Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAE Eksamen i: Fys-1002 Dato: 30. september 2016 Klokkeslett: 09.00-13.00 Sted: Tillatte hjelpemidler: Adm.bygget, Aud.max ü Kalkulator med tomt dataminne ü Rottmann: Matematisk Formelsamling Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: rute 6 ü oppgaver på bokmål s. 2-5 ü formelark s. 6 Frank Melandsø Telefon/mobil: 776 45666 (kontor)/ 9978 6050 (mobil) NB! Det er ikke tillatt å levere inn kladdepapir som del av eksamensbesvarelsen. Hvis det likevel leveres inn, vil kladdepapiret bli holdt tilbake og ikke bli sendt til sensur. Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / 77 64 40 00 / postmottak@uit.no / uit.no
Eksamen har 3 oppgaver med totalt 17 spørsmål (merket med SP1 til SP17 i oppgaveteksten) som vektes likt ved sensurering. Man bør prøve å svare på alle spørsmålene. Oppgave 1 i skal i denne oppgaven se på elektrostatiske felter og en kondensator med kulegeometri. a) For elektrostatiske felter kan man anta flere egenskaper som er ekvivalente med hverandre SP1: Angi minst 3 slike egenskaper som må gjelde for elektrostatiske felter. i skal videre i oppgaven studere et system som består av en ledende kule med radius a og et konsentrisk ledende kuleskall med indre radius b og ytre radius c vist med grå farge i figur 1. Denne figuren viser et tverrsnitt gjennom sentrum av det kuleformede systemet. Mellom kulen og kuleskallet (a < r < b) er det et isentropisk, homogent og lineært dielektrisk materiale med permittivitet ε som er illustrert med det skraverte området i figuren. b a c Fig 1: Tverrsnitt av ledende kule og kuleskall (angitt med grå farge) med mellomliggende dielektrisk materiale (skravert med linjer). SP2: Forklar kort hva som menes med et dielektrisk materiale. Forklar også det fysiske begrepet homogent. b) Anta videre at kulen og kuleskallet (heretter kalt elektrodene) kobles til en DC spenningskilde som vist i figur 2, der den indre elektroden koples til en positiv spenning! mens den ytre kobles til potensiale 0. Den indre og ytre elektroden får da tilført en total fri ladning på henholdsvis Q! og Q!. UiT / Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / 77 64 40 00 / postmottak@uit.no / uit.no 2
0 0 Fig. 2: Elektroder koblet til DC spenningskilde SP3: is ved hjelp av en 2D figur, hvor du forventer å finne fri og bundne ladninger for denne geometrien når man antar et elektrodene er perfekte ledere. Angi også fortegnet på alle ladningene i figuren. c) SP4: Bruk Gauss lov til å finne et uttrykk for det elektriske feltet inne i det dielektriske materialet når vi antar at dette har en permittivitet ε. Det må her angis en figur med integrasjonsflate og retninger på vektorer som benyttes. SP5: is deretter at potensialforskjellen! mellom elektrodene kan uttrykkes som! = Q! 1 4 π ε a 1 b. d) i skal i siste del av oppgaven betrakte systemet som en kuleformet kondensator. SP6: Bruk definisjonen av kapasitans sammen med nødvendige tidligere resultater til å finne et generelt uttrykk for kapasitansen C til dette systemet. e) La oss tilslutt estimere kapasitansen til vår egen planet ved å bruke en forenklet modell. Denne modellen antar at jordoverflaten er den indre elektroden mens den ytre elektroden legges oppe i ionosfæren i en høyde der ioner og elektroner i plasmaet sørger for god ledningsevne. I den forenklede jordmodellen skal vi anta en midlere jordradius på 6371 km (nedre elektrode), vakuumverdier for luften i atmosfæren (dielektrisk materiale) og at ionosfæren (øvre elektrode) starter 85 km over bakken. SP7: is at C kan tilnærmes med C 4 π ε! a! b a i grensen (b a) a som er en god tilnærming for jordmodellen. Gi en geometrisk tolkning av dette resultatet. SP8: Finn deretter et numerisk estimat for kapasitansen til Jorden basert på tallene ovenfor og kommenter resultatet. UiT / Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / 77 64 40 00 / postmottak@uit.no / uit.no 3
Oppgave 2 Denne oppgaven omhandler AC kretser og impedanser. i skal ta utgangspunkt i kretsen vist i figur 3 (a) der en kapasitans C (krets 1) er koplet i parallell med en resistans R og induktans L i serie (krets 2). Den totale kretsen drives av en AC-spenning med vinkelfrekvens ω. ed å bruke regneregler for impedanser kan vi forenkle kretsen til to impedanser Z! og Z! i parallell for henholdsvis krets 1 og 2 som vist i figur 3 (b), og deretter til en total ekvivalent impedans Z vist i figur 3 (c). (a) (b) (c) C R L Z1 Z2 Z Fig. 3: Elektrisk krets [Fig. (a)] uttrykt ved hjelp av ekvivalente impedanser [Fig. (b) og (c)]. a) SP9: Hva er de fysiske forutsetningen for å kunne modellere R, C og L som impedanser? Hvilke typer løsninger vil ikke bli inkludert i denne modellen? SP10: is ved hjelp av figurer hvor du forventer at strømmen vil gå i kretsen for veldig lave frekvenser (ω 0) og veldig høye frekvenser (ω ). For dette spørsmålet trenger man ikke å dokumentere svarene v.h.a. regning eller formler. b) SP11: Skriv opp uttrykkene for impedansene Z! og Z! i figur 3 (b) og vis deretter at den totale impedansen Z er gitt ved Z = R + iωl 1 + iωrc ω! LC. c) SP12: is at impedansen Z gir de samme grenseverdiene som du kom frem til under punkt (a). d) SP13: I det siste punktet skal vi se bort fra resistansen i kretsen. Angi resonansfrekvensen ω! til systemet når R = 0 og beskriv fysisk hva som skjer når ω ω!. UiT / Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / 77 64 40 00 / postmottak@uit.no / uit.no 4
Oppgave 3 I den siste oppgaven vil vi fokusere på Amperes lov og bruke denne til å beregne det magnetiske feltet B som oppstår inne i og utenfor en sylindrisk leder. a) Det oppgis at Amperes lov i et lineært, isentropt og homogent magnetiserbart medium med permeabilitet μ og strømtetthet J kan uttrykkes som B = μ J. 1 Tettheten av ladninger ρ som befinner seg i rommet må være bevart, og tilfredsstiller derfor kontinuitetslikningen ρ + J = 0. 2 SP14: is matematisk hvordan likningen (1) og (2) kan overføres til integrerte former. Du må også vise vha. figurer hvilke flater/konturer som benyttes. b) SP15: is at likning (1) og (2) er inkonsistente. Hvordan kan likning (1) modifiseres for å løse dette problemet? c) i skal i siste del av oppgaven regne på en lang rett sylinder med radius a som vist i figur 4. i antar videre at sylinderen transporterer en stasjonær strøm og at strømtettheten J innenfor lederen er konstant med retning langs sylinderaksen. Den kan derfor uttrykkes som c J (r) =! a! for r a 0 ellers der c! er en positiv konstant og a! er en enhetsvektoren som vist i figur 4. a J (r), μ a z µ 0 Fig. 4: Ledende sylinder med radiell strømtetthet SP16: Bruk Ampers lov på integrert form til å finne B-feltet både inne i og utenfor lederen for strømtettheten angitt ovenfor og lag en skisse av B som funksjon av r. Du kan her anta et sylinderen er mye lengre enn diameteren, og at permeabiliteten er gitt ved konstantene μ og μ! henholdsvis inne i og utenfor sylinderen (se Fig. 4). d) SP17: Gjenta beregningen fra punkt a) når strømtettheten øker radielt utover som J(r) = c! r! a! for r a 0 ellers der c! er en positiv konstant. UiT / Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / 77 64 40 00 / postmottak@uit.no / uit.no 5
Formelark F 12 = 1 q 1 q 2 r 2 r 1 3 (r 2 r 1 ) E(r) = 1 E(r) = 1 E = ρ v ε 0 (r) = 1 (r) = 1 q ( r r ) r r 3 q r r E = 0 ( t = 0) ρ v (r )(r r ) r r 3 dv ρ v (r ) r r dv E = ( t = 0) = E dl L W E = 1 2 ρ v (r) (r)dv C = Q W E = 1 2 C 2 I = dq dt I = J ds S J = σe R = I P = I B = µ 0 4π L Idl (r r ) r r 3 B = µ 0 J ( t = 0) B = 0 B = A A(r) = µ 0 4π F = q(e + v B) J(r ) r r dv W m = 1 2 LI2 E = B emf = dλ dt B = µ 0 J + µ 0 ε 0 E E = A D = ε 0 E + P H = 1 µ 0 B M E 1t E 2t = 0 H 1t H 2t = K D 1n D 2n = ρ s B 1n B 2n = 0 ρ ps = P ˆn ρ pv = P K b = M ˆn J b = M P = ε 0 χ e E M = χ m H D = ε 0 ε r E B = µ 0 µ r H ε r = 1 + χ e µ r = 1 + χ m ε 0 = 8.854 10 12 C 2 s 2 /kgm 3 µ 0 = 1.257 10 6 N m 2 /C 2 e = 1.602 10 19 C L = λ I UiT / Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / 77 64 40 00 / postmottak@uit.no / uit.no 6