ÅMA110 asylighetsregig med statistikk våre 011 Kp. 5 Estimerig 1 Estimerig. Målemodelle. Ihold: 1. (ukt)estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (ukt)estimerig i målemodelle (kp. 5.3) 4. Estimere estimat estimator 5. Itervallestimerig (kofidesitervall) (kp. 5.4) i målemodell med a) ormalatakelse og kjet varias eller med b) ormaltilærmig i biomisk modell med ormaltilærmig
Kofidesitervall iledig Eks.: Vi har gjort =10 måliger (x 1 x... x ) av ph i Breiavatet; 6.00 5.59 5.74 3.43 5.30 6.48 5.15 4.8 4.5 6.0 Gjeomsitt: 5.7 Vi bruker 5.7 som estimat av virkelig ph. Vi skal å se hvorda vi ka estimere et itervall som vi ka ha tillit til at dekker virkelig ph. 5.7 3 Kofidesitervall iledig Kofidesitervall er e meget god måte å rapportere resultater på. puktestimatet i midte (i de fleste typer kofidesitervall) bredde på itervallet forteller om grad av statistisk usikkerhet 4
Kofidesitervall oversikt 1. Mer om hva kofidesitervall er. Kofidesitervall i ulike situasjoer: i. for forvetige i målemodelle med ormalatakelse og kjet varias. ii. for forvetige i målemodelle med stor og ormaltilærmig. iii. for suksessasylighete p i biomisk modell med stor og ormaltilærmig. (Kofidesitervall for forvetige i målemodelle med ormalatakelse og ukjet varias: etter at vi har gjeomgått t-fordelig!) 5 Kofidesitervall mer om Eks.: ph i Breiavatet. Dersom vi bruker målemodelle med ormalatakelse og kjet varias så er formele for et 95% kofidesitervall for forvetige: x x 6
Kofidesitervall iledig Eks.: ph i Breiavatet. målemodelle: x 1 x... x utfall av 1... u.i.f. tilf. var. ormalatakelse: i ee er ormalfordelte kjet varias: Var( i ) er et kjet tall 1 i dette tilfellet (ikke valig situasjo i praksis). Utreget 95% kofidesitervall: x 5.7 4.65 5.89 1 10 x 5.7 1 10 7 Kofidesitervall iledig Eks.: ph i Breiavatet. 6.00 5.59 5.74 3.43 5.30 6.48 5.15 4.8 4.5 6.0 Gjeomsitt: 5.7 Et 95% kofidesitervall for virkelig ph er (uder de agitte forutsetigee): ( 4.65 5.89 ) 300 400 500 600 700 Vi ka ha tillit til at dette itervallet dekker virkelig ph. 8
Kofidesitervall iledig Hvorfor skal Vi ka ha tillit til at itervallet ( 4.65 5.89 ) dekker virkelig ph? Hvor kommer tallet fra? Hvorfor er formele som de er? Hvorfor 95%? Forklariger følger! 9 Kofidesitervall iledig Bytt ut målegjeomsittet x x 1 x 10 med 10 1 tilhørede gjeomsitt av tilf.var.: 1 10. De tilfeldige variabele represeter utfall vi kue ha fått av målegjeomsitt (med samme forvetig og varias). 1 10 Da: Med L ka vi vise at : og U L U 0.95 10
Kofidesitervall iledig Obs.1: L og U er tilfeldig variabel-versjoe av slik vi bereget edre- og øvregrese i 95%- itervallet. 0.95 Obs.: Forvetige er et fast (me ukjet) tall. L U Obs.3: Dersom vi hadde gjort mage gager 10 måliger av ph (vi ka forestille oss det) ville 95% av slike itervall dekke virkelig ph (forvetige)!! Obs.4: Tallet heger samme med 95%. (Dette skal vi forklare ærmere!) 11 Kofidesitervall iledig Tekte kofidesitervall fra tekte sett av måliger: 0604-Kofidesitervall-pH-måliger.xls 300 400 500 600 700 1
Kofidesitervall iledig Begruelse for: 196. L 196. U 0.95 (om viser at itervallet (L U) er et 95% kofidesitervall for.) 13 Kofidesitervall iledig Vi Alle og har i måliger : 'ee er varias. x x 1 uavhegige ; utfall av ormalfordelte tilf. med var.: 1 forvetig Vi skal vise at : L U 0.95 14
15 Kofidesitervall iledig - - som : samme de er begivehete : at Merk 0.95 : at vise skal Vi U L - - N(01) ~ - OG : ormalfordelige) til egeskaper og mormala takelse l (målemodel 16 Kofidesitervall iledig - - - Z 0.95 : at vise skal Vi U L - Z La - - -01 00 01 0 03 04 05-40 -0 00 0 40 0.95 0.05 0.975 - Z Z N(01) ~ Z
Kofidesitervall iledig Vi har altså at : L U 0.95 17 Kofidesitervall iledig Vi har at : L U 0.95 Hva om vi hadde brukt et aet tall e?? 18
Kofidesitervall kvatiler Tallet har.5% sasylighet til høyre for seg i N(01)-fordelige. Vi kaller dette for.5%-kvatile i N(01)- fordelige (eller 0.05-kvatile); skriver 0.05. - kvatile i N(01) skriver vi : som har for seg i og er - fordelige det tallet sasylighet til N( 0 1) - fordelige. høyre N(01) 05 04 03 0 01 00-40 -30-0 -10 00 10 0 30 40 19 Kofidesitervall kvatiler Tallet har sasylighet til for seg i N( 0 1) - fordelige. høyre Tallet - har sasylighet til vestre for seg i N( 0 1) - fordelige (symmetri). Derfor : - Z 1- - 1- Z~ N( 0 1 ) 0
1 Kofidesitervall Tabell med oe verdier for : (ka også fies fra N(01)-tabelle ca....) 0.1 0.05 0.05 0.01 1.8 1.645 0.36 Kofidesitervall iledig om gir at: - - - - N - Z - 1 : har vi (01) ~ og 1 : ide. for kofidesitervall 100% ) (1- et er x x x x : 95% itervallet
Kofidesitervall 1. Mer om hva kofidesitervall er. Kofidesitervall i ulike situasjoer: i. for forvetige i målemodelle med ormalatakelse og kjet varias. ii. for forvetige i målemodelle med stor og ormaltilærmig. iii. for suksessasylighete p i biomisk modell med stor og ormaltilærmig. 3 Kofidesitervall Kofidesitervall for forvetige i målemodelle med ormalatakelse og kjet varias; (1 ) 100% kofidesitervall: x x 4
Kofidesitervall Eks. blodsukkerivå: Data: 4.8 3.8 4.4 5. 3.6 5.1 4.5 3.7 4.1 4.3 Gjeomsitt er 4.35; rikkdiagram: 30 35 40 45 50 55 Lag et 90% kofidesitervall for virkelig blodsukkerivå. 5 Kofidesitervall Eks. blodsukkerivå: målemodelle: x 1 x... x utfall av 1... =10 u.i.f. tilf. var. ormalatakelse: i ee er ormalfordelte kjet varias: Var( i ) er et kjet tall 0.5 i dette tilfellet (ikke valig situasjo i praksis). Forvetige til i ee er E( i ) represeterer virkelig blodsukkerivå. Et (1-) 100% kofidesitervall forvetige er gitt ved : for x x 6
Kofidesitervall Eks. blodsukkerivå: x 4. 35; Var(i ) 0. 5 (atatt kjet) 0.1 0.05 0.05 0.01 1.8 1.645 0.36 Et 90% itervall (1-) 0.9 0.05 og Z0.05 1.645 Et 90% kofidesitervall for forvetige er gitt ved : x 1.645 4.35 1.645 0.5 10 x 1.645 4.35 1.645 0.5 10 30 35 40 45 50 55 (4.09 4.61) 7 Kofidesitervall Eks. blodsukkerivå: x 4. 35; Var(i ) 0. 5 (atatt kjet) 0.1 0.05 0.05 0.01 1.8 1.645 0.36 Blir et 95%-itervall breiere eller smalere? Hva betyr evetuelt det? 30 35 40 45 50 55 8
Kofidesitervall 1. Mer om hva kofidesitervall er. Kofidesitervall i ulike situasjoer: i. for forvetige i målemodelle med ormalatakelse og kjet varias. ii. for forvetige i målemodelle med stor og ormaltilærmig. iii. for suksessasylighete p i biomisk modell med stor og ormaltilærmig. 9 Kofidesitervall Valigvis er det urealistisk at variase er kjet. Det ka også være urealistisk med ormalatakelse. Dersom er stor ka vi lage kofidesitervall for forvetige i målemodelle ute ormalatakelse og ute kjet varias. 30
Kofidesitervall etralgreseteoremet (repetisjo): Gjeomsittet av 1... er tilærmet ormalfordelt år er stor. ~ N tilærmet; eller (stadardisert) : - ~ N 01 tilærmet. 31 Kofidesitervall De fortsatt ukjete estimatore : og ka erstattes resultatet med gjelder - ~ N 01 tilær met ˆ 1 1 i i1 3
33 Kofidesitervall målemodell ormaltilærmig Da får vi: Kofidesitervall for forvetige i målemodelle med ormaltilærmig og ukjet varias; tilærmet kofidesitervall: x x 100% ) (1 34 Kofidesitervall målemodell med ormaltilærmig; begruelse om gir at: - - 1 : har vi tilærm et (01) ~ : ide - N. for kofidesitervall 100% ) (1- et tilærmet er x x
Kofidesitervall Eks.: Nedbørsmegde på ola i marsmåeder. Data fra åree 1957... 1998; =4. Gjeomsitt: 75.6; estimert varias: 460. (utfall av ) Tilærmet 95% kofidesitervall for forvetet marsedbør på ola: x 75.6 x 460. 4 75.6 0 50 100 150 00 50 460. 4 (60.6 90.6 ) 35 Kofidesitervall 1. Mer om hva kofidesitervall er. Kofidesitervall i ulike situasjoer: i. for forvetige i målemodelle med ormalatakelse og kjet varias. ii. for forvetige i målemodelle med stor og ormaltilærmig. iii. for suksessasylighete p i biomisk modell med stor og ormaltilærmig. 36
Kofidesitervall p i biomisk modell I situasjoe der ormaltilærmig ka brukes Dvs.: stor og p(1-p) ikke midre e 10 (*). Fra før: ~B(p); tilærmig til N( p p(1-p)) ka brukes dersom (*). Estimator for p : pˆ vil også være tilærmet ormalfordelt. 37 Kofidesitervall p i biomisk modell Vi får da: 1) pˆ p p(1 p) ~ N(01) tilærmet Og ) pˆ p pˆ(1 pˆ) ~ N(01) tilærm et 38
Kofidesitervall p i biomisk modell Vi øsker å fie et itervall med (tilfeldige) greser (L U) som er slik at: L p U 1-39 Kofidesitervall p i biomisk modell Begruelse ide : har vi : pˆ p pˆ(1 pˆ) - om gir at: ~ N(01) pˆ p pˆ(1 pˆ) tilærm et 1 pˆ(1 pˆ) pˆ L pˆ pˆ(1 pˆ) pˆ - p pˆ(1 pˆ) pˆ(1 pˆ) pˆ U p pˆ - pˆ(1 pˆ) er et tilær met (1-) 100% kofidesi tervall for p. 40
Kofidesitervall p i biomisk modell Eks.: Meigsmålig A får 34.5% oppslutig i e meigsmålig. 110 ble spurt (386 sa de ville stemme A). Lag et tilærmet 90% kofidesitervall for virkelig A-oppslutig. 41 Kofidesitervall p i biomisk modell Eks.: Meigsmålig A får 34.5% oppslutig i e meigsmålig. 110 ble spurt (386 sa de ville stemme A). La =at. som vil stemme A blat =110 spurte. Vi ka bruke at ~B(110 p) (Egetlig er hypergeom.) p represeterer virkelig adel som vil stemme A Estimat av p: 0.345 4
Kofidesitervall p i biomisk modell Eks.: Meigsmålig A får 34.5% oppslutig i e meigsmålig. 110 ble spurt (386 sa de ville stemme A). Estimat av p: 0.345; Tilærmet 90% kofidesitervall for p: ˆ pˆ(1 pˆ) pˆ(1 pˆ) p ˆ p 0.345(1 0.345) 0.345 1.645 110 0.345 1.645 0.345(1 0.345) 110 0.3 0.368 43 Kofidesitervall oppsummerig Målemodell ormalatakelse varias kjet Målemodell stor (ormaltilærmig) Biomisk modell (ormaltilærmig) 44
Kofidesitervall Eksempel: RV144 hase III HIV Vaccie Trial ress Release RV144 ress Release (pdf) RV144 FAQs (pdf) Vaccie Trial Fact heet (pdf) HIV Vaccie tudy First to how ome Effectiveess i revetig HIV 4 eptember 009 (Rockville MD UA) A hase III cliical trial ivolvig more tha 16000 adult voluteers i Thailad has demostrated that a ivestigatioal HIV vaccie regime was safe ad modestly effective i prevetig HIV ifectio. Accordig to fial results released by the trial sposor the U.. Army urgeo Geeral the prime boost combiatio of ALVAC HIV ad AIDVA BE lowered the rate of HIV ifectio by 31.% compared with placebo... 45 Kofidesitervall Fact sheet: 1640 oifected voluteers (1830 years old) at average risk of HIV ifectio; half received the primeboost combiatio of vaccieshalf received a placebo. Vacciatios eded i July 006 ad voluteers received a HIV test every sixmoths for threeyears. tudy voluteers received couselig o how to prevet becomig ifected with HIV at the begiig of the study ad every six moths after the start of the trial for a total of three ad a half years. Before agreeig to participate all voluteers were iformed of ad coseted to the potetial risks associated with receivig the experimetal vaccie combiatio. Voluteers who acquired HIV ifectio durig the trial were give free access to HIV care ad treatmet ad were offered followup i a separate study. 46
Kofidesitervall Fact sheet: 1640 oifected voluteers (1830 years old) at average risk of HIV ifectio; half received the primeboost combiatio of vaccieshalf received a placebo. 801 persoer får vaksie 801 persoer får placebo (kotrollgruppe) ormal smittet totalt estimat vaksie 8150 51 801 51801 = 0.006 placebo 817 74 801 74801 = 0.0090 47 Kofidesitervall ormal smittet totalt estimat vaksie 8150 51 801 51801 = 0.006 placebo 817 74 801 74801 = 0.0090 lowered the rate of HIV ifectio by 31.% compared with placebo. 0.0090 0.006 0.0090 Hva med statistisk usikkerhet? 0.311. Dvs.:31% 48
Kofidesitervall ormal smittet totalt estimat vaksie 8150 51 801 51801 = 0.006 placebo 817 74 801 74801 = 0.0090 49