Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Egenværdi Egenvektor Egenrum Hvordan findes egenværdier Hvordan beregnes egenvektorerne Angivelse af egenrum Calculus 2-2005 Uge 44. -
Vektorer skaleres Definition Lad A være en n n-matrix. En n-søjlevektor u kaldes en egenvektor for A, hvis for en skalar λ R. Au = λu Calculus 2-2005 Uge 44. - 2
Vektorer skaleres Definition Lad A være en n n-matrix. En n-søjlevektor u kaldes en egenvektor for A, hvis for en skalar λ R. Au = λu Hvis u 0 kaldes λ en egenværdi for A og u er en egentlig egenvektor. Calculus 2-2005 Uge 44. - 2
Vektorer skaleres Definition Lad A være en n n-matrix. En n-søjlevektor u kaldes en egenvektor for A, hvis for en skalar λ R. Au = λu Hvis u 0 kaldes λ en egenværdi for A og u er en egentlig egenvektor. Nulvektoren er altid en egenvektor. Calculus 2-2005 Uge 44. - 2
Vektorer skaleres Au = λu u For en egenvektor gælder Au span(u) Calculus 2-2005 Uge 44. - 3
Mange egenvektorer Eksempel Identitetsmatricen I n opfylder for alle vektorer u. I n u = u Calculus 2-2005 Uge 44. - 4
Mange egenvektorer Eksempel Identitetsmatricen I n opfylder for alle vektorer u. I n u = u Altså er alle vektorer egenvektorer og tallet er eneste egenværdi. Calculus 2-2005 Uge 44. - 4
Mange egenvektorer Eksempel Nulmatricen 0 n opfylder 0 n u = 0 for alle vektorer u. Calculus 2-2005 Uge 44. - 5
Mange egenvektorer Eksempel Nulmatricen 0 n opfylder 0 n u = 0 for alle vektorer u. Altså er alle vektorer egenvektorer og tallet 0 er eneste egenværdi. Calculus 2-2005 Uge 44. - 5
Gættet eksempel Eksempel Matricen A = ( ) 0 0 3 har egentlige egenvektorer ( ) u = e = 0 med tilhørende egenværdier,u 2 = e 2 = ( ) 0 λ =,λ 2 = 3 Calculus 2-2005 Uge 44. - 6
Gættet eksempel Eksempel - fortsat Dette følger af udregningerne ( ) ( ) 0 = 0 3 0 ( ) 0 = ( ) ( ) 0 Au = λ u ( 0 0 3 ) ( ) 0 = ( ) 0 3 = 3 ( ) 0 Au 2 = λ 2 u 2 Calculus 2-2005 Uge 44. - 7
Gættet eksempel Eksempel - fortsat - figur y Au 2 = 3u 2 u 2 Au = u u x Calculus 2-2005 Uge 44. - 8
Note eksempel Eksempel Af udregningen ( ) ( ) 3 3 3 2 4 = ( ) 6 2 = 2 ( ) 3 ( ) 3 3 fås, at matricen A = har en egentlig egenvektor 2 4 ( ) 3 u = med egenværdi λ = 2. Calculus 2-2005 Uge 44. - 9
Note eksempel Eksempel - fortsat - figur y Au = 2u u = ( 3,) x Calculus 2-2005 Uge 44. - 0
Ligninger og egenværdi Bemærkning Lad A være en n n-matrix. Et tal λ er en egenværdi, hvis ligningssystemet a x +... + a n x n = λx a 2 x +... + a 2n x n = λx 2. a n x +... + a nn x n = λx n har ikke-nul (egentlige) løsninger. Calculus 2-2005 Uge 44. -
Matrixligning og egenværdi Bemærkning - fortsat Lad A være en n n-matrix. Et tal λ er en egenværdi, hvis ligningssystemet Ax = λx har ikke-nul (egentlige) løsninger x R n. Calculus 2-2005 Uge 44. - 2
Matrixligning og egenværdi Bemærkning - fortsat Lad A være en n n-matrix. Et tal λ er en egenværdi, hvis ligningssystemet Ax = λx har ikke-nul (egentlige) løsninger x R n. Dette kan skrives (A λi n )x = 0 og er dermed et homogent lineært ligningssystem med koefficientmatrix A λi n Calculus 2-2005 Uge 44. - 2
Determinant og egenværdi Sætning 4 Lad A vœre en n n-matrix. Et tal λ er en egenvœrdi, hvis og kun hvis determinanten A λi n = 0 Calculus 2-2005 Uge 44. - 3
Determinant og egenværdi Sætning 4 Lad A vœre en n n-matrix. Et tal λ er en egenvœrdi, hvis og kun hvis determinanten A λi n = 0 Bemærkning n-te grads polynomiet ovenfor kaldes det karakteristiske polynomium for matricen A. Egenværdierne er altså netop rødderne i det karakteristiske polynomium. Calculus 2-2005 Uge 44. - 3
Karakteristisk polynomium Definition - skematisk Det karakteristiske polynomium af en n n-matrix A er n-te grads polynomiet a λ a 2 a n a 2 a 22 λ a 2n...... a n a n2 a nn λ = ( ) n λ n + + A = A λi n Calculus 2-2005 Uge 44. - 4
Karakteristisk polynomium Eksempel Det karakteristiske polynomium af en 2 2-matrix A er andengrads polynomiet a λ a 2 a 2 a 22 λ = (a λ)(a 22 λ) a 2 a 2 = λ 2 (a + a 22 )λ + (a a 22 a 2 a 2 ) Calculus 2-2005 Uge 44. - 5
Trekantsmatrix Eksempel Udregningen a λ a 2 a n 0 a 22 λ a 2n...... 0 0 a nn λ = (a λ)(a 22 λ) (a nn λ) viser at egenværdierne i en trekantsmatrix netop udgøres af diagonal indgangene. Calculus 2-2005 Uge 44. - 6
Egengenrum Sætning 5 Lad A vœre en n n-matrix og λ en egenvœrdi. Så er mœngden af egenvektorer for A et lineœrt underrum af R n. Calculus 2-2005 Uge 44. - 7
Egengenrum Sætning 5 Lad A vœre en n n-matrix og λ en egenvœrdi. Så er mœngden af egenvektorer for A et lineœrt underrum af R n. Dette kaldes egenrummet hørende til λ og betegnes E λ Calculus 2-2005 Uge 44. - 7
Egengenrum Sætning 5 Lad A vœre en n n-matrix og λ en egenvœrdi. Så er mœngden af egenvektorer for A et lineœrt underrum af R n. Dette kaldes egenrummet hørende til λ og betegnes E λ Bevis Egenrummet er løsningsrummet for det homogene ligningssystem med koefficientmatrix A λi n. Calculus 2-2005 Uge 44. - 7
Andengradsligning Eksempel 2 Fra andengradspolynomiet 3 λ 3 2 4 λ = (3 λ)( 4 λ) 3 ( 2) = λ2 + λ 6 fås, at matricen A = ( ) 3 3 2 4 har de to rødder som egenværdier. λ = 3, λ 2 = 2 Calculus 2-2005 Uge 44. - 8
Beregn egenrum Eksempel 2 - fortsat For λ = 3 beregnes egenrummet som løsningsrum for det homogene ligningssystem med matrix ( ) 3 λ 3 2 4 λ = ( ) 6 3 2 ( ) 2 0 0 Calculus 2-2005 Uge 44. - 9
Beregn egenrum Eksempel 2 - fortsat For λ = 3 beregnes egenrummet som løsningsrum for det homogene ligningssystem med matrix ( ) 3 λ 3 2 4 λ x 2 = ( ) 6 3 2 Heraf fås egenvektorerne ( ) ( ) ( x = x 2 2 = x 2 2 x 2 hvor x 2 vælges frit. ) ( ) 2 0 0 Calculus 2-2005 Uge 44. - 9
Beregn egenrum Eksempel 2 - fortsat For λ 2 = 2 beregnes egenrummet som løsningsrum for det homogene ligningssystem med matrix ( ) 3 λ 2 3 2 4 λ 2 = ( ) 3 2 6 ( ) 3 0 0 Calculus 2-2005 Uge 44. - 20
Beregn egenrum Eksempel 2 - fortsat For λ 2 = 2 beregnes egenrummet som løsningsrum for det homogene ligningssystem med matrix ( ) 3 λ 2 3 2 4 λ 2 = ( ) 3 2 6 Heraf fås egenvektorerne ( ) ( ) ( ) x 3x 2 3 = = x 2 x 2 x 2 hvor x 2 vælges frit. ( ) 3 0 0 Calculus 2-2005 Uge 44. - 20
Egenrum Eksempel 2 - fortsat Matricen A = ( ) 3 3 2 4 har egenværdier og egenrum E 3 = span{ λ = 3, λ 2 = 2 ( 2 ) ( ) 3 }, E 2 = span{ } Calculus 2-2005 Uge 44. - 2
Egenrum underrum Eksempel 2 - fortsat - figur y E 3 E 2 ( 3,) (.5,) x Calculus 2-2005 Uge 44. - 22
Tredjegradsligning Eksempel 3 ( λ) λ 0 0 λ = 2 λ λ λ 0 0 2 λ + 0 λ 2 har tre rødder = λ 3 + 3λ 2 2λ λ = 0,, 2 Calculus 2-2005 Uge 44. - 23
Egenværdier Eksempel 3 - fortsat 3 3-matricen A = 0 0 2 har karakteristisk polynomium A λi 3 = λ 3 + 3λ 2 2λ og egenværdier λ = 0, λ 2 =, λ 3 = 2 Calculus 2-2005 Uge 44. - 24
Egenvektorer Eksempel 3, 4 For λ = 0 er koefficientmatricen 0 A = 0 2 0 0 0 0 0 Calculus 2-2005 Uge 44. - 25
Egenvektorer Eksempel 3, 4 For λ = 0 er koefficientmatricen 0 A = 0 2 0 0 0 0 0 Egenvektorerne er da løsninger til det reducerede ligningssystem hvor x 3 er en fri variabel. x + x 3 = 0 x 2 + x 3 = 0 Calculus 2-2005 Uge 44. - 25
Egenvektorer Eksempel 3, 4 - fortsat Dette giver x = x 3 x 2 = x 3 Calculus 2-2005 Uge 44. - 26
Egenvektorer Eksempel 3, 4 - fortsat Dette giver Heraf fås egenvektorerne hvor x 3 vælges frit. x x 2 x 3 = x = x 3 x 2 = x 3 x 3 x 3 = x 3 x 3 Calculus 2-2005 Uge 44. - 26
Egenvektorer Eksempel 3, 4 - fortsat For λ 2 = er koefficientmatricen 0 0 A I = 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 Calculus 2-2005 Uge 44. - 27
Egenvektorer Eksempel 3, 4 - fortsat For λ 2 = er koefficientmatricen 0 0 A I = 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 Egenvektorerne er da løsninger til det reducerede ligningssystem hvor x 2 er en fri variabel. x 2 x 2 = 0 x 3 = 0 Calculus 2-2005 Uge 44. - 27
Egenvektorer Eksempel 3, 4 - fortsat Dette giver x = 2 x 2 x 3 = 0 Calculus 2-2005 Uge 44. - 28
Egenvektorer Eksempel 3, 4 - fortsat Dette giver x = 2 x 2 x 3 = 0 Heraf fås egenvektorerne hvor x 2 vælges frit. x x 2 x 3 = 2 x 2 x 2 0 = x 2 2 0 Calculus 2-2005 Uge 44. - 28
Egenvektorer Eksempel 3, 4 - fortsat For λ 3 = 2 er koefficientmatricen 0 A 2I = 0 2 0 0 0 0 0 Calculus 2-2005 Uge 44. - 29
Egenvektorer Eksempel 3, 4 - fortsat For λ 3 = 2 er koefficientmatricen 0 A 2I = 0 2 0 0 0 0 0 Heraf fås egenvektorerne hvor x 3 vælges frit. x x 2 x 3 = x 3 x 3 x 3 = x 3 Calculus 2-2005 Uge 44. - 29
Egenrum Eksempel 3, 4 - fortsat A = 0 0 2 har egenværdier λ = 0, λ 2 =, λ 3 = 2 og egenrum 2 E 0 = span{ }, E = span{ }, E 2 = span{ } 0 Calculus 2-2005 Uge 44. - 30
Egenvektorer Eksempel 3, 4 - figur (,,) z x (,,) (0.5,,0) y Egenvektorer Calculus 2-2005 Uge 44. - 3
Tredjegradsligning Eksempel 7 λ 0 0 0 λ 0 λ = ( λ) λ λ har en rod og en dobbelt rod = ( λ) 2 ( + λ) λ =, Calculus 2-2005 Uge 44. - 32
Egenværdier Eksempel 7 - fortsat 3 3-matricen A = 0 0 0 0 0 0 har karakteristisk polynomium A λi 3 = ( λ) 2 ( + λ) og egenværdier λ =, λ 2 = λ 2 siges at have multiplicitet 2. Calculus 2-2005 Uge 44. - 33
Egenvektorer Eksempel 7 - fortsat For λ = er koefficientmatricen 2 0 0 A + I = 0 0 0 0 0 0 0 0 Calculus 2-2005 Uge 44. - 34
Egenvektorer Eksempel 7 - fortsat For λ = er koefficientmatricen 2 0 0 A + I = 0 0 0 0 0 0 0 0 Heraf fås egenvektorerne hvor x 3 vælges frit. x x 2 x 3 = 0 x 3 = x 3 x 3 0 Calculus 2-2005 Uge 44. - 34
Egenvektorer Eksempel 7 - fortsat For λ 2 = er koefficientmatricen 0 0 0 A I = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Calculus 2-2005 Uge 44. - 35
Egenvektorer Eksempel 7 - fortsat For λ 2 = er koefficientmatricen 0 0 0 A I = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Egenvektorerne er da løsninger til det reducerede ligningssystem hvor x,x 3 er en frie variable. x 2 x 3 = 0 Calculus 2-2005 Uge 44. - 35
Egenvektorer Eksempel 7 - fortsat Dette giver x 2 = x 3 Calculus 2-2005 Uge 44. - 36
Egenvektorer Eksempel 7 - fortsat Dette giver x 2 = x 3 Heraf fås egenvektorerne x x 2 x 3 = hvor x,x 3 vælges frit. x x 3 x 3 = x 0 + x 3 0 0 Calculus 2-2005 Uge 44. - 36
Egenvektorer Eksempel 7 - figur (0,,) z (0,,) x (,0,0) Egenvektorer y Calculus 2-2005 Uge 44. - 37
Egenvektorer Eksempel 7 - fortsat For λ = er egenrummet 0 E = span{ } Calculus 2-2005 Uge 44. - 38
Egenvektorer Eksempel 7 - fortsat For λ = er egenrummet 0 E = span{ } For λ 2 = er egenrummet E = span{ 0, 0 0 } Calculus 2-2005 Uge 44. - 38