Velkommen til studiet Forord Innledning... 14

Transkript

1 Innhold Velkommen til studiet Forord Innledning Kapittel 1 Kalkulus Inger Christin Borge 1.1 Funksjoner og reelle tall Innledning Funksjon og definisjonsmengde Tallinja og intervaller Diverse funksjoner Begrepet grenseverdi Begrepet kontinuitet og de reelle tallene Fortegnsskjema og polynomdivisjon Funksjonsdrøfting definisjoner Derivasjon Gjennomsnittlig vekstfart Momentan vekstfart den deriverte Derivasjon Derivasjonsregler Den dobbeltderiverte Funksjonsdrøfting Maksimums- og minimumsproblemer Integrasjon Areal under en graf det bestemte integralet Integrasjon og antiderivasjon Antiderivasjon det ubestemte integralet Substitusjon og delvis integrasjon Areal til et område Volum til et omdreiningslegeme Overflate til et omdreiningslegeme

2 6 INNHOLD 1.4 Eksponentialfunksjoner og differensiallikninger Logaritmer og eksponenter Eksponential- og logaritmefunksjoner Derivasjon og integrasjon av eksponential- og logaritmefunksjoner Differensiallikninger Første ordens lineære differensiallikninger Separable differensiallikninger Modellering anvendelser Kapittel 2 Tallenes hemmeligheter Olav Gravir Imenes 2.1 Innledning Regning med hele tall Velordningsprinsippet Lukkethet under operasjoner Divisjon Delelighet Minste felles multiplum og største felles faktor Euklids algoritme for å finne største felles faktor Kongruens Definisjon av kongruens Eksempler på kongruens Regning med rester Formelle bevis for regneregler i kongruensregning Delelighetsregler Feiloppdaging ved hjelp av kongruensregning Lineære kongruenslikninger Løsning med klokkemetoden Løsning med multiplikasjonstabell Nulldivisorer Løsning med diofantiske likninger Heltallsløsninger av lineære likninger Løsning av diofantiske likninger Pytagoreiske tripler Tallenes byggesteiner: Primtall Eratostenes såld Bruk av aritmetikkens fundamentalteorem til å skrive og multiplisere tall Bevis av aritmetikkens fundamentalsetning Kryptografi Bokstavkoder Feiloppdagingskoder Koder med offentlig nøkkel

3 INNHOLD Fibonacci-tallene Historisk eksempel: Kaninoppdrett Det gylne snitt I naturen Binets formel Eksponentiell vekst av kaniner Litteratur Kapittel 3 Geometri Nils Henry Rasmussen 3.1 Vektorregning Innledning Definisjoner Regneregler for vektorer Metriske egenskaper til vektorer i planet Flere anvendelser av skalarproduktet Projeksjoner Bevis av setninger i geometrien med vektorregning Avbildninger i planet og symmetrier Innledning Avbildninger i planet Sammensetninger av kongruensavbildninger Odde og like avbildninger Bevis av teoremet Symmetrier Grupper Avbildninger som ikke er kongruensavbildninger, og matriser Litteratur Kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode Knut Ole Lysø 4.1 Stokastiske forsøk og stokastisk variabel Forventet verdi Varians og standardavvik Normalfordelingen Standard normalfordeling Generell normalfordeling Populasjon, utvalg og utvalgsfordelinger Ulike typer utvalg Hva vi skal skaffe informasjon om Utvalgsfordelingen til middelverdien og andeler Grensefordeling og sentralgrenseteoremet Utvalgsfordeling til andeler

4 8 INNHOLD 4.4 Estimering Punktestimator og punktestimat Intervallestimat/konfidensintervall for gjennomsnittet Intervallestimat/konfidensintervall for andelen p Intervallestimat/konfidensintervall for forskjell i andeler p 1 p Intervallestimat/konfidensintervall for forskjell i gjennomsnitt Hypoteseprøving Hypoteser om en binomisk p eller andelen p ¼ S=N innledende problemstillinger Hypoteser om et populasjonsgjennomsnitt Hypoteseprøving mellom to populasjoner Hypoteseprøving mellom to andeler p 1 og p Hypoteseprøving mellom to populasjonsgjennomsnitt 1 og Hypoteseprøving mellom to populasjonsgjennomsnitt i relaterte stikkprøver Lineære sammenhenger mellom variable Korrelasjon og korrelasjonskoeffisient Hypoteser om korrelasjonskoeffisienten i populasjonen Enkel regresjon Hypoteseprøving i modellen enkel regresjon Statistiske tabeller Litteratur Kapittel 5 Kvalitative metoder i matematikkdidaktisk forskning Kristin Ran Choi Hinna 5.1 Innledning Hva er matematikkdidaktikk? Hva er forskning? Bacheloroppgaven Eksempler på bacheloroppgaver i matematikkdidaktikk Ulike tilnærminger til datainnsamling Observasjon Intervju Triangulering Dokumentanalyse Analyse, tolkning og fortolkning Validitet og reliabilitet Validitet Reliabilitet Etikk

5 INNHOLD Bacheloroppgaven: Forberedelser og skriving Forberedelser Skrive en fagtekst Litteratur Kapittel 6 Undervisningskunnskap i matematikk for lærere på trinn Arne Jakobsen, Janne Fauskanger, Reidar Mosvold og Raymond Bjuland 6.1 Innledning Undervisningskunnskap i matematikk UKM Ulike deler av UKM Avrunding Litteratur Kapittel 7 Kunnskapskvartetten i matematikk Bodil Kleve 7.1 De fire kategoriene i kvartetten en utdypning Foundation Transformation Connection Contingency Kunnskapskvartetten hvorfor og hvordan? Eksempler fra klasserommet Brøk i 5. klasse eksempel Brøk i 5. klasse eksempel Sammenhengen i matematikktimen (connection) Geometri på ungdomstrinnet Oppsummering Litteratur Kapittel 8 Internasjonale studier i matematikk design, relevans, resultater og trender Liv Sissel Grønmo 8.1 Internasjonale komparative undersøkelser i matematikk Kjennetegn på matematikk i norsk skole Utviklingen i matematikkprestasjoner i Norge fra 1995 til Tilbakegang og framgang på ungdomstrinnet i nordiske land Algebra i Norge, Sverige og Finland Eksempler på oppgaver fra TIMSS Norske elevers prestasjoner i aritmetikk på barnetrinnet Norske elevers prestasjoner i algebra på ungdomstrinnet

6 10 INNHOLD 8.5 Norske elevers prestasjoner i matematikk i slutten av videregående skole Norske lærerstudenters prestasjoner i algebra Ulike trender i Norge og Sverige Oppsummering Litteratur Kapittel 9 Vurdering Helga Kufaas Tellefsen 9.1 Kontroll eller tilrettelegging for læring? Nasjonale og internasjonale tester Internasjonale tester Nasjonale tester Hva forteller de? Vurdering for læring Matematisk kompetanse Undervisningskunnskap Vurdering for læring i klasserommet Undervisningssekvens Standpunktvurdering Litteratur Kapittel 10 Kartlegging og undervisning i dynamisk perspektiv Svein Aastrup og Ketil Johnsen 10.1 Innledning Dynamisk kartlegging Utgangspunkt for kartlegging Hva forteller tradisjonelle kartleggingsprøver, og hva trenger læreren å vite? Fange opp eleven som sliter i matematikk Å støtte eleven til mestring Den dynamiske kommunikasjonen Hvem kartlegger Første gang forberedelser Erfaringer fra dynamisk kartlegging Å lete etter elevens uformelle matematikkunnskaper I møte med eleven Gjennomføring av dynamisk kartlegging Jonas, 7. trinn Supplerende kartlegging Hva vi fant

7 INNHOLD Dynamisk undervisning Planlegging av tiltak Tiltak rettet mot Jonas Oppgaveformer Struktur og prosess Samhandling og metakognisjon Betydningen av vurdering Oppsummering Litteratur Kapittel 11 Problemløsning i matematikk George H. Hitching og Hans Wilhelm Mørch 11.1 Innledning Oversikt over innhold Hva er problemløsning? Et relativt begrep Ikke bare én løsningsmetode Holdninger til matematikkfaget Utforskning Pólyas strategi for problemløsning Fire faser Eksempler på Pólyas strategi i praksis løste problemer Pólya om heuristikk Misoppfatninger rundt Pólyas strategi Pólya på grunnskolen Problemløsning og gruppearbeid Oppgaver til gruppearbeid Heterogene eller homogene grupper Ikke bare gruppearbeid Utfordringer Det skal være ekte problemløsning Å komme gjennom pensum Faglig kunnskap Problemløsningsoppgaver Kilder med problemløsningsoppgaver Litteratur

8 12 INNHOLD Kapittel 12 Utematematikk Dag Gulaker 12.1 Om matematikk ute Hva gjør vi? Aktiviteter Eksempler på tema som kan knyttes til utematematikk Nedbør og måling av nedbør Vann, vannforbruk og vann som ressurs Besøk et kraftverk Aktiviteter med vann Måling av avstander og høyder Hvor mange liter er et tre? Geometriske former Symmetri Puls Mål og spiss vinkel Regn med avfallet vårt Synslengde, siktlinje og høyde Lengde- og breddegrader, GPS Strikk og funksjoner Rasvinkel Trafikk Fangst/gjenfangst Lyd, trafikkstøy og måling Den matematiske turen Sola, himmelretning og tid Litteratur Presentasjon av redaktører og forfattere Bildeliste Stikkord