FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2015 Kandidat 11 20. mars 2015
Det er i alt mulig på en god dag å få 20 poeng på denne hjemmeeksamen. Noen av oppgavene skal løses numerisk. Kompendiet om programmering, samt eksemplene på hjemmesiden, kan her være nyttige. Oppgave I denne oppgaven skal vi se på tunnelering. Dette er et fenomen med mange praktiske anvendelser, spesielt i moderne teknologi, men her skal vi se litt mer abstrakt på problemet. Vi ser først på en fri partikkel som begynner i en tilstand gitt ved bølgepakken Ψx, 0 Ae x x 0 2 /4a 2 e ilx, 1 hvor A er en normeringskonstant, og x 0, a og l er tre reelle parametre. a Finn A. [1 poeng] Svar: Skriver om normerings integralet og bruker og bruker Rottmann s. 155, likning 51: Ψ Ψ A 2 A A 2 e 2 x x 0 2 4a 2 e A 2 [ 2πa 2 e 2a2 1 1/4 2πa 2 1 2a 2 x2 +2 x 0 2a 2 x+ x2 0 2a 2 dx ] x 2 0 4a 4 x2 0 4a 4
b Lag et plott av sannsynlighetstettheten til denne tilstanden. Husk enheter på aksene. Velg konstanter selv, men vi anbefaller lengder på picometernivå. Hva forteller de tre konstantene oss? Hint: For å forstå betydningen av l kan det lønne seg å nne p for denne tilstanden. [2.5 poeng] Svar: Figur 1 viser sannsynlighetstettheten, her er a 0.1pm, x 0 0pm og l 1pm 1, i plottet har ikke l betydning da denne forsvinner i absoluttkvadratet. Figur 1: Plott av sannsynlighetstettheten representert ved Ψx, 0 2
Konstanten x 0 tilsvarer forventningsveriden til posisjonen, a tilsvarer standardaviket til posisjonen, og l er bølgetallet og påvirker bevegelsesmengden. Dette ser vi best ved utregning av x, x 2 og p : x A 2 ψ xψdx x 0 A 2 2πa 2 x 0 xe 1 2a 2 x2 +2 x 0 2a 2 x+ x2 0 2a 2 x 2 ψ ˆx 2 ψdx 1 1 2 2a2 2 2a 2 + 2x 0 2a 2 2 x 2 0 + a 2 σ 2 x x 2 x 2 x 2 0 + a 2 x 2 0 a 2 σ x a p i i ψ i d dx ψdx l + i 2a 2 ψ d dx ψdx ψ l i 2a 2 x 0 + i 2a 2 l 2x x 0 4a 2 ψ x x 0 ψdx + il ψdx ψ xψdx
c Denne bølgepakken har ikke en skarpt bestemt energi, men vis at forventningsverdien kan skrives som [1.5 poeng] E 2 l 2 + 1/4a 2. 2 Svar: Siden partikkelen er fri er V 0, har da relasjonen E p2. Gjenkjenner ere integraler fra b. E 1 p2 2 2 ψ d 2x x 0 dx 4a 2 ψ d dx 2x 4a 2 2 l2 2 x 0 il 2a 2 2 2 l2 2 x 0 il 2a 2 2 2 l2 2 x 0 il 2a 2 + 2 2 l2 2 x 0 il 2a 2 + 2 + il ψdx ψdx 2 2 l2 + 2 2 4a 2 2 1 4a 2 2 l 2 + 1 4a 2 ψ d dx 2x 4a 2 ψ d dx ψdx [ ψ 2 4a 2 2x 4a 2 2 4a 2 + 2 il 2a 2 2x0 4a 2 ψdx 2 ψ d dx ilψdx 2x x0 4a 2 ψ xψdx 2 4 16a 4 4x 0 16a 4 + 2 2 4a 2 2 il 2a 2 x 0 2 4 2a 2 2 + 2 ] + il ψdx [ 1 2 2a2 2 x 0 4a 4 x 0 ψ xψdx ψ x 2 ψdx ] 1 2a 2 + 2 x2 0 2a 2 2
d Gitt bokspotensialet V x { V0 0 x L 0 ellers, 3 hvor V 0 > 0, nn analytisk sannsynligheten for transmisjon som funksjon av energien for en fri-partikkel planbølgeløsning ψx Ae ikx med energi E < V 0, som kommer inn fra venstre. Tegn en gur som klart viser de forskjellige områdene i potensialet, og de innkommende og utgående bølgene som er relevante. [3 poeng] Svar: Tegner potensialet: y V 0 ψ Ae ikx ψ F e ikx ψ Be ikx x I 0 III L II Figur 2: Tegning av bokspotensialet V x. Løser TUSL for de tre områdene I, II og III i Figur 2: d I: 2 ψ k 2 ψ k E dx 2 Løsning: ψ 1 x Ae ikx + Be ikx d II: 2 ψ k 2 ψ dx 2 Løsning: ψ 2 x F e ikx + Ge ikx d III: 2 ψ + V dx 2 0 ψ Eψ 2 d 2 ψ dx 2 d 2 ψ 2 E V 0 ψ V0 E ε 2 ψ ε dx 2 Løsning: ψ 3 x Ce εx + De εx Totalt gir dette en generell psix denert slik: ψ 1 Ae ikx + Be ikx x < 0 ψ ψ 2 F e ikx + Ge ikx x > L ψ 3 Ce εx + De εx 0 x L Borns tolkning av bølgefunksjonen gir kriteriene ψ og ψ kontinuerlige: ψ kontinuerlig: A + B C + D for x 0 Ce εl + De εl F e ikl + 0 for x L ψ kontinuerlig: ika ikb εc εd for x 0 εce εl εde εl ikf e ikl for x L
F 2 Finner først et uttrykk for F gitt A for senere å bruke T A 2. Starter ved å sette ψl inn i ψ L for å uttrykke C og D ved F : Ce εl F e ikl De εl ikf e ikl εf e ikl εde εl εde εl ε ikf e ikl 2εDe εl D ε ikf eikl 2εe εl 4 De εl F e ikl Ce εl ikf e ikl εce εl εf e ikl εce εl ε + ikf e ikl 2εCe εl C ε + ikf eikl 2εe εl 5 Setter så ψ0 inn i ψ 0 for å uttrykke A ved C og D: ika ikb εc εd ika ikc + D A εc εd 2ikA ikc ikd εc εd 2ikA εc + ikc εd + ikd Setter inn 5 og 4 i 6 2ikA ε + ikc ε ikd 6 2ikA ε + ik2 F e ikl 2εe εl ε ik2 F e ikl 2εe εl ε + ik 2 e εl ε ik 2 e εl 2ikA F e ikl 2ε F 4εike ikl ε + ik 2 e εl ε ik 2 A 7 eεl
F 2 Setter så 7 inn i T A 2 : T 4εike ikl 4εike ikl ε + ik 2 e εl ε ik 2 e εl ε ik 2 e εl ε + ik 2 e εl 16ε 2 k 2 [ε + ik 2 e εl ε ik 2 e εl ][ε ik 2 e εl ε + ik 2 e εl ] 16ε 2 k 2 e 2εL + e 2εL ε ik 2 ε + ik 2 ε ik 4 ε + ik 4 16ε 2 k 2 e 2εL + e 2εL ε 4 + 2ε 2 k 2 + k 4 2ε 4 6ε 2 k 2 + k 4 16ε 2 k 2 e 2εL + e 2εL ε 2 + k 2 2 2ε 2 + k 2 + 16ε 2 k 2 16ε 2 k 2 e 2εL 2 + e 2εL ε 2 + k 2 2 + 16ε 2 k 2 16ε 2 k 2 e εl e εl 2 ε 2 + k 2 2 + 16ε 2 k 2 [ e εl e εl ] 2 1 ε 2 + k 2 2 16ε 2 k 2 + 1 Setter inn verdiene for k og ε: 1 [ e εl e εl ] 2 1 [E + V0 E] 2 4 T 16EV 0 E 4 + 1 [ e εl e εl ] 2 1 [E + V0 E] 2 + 1 16EV 0 E [ e εl e εl ] 2 1 V 2 0 16EV 0 E 2 + 1 e εl e εl 1 2 16 E V 0 E2 + 1 V0 2 [ e εl e εl ] 2 1 + 1 γ E 16γ1 γ V 0 1 Lar ε i potensen være da denne står penest slik den står.
e Bruk potensialet i oppgave d med verdiene V 0 1 MeV og L 0.25 pm. Se på et elektron med masse m 0.511 MeV/c 2 som kommer inn fra venstre, nå med initialtilstand gitt ved 1. Gjør en numerisk simulering ved hjelp av Schrödingerligningen av hva som skjer dersom du starter elektronet med x 0 5.0 pm, a 1.0 pm og l 2.0 pm 1. Ut i fra denne simuleringen, gi en kort beskrivelse av hva som skjer med bølgefunksjonen til elektronet når den treer potensialhindringen. Snakk med din lokale datamaskin. [2 poeng] Svar: Skriver om Benedicte Emile Brækken sitt program med potensialbrønn ved Crank-Nicolsons metode, til å gjelde for en smal potensialvegg. Ved kjøring ser man at partikkelen beveger seg mot veggen med en relativt skarp bølgepakke, når partikkelen treer veggen samles sannsynlighetsfordelingen nært veggen, vist i Figur 3.a. Herifra reekteres noe av bølgen og noe transmitteres gjennom potensialveggen, vist i Figur 3.b. Den transmitterte og refkletere bølgepakken er mindre skarp enn den inngående. a t0.02 [as] b t0.06 [as] Figur 3: Simulering av bølgefunksjon ved viktige tidspunkt. f Hvordan kan man nne sannsynligheten for transmisjon numerisk for situasjonen i oppgave e? [1.0 poeng] Svar: Siden bølgfunksjonen er normalisert vil fordelingen av bølgefunksjonen tilsvare en sannsynlighet. Derfor vil et numerisk integral over høyre side av potensialbarrieren tilsvare sannsynligheten for transmisjon.
g Finn numerisk sannsynligheten for transmisjon av bølgepakken i 1 som funksjon av energien, og sammenlign med svaret i oppgave d. Det holder om du regner ut transmisjonssannsynligheten for en håndfull verdier av energien. Hint: Bølgepakken vi sender inn har ikke en skarpt bestemt energi, så bruk E for energien. [2 poeng] Svar: Modiserer programmet fra e og regner ut T for et spekter av l fordelt slik at E /V 0 går fra 0 til 1. Programmet ga ut et plott vist i Figur 4: Figur 4: Plott av transmisjon T opp mot energi E relativt til potensial V 0. Den analytiske løsningen fra d ligner veldig på den nummersike beregningen som er gjort. Den nummeriske løsningen ligger litt lavere enn den analytiske, steglengden i x og t kan optimeres for å få en kurve nærmere den analytiske. Sannsynligheten for transmisjon øker med energien, men konvergerer mot 1 når E >> V 0 dette er logisk med tanke på at sannsynligheten kan maksimalt bli 1 men vil øke med økende E.
Til nå har vi regnet med Schrödingerligningen, som gir en ikke-relativistsisk kvantemekanisk beskrivelse. Vi skal her se på relativistiske korreksjoner til denne. Vi tar utgangspunkt i Einsteins forhold mellom energi og bevegelsesmengde E 2 p 2 c 2 + m 2 c 4, 8 hvor p her er den relativistiske bevegelsesmengden. h Vis at energien kan skrives som E E 0 + p2 p4 8m 3 c 2, 9 der E 0 mc 2 er hvileenergien, dersom p 2 c 2 m 2 c 4. [1 poeng] Svar: Ser at Ep er ved minimum ved p 0 og E0 E 0, dette tilsvarer en partikkel i ro med hvilenergi E 0 mc 2. Om p 2 c 2 << m 2 c 4 kan vi tenke oss at partikkelen er i nærheten av E0 og vi kan skrive uttrykket som en Tayloru-rekke. Ep T p E0+E 0p 0+ 1 2! E 0p 0 2 +...+ 1 n! En p 0 n Utregning av de deriverte gir: E0 E 0 E 0 0 E 0 c2 E 0 E 0 0 E 0 3 c4 E 3 0 Settes disse inn i taylorpolynomet får man uttrykk 9: c 2 Ep E 0 + 1 p 2 3 1 2 E 0 4! c 2 E0 3 p 4 E 0 + p2 c 2 c 2 1 p 4 c 2 8 mc 2 3 E 0 + p2 p4 8m 3 c 2 Ep E 0 + p2 p4 8m 3 c 2
i På forelesning har vi diskutert hvordan man kan rettferdiggjøre Schrödingerligningen for en fri partikkel hvor V 0. Argumenter med utgangspunkt i uttrykket 9 hvorfor det følgende utgjør en rimelig relativistisk korreksjon til Schrödingerligningen 2 2 Ψ x 2 4 4 Ψ 8m 3 c 2 x 4 + E 0Ψ i Ψ t, 10 og vis at den har den samme fri-partikkel planbølgeløsningen som Schrödingerligningen Ψx, t e ikx ωt. 11 [2 poeng] Svar: Tar utganspunkt i TASL: i Ψ t ĤΨ, Ĥ gir oss energien til partikkelen, som vi nå kan skrive ved 9. Får da uttrykket: E 0 + p2 E 0 + i x 2 E 0 2 2 x 2 ĤΨ i Ψ t p4 8m 3 c 2 i x 4 8m 3 c 2 4 4 8m 3 c 2 x 4 Ψ i Ψ t Ψ i Ψ t Ψ i Ψ t Viser at Ψx, t e ikx ωt er en løsning ved innsetting i 10. 2 Ψ ik 2 Ψ 4 Ψ ik 4 Ψ Ψ x 2 x 4 t iωψ 2 Ψ x 2 4 4 Ψ 8m 3 c 2 x 4 + E 0Ψ i Ψ t 2 k2 Ψ 4 8m 3 c 2 k4 Ψ + E 0 Ψ ωψ 2 p 2 2 4 p 2 8m 3 c 2 4 + E 0 E 2 E 0 + p2 p4 8m 3 c 2 E Ser at Ψ satt inn i schrödingerlikningen gir ut uttrykket for energien, derfor er Ψ en løsning.
j Finn gruppehastigheten v g til en fri partikkel som beskrives av dierensialligningen i i. Sammenlign mv g med den relativistiske bevegelsesmengden p. Hvordan vil du tolke v g her? [2 Poeng] Svar: Fra schrödinger likningen får vi relasjonen ωk: ωk k2 3 8m 3 c 2 k4 + E 0 Vet at gruppehastigheten v g ωk k, får derfor: v g ωk k 2k 3 4k3 8m 3 c 2 p m 1 p 3 2c 2 m 3 v g m p1 1 p 2 2c 2 m 2 p1 1 p 2 c 2 2 m 2 c 4 Siden p 2 c 2 << m 2 c 4 p vil 2 c 2 << 1 m 2 c 4 og kan se på uttrykket som en rekkeutvikling av γ 1 der γ er Lorentz-faktoren. mv g p1 p2 c 2 v g p 1 m γ m 2 c 4 1/2 p γ Fra dette kan man tolke gruppehastigheten v g som den relativistiske hastigheten til partikkelen, man kan se på p uttrykt ved v g der man da får et relativistisk korrigerende ledd γ til massen. p mv g γ Setter man µ mγ der m er lik hvilemassen får man uttykket. p µv g
k Bruk dierensialligningen 10 til å nne numerisk transmisjonssannsynligheten, som funksjon av energien, til en partikkel beskrevet av initialbetingelsen 1 som møter potensialet i 3. Hvilke energier er det rimelig å anta at denne beskrivelsen er god for? Sammenlign med transmisjonssannsynligheten fra deloppgave d og g. [2 poeng] Svar: Modiserer programmet fra g og legger til en beregningsløkke for relativistisk korrigert schrödinger likning. Her brukes schrödingerlikningen 10 til å uttrykke Ψx, t + t ved Ψx, t. Resultatet ble en matriselikning som legges inn i programmet. [ I + ie 0 + V I i 1 x 2 D i 3 8m 3 c 2 1 x 4 R ] Ψx, t + t Ψx, t Der D og R er matriser med vektorene d [1, 2, 1] og r [1, 4, 6, 4, 1] sentrert langs en diagonalen i de respektive matrisene. Figur 5: Plott av simulering med relativistisk korreksjon opp mot tidligere simulering og analytisk løsning. Ser at sannsynligheten for transmissjon er veldig lik for både relativistisk og ikke-relativistisk simulering, dette er fordi de to schrödingerlikningene beskriver samme partikkel med energi E. Under simuleringen ser man at sannsynlihetsfordelingen til partikkelen er litt anderledes og at partikkelen beveger seg saktere i den relativistisk korrigerte simuleringen, men en like stor andel av bølgepakken transmitterer. Den relativistisk korrigerte simuleringen burde kun gjelde for p 2 c 2 << m 2 c 4, dette ser ikke ut til å påvirke de beregnede sannsynlighetene for transmissjon da p 2 c 2 4m 2 c 4 når E V 0 her er p beregnet som p l. Derfor kan det forventes et avvik fra simuleringen om p blir for høy. Programkode ligger som Vedlegg 1
Vedlegg 1 import scipy. sparse as sparse import s c i p y. s p a r s e. l i n a l g from s c i p y. i n t e g r a t e import simps from numpy import from matplotlib. pyplot import """ P h y s i c a l c o n s t a n t s """ _E0e 0. 511 # Rest energy f o r a proton [MeV] _hbarc 0. 1973 # [MeV pm] _c 3. 0 e2 # Spees o f l i g h t [pm / as ] V0 1 # [MeV] def Psi0 x, l 2.0 : x0 5.0 # [pm] a 1. 0 # [pm] A 1. / 2 pi a 2 0.25 K1 exp x x0 2 / 4. a 2 K2 exp 1 j l x return A K1 K2 def potentialwell x, V01, width 0.25 : p o t e n t i a l z e r o s l e n x p o t e n t i a l [ x < width ] V0 p o t e n t i a l [ x < 0 ] 0 return p o t e n t i a l i f name ' main ' : a 25 b 25 nx 10001 x l i n s p a c e a, b, nx dx x [1] x [ 0 ] T 0. 1 # [ as ] dt 1e 3 # [ as ] t 0 time_steps i n t T / dt k1 1 j _hbarc _c / 2. _E0e k2 1 j _c / _hbarc k3 1 j _hbarc 3 / 8. _E0e 3 _c 5 Psi Psi0 x PsiR Psi0 x data ones 3, nx data [ 1 ] 2 data [ 1 ] d i a g s [ 1,0,1] D2 k1 / dx 2 s p a r s e. s p d i a g s data, diags, nx, nx R_data ones 5, nx R_data [ 1 ] 4 R_data [ 1 ] R_data [ 2 ] 6 R_data [ 2 ] R_data [ 3 ] 4 R_data [ 3 ] R_diags [ 2, 1,0,1,2] R2 k3 / dx 4 s p a r s e. s p d i a g s R_data, R_diags, nx, nx I s p a r s e. i d e n t i t y nx E2 k2 I _E0e V_data potentialwell x V_diags [ 0 ] V k2 sparse. spdiags V_data, V_diags, nx, nx #THEORETICAL VALUES L 0. 25 V0 1. 0 m 0.511 Es l i n s p a c e _hbarc 2/8 0.511, V0, 100 k1 s q r t 2 m Es / _hbarc k2 s q r t 2 m V0 Es / _hbarc T_theo 1 + exp k2 L exp k2 L 2 / 16 Es/V0 1 Es/V0 1 ion f i g f i g u r e ax f i g. add_subplot 111 l i n e, ax. p l o t x, abs Psi 2, l a b e l '$ \ Psi x, t ^2 $ ' liner, ax. p l o t x, abs PsiR 2, l a b e l '$ \ Psi_R x, t ^2 $ ' ax. p l o t x, V_data, l a b e l '$V x $ ' ax. g r i d ' on ' ax. s e t _ x l a b e l ' $x$ [pm] ' ax. s e t _ y l a b e l ' $ \ Psi x, t ^2 $ [ 1 /pm] and $V x $ [MeV] '
ax. legend l o c ' best ' draw N 15 Es2 l i n s p a c e _hbarc 2/8 m, V0, N l s s q r t 2 0.511 Es/_hbarc 2 1. / 4 Ts [ ] TsR [ ] f o r Ess in Es2 : l_ss s q r t 2 _E0e Ess / _hbarc 2 2 a 2 Psi Psi0 x, ll_ss PsiR Psi0 x, ll_ss t 0 print "p^2c ^2",_hbarc l_ss 2 print "p^2c^2/e0^2 ", _hbarc l_ss 2/_E0e 2 while t < T: A I dt / 2. D2 + V b I + dt / 2. D2 + V Psi AR I dt / 2. D2 + R2 + V + E2 br I + dt / 2. D2 + R2 + V +E2 PsiR PsiR s p a r s e. l i n a l g. s p s o l v e AR, br Psi s p a r s e. l i n a l g. s p s o l v e A, b t + dt l i n e. set_ydata abs Psi 2 liner. set_ydata abs PsiR 2 draw Ts. append simps abs Psi [ x > L ] 2, dxdx TsR. append simps abs PsiR [ x > L ] 2, dxdx c l o s e ' f i g ' i o f f f i g u r e p l o t Es2/V0, Ts, ' b ', l a b e l ' Nummerisk Ikke r e l a t i v i s t i s k ' p l o t Es2/V0, TsR, ' g ', l a b e l ' Nummerisk R e l a t i v i s t i s k ' p l o t Es/V0, T_theo, ' r ', l a b e l ' Analytisk ' x l a b e l ' $E/V0$ ' y l a b e l ' $T$ ' legend show