Velkommen til studiet Forord Innledning... 16

Transkript

1 Innhold Velkommen til studiet Forord Innledning Kapittel 1 Tallenes hemmeligheter Olav Gravir Imenes 1.1 Innledning Regning med hele tall Etterfølgerprinsippet Velordningsprinsippet Lukkethet under operasjoner Divisjon Delelighet Minste felles multiplum og største felles faktor Euklids algoritme for å finne største felles faktor Kongruens Definisjon av kongruens Eksempler på kongruens Regning med rester Formelle bevis for regneregler i kongruensregning Delelighetsregler Feiloppdaging ved hjelp av kongruensregning Grupper Lineære kongruenslikninger Løsning med klokkemetoden Løsning med multiplikasjonstabell Nulldivisorer Løsning med diofantiske likninger... 94

2 6 INNHOLD 1.5 Heltallsløsninger av lineære likninger (diofantiske likninger) Å finne én løsning ved hjelp av Euklids algoritme Å finne alle løsninger Å finne positive løsninger Grafisk framstilling av løsninger Løsning av diofantiske likninger ved omforming til kongruenslikninger Tilfeller hvor den diofantiske likningen ikke har løsning Tallenes byggesteiner: Primtall Eratostenes såld Bruk av aritmetikkens fundamentalteorem til å skrive og multiplisere tall Bevis av aritmetikkens fundamentalteorem Å sjekke om et stort tall er et primtall Kryptografi Bokstavkoder Feiloppdagingskoder Diffie-Hellmann nøkkelutveksling Tallfølger Aritmetiske følger Geometriske følger Rekker Fibonacci-tallene Historisk eksempel: Kaninoppdrett I naturen Binets formel Litteratur Kapittel 2 Geometri Andrea Hofmann og Odd Tore Kaufmann 2.1 Innledning Historisk tilbakeblikk Geometri i LK06/13 og kort presentasjon av kapitlene Geometri i norsk skole Innledning Striden på 1800-tallet Læreplaner (fra 1890-årene til 2013) Romforståelse og bruk av konkreter i geometriundervisningen Innledning Geometrisk forståelse Romlig resonnering Utforskning av former og figurer Bruk av konkreter i geometriundervisningen

3 INNHOLD Euklidsk geometri og ikke-euklidsk geometri Euklid og hans aksiomsystem Euklids Elementer Euklids katetsetning og Euklids høydesetning Ikke-euklidsk geometri En liten oversikt over noen egenskaper i euklidsk og ikke-euklidsk geometri Geometriske steder og konstruksjoner Konstruksjoner med passer og linjal Geometriske steder Konstruksjoner av firkanter Konstruksjoner som er umulige kun med passer og linjal Utforskning og bevis i geometri Bevis i skolen Å finne eksempler versus å bevise Bevis av periferivinkelsetningen og Thales setning Egenskaper ved firkanter Utforskning av geometriske sammenhenger i GeoGebra Romlegemer Cavalieris prinsipp Polyedre Symmetri Symmetri i LK06/ Båndsymmetri Tapetsymmetri (flatesymmetri) Sammensetning av symmetrier Trigonometri Utforskning: Mot en definisjon av de trigonometriske funksjonene sinus, cosinus og tangens Definisjon av sinus, cosinus og tangens for spisse vinkler Sinus, cosinus og tangens til noen spesielle vinkler Sinus, cosinus og tangens for stumpe vinkler (og generelt for alle vinkler) Arealet til en trekant Sinussetningen og cosinussetningen Radianer

4 8 INNHOLD 2.10 Vektorer, kongruensavbildninger og symmetrier i koordinatsystem i planet Regning med vektorer Kongruensavbildninger i koordinatsystem Symmetrier i koordinatsystem En anvendelse av vektorregning: Å finne tyngdepunktet til en trekant Geometri i kunst og arkitektur Tesselering M.C. Escher Perspektivtegning Det gylne snitt Litteratur Kapittel 3 Funksjonslære Inger Christin Borge 3.1 Funksjoner og reelle tall Innledning Funksjon og definisjonsmengde Tallinja og intervaller Diverse funksjoner Begrepet grenseverdi abc-formelen Begrepet kontinuitet og de reelle tallene Fortegnsskjema og polynomdivisjon Funksjonsdrøfting definisjoner Derivasjon Gjennomsnittlig vekstfart Momentan vekstfart den deriverte Derivasjon Derivasjonsregler Den dobbeltderiverte Funksjonsdrøfting Maksimums- og minimumsproblemer

5 INNHOLD 9 Kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode Knut Ole Lysø 4.1 Stokastiske forsøk og stokastisk variabel Forventet verdi Varians og standardavvik Normalfordelingen Standard normalfordeling Generell normalfordeling Populasjon, utvalg og utvalgsfordelinger Ulike typer utvalg Hva vi skal skaffe informasjon om Utvalgsfordelingen til middelverdien og andeler Grensefordeling og sentralgrenseteoremet Utvalgsfordeling til andeler Estimering Punktestimator og punktestimat Intervallestimat/konfidensintervall for gjennomsnittet Intervallestimat/konfidensintervall for andelen p Intervallestimat/konfidensintervall for forskjell i andeler p 1 p Intervallestimat/konfidensintervall for forskjell i gjennomsnitt Hypoteseprøving Hypoteser om en binomisk p eller andelen p ¼ S=N innledende problemstillinger Hypoteser om et populasjonsgjennomsnitt Hypoteseprøving mellom to populasjoner Hypoteseprøving mellom to andeler p 1 og p Hypoteseprøving mellom to populasjonsgjennomsnitt 1 og Hypoteseprøving mellom to populasjonsgjennomsnitt i relaterte stikkprøver Lineære sammenhenger mellom variable Korrelasjon og korrelasjonskoeffisient Hypoteser om korrelasjonskoeffisienten i populasjonen Enkel regresjon Enkel regresjon utført i Excel Statistiske tabeller Litteratur

6 10 INNHOLD Kapittel 5 Kvalitative metoder i matematikkdidaktisk forskning Kristin Ran Choi Hinna 5.1 Innledning Hva er matematikkdidaktikk? Hva er forskning? Bacheloroppgaven Eksempler på bacheloroppgaver i matematikkdidaktikk Ulike tilnærminger til datainnsamling Observasjon Intervju Triangulering Dokumentanalyse Analyse, tolkning og fortolkning Validitet og reliabilitet Validitet Reliabilitet Etikk Bacheloroppgaven: Forberedelser og skriving Forberedelser Skrive en fagtekst Litteratur Kapittel 6 Undervisningskunnskap i matematikk for lærere på trinn Arne Jakobsen, Janne Fauskanger, Reidar Mosvold og Raymond Bjuland 6.1 Episoder fra klasserommet Undervisningskunnskap i matematikk UKM Ulike deler av UKM Avrunding Litteratur

7 INNHOLD 11 Kapittel 7 Aspekter av lærerens undervisningskunnskap i matematikk Bodil Kleve 7.1 De fire kategoriene i kvartetten en utdypning Foundation Transformation Connection Contingency Kunnskapskvartetten hvorfor og hvordan? Eksempler fra klasserommet Brøk på 5. trinn eksempel Brøk på 5. trinn eksempel Oppsummering Litteratur Kapittel 8 Internasjonale studier i matematikk design, relevans, resultater og trender Liv Sissel Grønmo 8.1 Internasjonale komparative undersøkelser i matematikk Kjennetegn på matematikk i norsk skole Utviklingen i matematikkprestasjoner i Norge fra 1995 til Tilbakegang og framgang på småskoletrinnet i nordiske land Tilbakegang og framgang på mellomtrinn og ungdomstrinn i nordiske land Tall og algebra i de nordiske landene Eksempler på oppgaver fra TIMSS og TEDS Norske elevers prestasjoner i aritmetikk på barnetrinnet Norske elevers prestasjoner i algebra på 8. trinn Norske lærerstudenters prestasjoner i tall og algebra Ulike trender i Norge og Sverige Oppsummering og diskusjon Litteratur

8 12 INNHOLD Kapittel 9 Vurdering Helga Kufaas Tellefsen 9.1 Hva er vurdering, og hvorfor skal vi vurdere? Kontroll eller tilrettelegging for læring? Nasjonale og internasjonale tester Internasjonale tester Nasjonale tester Hva forteller de? Vurdering for læring Matematisk kompetanse Undervisningskunnskap Vurdering for læring i klasserommet Undervisningssekvens Standpunktvurdering Litteratur Kapittel 10 Kartlegging og undervisning i dynamisk perspektiv Svein Aastrup og Ketil Johnsen 10.1 Innledning Dynamisk kartlegging Utgangspunkt for kartlegging Hva forteller tradisjonelle kartleggingsprøver, og hva trenger læreren å vite? Fange opp eleven som sliter i matematikk Å støtte eleven til mestring Den dynamiske kommunikasjonen Hvem kartlegger Første gang forberedelser Erfaringer fra dynamisk kartlegging Å lete etter elevens uformelle matematikkunnskaper I møte med eleven Gjennomføring av dynamisk kartlegging Ivar, 5. trinn Supplerende kartlegging Hva vi fant Dynamisk undervisning Planlegging av tiltak Tiltak rettet mot Ivar Oppgaveformer Struktur og prosess Samhandling og metakognisjon Betydningen av vurdering Oppsummering Litteratur

9 INNHOLD 13 Kapittel 11 Problemløsning i matematikk George H. Hitching og Hans Wilhelm Mørch 11.1 Innledning Oversikt over innhold Hva er problemløsning? Et relativt begrep Ikke bare én løsningsmetode Holdninger til matematikkfaget Utforskning Pólyas strategi for problemløsning Fire faser Eksempler på Pólyas strategi i praksis løste problemer Pólya om heuristikk Misoppfatninger rundt Pólyas strategi Pólya på grunnskolen Problemløsning og gruppearbeid Oppgaver til gruppearbeid Heterogene eller homogene grupper Ikke bare gruppearbeid Utfordringer Det skal være ekte problemløsning Å komme gjennom pensum Samarbeid med foresatte Faglig kunnskap Noen oppgaver Kilder med problemløsningsoppgaver Litteratur Kapittel 12 Utematematikk Dag Gulaker 12.1 Om matematikk ute Hva gjør vi? Aktiviteter Tema 1: Måling med 1-metertauet Måling Brøk og meter Metertauet og geometriske figurer Metertauet, areal og volum Tema 2: Matematikk i en sykkel Tema 3: Jakten på matematikkord Tema 4: Målestokk

10 14 INNHOLD 12.7 Tema 5: Tall og bevegelse Del A Del B «36-leken» Del C Kaste Tema 6: Måling av avstander og høyder Tema 7: Geometriske former Tema 8: Symmetri Tema 9: Vinkler ute Tema 10: Regn med vann, is og snø Tema 11: Kuler og stabling Tema 12: Skattejakt og matematikk Tema 13: «Tårnet i Hanoi» Tema 14: Statistikk ute Tema 15: Å regne i fjæra Tema 16: Den matematiske turen Tema 17: Sola, himmelretning og tid Litteratur Presentasjon av redaktører og forfattere Bildeliste Stikkord