7. Funksjoner av to variable Df FIGUR 7. FIGUR 7. FIGUR 7. Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 7
FIGUR 7. FIGUR 7.5 FIGUR 7.6 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 7
7. Grafisk fremstilling av funksjoner av to variable variable P(,, FIGUR 7.7A (,, (,, (,, P(,, (,, (,, (,, FIGUR 7.7B Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 7
(,, (,, (,, (,, (,, (,, (,, (,, (,, (,, (,, (,, FIGUR 7.8 P(,, FIGUR 7.9 (, FIGUR 7.9 FIGUR 7. Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 7
7. Nivåkurver 7. Nivåkurver Det kan fort bli Det komplisert kan fort bli å komplisert tegne grafen å tegne til grafen funksjonen til funksjonen = f(, = f(, i et koordinatsstem som i et cappelendamm.no koordinatsstem vi nettopp som har vi nettopp beskrevet. har beskrevet. Bare se på Bare funksjonen se på funksjonen 7. nivåkurver 7 f (, = f7. (, = Nivåkurver Det som kan vi har fort tegnet bli komplisert ved hjelp å tegne av et grafen spesialprogram til funksjonen for matematikk = f(, i et på koordinatsstem (Mathematica. ved hjelp som vi av nettopp spesialprogram har beskrevet. Bare for se matematikk på funksjonen på PC PC som vi har tegnet (Mathematica. Nivåkurver f (, = Det kan fort bli komplisert å tegne grafen til funksjonen = f(, i et koordinatsstem som vi som har vi tegnet nettopp ved har hjelp beskrevet. av et spesialprogram Bare se på funksjonen for matematikk på PC (Mathematica. f, 7. FIGUR 7. ( = FIGUR 7. = f, Vi skal se på en annen metode som kan brukes til å illustrere flater i det tredimensjonale rommet. Den bgger på det samme prinsippet som du finner Kapittel 7 funksjoner av flere variable Nivåkurven FIGUR 7. i høde på et kart. c over Der tegnes (eller under det kurver -planet gjennom kan punkter da skrives med samme som høde over Vi skal se på en annen metode som kan brukes til å illustrere flater i det tredimensjonale f (, havet. Kurvene kalles koter eller nivåkurver. Under ser du et kart over Trsil, = c Vi hvor rommet. skal kotene se på Den en viser annen bgger at det metode er på det topper. som samme kan Til høre prinsippet har vi tegnet som du en finner brukes til å illustrere flater tilsvarende i det tredimensjonale matematisk tegnes det funksjon, kurver rommet. mellom på et = kart. f FIGUR 7. (, Der Dette er skjæringskurven gjennom også Den grafen med bgger to punkter til topper, på f det og samme det eller med horisontale maksimum. samme prinsippet høde som planet du over finner i havet. Kurvene på kalles et kart. koter Der tegnes eller nivåkurver. det gjennom Under punkter ser du et med kart samme over høden Nivåkurven = i c. høde c over (eller under -planet kan da skrives som Trsil, høde over hvor kotene Vi skal viser havet. på at Kurvene det annen er kalles metode topper. koter som eller Til kan høre nivåkurver. brukes har til å Under vi illustrere tegnet ser du flater en et tilsvarende kart i det over tre-trsildimensjonale f (, matematisk = c funksjon, hvor kotene rommet. også viser med Den at det bgger to topper, på topper. det eller samme Til maksimum. høre prinsippet har vi tegnet som du en finner tilsvarende KSEMPEL Vi har gitt -.5 på funksjonen Dette er skjæringskurven et kart. matematisk Der tegnes mellom funksjon, det kurver grafen også gjennom med til f og to topper, det punkter horisontale eller med maksimum. samme planet høde i over høden f, = c. -.5 havet. Kurvene kalles koter eller nivåkurver. Under ser du et kart over - -Trsil, -.5 - - hvor kotene viser at det er to topper. Til høre - -.5 -.5 har vi tegnet en tilsvarende -.5 matematisk funksjon, også med to topper, eller maksimum. -.5.5 -.5 -.5 - - - - -.5 -.5 - - -.5.5 -.5 -.5 Grafen er en + kjegle med bunnpunkt = i origo + og med akse i -aksen. = Vi finner skjæringskurven FIGUR 7. i høden.5 = Dette FIGUR er 7.en sirkel med sentrum i origo og radius. Vi bruker altså prinsippet med koter når - - + = + = -.5 vi skal tegne flater i rommet, representert ved funksjonen -.5 -.5 Dette er en sirkel med sentrum i origo og radius. FIGUR 7. FIGUR 7. Vi bruker altså prinsippet med koter når vi skal tegne flater i rommet, representert prinsippet ved funksjonen Vi bruker altså med koter når vi skal tegne flater i rommet, representert 7. ved funksjonen FIGUR Vi bruker altså prinsippet med koter når vi skal tegne flater i rommet, representert ved funksjonen 7. nivåkurver 7 Kapittel 7 funksjoner som av flere vi har variable tegnet ved hjelp av et spesialprogram for matematikk på PC (Mathematica. EKSEMPEL ( ( = + Grafen Vi har gitt er funksjonen kjegle med bunnpunkt i origo og med akse i -aksen. Vi finner f (, skjæringskurven = + i høden = FIGUR 7.A FIGUR 7.A FIGUR 7.B FIGUR 7.B 7 7 7 7 EKSEMPEL Vi skal tegne noen noen nivåkurver til funksjonen til funksjonen Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 7 5 = ff(,, = + ( = +
FIGUR 7.B (,, Planet = FIGUR 7.A (,, FIGUR 7.B Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 7 6
Kapittel 7 funksjoner av flere variable Grafen kalles et eksponensialhorn og ser slik ut: FIGUR 7.5 7. nivåkurver FIGUR 7.5 PGAVE 7. Ta utgangspunkt i eksempel over og skisser nivåkurvene som svarer til OPPGAVE =, 7. =, Ta = utgangspunkt og =. i eksempel over og skisser nivåkurvene 7. nivåkurver som svarer 7. til nivåkurver =, =, = og =. PPGAVE 7. Gitt funksjonen f (, = + 7. nivåkurver OPPGAVE 7. Gitt funksjonen f (, = + Skisser nivåkurvene som svarer til =, = og = Skisser nivåkurvene som svarer til =, = og = I økonomien vil man i flere sammenhenger støte på den såkalte Cobb- I økonomien vil man i flere sammenhenger støte på den såkalte Cobb- Douglas-funksjonen, som generelt kan være en funksjon Douglas-funksjonen, som generelt kan være en funksjon av n variable. av n variable. FIGUR 7.6 f (,,, n =C a a an f (,,, n =C a n a an n Her er C, a, a Her Definisjonsområdet, a er n C, vil konstanter. a være, a, a n > konstanter. og >. FIGUR 7.6 EKSEMPEL Vi KSEMPEL FIGUR vil tegne Vi skal 7.6 nivåkurver Vi Definisjonsområdet skal se på til en f Cobb-Douglas-funksjon (,. vil være > og > i. to variable se på en Cobb-Douglas-funksjon i to variable 8 f (, = Definisjonsområdet f (,,5,5, > og >. vil være > og >. For = = Vi,,5 5 vil,5 tegne,5, = nivåkurver til f (,. 6 Definisjonsområdet > og vil >. være > og >. = 8 For Grafen ( =,5 vil = se Vi ut, som vil 5 tegne,5 vist = = i figur nivåkurver 7.6. til f (,. 8 6Grafen = vil se ut Vi som vil tegne vist nivåkurver i figur 7.6. til f (,. 6 (,5 = For, 5,5 = For = =, 5 = = =,5 = = = = = (,5 = (,5 = = = = Dette blir = altså en hperbel i. kvadrant, slik figur 7.7 viser. = = = = Nivåkurvene FIGUR 7.7 Dette blir altså en hperbel i. kvadrant, slik figur 7.7 viser. Nivåkurvene som FIGUR svarer 7.7 til = og =, er også tegnet inn i figuren. som svarer til = og =, er også tegnet inn i figuren. Dette blir altså Dette en hperbel blir altså i. en kvadrant, hperbel slik i figur. kvadrant, 7.7 viser. slik Nivåkurvene FIGUR 7.7 figur 7.7 viser. 7 7 PGAVE 7. Tegn nivåkurvene Nivåkurvene OPPGAVE 7.FIGUR som Tegn 7.7som svarer til =, = og = 9 for funksjonen svarer nivåkurvene til = og som = svarer, er også til tegnet =, inn = i figuren. og = 9 for funksjonen = f, = f (, = ( som svarer til = og =, er også tegnet inn i figuren. = FIGUR 7.6 ( = ( OPPGAVE 7. Tegn nivåkurvene som svarer til =, = og = 9 for funksjonen PGAVE 7. OPPGAVE f, OPPGAVE 7. ( = Tegn f = ( 7., f noen (, = = nivåkurver Tegn ( noen nivåkurvene nivåkurver for både positive som for både svarer og positive negative til og = negative -verdier., = -verdier. og = 9 for funksjonen = f (, = ( OPPGAVE OPPGAVE 7. 7. Gitt f (, funksjonen = Tegn f noen (, nivåkurver = ln +ln for PGAVE 7. Gitt funksjonen f (, = ln +ln både positive og negative -verdier. Matematikk OPPGAVE a for 7. Angi økonomi funksjonens f (, og samfunnsfag definisjonsområde. = Tegn noen 9. nivåkurver utgave kapittel for både 7 positive og negative -verdier. 7 OPPGAVE a Angi 7.funksjonens Gitt funksjonen definisjonsområde. b Forklar at funksjonen f (, = kan ln skrives +ln 7
7. Partiell derivasjon = f(, P (,, Stigning f (, FIGUR 7.8A Stigning f P (,, = ƒ(, (, FIGUR 7.8B Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 7 8
7.5 Partiell derivasjon av. orden = Q P = = = R = FIGUR 7.9 7.7 Implisitte funksjoner La oss friske opp litt på kunnskapen om implisitte funksjoner fra kapittel 5 5 5 FIGUR 7. Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 7 9
5 (, 5 5 5 FIGUR 7. 7.8 maksimum og minimum for funksjoner av flere variable 7 KSEMPEL 6 7.8 Maksimum og minimum for funksjoner av flere variable Finn de stasjonære punktene til funksjonen Maksimum og mi flere variable Kapittel f(, 7 = funksjoner 6 7.8 + av maksimum flere + definert variable og minimum for alle for funksjoner og. av flere variable 7 fʹ = EKSEMPEL fʹ = 6 Finn de stasjonære punktene til funksjonen FIGUR 7. PGAVE 7. PGAVE 7. FIGUR 7. KSEMPEL Vi finner de stasjonære f(, = punktene 6 + ved + å definert løse likningene for alle og. f ʹ = fʹ = og f ʹ = 6 = ( = og 6 = fʹ = 6 = Vi finner = de stasjonære og punktene = ved å løse likningene f ʹ = = og f ʹ = 6 = Her må begge de deriverte være null samtidig, slik at de stasjonære punktene ( = og 6 = blir FIGUR 7. = = og = Gitt (, funksjonen og (, f(, = ln( + + definert for alle og OPPGAVE 7. Gitt Her må funksjonen begge de f(, deriverte = ln( være a Forklar at f(, for alle (,. + null + samtidig, definert slik for at alle de stasjonære og punktene blir b Hva blir funksjonens a Forklar at minimum? f(, for alle (,. (, og (, b Hva blir funksjonens minimum? c Har funksjonen noe maksimum? c Har funksjonen noe maksimum? a Fullfør uttrkkene slik at de blir fullstendige kvadrater OPPGAVE 7. a Fullfør uttrkkene slik at de blir fullstendige kvadrater 6 6 b Gitt funksjonen b Gitt f(, funksjonen = + f(, = + 6 + 5 6 + 5 Bruk resultatet Bruk fra resultatet (a, og vis fra at (a, funksjonen og vis at funksjonen har et minimumspunkt. har et minimumspunkt. Finn Finn dette FIGUR og 7. den tilsvarende dette og den funksjonsverdien. tilsvarende funksjonsverdien. Flaten til f(, sett fra siden og litt over -planet Når vi skal finne ekstrempunkter, er det viktig å bli kjent med begrepet Når vi skal finne ekstrempunkter, er det viktig å bli kjent med begrepet stasjonære Flaten til f(, punkter. sett fra siden og litt over -planet Matematikk stasjonære punkter. I eksempel, side for økonomi fant vi og profittfunksjonen samfunnsfag 9. ved utgave produksjon kapittel og 7 salg av EKSEMPEL to jakketper A I eksempel og B., side fant vi profittfunksjonen ved produksjon og salg av Stasjonært punkt 7 7
(,. (,... (, FIGUR 7. (,, (,, 77 7 (,, (,, (,, 7 (,, 5 FIGUR 7.5 FIGUR 7.6 FIGUR 7.6 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 7
Lokale ekstremalpunkter Dersom (, er et punkt som gjør at f(, er den 7.9 FIGUR 7.7 FIGUR 7.7 FIGUR 7.8 FIGUR 7.9 7. Klassifisering av stasjonære punkter 7. maksimering/minimering under bibetingelser 5 Anta at vi har en funksjon f(, som har kontinuerlige førs 5 5 5 FIGUR 7. 5 PGAVE 7.8 FIGUR 7. Finn de stasjonære punktene til funksjonen, og klassifiser dem. OPPGAVE 7.8 a f(, = Finn de stasjonære + + punktene til funksjonen, og klassifiser dem. Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 7 b f(, = ea f(, = + + b f(, = e
7. Maksimering/minimering under bibetingelser = f(, Maksimum med bibetegnelsen g(, = c = = = FIGUR 7. 6 FIGUR 7. 5 6 π (, 9 5 77 FIGUR 7. h'( = 8 6 75 h( FIGUR 7. Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 7
= + + = FIGUR 7.5 (, =, + = =, =,6 FIGUR 7.6 OPPSUMMERENDE OPPGAVER TIL KAPITTEL 7 Finn definisjonsområdet til f, og finn funksjonsverdiene h FIGUR 7.7 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 7