Bølgeoptikk Trygve Bærland og Geir Amund Svan Hasle 22. november 2011 Sammendrag Dette eksperimentet vil ta for seg lys som bølger. Youngs eksperiment, Braggdiffraksjon, optiske fenomener og transmisjon vil undersøkes ved hjelp av mikrobølger. Resultatene viser god overenstemmelse med forventet og praktisk utfall og vil primært presenteres kvalitativt og dels ved hjelp tabeller. Innledning Isacc Newton gjorde i sin tid mange eksperimenter innen optikk. Han hadde forkastet lysbølge-teorien og fremsatt en egen teori hvor han mente at lys besto av små, fysiske, glødende legemer (corpuscular theory of light). På 1600- og 1700-tallet ble det av mange fremtredende vitenskapsmenn, der i blant Leonhard Euler og Robert Hooke, fremsatt teorier om at lys kunne beskrives som bølger basert på eksperimentelle observasjoner. I 1799 presenterte Thomas Young en vitenskapelig artikkel hvor han mente at lys også kunne beskrives som bølger. Dette vekket mye harme blant Newtons tillhengere og Young møtte sterk motstand. I 1803 gjennomførte han det som nå er kjent som Youngs dobbeltspalte-eksperiment hvor han beviste interferensprisippet for lys. Det var allikevel ikke før i 1817 at lysbølge-teorien virkelig kk fotfeste og Newtons partikkelteori ble forkastet (frem til starten av 1900-tallet hvor det igjen ble aktuelt med fotoelektrisk eekt). Youngs dobbeltspalte-eksperiment og dannelse av interferensmønster er en av ere kjente eksperimenter og fenomener som vil undersøkes nærmere i dette forsøket. Teori Når en elektromagnetisk bølge forplanter seg gjennom et medium vil E-feltet i et punkt ha en tidsvariasjon i en retning. Denne retningen kalles bølgens polarisasjon. Når stråling inneholder alle mulige polarisasjonsretninger betegnes det som upolarisert stråling. Superposisjon av to lineærpolariserte elektromagnetiske bølger E 1 ( r, t) = E 0 1 cos( k 1 r ωt + ɛ 1 ) E 2 ( r, t) = E 0 2 cos( k 2 r ωt + ɛ 2 ) som propagerer gjennom et homogent medium er gitt ved E ( r, t) = E1 ( r, t)+ E 2 ( r, t) Vanligvis vil stråling være upolarisert. For å ensrette strålingens polsarisasjon brukes en polarisator. Polarisatoren i dette eksperimentet er et gitter der spaltene har fri elektroner. Når det kommer inn stråling med polarisasjonsretning parallellt med disse spaltene (eller en komponent i denne retningen) vil denne strålingen gå til å akselerere 1
elektronene og vi får destruktiv intereferens. Strålingen som kommer gjennom polarisatoren har kun polarisasjonsretning normalt på spaltene. Intensiteten til en bølge som propagerer gjennom et homogent medium er I = ɛv E 2 (1) der klammene er notajson for tidsmidling. Den totale intensiteten vil da variere med forskjell i veilengde mellom de to EM-bølgene. Hvis bølgene er i fase, vil vi få konstruktiv interferens når denne forskjellen er (r 2 r 1 ) = 1 k 2πm = λm, med m = 0, ±1, ±2,... I Youngs eksperiment vil vinkelen mellom spalteåpningen og de linjene som gir konstruktiv interferens beskrives med uttrykket d sin θ m = mλ (2) hvor d er avstanden mellom spaltene og m = 0, 1, 2.., mens for Braggdiraksjon får vi 2d sin θ n = nλ (3) hvor d er avstanden mellom to punkter i et kubisk gitter og n = 0, 1, 2.. Inntrengningsdybden, δ, til stråling i et materiale er gitt ved δ = 2 ωσµ (4) hvor σ er ledningsevnen til materialet og µ er den magnetiske permeabiliteten. Brytningsindeksen, n, mellom to materialer er gitt ved ɛn ɛr ɛ 0 n = = = ɛ r (5) ɛ 0 ɛ 0 Snells lov gir sammenhengen mellom brytningsvinklene for en elektromagnetisk bølge og er gitt ved n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 (6) hvor n 1 og n 2 er brytningsindeksen til de respektive materialene og θ 1 og θ 2 er vinklene gitt i forhold til grenseatens normallinje. 2
Figur 1: Viser prinsippet bak Youngs dobbeltspalte-eksperiment. Her er d avstanden mellom spaltene. Figur 2: Viser prinsippet bak Braggdiraksjon i et simulert gitter av isopor og metallkuler i avstand d = 4.0cm. 3
Metode og apparatur Dette eksperimentet består av en rekke mindre forsøk. Oppstillingen av mikrobølgesenderen, mottakeren og tilbehøret som benyttes vises i gur (3). Mikrobølgesenderen genererer en lineærpolarisert mikrobølge med en frekvens på 10.525GHz og en utgangseekt på 10mW. Alt tilbehøret som ble benyttet under eksperimentet er levert av Pasco. Mottakeren skal være følsom kun for mikrobølger polarisert i en bestemt retning. Dette etterprøves ved å plassere sender og mottaker i en avstand på cirka 60 cm og måle relativ intensitet som funksjon av helningsvinkel mens mottakeren tiltes sidelengs. Polarisasjonsretningen etterprøves ved å bruke polarisasjonsgitteret. Polarisasjonsgitteret kan plasseres i to retninger i forhold til polarisasjonsretningen til mikrobølgene, parallelt og normalt. Parallell posisjonering vil føre til en utslokkning av intensiteten, noe som gjør dette til en enkel metode for å bestemme polarisasjonsretningen til mikrobølgene. Intensiteten vil avta proporsjonalt med avstanden R 2. Dette kontrolleres ved å plassere sender og mottaker i en passende avstand og justere intensitets-skalaen på mottakeren til en initialverdi på I = 1.0, for deretter å måle den relative intensiteten som funksjon av avstanden R. Stråleintensiteten måles også som funksjon av vinkelen θ. Dette gjøres ved å stille inn intensitets-skalaen på I = 1.0 ved θ = 0 for så å rotere mottakeren i horisontalplanet og lese av intensiteten for forskjellige verdier av vinkelen helt til utslaget blir 0. Inntrengningsdybden for en bølge i et gitt materiale er mulig å nne ved uttrykket i likning (4). Resultatet etterprøves ved å plassere den 1/100 mm tykke aluminiumsplaten mellom sender og mottaker og lese av hvilken eekt dette har på intensitetsutslaget. Transmisjonseekten sjekkes også ved å plassere plastikkblokken og metallplaten hver for seg mellom sender og mottaker og lese av intensiteten. Reeksjonsloven sier at innfallsvinkelen θ 1 vil være lik reeksjonsvinkelen θ 2 målt i forhold til normallinjen på reeksjonsaten. Dette etterprøves ved et oppsett vist i gur(4). Her bestemmes innfallsvinkelen θ 1 og reeksjonsvinkelen θ 2 nnes der det gis størst utslag på intensitets-skalaen. Når to lineærpolariserte og motsatt rettede bølger med samme frekvens møtes i rommet, vil det dannes en stående bølgen med noder i avstand R = nλ 2 hvor n = 0, 1, 2... Denne sammenhengen kan brukes til å nne mikrobølgens bølgelengde, λ. Dette gjøres ved å plassere sender og mottaker nærme hverandre, stille inn intensitetsutslaget på I = 1.0 for deretter å øke den relative avstanden mellom sender og mottaker. Antall noder, samt startverdi og sluttverdi for posisjonen noteres. Ved å gjøre dette for tilstrekkelig antall noder, cirka 11-12, vil det være mulig å nne en relativt nøyaktig numerisk verdi for bølgelengden ved uttrykket λ = 2R n. Ved hjelp av ethafoam-prismet som fylles med polystyren er det mulig å måle refraksjonsvinkelen til mikrobølgen. Oppsettet for denne delen av eksperimentet vises ved gur(5). Først plasseres det tomme ethafoam-prismet på det roterende for å kontrollere innvirkningen selve ethafoamen har på den målteintensiteten. Når dette er gjort fylles prismet med styren-kulene og stilles opp som vist i gur(5). Refraksjonsvinkelen θ 3 nnes nå ved å rotere mottakeren og notere vinkelen som gir størst utslag på intensitets-skalaen. Når en elektromagnetisk bølge sendes gjennom en spalteåpning, vil den interferere med seg selv og skape et interferensmønster med linjer som gir utslokkning og maksimering av bølgenes amplitude. Linjene som gir konstruktiv interferens(maksimering) beskrives med likning (2). Dette er mulig å etterprøve ved å sette opp en spalteåpning av tre metallplater mellom sender og mottaker. Avstanden mellom sender og mottaker justeres slik at intensitetsutslaget er maksimalt og initialverdien til intensiteten settes på I = 1.0. Mottakeren roteres så i horisontalplanet og vinkelen ved nye maksimum noteres. Ved å plassere det simulerte gitteret på det roterende bordet og måle reeksjonsvinkelen til mikrobølgen som oppstår som følge av Braggdiraksjon, vil det hjelp av likning(3) være mulig å nne gitterkonstanten d som er avstanden mellom metallkule- 4
ne i det simulerte gitteret. Dette resultatet kan etterprøves ved å fysisk måle avstanden d mellom to metallkuler i gitteret. Prinsippet vises i gur(2). 5
Figur 3: Viser apparturoppstillingen og tilbehøret som ble brukt under forsøkene. (1) Mikrobølgesender av typen Pasco Scientic 003-04319, 230V/9V DC 200mA. (2) Mottaker type Pasco Scientic 003-4313, 2x9V alkaliske batterier. (3) roterende bord. (4) Metallplate. (5) 1/100mm tykk aluminiumsplate. (6) Metallisk polarisasjonsgitter. (7) Dobbeltspalte av metallplater. (8) Simulert krystall. (9) 20 70 90 -pisme av ethafoam fyllt med polystyrenkuler. (10) Plastikkblokk. Figur 4: Viser reeksjonen til den innfallende mikrobølgen på metallplate. Her er θ 1 reeksjonsvinkelen og θ 2 innfallsvinkelen. 6
Figur 5: Viser refraksjon i et 20 70 90 -pisme av ethafoam fylt med polystyrenkuler. Resultater Med antakelsen at bevegelsesmengden er bevart vil bølgeintensiteten avta med en rate på 1 R 2. Figur (6) viser målt intensitet relativt intensiteten ved R = 0.5m som punkter og linjen er den kvadratiske tilnærmingen. I tabell (1) står målt intensitet ved forskjellige vinkler θ i forhold til strålen rett ut av mikrobølgesenderen. Tabell (2) viser reeksjonsvinkelen ved gitte innfallsvinkler. Fra likning (4) får man at inntrengningsdybden til aluminium er δ = 7.4813 10 7 m og tykkelsen til aluminiumsfolien i dette eksperimentet var av størrelsesorden 10 5 m. Dermed skulle man ikke forvente noen transmisjon av mikrobølger gjennom aluminiumsfolien, og det ble heller ikke detektert noe intensitet bak aluminiumsfolien. Ved metallplaten ble det heller ikke detektert noen transmisjon, som indikerer at inntregningsdybden til metallet er mindre enn tykkelsen på nevnte plate (omtrent 1mm). For plastblokken ble det målt en forsterking i intensitet, som kan forklares om en ser på det som et prisme der strålene konsentreres mot midten (som en linse). Ved måling av noder i den stående bølgen ble avstanden mellom 11 noder (tilsvarende 5 bølgelengder) målt til R 11 R 1 = 14.1cm som gir en bølgelengde λ = 2.82cm. Beregnet blir bølgelengden λ = c f = 2.85cm. Målinger viste at ethafoamen alene gjorde liten innvirkning på målt intensiteten, og en kan dermed gjøre antakelsen at denne ikke vil gi mye feil i resten av målingene. Vinkelen θ 3 (fra gur (5)) ble målt til θ 3 = 34. Mot den beregnede fra Snells lov og likning (5) θ 3 = 33.2. Under Youngs dobbeltspalteeksperiment ble det målt intensitetsmaksima ved vinklene θ 1 = 27 og θ 2 = 55, med større usikkerhet på θ 2. De beregnede vinkelverdiene fra likning (2) for n = 1 og n = 2 er θ 1 = 22.3 og θ 2 = 49.5. Ved eksperimentdelen med Braggdiraksjon ble intensitetmaksima målt ved vinklene θ 1 = 23 og θ 2 = 45.5 (se gur (3)), også her med større usikkerhet på θ 2. For å beregne en gitterkonstant d fra disse resultatene brukes likning (3) med θ 1 og n = 1, som gir d = 0.0361m. 7
Figur 6: Figuren viser relativ intensitet som funksjon av avstanden, R. Tabell 1: Målt intensitet for ulike retninger i eksperiment 1. Vinkel Relativ intensitet I I 0-30 0-20 0.02-10 0.58 0 1 10 0.82 20 0.27 30 0.02 40 0 8
Tabell 2: Innfalls- og reeksjonsvinkler Innfallsvinkel Reeksjonsvinkel 40 36 60 58 70 65 80 77 Diskusjon Første eksperimentdel gikk kun ut på å bekrefte ensrettingen av polarisasjonen til mikrobølgene. Det at det var maksimum intensitet ved 0 og ingen intensitet ved 90 er en sterk indikasjon på at polarisasjon er ensrettet (kun polarisert én retning). Videre skulle sammenhengen mellom målt intensitet og avstand til strålingskilde undersøkes. Nærmere bestemt undersøkes det om intensiteten avtar med kvadratet av avstanden. Av gur (6) ser man at det er noenlunde overensstemmelse mellom målingen og den kvadratiske tilnærmingen. Feilen som er der kan forklares som forstyrrelser i form av reekterte bølge i området rundt måleapparatene. Så om ikke sammenhengen 1 I = K R blir bekreftet, så underbygges den av disse målingene. 2 Likning (4) prøver å beskrive hvor langt inn i et materiale stråling kan transmittere. For aluminium får man en inntrengningsdybde mindre enn tykkelsen på aluminiumsfolien i denne eksperimentdelen. Det skulle dermed ikke bli målt noen transmisjon gjennom folien, noe det heller ikke ble, og det eneste som kan sluttes av det er at likningen holder mål i dette tilfellet. For metallplaten ble det heller ikke detektert noen transmisjon, noe som indikerer at inntrengningsdybden til metallet er mindre enn platen (1mm i denne eksperimentdelen). For plastblokken ble intensiteten forsterket. Eneste som kan sies om inntrengningsdybden er at den må være høyere enn for de andre stoene undersøkt her. Men for å forklare hvorfor det blir forsterknig må man se på geometrien til plastblokken, og bruke Snells lov. Da vil perifere bølger brytes mot midten av strålen, som gir en økt intensitet i dette området av strålen, og det er denne som måles. Slik at likning (4) ikke er tilstrekkelig i dette tilfellet. Resultatene fra eksperimentdelen om reeksjonsloven kan sees i tabell (2). Her ser man at reeksjonsvinkelen systematisk er målt til noe lavere enn innfallsvinkelen. Denne feilen kan komme av at mottakeren detekterer stråling som ikke er blitt reektert, ettersom bølgesenderen sender bølger i ere retninger enn rett fram (se gjerne gur (4) for bedre forståelse). Den målte bølgelengden, ved å måle avstanden mellom noder i en stående bølge, er i god overensstemmelse med bølgelengden forventet av c = f λ. Dette indikerer at om denne sammenhengen er faktisk blir måling av avstand mellom noder en veldig eektiv og nøyaktig metode å bestemme bølgelengden (og dermed frekvensen) til stråling. Verdt å merke seg er at nøyaktigheten i måling blir bedre hvis målingen skjer over ere noder (slik som i denne eksperimentdelen ble det målt over 11 noder). Også i eksperimentdelen med refraksjon var det overensstemmelse mellom teori og praksis. Den lille feilen som er der kan forklares med oppløsning til måleutstyret og unøyaktighet i bestemmelse av intensitetsmaksimum. De antakelsene som ble gjort: Å se bort fra ethafoamen i målingene og se på samlingen av styrenperler som et homogent legeme, kan dermed sies å ha vært holdbare. Legemet kan sees på som homogent ettersom gjennomsnittlig avstand mellom perlene er mye mindre enn bølgelengden til strålingen som ble sendt gjennom dem. I Youngs dobbeltspalte-eksperiment ble det noe større feil mellom målt og beregnet verdi for vinklene til intensitetsmaksima. Uttrykket som ble brukt for å beregne disse vinkelverdiene forutsatte en plan bølgefront inn mot spaltene, og at mottakeren var 9
langt unna spaltene. Den første forutsetning er ikke overholdt om bølgesenderen sto for nære spalteåpningene, noe den i dette tilfellet også gjorde. Dette er også tilfelle for den andre forutsetningen da bølgemottakeren sto for nære spalteåpningen. Dermed kan disse være skyld i at teorien ikke holdt mål. Som observert i andre eksperimentdel spredde strålingen til mottakeren seg kun i et begrenset vinkelområde. Den andre vinkelen beregnet fra likning (2) for intensitetsmaksimum ligger i grenseland for dette vinkelområde og kan dermed ha vært vanskelig å nne. Dette kan ha ført til feil i målingen. Braggdiraksjonen lider litt av det samme som Youngs dobbeltspalte-eksperiment. Også her kan bølgesender og mottaker ha stått for nære hverandre og dermed gitt feil i målingen i teorien i forhold til eksperimentet. Videre gikk også denne eksperimentdelen ut på diraksjon framfor interferens. Skillet går ved at diraksjon består av superposisjonen til mange bølger. Det er dermed nærtilliggende å anta en del støy, som gjorde intensitetsmaksima vanskeligere å nne enn ved forrige eksperimentdel. Konklusjon Første eksperimentdel var kvalitativ og resultatene stemte med hva en skulle forvente fra teorien. I andre eksperimentdel ble avstandsavhengigheten til intensiteten undersøkt med forholdsvis gode resultater. Feilen kan forklares med at strålingskilden ikke er et punktlegeme slik teorien antok. Eksperimentdelen om inntregningsdybde var også kvalitativ. Også her var resultat og teori i overensstemmelse. Videre ble reeksjonsloven undersøkt med en systematisk feil forklart i diskusjonsdelen. Også I Youngs dobbeltspalteeksperiment ble det feil i resultatene i forhold til teorien. Denne feilen kan stamme fra antakelser gjort i teoridelen som ikke ble overholdt i eksperimentdelen. I Braggdiraksjonen ble gitterkonstanten målt til å være forskjellig fra den beregnede lengden. Med hjemmel i forrige eksperimentdels forklaring kan feilen her også forklares. Med tanke på at feilen i alle tilfeller kan forklares, og resulatene er i samme område som beregnet verdi, kan resultatene sies å underbygge teorien. En kort oppsummering tilsier at det å beskrive lys og lysfenomener med bølger er en meget god tilnærming i mange tilfeller. Der eksperimentene viser større avvik er det grunn til å tro at det rammene rundt selve eksperimentet som setter begrensninger for nøyaktigheten av utfallet. 10