Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 25. mai 2012

Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 25. mai 2012 EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 8 sider (inkludert formelsamling). Hjelpemidler: Kalkulator og vedlagt formelsamling (bakerst i oppgavesettet). Kontroller at du har fått alle arkene. Les oppgavetekstene nøye. Bruk egne ark på hver oppgave. Begrunn alle svar. Alle delspørsmål teller like mye. Oppgave 1 a) Nedenfor ser du grafen til en annengradsfunksjon. Skriv ned funksjonsuttrykket til denne funksjonen. b) Bruk derivasjon til å bestemme lokale topp- og bunnpunkter for funksjonen g x = x + 1 x. c) Bestem nullpunktene for funksjonen h x = x + 1 x 1. 1

Oppgave 2 a) I en gruve produserer man det første driftsåret 1000 kg edelt metall. Stadig mer effektiv gruvedrift gjør at man kan forvente en økning i produksjonen på 2 % per år. Hvor mye edelt metall produserer gruven på 100 år? b) En liten bedrift startet i 1912 med salg av kjøttmeisdempere. Det første året solgte de 50 kjøttmeisdempere. For hvert år økte omsetningen med ytterligere 50; til 100 kjøttmeisdempere det andre året, 150 det tredje året osv. Hvor mange kjøttmeisdempere har de solgt i løpet av hundre år? Oppgave 3 Populasjon A består i dag av 1 500 000 individer, og vokser med en årlig vekstrate på 2 %. Populasjon B består i dag av 7 000 000 individer, og vokser med en årlig vekstrate på 7 %. Vi antar at disse vekstratene har holdt seg konstante siden tidspunktet da populasjonene var like store. La K notere populasjonenes størrelse på det tidspunktet de var like store. a) La A n og B n notere veksten for henholdsvis populasjon A og B fra og med tidspunktet da populasjonene var like store. Skriv opp funksjonsuttrykkene for disse to funksjonene. b) Hvor lenge siden er det at populasjonene var like store? c) Hvor store var populasjonene på det tidspunktet de var like store? Oppgave 4 Funksjonen f er gitt ved f x = e 10x a) Hva er funksjonens største mulige definisjonsområde? b) Deriver f og bruk den deriverte til å bestemme funksjonens (lokale) ekstremalpunkter. c) Finn alle asymptoter til funksjonen g x = 2x + 3x x + 1 d) Bruk substitusjon til å løse det ubestemte integralet x x + 1 dx. e) Nedenfor er det vist grafen til en funksjon på formen f x = acos bx + c. Bestem konstantene a og b. 2

Oppgave 5 Vi skal anta at en rakett akselererer i henhold til funksjonen a t = 0,03t 0,6t + 3t, t 0,10 t måles i minutter, og funksjonsverdien er antall ganger tyngdens akselerasjon. Tyngdens akselerasjon er g = 10 m s. Hvis for eksempel a t = 2, betyr det at akselerasjonen ved tidspunkt t er 2 10 m s = 20 m s. Grafen til akselerasjonsfunksjonen ser slik ut: a) Akselerasjonen er på sitt høyeste når t = 10 3. Hvor stor er rakettens hastighet da? OBS: Svaret du kommer frem til har benevningen 10 m s 60s = 600 m s. Du må altså gange det du får ved direkte utregning med 600 for å få svaret i m s. Noter også at svaret er et ganske stort tall. Vi vil forestille oss at raketten har forlatt jordas atmosfære og beveger seg i tilnærmet vakuum. b) Etter 10 minutter er akselerasjonen 0 (da fortsetter raketten med den allerede oppnådde hastigheten). Hvor langt har raketten beveget på 10 minutter? 3

OBS: Svaret du kommer frem til har benevningen 600 m s 60s = 36000m. Regner du ut rett frem må du altså gange med 36000 for å få svaret i meter. Husk at dette foregår med mye større hastighet enn normalt, så det er rimelig at tallene er store. Oppgave 6 Nedenfor ser du grafen til funksjonen f x, y = x + 6x + 3x 6y Definisjonsområdet er gitt ved 3 x 7 og 3 y 3 (det er ikke viktig i denne oppgaven). a) Som antydet på figuren har f to stasjonære punkter, et sadelpunkt og et lokalt maksimum. Bruk de partielt deriverte til å bestemme funksjonsverdien for det lokale maksimumet. b) Ligningen x + 6x + 3x 6y = 2 gir implisitt det vi kaller en nivåkurve. Forklar hva vi mener med nivåkurve. 4

c) Nivåkurven gitt av ligningen i punkt b) ser slik ut: Vis at punktet 1,1 ligger på kurven, og bestem ligningen for tangenten til kurven i dette punktet [Hint: implisitt derivasjon]. Oppgave 7 Vi skal studere veksten til et bestemt fiskeslag. La y t notere lengden til en fisk av dette slaget ved tid t måneder. Maksimal lengde for dette fiskeslaget kan antas å være 3 meter. Videre skal vi anta at lengden vokser med 4 % av 3 y t (veksten som gjenstår). Vi kan gå ut ifra at en nyfødt fisk er 10 cm lang (vi kan gjerne tenke oss at det er tale om fisk som føder levende unger, slik som for eksempel mange haier). a) Sett opp en differensialligning som svarer til veksten av y, og løs den. b) Hvor lang er en fisk av dette slaget etter 3 år? c) Hvor lang tid tar det for en fisk av dette slaget å vokse til 2,9 meter? 5

Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul 1 25. Mai 2012 Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning Formelsamling for Matematikk 2, Modul 1 Generelt FORMEL FOR LØSNINGENE TIL ANNENGRADSLIGNINGEN Ligningen 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 har løsninger gitt ved 𝑥 = 𝑏 ± 𝑏 4𝑎𝑐 2𝑎 KONTINUERLIG FUNKSJON 𝑓 er kontinuerlig i c dersom lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑐) INVERS FUNKSJON 𝑔 er invers til 𝑓 dersom 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑥. Den inverse skrives ofte 𝑓 (𝑥). Rekker GEOMETRISK REKKE 𝑥 1 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + + 𝑥 = 𝑥 1 Rekken er konvergent dersom 1 < 𝑥 < 1, og da er 𝑥 1 1 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + = lim = 𝑥 1 1 𝑥 ARITMETISK REKKE La 𝑑 være den faste differensen mellom leddene. Da er 𝑎 + 𝑎 𝑛 𝑎 𝑎 + 𝑑 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + + 𝑎 = hvor 𝑛 = 2 𝑑 Derivasjon PRODUKTREGELEN: 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 ℎ(𝑥) så er 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 ℎ 𝑥 + 𝑔 𝑥 ℎ (𝑥) KJERNEREGELEN: Hvis 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑢 𝑥 ), så er 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑢 𝑢 (𝑥) KVOTIENTREGELEN 𝑢(𝑥) 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 𝑢 𝑥 𝑣 (𝑥) Hvis 𝑓 𝑥 =, så er 𝑓 𝑥 = 𝑣(𝑥) 𝑣(𝑥) 6

Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul 1 25. Mai 2012 POTENSREGELEN: Hvis 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 så er 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥, hvor 𝑎 𝑅, 𝑛 𝑄. DERIVASJON AV EKSPONENTIALFUNKSJONER: Hvis 𝑓 𝑥 = 𝑎, så er 𝑓 𝑥 = 𝑎 ln(𝑎), hvor 𝑎 > 0. (spesialtilfelle: 𝑒 = 𝑒, siden ln 𝑒 = 1). DERIVASJON AV LOGARITMER: Hvis 𝑓 𝑥 = ln 𝑥, så er 𝑓 𝑥 = 1 𝑥, hvor 𝑥 0. DERIVASJON AV TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER sin(𝑥) = cos(𝑥) og cos(𝑥) = sin(𝑥) PARTIELT DERIVERTE: For en funksjon 𝑓(𝑥, 𝑦) skriver vi 𝑓 𝑥 eller 𝑓 (𝑥, 𝑦) for den partielt deriverte med hensyn på x. Tilsvarende for derivasjon med hensyn på y. Annenderiverttesten Hvis 𝑓 𝑐 = 0 og 𝑓 𝑐 < 0, så er 𝑐, 𝑓 𝑐 maksimumsverdi. Hvis 𝑓 𝑐 = 0 og 𝑓 𝑐 > 0, så er 𝑐, 𝑓 𝑐 minimumsverdi. et lokalt maksimumspunkt, og 𝑓(𝑐) en lokal et lokalt minimumspunkt, og 𝑓(𝑐) en lokal L Hôpitals regel L HÔPITALS REGEL FOR 0/0 : () () Forutsatt at 𝑔 𝑥 0 har vi lim () = lim (). Regelen kan brukes til å () bestemme grensen i tilfeller hvor vi har lim () = " ". L HÔPITALS REGEL FOR / : () () Dersom lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑔 𝑥 =, da er lim () = lim () () forutsatt at lim () eksisterer, eller er ±. Regneregler for logaritmer 𝑙𝑛𝑎 = 𝑛 ln(𝑎) ln 𝑎𝑏 = ln(𝑎) + ln(𝑏) 𝑎 ln = ln 𝑎 ln(𝑏) 𝑏 Integrasjon DELVIS INTEGRASJON 7

Høgskolen i Telemark 𝑢𝑣 = 𝑢 𝑣 𝑑𝑥 + Eksamen Matematikk 2 modul 1 25. Mai 2012 𝑢𝑣 𝑑𝑥 INTEGRASJON VED SUBSTITUSJON Dersom 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑢 𝑢 (𝑥), så er 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑢 𝑢 (𝑥) 𝑑𝑢 = 𝐺 𝑥 + 𝐶, hvor G er en antiderivert til g. Ved beregning av bestemte integraler: () 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑔(𝑢) 𝑑𝑢 () SPESIELLE INTEGRALER 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 𝑛+1 1 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶 𝑥 𝑒 𝑑𝑥 = 𝑒 + 𝐶 ln(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 𝑥 + 𝐶 Funksjoner i flere variable TANGENTPLAN Dersom 𝑓(𝑥, 𝑦) er en partielt deriverbar funksjon, er tangentplanet for grafen til 𝑓 i punktet 𝑎, 𝑏 gitt ved 𝑧 = 𝑓 𝑎, 𝑏 𝑥 𝑎 + 𝑓 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑏 + 𝑓 𝑎, 𝑏. STASJONÆRT PUNKT Dersom 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 og 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 kalles 𝑥, 𝑦 et stasjonært punkt. Løsninger av differensialligninger Ligninger på formen 𝑦 = 𝑎𝑦, har løsning 𝑦 = 𝑘𝑒 ". Konstanten 𝑘 bestemmes av initialbetingelsen. Ligninger på formen 𝑦 = 𝑎𝑦 + 𝑏, 𝑎 0, har løsning 𝑏 𝑦 = 𝑘𝑒 " 𝑎 Konstanten 𝑘 bestemmes av initialbetingelsen. 8