j 4 j n 1 x/2 1/2 exp x

Transkript

1 Skisse til løysing for øvingar i kapitel 9 Øvingar som ikkje står i boka: Bessel- og hankelfunksjonar av imaginært argument Finn tilnærmingar for store argument til dei modifiserte besselfunksjonane I n x j n J n jx og K n x j n 1 H n jx uttrykt ved eksponensialfunksjonar. (Bruk sinustilnærminga til bessel- og hankelfunksjonar frå forelesingsnotatet.) J n x x cos x n 4 Svar: J n jx 1 x H n x x exp jx jn j 4 Svar: H n jx j x exp x jn jn x 1/ exp x exp x jn j 4 j n 1 x/ 1/ exp x Vi ser at vi må ha med potensane av j i definisjonane av I n x og K n x for å gjera funksjonane reelle. Kjerneradiums stegindeksfiber Finn maksimal kjerneradius for stegindeksfiber som skal ha bare ein modus. Numerisk apertur for fiberen er n NA 1,47 1,46 0,17. Bruk eksempel 9.3, og likning (9.83): V an NA / 0,4, som gjev a,9 µm. Pulsforbreiing a) T z T 0 z z 0 /T 0 for z 0 T 0 / z. b) Likning (9.100) gjev z D d 0 /d D 0 / c s /m 19 ps /km. Med denne verdien på z og T ps får vi z 0 63 km. Diodelaser (a) Bruk utrekninga på side 576 i læreboka av Rao til å finne inneslutningsfaktoren Γ, den delen av effekten som forplantar seg innanfor kjernen til ein dielektrisk filmbølgjeleiar, jfr likning (8.111). På side 576 er totaleffekten per breidde bølgjeleiar rekna ut til P tot z A d 1. 4 x Tilsvarande får vi at den delen av effekten som går i filmen i midten blir, om vi brukar (8.97), som gjev P film z A d sin x1d z A 4 4 x1 d 4 sin x1 d/ x, Γ P film P tot d sin x1 d/ / x d / x. (b) Finn imaginærdelen av brytningsindeksen i den aktive kjernen av ein diodelaser ved terskelen, når laseren har lengde 0,3 mm, endespeglane har reflektans lik 0,3, vakuumbølgjelengda nm og innslutningsfaktoren Γ 0,5. Side 1

2 ln 1/R L m Γn" 0, slik at n" 0,00099 Øving P9.1 Bruk eksempel 9.1. Rekn fyrst ut grensebølgjelengda for TE 10 -modusen: c0 a 7.5 cm, og grensefrekvens f c0 c r / c0. Rekn ut f/f c0 og f cmn f c0 m na/b. Ingen TM-modi er bundne, fordi dei har alle for høg grensefrekvens. Dei bundne modi blir TE 10, TE 0,TE 30 og TE 01. Dei siste to har same grensefrekvens. f c /f z / m 1 g / cm v pz /c g / TE 10 0,3 48,53 1, TE 0 0, ,1 1, TE 30 0, ,57 4, Øving P9. Kvadratisk bølgjeleiar: b a, TM-modi: f cmn f c11 m n /. c0 a, f c11 v p / a. Dette gjev a for grensefrekvens f c11 1, gonger 6 GHz, og f c1 0,8 gonger 6 GHz. Svar: 4,4 cm a 4,47 cm. Øving P9.3 Rekn ut c a 6cmforTE 01 -modusen. Rekn ut f c c r / c for r 1 og r 4. Verifiser at 6 GHz går i begge leiarane. a) Bruk eksempel 9.. Svar: Γ 0,534, r SWR 3,89. b) Bruk eksempel 9.. Svar: r 1,4, g /4 1,5 cm. Øving P9.8 Rekn ut f vp a m n l 3GHz m n l,medm, n og l heiltal. f/ GHz Modi 3 4,4 TE 101,TE 011,TM ,0 TE 111,TM ,71 TE 01,TE 01,TE 10,TE 01,TM 10,TM 10 Øving P9.9 Rekn ut v p c/ r 10 8 m/s og 4 cm for f 5 GHz. Grensefrekvensar finn vi som f c c a v p / a. Gjer deretter som i eksempel 9.4, vha tabell 9.4. Modus c a f c / GHz c /cm g /cm v pz /(Gm/s) g / TE 01 1,84 1,95 10,4 4, TM 1 5,14 5,45 imaginær Side

3 Øving P9.10 Modi i ein bølgjeleiar med tverrsnitt som ein 60 -sektor av ein sirkel med radius a 3 cm. Bruk likningane (9.7), (9.36) og (9.40) til å vise at ordenen på besselfunksjonen må vera eit heiltalig multiplum av 3, med å bruke at komponenten av E-feltet langs metalloverflata må vera null. Vis at ordenen ikkje kan vera null for TM-modi. Grensefrekvensar finn vi som f c c a v p / a. Kandidatar til lågaste ordens modi: TM 31,TE 01,TE 31 og TE 0. Bruk tabell 9. og 9.3 til å finne lågaste ordens modi: Modus c a f c / GHz TE 01 3,83 6,096 TE 31 4, 6,685 Øving P9.14(a) Dette er ei stor og arbeidskrevjande øvingsoppgåve. Bruk analogien mellom transmisjonsline og bølgjeleiar. Dei relevante likningane står på side 45. 1) Sjå på refleksjonen av bølgjer som går mot høgre frå midten (frå z d). Dei blir delvis reflekterte ved z d t og fullstendig i enden ved z d. Visat refleksjonskoeffisient Γ 1 ved z d. Bruk så framgangsmåten i kapitel 7. for å rekne ut impedansen til enden sett frå posisjonen z d t, og deretter frå z d. ) Symmetrien i problemet krev at ved resonans har alle feltkomponentar ein ekstremalverdi eller eit nullpunkt for z 0. Bruk likningane (9.7) til å vise at når transversalkomponentane av H-feltet er null, har transversalkomponentane av E-feltet ekstremalverdiverdi, og omvendt. Vis at då må impedansen rekna ut under punkt 1) for z 0 vera null eller uendeleg ved resonans. 3) For grunnfrekvensen til ein TE-modus veks E-feltet frå null i kvar ende av resonatoren til eit maksimum i midten, slik at impendansen for z 0 for denne modusen er uendeleg: Z d medfører at Γ 0 1. Γ d Γ d t exp j z1 d t Γ d t Z d t g1 / Z d t g1 Z d t g0 1 Γ d exp j z0 t / 1 Γ d exp j z0 t, 1. Sluttsvar: g0 tan z0 t tan z1 d t g1 Vi brukar (med c a 1.84 for ein TE 11 -modus): f ci ca v pi f, a zi og gi v pi 1 f ci /f og Γ d er altså lik i 1 f ci /f Øving P9.15 Bruk tabell 5.1 til å finne fasorane til E- og H-felta mellom platene. Fasorane E x og H y er konstante mellom platene og kan veljast reelle. Brukar så metoden frå kap Finn fyrst totaleffekten som forplantar seg mellom platene i avstand d innanfor rom med breidde w: P 1 E x wd Side 3

4 Brukar formel (9.5), rekn med både topp- og botnplate: Δ P /Δz w 1 E x / 0 Formel (9.53) gjev c d 1 På side 5 eller 63 finn vi 58 Mm/ for kopar, som gjev f ½ 0,066 m Hz/ f, og c 0,98 km 1 Øving P9.17 a) Elektrisk energitettleik mellom to plater i avstand l, midla over ein oscillasjonsperiode: w e 1 T T 0 dt E 1 4 E 0 cos n z/l Tilsvarande magnetisk energitettleik: w m 1 4 E 0 sin n z/l Lagra energi i eit rom med botnareal A mellom platene: E dxdydz w e w m E 0 la/4 n t b) Ved z 0 og z l er H y E 0 / cos, som gjev fasoren H l y E 0 / og H y H y E 0 / Formel (9.5) gjev så tap per areal per tid: d I /dt H y H y / E 0 / / for kvar plate. Q-faktoren finn vi frå likning (9.61): Øving P9. Q f E 0 l/4 E 0 / / f l Snells lov i fiberenden, der brytningsindeksen er n 0 utanfor: n 0 sin a n 1 sin b Grensevinkelen for totalrefleksjon mellom kjerne og kappe er / b : cos b n /n 1 Numerisk apertur: n NA n 0 sin a n 1 1 cos b n 1 n 1 Øving P9.5 med talverdiar for optisk fiber Finn den T 0 T opt som minimaliserer T z T 0 z z 0 z /T 0 for ein gitt z. Svar: T opt z z 0. Minimum T z blir T min T opt Vi les ut av figur 9.18 at for silikamaterialet i optisk telekomfiber er dispersjonskoeffisienten D omlag lik 15 ps/(nm km), ved 1,55 µm bølgjelengde. Likning (9.100) gjev z D d 0 /d D 0 / c s /m 19 ps /km. Med denne verdien på z og z 100 km blir T opt 6 ps og T min 87 ps. Øving P9.8(b) Refleksjons- og transmisjonskoeffisientane for TM-bølgjer står på side 547. Vi får Γ med å bytte om indeks 1 og i uttrykket (9.75a) for Γ, og vi ser straks at Γ Γ. Vi får med å bytte om indeks 1 og i uttrykket (9.75b) for, og det er då rettfram rekningåviseat Γ 1. Øving P9.9 Bruk likning (10.114b). Dersom vi skal ha I t /I i 1/ må F/ sin / 1, som l Side 4

5 for små gjev /F. Halvverdibreidda blir dermed FWHM /F, medan avstanden mellom transmisjonstoppar er FSR. Dermed blir FSR / FWHM F. (Det er trykkfeil i oppgåveteksten, ved at den spør etter halve halvverdibreidda.) Øving P9.35(a) Tak utgangspunkt i likning (9.114(b)) for transmisjonsspekteret for eit fabry-perot-interferometer. Lineærpolarisert lys kan vi få når anten den x-polariserte eller den y-polariserte bølgja blir fullstendig transmittert Fullstendig transmisjon får vi når den lengda L til interferometeret er eit heilt tal gonger halve bølgjelengda. Med den oppgjevne permittivitetsmatrisen er bølgjelengda dobbelt så stor for x-polarisert som for y-polarisert lys. Side 5