Kapittel 9 Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Oppgave Det eksisterer et hastighetspotensiale φ hvis feltet er virvelfritt. For et to-dimensjonalt felt v v x i+v y j er virvlingen gitt ved i j k v x v x v y ( vy x v ) x k. Uttrykketforφkanfinnesfralikningenv φ.hvisdetogsåskaleksistereenstrømfunksjon ψ må feltet være divergensfritt ( v ). a) v xi+yj: ( v x x ) k φ eksisterer. v + ingen ψ. Hastighetpotensialet kan nå finnes: φ x v x x φ(x,y) x +f (y) φ v y y φ(x,y) y +f (x). Vi ønsker en entydig φ slik at vi må velge f (y) y +C og f (x) x +C. Potensialet blir derfor φ(x,y) ( x +y ) +C. b) v x yi xy j: v ( y x )k ingen φ. v xy xy ψ eksisterer. 3
Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Vi løser to likninger for å finne strømfunksjonen: x v y xy ψ(x,y) x y +f (y) v x x y ψ(x,y) x y +f (x). For å få en entydig løsning må vi velge f (y) f (x) C slik at strømfunksjonen blir ψ(x,y) x y +C. c) v ( x +y )i+xyj: v (y y)k φ eksisterer. v x+x x ingen ψ. Vi finner uttrykket for φ: φ x v x x +y φ(x,y) 3 x3 +y x+f (y) φ v y xy φ(x,y) xy +f (x). For å få en entydig φ må vi velge f (y) C og f (x) 3 x3 +C slik at φ(x,y) 3 x3 +xy +C. Oppgave a) φ xy. Vi finner først vektorfeltet, v v x i+v y j, til hastighetspotensialet: Er vektorfeltet divergensfritt? v x φ x y, v y φ x v yi+xj. Vi kan nå innføre strømfunksjonen ψ: Vi velger f og f slik at v v x x + v y. x v y x ψ(x,y) x +f (y) v x y ψ(x,y) y +f (x). f (y) y +C, f (x) x +C
5 5 3 3 6 6 6 6 6 6 6 5 5 3 3 5 6 6 6 6 6 Figur 9.: Ekviskalarlinjer for hastighetspotensialet (blå, heltrukken linje) og strømlinjene (rød, stiplet linje). og strømfunksjonen blir ψ(x,y) ( x y ) +C. b) φ xy x y. Vektorfeltet v v x i+v y j til hastighetspotensialet blir: Er vektorfeltet divergensfritt? v x φ x y xy, v y φ xy x v ( y xy ) i+ ( xy x ) j. v v x x + v y y +x. φ er ikke et hastighetspotensiale for en divergensfri strøm. Det eksisterer ingen strømfunksjon. Strømlinjene kan nå finnes ved å løse differensiallikningen v dr. Denne differensiallikningen er imidlertid vanskelig å løse. c) φ x y. Vi finner først vektorfeltet, v v x i+v y j til hastighetspotensialet: Er vektorfeltet divergensfritt? v x φ x x, v y φ y v xi yj. v v x x + v y.
6 Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Vi kan nå finne strømfunksjonen ψ: x v y y ψ(x,y) xy +f (y) v x x ψ(x,y) xy +f (x). Vi må sette f f C og strømfunksjonen blir ψ(x,y) xy +C. 5 6 6 3 6 6 3 6 6 5 5 3 3 5 6 6 Figur 9.: Ekviskalarlinjer for hastighetspotensialet (blå, heltrukken linje) og strømlinjene (rød, stiplet linje). Oppgave 3 a) Strømlinjene finnes ved å sette strømfunksjonen lik konstant (ψ ψ ): ψ ( x +y ) Ay x +y Ay ψ. Vi ønsker å få leddet y Ay ψ over på formen (y c), der c er en konstant. y Ay ψ ( x + y A ) ψ ( y A ) ( ) A ψ ψ ( ) A. ψ
7 b) En kilde/sluk plassert i origo har potensial φ Clnr der C er styrken til kilden/sluket og fortegnet bestemmer om det er en kilde eller et sluk. I kartesiske koordinater har vi φ Cln ( x +y ) /. For et sluk i punktet (a,) med styrke A/a blir potensialet φ A [ a ln (x a) +y ] / og potensialet til en kilde i ( a,) med samme styrke blir φ A a ln [(x+a) +y ] /. Dipolfeltet fåes ved å addere feltene over: φ φ +φ A a ln [ (x a) +y ] / + A a ln [ (x+a) +y ] /. c) Regel: lnx a alnx: φ A a ln [ (x a) +y ] + A a ln [(x+a) +y ]. d) Regel: lnx lny ln x y : φ A a ln (x+a) +y (x a) +y (x+a) +y (x a) +y x +ax+a +y x ax+a +y Siden x +y a kan vi gjøre tilnærmingen e) Vi innfører funksjonen x +y +ax+a x +y ax+a ax + + a x +y x +y ax. + a x +y x +y ax + x +y ax + ǫ x +y ǫ. f(ǫ) + ǫ ǫ a x og brøken blir +y og lager en rekkeutvikling til første orden av f om punktet ǫ : T f f(ǫ )+f (ǫ )(ǫ ǫ ) f (ǫ) ( ǫ)+ (+ ǫ) ( ǫ) ( ǫ) Tf + ǫ ǫ + ǫ ǫ ( ǫ ).
Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Siden ǫ er en liten størrelse: ǫ ax x +y, x +y a så vil T f være en god tilnærming til f(ǫ) i omegn av ǫ. Vi velger derfor ǫ. Dette gir T f +ǫ og + ǫ ǫ +ǫ. f) Vi innfører funksjonen f(ǫ) ln( + ǫ). Taylorutviklingen til første orden av f om punktet ǫ blir T f f(ǫ )+f (ǫ )(ǫ ǫ ) ln(+ǫ )+ ǫ ǫ +ǫ. Vi velger ǫ med samme begrunnelse som i oppgave e) og får T f ǫ som gir ln(+ǫ) ǫ. Vi kan nå finne det ønskede uttrykket for hastighetspotensialet: φ A a ln (x+a) +y (x a) +y oppg.d) oppg.e) oppg.f) A a ln + ǫ ǫ A a ln(+ǫ) A a ǫ Ax x +y. Oppgave Vi har gitt to potensialfelt ψ Uy (translasjonsfelt/rettlinjet strøm) og ψ Aθ (kilde). For at vi skal kunnesuperponerefeltene må både ψ og ψ være beskrevet i samme koordinatsystem. Vi skriver ψ i polarkoordinater: ψ Ursinθ. Det sammensatte feltet kan skrives som ψ ψ +ψ Ursinθ Aθ. Strømlinjene finnes ved å sette strømfunksjonen konstant (ψ ): ψ Ursinθ Aθ r ψ U sinθ + Aθ U sinθ. Se figur 9.3: Legg spesielt merke til at det er et stagnasjonspunkt like til høyre for origo, og at en strømlinje som går igjennom stagnasjonspunktet krummer seg som en skål mot venstre.
9 6 3 6 3 6 6 Figur 9.3: Strømlinjene ψ, 3,,,.5,,.5,,,3,. Konstantene er satt til å være U A. Oppgave 5 En kilde i origo er gitt i polarkoordinater som φ Alnr ψ Aθ. Fra x rcosθ og y rsinθ får vi r x +y, θ atan(y,x), se kommentar på side 9 for en beskrivelse av funksjonen atan. Dette gir hastighetspotensialet og strømfunksjonen i kartesiske koordinater: φ Aln x +y ψ Aatan(y,x). Strømvektoren v v x i+v y j kan finnes fra likningene () v x, v y x () v x φ x, v y φ (3) ().
9 Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Her er det valgfritt om vi bruker () eller (), og (3) eller (). () gir v x A x x + y A x+ y x x Ax x +y Ax r. (3) gir v y x A + y x Ay x +y Ay r. ( yx ) Oppgave 6 Fra oppgave 5 har vi φ og ψ for en kilde med styrke A i origo i kartesiske koordinater. For å finne uttrykket for en kilde utenfor origo trenger vi bare å justere koordinatene. En kilde i punktet (,a): φ Aln ( x +(y a) ) / ψ Aatan(y a,x). En kilde i punktet (, a): φ Aln ( x +(y +a) ) / ψ Aatan(y +a,x). Se figur 9., og legg spesielt merke til at det er problematisk å tegne konturplott for ψ med Matlab sin contour-funksjon fordi atan-funksjonen har et diskontinuerlig hopp mellom π og π rett til venstre for det singulære punktet. Se kommentar på side 9 for en beskrivelse av funksjonen atan.
- 9 6 -.5 - -.5 -.5 - - -.5 -.5 -.5.5 -.5-3 3-3.5-3 -.5 -.5.5 -.5 -.5.5 - - -.5 Figur 9.: Strømlinjene til kilden i punktet (, a) med A a. Oppgave 7 En punktvirvel i origo er i polarkoordinater gitt ved φ Aθ ψ Alnr. For å skrive φ og ψ i kartesiske koordinater kan vi bruke likningene r x +y, θ atan(y,x), se kommentar på side 9 for en beskrivelse av funksjonen atan. Hastighetspotensialet og strømfunksjonen blir dermed φ Aatan(y,x) ψ Aln x +y. Komponentene til strømvektoren kan vi finne på samme måte som i oppgave 5: Oppgave v x φ x Ay r v y φ Ax r. Vi har gitt strømfunksjonen til to potensialfelt: ψ Uy, ψ Ay x +y.
9 Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Det superponerte feltet har strømfunksjon ψ Uy + Ay x +y. a) Vi innfører polarkoordinater ved x rcosθ og y rsinθ: ψ Ursinθ+ a Ursinθ U b) Strømkomponentene kan finnes fra likningene v r r r ] [ a r rsinθ. θ, v θ r. v r [ ] r ( U) a rcosθ r r ] U [ a cosθ v θ U sinθ Ua r sinθ ] U [+ a r sinθ. På sirkellinjen r a blir strømkomponentene v r (ra) og v θ (ra) U sinθ. Oppgave 9 Den elektriske feltstyrken utenfor en elektrisk ladet partikkel er gitt ved E Q r i r. Potensialet, V, er gitt ved E V. I denne oppgaven må vi bruke kulekoordinater, og vi har at V V r i r + V r θ i θ + V rsinθ ϕ i ϕ. Potensialet blir derfor Q r V r r V θ V rsinθ ϕ hvor C er en vilkårlig konstant. V V(r) Q r +C V Q r +f (θ,ϕ) V f (r,ϕ) V f 3 (r,θ)
93 5 3 3 5 5 3 3 5 Figur 9.5: Strøm rundt en sylinder (r > a)...5.6.5..5...5.5..5.5.6..5..6.....6. Figur 9.6: Feltet for r < a blir et dipolfelt.
9 Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Kommentar om funksjonen atan(y, x) Et punkt i xy-planet har posisjonsvektor r xi + yj. Vinkelen mellom posisjonsvektor og positiv x-akse er gitt ved atan(y, x). Dersom puktet ligger i første eller fjerde kvadrant har vi atan(y, x) arctan(y/x). Dersom punktet ligger i andre kvadrant har vi atan(y, x) arctan(y/x) + π. Dersom punktet ligger i tredje kvadrant har vi atan(y,x) arctan(y/x) π.