ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN Espen B. Langeland realfagshjornet.wordpress.com espenbl@hotmail.com 9.mars 017 Dagens artikkel omhandler annengradsligninger, og deres grafer parabler. 1 Annengradsligninger 1.1 Abc-formelen En annengradsligning er generelt gitt på formen ax + bx + c = 0 der a, b og c er vilkårlige tall, men a = 0 Utledning av abc-formelen: ax + bx + c = 0 ax a + bx a + c a = 0 a x + b a x + c a = 0 x + b a x = c a Man lager et fullstendig kvadrat: (x + b ) = c a + ( b ) (x + b ) = 4a c 4a a + b 4a 1
(x + b ) = b 4ac 4a Man trekker ut kvadratroten på begge sider: (x + b b 4ac ) = 4a (x + b ) = ± b 4ac 4a x = b ± b 4ac x = b ± b 4ac (abc-formelen) Diskriminanten b 4ac avgjør løsningene b 4ac < 0 ingen løsning (*) b 4ac = 0 en løsning b 4ac > 0 to løsninger De to løsningene er x = b + b 4ac x = b b 4ac (*) Dette skyldes at man ikke kan trekke ut kvadratroten av negative tall. 1. Eksempel Gitt x 3x + = 0 Her er a = 1, b = 3 og c =. Algoritmen for løsningen er akkurat den samme som utledningen av abc-formelen: x 3x + = 0 x 3x =
Man lager et fullstendig kvadrat: (x 3 ) = + ( 3 ) (x 3 ) = + 1 4 (x 3 ) = 1 4 Man trekker ut kvadratroten på begge sider: (x 3 1 ) = 4 (x 3 ) = ± 1 x = 3 ± 1 x = 3 + 1 = x = 3 1 = 1 Parabelen Annengradsfunksjoner kalles parabler. Parabler er grafiske fremstillinger av annengradsligninger. Gitt ved f (x) = ax + bx + c der a, b og c er vilkårlige tall, men a = 0 Illustrasjon av parabler: 3
Dersom a > 0 Grafen har bunnpunkt Dersom a < 0 Grafen har toppunkt Langs x-aksen er y=0. Ved å beregne y = f (x) = ax + bx + c = 0 finner man grafens skjæringspunkter med x-aksen. Dette gir selvsagt det samme svaret som abc-formelen: x = b ± b 4ac Man vil ha følgende: b 4ac < 0 ingen skjæringspunkter med x-aksen b 4ac = 0 et skjæringspunkt med x-aksen b 4ac > 0 to skjæringspunkter med x-aksen 4
En parabel har alltid en symmetrilinje. Denne finnes ved å beregne gjennomsnittet av de to generelle løsningene i abc-formelen: x sym = b+ b 4ac + b b 4ac = b Dette gjelder uansett, også når diskriminanten er negativ (blir borte i regnestykket). En parabel ligger altså alltid symmetrisk om symmetrilinjen x sym. Langs y-aksen er x=0. Ved å beregne f (0) = a 0 + b 0 + c = c finner man grafens skjæringspunkt med y-aksen. En parabel f (x) = ax + bx + c skjærer altså alltid y-aksen ved c. 3 Komplekse røtter 3.1 Teori En rot (eller flere røtter) er en betegnelse på en løsning av en ligning. I 1 Annengradsligninger med utledning av abc-formelen arbeidet vi innenfor det reelle tallsystemet. Reelle tall er alle vanlige tall langs tallinjen. Illustrasjon: Kvadratroten av negative tall er ikke definert innenfor det reelle tallsystemet. Man kan utvide til det komplekse tallsystemet, der kvadratroten til negative tall også er definert. Da vil også annengradsligninger med b 4ac < 0 ha løsninger. Et komplekst tall er et tall på formen z = x + iy 5
der x og y er reelle tall og i = 1. Et komplekst tall vil ligge i et plan istedenfor langs en linje: Realdelen (x) til z ligger langs førsteaksen og imaginærdelen (y) til z ligger langs annenaksen. Punktet (a, b) på figuren er en geometrisk fremstilling av tallet a + ib En grafisk fremstilling av annengradsfunksjoner der b 4ac < 0 : 6
Parabelen vil enten ha bunnpunkt over x-aksen (a > 0), eller toppunkt under x-aksen (a < 0). I begge tilfeller ingen skjæringspunkter med x-aksen. Her har vi altså ingen reelle løsninger av y = f (x) = ax + bx + c = 0 Man har derimot de komplekse løsningene: x = b ± b 4ac x = b ± 1 ( (b 4ac)) x = b ± 1 (b 4ac) x = b ± i (b 4ac) x = b + i (b 4ac) x = b i (b 4ac) 7
Antall komplekse løsninger av ligninger opptrer alltid i par, dvs. de må være 0,, 4, osv. En annengradsligning vil derfor alltid ha en av følgende løsninger basert på diskriminanten b 4ac : b 4ac < 0 ingen reelle løsninger og to komplekse løsninger b 4ac = 0 en reell løsning (en dobbeltrot) b 4ac > 0 to reelle løsninger 3. Eksempel Gitt x x + = 0 Denne gangen sløyfer jeg utregningen, og setter a = 1, b = og c = inn i abc-formelen: x = b ± b 4ac (abc-formelen, (*)) x = ( ) ± ( ) 4 1 1 x = ± 4 8 x = ± 4 x = ± 1 4 x = ± 1 4 x = ± i x = 1 ± i x = 1 + i x = 1 i (*) Utregningen ender uansett opp med abc-formelen. 8
(C) Copyright Espen B. Langeland 017 MER OM ARTIKKELENS TEMA FINNES I EN BOK JEG HAR SKREVET: MATEMATIKKLEKSIKON FOR VIDEREGÅENDE SKOLE Her finner man også alle andre emner innen den videregående skoles matematikk. Mer informasjon om boken finnes under hjemmeside her på Realfagshjørnet. Bl.a. oversikt over kapitler og noe generell omtale. Boken kan bestilles under hjemmeside her på Realfagshjørnet eller forlagets hjemmeside: www.forlag.tk COPYRIGHT-MERKNAD: All gjengivelse av artikkelen på nettet eller annen måte er forbudt. Innholdet må ikke misbrukes i en skole- eller studie-sammenheng eller på annen måte som fusk, plagiat osv. Nedlasting er kun tillatt til personlig bruk. Kommersiell bruk av denne artikkelen er selvsagt også ulovlig. Å lage lenke til dette pdf-dokumentet eller realfagshjørnet generelt er tillatt for alle eksterne websider/hjemmesider. Med unntak: Websider med rasistisk, pornografisk eller på annen måte svært upassende innhold vil imidlertid bli bedt om å fjerne en slik lenke. 9