ST2101 Stokastisk modellering og simulering

Transkript

1 ST20 Stokastisk modellering og Norges teknisk-naturvitenskaelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag - Eksamen juni 2005 Ogave a) La T 0 være tid da tilstand 0 forlates første gang. Gitt X0) 0 blir da T 0 eks) slik at P{Xt) 0, t [0, 2] X0) 0} P{T 0 > 2 X0) 0} F T0 2) ex{ 2}) 0.5. La T være tid da tilstand forlates første gang. Gitt X0) blir da T eks0 + ) slik at P{Xt), t [, 2] Xt), t [0, ]} P{Xt), t [0, ] X0) } P{T > X0) } F T ) ex{ }) b) Alternativ arameterisering: v i : intensitet for å forlate tilstand i, P ij : sannsynlighet for å gå til tilstand j gitt at rosessen forlater tilstand i. eksjun05l-st June, 2005 Side

2 ST20 Stokastisk modellering og For den ogitte rosessen får man at og Utregning av P 2 : v 0, v + 0, v 2 P 0, P 02 0, P , P 2 0 +, P 20 P 2 0. P{Xt + h) 2 xt), Xt + h) } P{Xt + h) 2, Xt + h) Xt) } P{Xt + h) Xt) } Dermed får vi at P{Xt + h) 2 Xt) } P{Xt + h) 0 Xt) } + P{Xt + h) 2 Xt) } h + oh) 0h + oh) + + oh) + oh) h + oh). h P 2 lim P{Xt + h) 2 Xt), Xt + h) } + 0 h c) Kolmogorovs foroverligninger for bestemmelse av P 00 t), P 0 t) og P 02 t): P 00 t) 0P 0t) + P 02 t) P 00 t), P 0 t) P 00t) + 0)P 0 t), P 02 t) P 0t) P 02 t). Setter P i lim t P 0i t), bruker at lim t P 0i t) 0, og tar grensen t å begge sidene i ligningene over. Får da 0 0P + P 2 P 0, 0 P 0 P, 0 P P 2. Dette gir P P 2 og P 0 P P 2. Bruker så at vi må ha at P 0 + P + P 2 og får P 2 + P 2 + P 2 P 2 7 slik at P 0 7, P 7, P 2 7. eksjun05l-st June, 2005 Side 2

3 ST20 Stokastisk modellering og d) Andel av tid i tilstand 2 er P 2 7. Forventet tid i tilstand 2 ved hvert besøk er. La θ være gjennomsnittlig tid mellom hvert besøk til tilstand 2. Da må θ P 2 θ P Forventet nettoinntekt r. måned blir P )P [ θ ] , Ogave 2 a) For i > k får vi at P{Z i Z > k} P{Z i, Z > k} P{Z > k} P{Z i} P{Z > k} q q) i q jk+ q q)j q) i q) k q) q) i q j0 q)k+j q q) i k P{Z i k}. b) Både ankomstrosessen og fordelingen for behandlingstidene er uten hukommelse. Dermed vil rosessen få markovegenskaen. Overgangssannsynlighetene blir P 00 P{ingen ankomst X n 0} P{ingen ankomst}, For i får vi P 0 P{en ankomst X n 0} P{en ankomst}, P i,i P{ingen ankomst, en ferdigbehandlet X n i} P{ingen ankomst}p{en ferdigbehandlet} )q, eksjun05l-st June, 2005 Side

4 P i,i+ P{en ankomst, ingen ferdigbehandlet X n 0} P{en ankomst}p{ingen ferdigbehandlet} q), ST20 Stokastisk modellering og P i,i P{ingen ankomst, ingen ferdigbehandlet) en ankomst, en ferdigbehandlet) X n i} P{ingen ankomst}p{ingen ferdigbehandlet} + P{en ankomst}p{en ferdigbehandlet} ) q) + q q + 2q. Siden maksimalt en kan ankomme om gangen og maksimalt en kan bli ferdigbehandlet om gangen blir alle øvrige overgangssannsynligheter lik null. c) For at X n skal ha en grensefordeling må gjennomsnittlig antall ersoner som ankommer r tidsenhet være mindre enn behandlingskaasiteten r tidsenhet. Vi har at Gjennomsnittlig antall ersoner som ankommer r tidsenhet, Gjennomsnittlig antall ersoner som kan behandles r tidsenhet q. Kravet blir dermed at < q. Kjeden X n har ositiv sannsynlighet kun for å gå en verdi o, for å gå en verdi ned og for å forbli uforandret. Dermed blir både antall overganger fra i til j og antall overganger fra j til i lik null dersom i j >. Dersom i j vil antall overganger fra i til j høyst avvike med en i forhold til antall overganger fra j til i, slik at gjennomsnittlig antall overganger fra i til j r tidsenhet må også i dette tilfellet bli lik gjennomsnittlig antall overganger fra j til i r tidsenhet. Dette er netto hva som kreves for at en markovkjede skal være tidsreversibel. d) Benytter at vi vet at kjeden er tidsreversibel, slik at grensefordelingen må ofylle π i P ij π j P ji for alle i og j. For i j er dette olagt ok. For i j > blir begge sider lik null og likheten er ofylt. For i 0, j får vi mens for i og j i + π 0 P 0 π P 0 π 0 π q ) π q ) π 0, π i P i,i+ π i+ P i+,i π i q) π i+ q ) π i+ q) q ) π i. eksjun05l-st June, 2005 Side 4

5 Dermed π i Bruker så at i0 π i og får ) q) i q ) q ) π 0 for i, 2,... π 0 [ + π 0 i + ) ] q) i q ) q ) q ) q) q ) ST20 Stokastisk modellering og ] π 0 [ + q ) q) [ π 0 + ] π 0 q q q q. Setter videre dette inn i uttrykket for π i, i over og får ) q) i q ) π i q ) q) q ) ) q) i ) q ) q q ) q e) L iπ i i0 ) q q iπ i i q) q ) q) q ) ) q) i i ) q ) q q i ) 2 q ) q. q ) q) q )) 2 q ) q ) 2 Littles formel gir videre L W W L q eksjun05l-st June, 2005 Side 5

6 ST20 Stokastisk modellering og og dermed W Q W E[S] q q q) qq ). f) Den generelle kostidentiteten er Gjennomsnittlig inntekt r tidsenhet λ a Gjennomsnittlig belø betalt av hver kunde. Med den foreslåtte betalingsregel får vi mens Gjennomsnittlig inntekt r tidsenhet V og λ a, Belø betalt av kunde SW Q + Dermed blir S S S x) SWQ + x SWQ + x Gjennomsnittlig belø betalt av hver kunde E[SWQ] + E[S )S] 2 x S )S. 2 E[S]W Q + 2 E[S 2 ] E[S] ) νw Q + 2 σ 2 + ν 2 ν ), og identiteten blir V νw Q + 2 σ 2 + ν 2 ν ). Følger så en tilfeldig erson gjennom køsystemet. Siden vår erson ankommer å et tilfeldig tidsunkt uavhengig av antall i kø blir forventet tid for vår erson i kø lik gjennomsnittlig arbeid i køsystemet. Dvs V W Q. Disse to ligningene sammen gir W Q σ 2 + ν 2 ν ). 2 ν) Merk: Hvis man sesielt antar at S er geometrisk fordelt med arameter q og dermed har at ν E[S] /q og σ 2 Var[S] q)/q 2 vil man selvfølgelig ende o med samme svaret som i unkt e). eksjun05l-st June, 2005 Side 6