Fasit til utalgte oppgaer MAT00, uka 8/0-/0 Øyind Ryan (oyindry@ifiuiono October 5, 00 Oppgae 645 a g er definert der neneren er 0, det il si der tan 0, og der tan er definert Førstnente utelukker bare k, mens sistnente utelukker k+ Disse to til sammen sarer til alle punkter på formen k, slik at D g R\{k, k Z} b g ( tan cos tan sin cos sin c Vi et at sin < når 0 < < Deler i med cos (som er positi på det gitte interallet på begge sider får i at tan sin cos < cos < cos, der i i den siste oergangen ar brukt at 0 < cos < på det gitte interallet Fra b ar i idere at g ( ar samme fortegn som tan cos, som da blir negati, slik at g er atagende på ( 0, En annen måte å ise dette på er ed først å obserere at tan tan tan 0 0 g (c cos c for en c mellom 0 og, der i ar brukt middelerdisetningen på funksjonen f( tan Siden cos er atagende på ( 0, følger det at cos c < cos Dermed er tan < cos, og uliketen i skal ise følger nå ed at i ganger opp med på begge sider
e Det er klart at f er kontinuerlig utenom skjøtepunktene 0, ± For 0 regner i ut grenseerdien f( 0 0 tan 0 cos f(0, som iser at f er kontinuerlig i 0 Når går mot ± så er det klart at tan går mot, slik at ±/ f( 0 f(0, slik at f er kontinuerlig i ± også, og dermed er f kontinuerlig i ele (, f Den derierte i 0 er f f( f(0 (0 cos sin sin cos sin cos cos + sin tan sin cos sin + cos + cos 0 0, sin cos + sin der i ar brukt L Hospitals regel to ganger Dette iser at f er derierbar i 0, og at f (0 0 For får i f ( + tan( + cos( +, tan( + cos( + sin( + sin( + der i igjen ar brukt L Hospitals regel Dette iser at f er derierbar i, og at f ( På samme måte får i for at ( f + tan( + tan( + cos( +, cos( + sin( + sin( +
som iser at f er derierbar også i, og at f ( Oppgae 650 Vi regner først ut f( e / (e/ e e, der i ar brukt L ospitals regel Vi regner deretter ut (f( ( (e / ((e/ (e Vi iste akkurat at (e, slik at i er kan bruke L Hospitals regel Vi får dermed ( e (e ( e + e e Derfor blir y + en asymptote for f Vi må også sjekke om 0 er en asymptote, siden f ikke er definert for 0 Vi regner ut 0 (e / e / e y 0 y y, der i på det siste uttrykket brukte L ospitals regel to ganger Derfor er også 0 en asymptote for f Oppgae 7 La sidene til innegningen ære og y, der y er den delen som står mot låen Lengden på gjerdet blir + y 50, slik at y 50 Arealet blir derfor A y (50 50 Setter i den derierte lik 0 får i at A ( 50 4 0, som gir at 5m, og y 50 5m Det maksimale arealet blir derfor 5 5m 35m 3
Oppgae 74 På time kjører bilen mil, slik at bensinforbruket per mil blir +008 + 008 Derierer i dette får i + 008 Setter i dette lik 0 får i at 008, som gir at 5, og deretter 5 Dette må bli et minimum, siden bensinforbruket per mil går mot uendelig både når 0, og når Vi ar altså minimum bensinforbruk per mil for 5 mil per time, eller 50km/ Oppgae 77 Høyden på renna er 0 sin θ, og bredden på siderenna er 0 cos θ Arealet a terrsnittet blir dermed 0 0 sin θ + 0 sin θ 0 cos θ 400 sin θ( + cos θ 00 sin(θ + 400 sin θ Derierer i dette får i 400(cos(θ + cos θ Skal dette bli 0 må cos(θ + cos θ 0, som også kan skries cos θ + cos θ 0 Løser i denne finner i at cos θ eller cos θ Førstnente gir terrsnitt 0, som jo er et minimumspunkt for arealet Sistnente må ære et maksimum, der θ 3 Oppgae 79 a La sidene i rektanglet ære og y Skal omkretsen ære c så må + y c, som gir at y c Arealet blir da A y ( c c, og i får at A ( c Skal dette ære 0 må c 4, som sarer til at alle sidene er like lange, altså at i ar et kadrat b La sidene i pakken ære, y, z På grunn a a kan i anta at grunnflaten er kadratisk, siden i er ute etter å maksimere olum Summen a omkretsen og største lengde blir da 4 + z Setter i dette til 300 må z 300 4, og olumet blir derfor V (300 4 300 4 3 Vi får nå at V ( 600 (50, og skal dette ære 0 må enten 0 eller 50 Det er sistnente som må maksimere olumet, siden den første gir olum 0 Vi får altså at y 50, og z 300 4 00 Oppgae 75 La θ ære inkelen mellom diameteren og linjen fra sentrum i sirkelen til et a de øerste jørnene på trapesen Det er klart at øyden på trapesen er r sin θ, og at øerste kant på trapesen ar lengde r cos θ Siden nederste kant på trapesen ar lengde r, så blir arealet lik A(θ (r + r cos θr sin θ r sin θ(cos θ + r sin(θ + r sin θ 4
Vi får da at A (θ r (cos(θ + cos θ Skal dette bli 0 må cos(θ+cos θ 0, som også kan skries cos θ+cos θ 0 Løser i denne finner i at cos θ eller cos θ Førstnente gir areal 0, som jo er et minimumspunkt for arealet Vi må a et maksimum for en θ, siden ener kontinuerlig funksjon på et begrenset interall ar maksimum og minimum Videre kan ikke endepunktene i interallet (θ 0, θ åre maksimum, siden for disse punktene blir arealet 0 Derfor må maksimum inntreffe i et indre punkt, som er det punktet i ar funnet For maksimum finner i at sin θ 3, som gir areal 3 r sin θ(cos θ + r 3 3 3r 4 Oppgae 77 La z ære lengden på det opplyste området, og ære astanden fra gjerdet Vi ar da at z tan 6 3 3, som gir at z 3 3 Dette gir at z (t 3 3 (t, og is (t som angitt i oppgaen, så blir z (t 3 3 Oppgae 73 La ære astanden mellom bilen og stolpen, og la z ære astanden mellom bilen og radaren Astanden til radaren er 4 + 7 5 Vi ar også at z 7 Derierer i begge sider får i (t (t z(tz (t, som gir at (5 z(5z (5 (5 5 30 4 35m/s 5