler seriekopling av kuttsett, lign. 3.3, Hvordan ta hensyn til varierende vær. r j r im Det er en kjent sak at fordelingsnett, dvs. luftnett, er spesielt utsatt for dårlig vær: vind, tordenvær, snø og is. Vi kan si at feilfrekvensen for komponenter utsatt for varierende vær en en funksjon av været. M:\frame\fag\422-palitelighet-3

11 En måte å beskrive dette forholdet er å klassifisere været i kategorier og å angi en feilfrekvens for hver kategori. I perioder med ekstremt dårlig vær, vanligvis sjelden og kortvarig, har en meget høy feilfrekvens for komponentene. Dette øker sannsynligheten for overlappende feil i fordelingsnettet, og svarer altså akkurat til det som gjerne skjer i praksis. Legg merke til at vi ikke beskriver dette som en stokastisk avhengighet mellom komponentene, selv om det er en felles påkjenning (dårlig vær). Komponentene behandles som uavhengige, men de får en samtidig sterk økning av feilfrekvensen. Prinsippet kan også benyttes for andre typer av felles påkjenning: temperatur, mekanisk påkjenning etc Tilstandsmodell. Vi begrenser oss til å klassifisere været i to kategorier: (ormal) og (torm). La oss i første omgang beskrive tilstander for en komponent, se fig λ µ sviktintensitet, normalt vær µ λ sviktintensitet, storm µ reparasjonsintensitet, normalt vær λ λ µ reparasjonsintensitet, storm forventet varighet, normalt vær forventet varighet, storm Fig. 3.7 Vær-modell for en komponent. tasjonærligningene som beskriver fig. 3.7 er: λ --- µ -- 0 P λ µ P λ P -- µ 3 0 (3.27) λ P µ -- 4 M:\frame\fag\422-palitelighet-3

12 2 Løsning av lign. (3.27) gir: P P 2 P 3 P Vi benytter oss av følgende tilnærmelser:. «, dvs. reparasjonstiden i normalvær er mye kortere enn tid mellom feil i normalvær. λ µ 2.» -----, dvs. normalværsperioden er mye lenger enn reparasjonstiden i normalvær. µ Etter noe regning på ligningssystemet, lign. 3.27, får vi: P λ µ ( ( λ µ )) µ λ P 2 λ λ µ µ ( ( λ µ )) P 3 µ λ µ -- P 4 λ λ µ -- (3.28) Et par av disse ligningene kan forenkles ved i tillegg å dra nytte av følgende tilnærmelser: 3. «, dvs. varigheten av storm er mye mindre enn varigheten av normalvær-perioden. M:\frame\fag\422-palitelighet-3

13 3 Dette gir: P » P 2 4. λ «µ, og λ «--, dvs. varigheten av uværsperioden ( ) og reparasjonstiden i uværsperioden er mye kortere enn tid mellom feil i uværsperioden ---- µ λ Dette gir: P » P 4 Basert på disse tilnærmelsene beregner vi nå antall svikt pr. år: f f 2 f 4 P λ P 3 λ λ λ (3.29) La F være andel svikt som inntreffer i uværsperioden: f 4 P 3 λ F f 2 f 4 P λ P 3 λ λ λ λ (3.30) Ved å løse (3.29) og (3.30) m.h.p. λ s og λ fås: λ f F (3.3) λ f ( F) Antall svikt pr. år (f) er et uttrykk for gjennomsnittlig antall svikt i normal- og uværsperioder sett under ett. Dersom man i feilstatistikken ikke skjelner mellom værkategorier vil f være den størrelsen som observeres på årsbasis. La oss illustrere lign. (3.3) ved å anta følgende forhold mellom normal- og uværsperioder: --- λ fF, λ ( F)f M:\frame\fag\422-palitelighet-3

14 4 Legg merke til at sviktintensiteten i uværsperioden kan bli meget stor dersom uværsperioden er kort (<<) og en betydelig andel av svikt (F) opptrer i uværsperioden Parallellstruktur. F λ 0 50 f 00 f λ f 0.5 f 0 Værmodell kan bli viktig dersom en har parallellstruktur i fordelingsnettet. annsynligheten (og frekvensen) for overlappende feil i uværsperioder kan gi et vesentlig bidrag, som ikke blir representert i en modell som neglisjerer de to værtypene. Vi skal benytte en Markovmdell for å illustrere dette fenomenet, som i engelskspråklig litteratur kalles failure bunching. Figur 3.8 viser tilstandene for en parallellstruktur med to komponenter og to værtyper, og. otasjonen er den samme som i fig µ µ µ -- µ µ 2 -- µ λ --- µ 2 λ Fig. 3.8 Tilstandsdiagram, værmodell med to komponenter λ -- µ 2 -- λ Vi antar følgende størrelsesforhold: λ i «µ i, «, µ i» --- (3.32) Ut fra dette og samme type resonnement som vi tidligere har gjennomført m.h.t. nivåer av tilstander, se f.eks. kap. 3.3, gjelder i fig. 3.8: P» ( P 2, P 5 )» P 6 M:\frame\fag\422-palitelighet-3

15 5 P 3»( P 4, P 7 )» P 8 (3.33) Vi tar ikke sikte på fullstendig analytiske løsninger av tilstandsligningene, men benytter tilnærmelsene som er angitt, og benytter de ligningene vi trenger for å beregne feilsannsynlighet og feilfrekvens. Analogt med tilfellet beskrevet i fig. 3.7 vil vi for fig. 3.8 få: P P 2 P 5 P 6 P 3 P 4 P 7 P Benytter tilnærmelsene (3.33): P P (3.34) Tar utgangspunkt i tilstand 2: P 2 µ --- P λ P 4 -- P 6 µ 2 P 6 ( µ 2 µ ) P 2 P 5 λ P 8 -- Herav: P 2 µ --- P λ P 4 -- P 2 P 5 λ P 8 -- P 6 µ Benytter ( ): P 2 µ P λ P 4 -- (3.35) Ved å ta utgangspunkt i tilstand 5, med tilsvarende resonnement og tilnærmelser: P 5 µ 2 P P 7 -- (3.36) M:\frame\fag\422-palitelighet-3

16 6 Tar så utgangspunkt i tilstand 4: P 4 µ -- λ 2 P 3 λ P P 8 µ 2 P 8 µ µ 2 -- P λ P λ P P 4 µ -- λ 2 P 3 λ P P 7 λ P 4 P P 8 µ -- Herav: P 4 µ -- P λ P (3.37) Tilsvarende ligninger og resonnement for tilstand 7: P 7 µ 2 -- P λ P (3.38) Løsning for tilstandene: P 2, P 4, P 5, P 7 finnes ved å kombinere lign. ( ). P 2 λ r λ r r r P 5 r λ r r P 4 P 7 r r r [ λ λ r ] r 2s r [ λ λ r ] (3.39) (3.40) (3.4) (3.42) La oss så beregne antall ganger det inntreffer svikt mens det er uvær: f 8. f 8 P 4 P 7 λ P P 4 P 7 λ (Hendelsen P betyr at overlappende svikt har skjedd i normalt vær, og at været skifter før M:\frame\fag\422-palitelighet-3

17 7 noen av komponentene er reparert). Benytter ( ): f λ λ 2 r r r 2 r r r λ r λ r r r 2 (3.43) Antall ganger det inntreffer svikt i normalvær: f 6 P 2 P 5 λ Benytter ( ): f 6 λ ( r r 2 ) λ λ r r r r 2 r 2 λ r 2 (3.44) La oss forsøke å tolke lign. (3.42): I: r r r 2 r 2 λ II: λ λ rr r III: λ r2r2 r 2 M:\frame\fag\422-palitelighet-3

18 8 Tolkning: I: Begge komponentene svikter i uvær. ekvens: eller II: Komponent nr. svikter i normalvær, været skifter og komponent nr. 2 svikter i uvær. ekvens: III: Komponent nr. 2 svikter i normalvær, været skifter og komponent nr. svikter i uvær. ekvens: I (3.43) har vi følgende ledd: IV: λ ( r r 2 ) V: λ λ rr r VI: λ r2r2 r 2 Tolkning: IV: Begge komponentene svikter i normalvær. ekvens: -2-6 eller V: Komponent nr. svikter i uvær, været skifter og komponent nr. 2 svikter i normalvær. ekvens: VI: Komponent nr. 2 svikter i uvær, været skifter og komponent nr. svikter i normalvær. M:\frame\fag\422-palitelighet-3

19 9 ekvens: umerisk eksempel, to like komponenter. f F 2000 timer 8 timer feil/år 0.8( andel feil i uværsperioden ) r r 8 timer λ f F feil/år 8 λ f ( F) 0.2 feil/år Delbidragene til f 8 : I: λ rs år r IIIII: λλ rr r år IV: 2r år V-VI: λλ rr II III r 4 år Konklusjon: Vi ser altså at hendelsen I er helt dominerende: begge komponentene svikter i uvær. Dersom vi ikke hadde regnet med en to-værsmodell, men med en vanlig parallellkopling og gjennomsnittlig sviktintensitet λ år : M:\frame\fag\422-palitelighet-3

20 20 λ pp 2 r dvs. ca. 550 år mellom hver feil. år, To-værsmodellen gir: f 0.5 år, dvs. ca 6.5 år mellom hver feil. Dette viser betydningen av å ta hensyn til failure bunching for parallellstrukturer. Eksemplet ovenfor er også beregnet med en eksakt (numerisk) løsning av tilstandsdiagrammet i fig Det viser seg da at antall overlappende feil i uvær blir: f år. Den tilnærmede formelen (3.42) gir altså litt for stor verdi. M:\frame\fag\422-palitelighet-3