Innhold. Ø. Holter, F. Ingebretsen og H. Parr: Fysikk og energiressurser

Innhold 4 Litt kjernefysikk 2 4.1 Nuklidekartet................................... 2 4.2 Bindingsenergi og halvempirisk masseformel.................. 4 4.3 Radioaktivitet................................... 7 4.3.1 Radioaktiv desintegrasjon........................ 7 4.3.2 Halvveringstid.............................. 8 4.3.3 Radioaktive kjeder............................ 8 4.4 Kjernereaksjoner................................. 10 4.4.1 Energibevarelse, Q-verdi......................... 11 4.4.2 Virkningstverrsnitt............................ 11 4.4.3 Fluks og reaksjonsrate.......................... 14 4.4.4 Nøytroninduserte reaksjoner....................... 15 Ø. Holter, F. Ingebretsen og H. Parr: Fysikk og energiressurser Blindern, 13. januar 2010 1

Kapittel 4 Litt kjernefysikk I vår beskrivelse av naturen er det fire grunnleggende krefter; gravitasjon, elektromagnetiske krefter og sterk og svak vekselvirkning. Atomkjernen er et system av nukleoner, protoner og nøytroner, som er bundet sammen ved sterk vekselvirkning, også kalt kjernekrefter. Et nukleon som er påvirket av kjernekrefter vil derfor ha en potensiell energi kalt bindingsenergi. Som vi skal se, varierer den midlere bindingsenergi pr. nukleon fra kjerne til kjerne, med et maksimum for kjerner med litt over 50 nukleoner. Denne forskjellen i bindingsenergi kan derfor frigjøres ved enten å dele en tung kjerne (fisjon), eller ved å smelte sammen to lette kjerner (fusjon). Vi vil gi en oversikt over de fysiske fenomen og de begreper som er nødvendige for å forstå hvordan atomkjernens bindingsenergi kan frigjøres. Videre vil det i slike prosesser nesten alltid dannes radioaktive kjerner. Dette er et avfallsproblem som må gis meget stor oppmerksomhet. Vi vil derfor også gi en elementær innføring i radioaktivitet. Det eksisterer en mengde elementære lærebøker innen kjernefysikk, for mer detal informasjon om emnet henvises f.eks. til referansene [7], [4], [5], [6], [2]. 4.1 Nuklidekartet Atomkjernen for det kjemiske grunnstoff X skrives som A Z X N, der Z er antall protoner, N antall nøytroner og følgelig er nukleontallet, A, gitt ved A = Z + N. Siden Z implisitt er gitt ved det kjemiske symbolet, sløyfes Z og N, eks.: 60 Co; 90 Sr; 238 U. En alternativ skrivemåte er: Cobolt-60, Strontium-90 og Uran-238. Protoner og nøytroner kalles med en fellesbetegnelse nukleoner, samlingen av nukleoner i en kjerne kalles en nuklide. I naturen finner vi som regel grunnstoff med forskjellig antall nøytroner N. Disse kaller vi grunnstoffets isotoper. Vi kan også produsere forskjellige isotoper kunstig, f.eks. i en fisjonsreaktor. Av isotoper som dannes i naturen eller som er kunstig produsert, er noen stabile, andre er ustabile. En ustabil isotop vil før eller senere desintegrere til en ny kjerne ved utsendelse av en eller flere partikler. En slik ustabil kjerne sier vi er radioaktiv, selv om aktiviteten er et engangsfenomen for en enkelt kjerne. Ser vi bort fra de små mengder isotoper som dannes ved radioaktiv desintegrasjon, er den relative forekomst av stabile isotoper i naturen konstant. For eksempel vil det over alt i naturen finnes stabilt Karbon (Carbon) i forholdet 98,89 % 12 C og 1,11 % 13 C. 2

4.1. NUKLIDEKARTET 3 Tegner vi alle kjente kjerner inn i et koordinatsystem med N og Z langs hhv. x- og y-aksen, får vi et nuklidekart. I et nuklidekart representeres hver isotop med en firkant med en del data, som den relative forekomst, evt. radioaktiv desintegrasjonsmåte, halveringstid osv. Et utsnitt fra et nuklidekart er vist i figur 4.1. Figur 4.1: Nuklidekart med detaljert utsnitt rundt masse 86 (en del detaljer i utsnittet er utelatt). Nuklider som finnes i naturen er merket med en sort firkant. Konturene omkring de sorte firkantene avgrenser området for radioaktive nuklider som er observert. Generelt er nuklidekart ikke standardiserte, men opplysninger som finnes er ofte gitt som i eksemplet figur 4.1. Hver nuklide har sitt firkantete felt i et N Z koordinatsystem, med det kjemiske symbol og massetallet. Naturlig forekommende radioaktive isotoper, med halveringstid sammenlignbar med jordas geologiske alder eller som dannes ved radioaktiv desintegrasjon eller ved kosmisk stråling kan være markert på forskjellig vis, men er alltid oppgitt med et tall rett under det kjemiske symbol, der tallet er naturlig forekomst i prosent. Under det kjemiske symbol står også evt. halveringstid i sekund (s), minutt (m), time (h), døgn (d), eller år (y). Har nukliden en isomer tilstand (dvs. eksitert tilstand med lang halveringstid), er nedre del av firkanten delt vertikalt, som f.eks for 83 Kr på figur 4.1. For øvrig er 83 Kr stabil, forekomst 11,5 %, og med isomer-halveringstid på 1,83 timer. Radioaktiv desintegrasjon er gitt med symbol for stråletype, etterfulgt av energi(er) i MeV. 1 Symbolene (som ikke er vist på fig. 4.1) er: 1 I kjernefysikken brukes ofte energienheten MeV. Siden masse og energi er ekvivalente størrelser, oppgis også masse ofte i MeV.

4 KAPITTEL 4. LITT KJERNEFYSIKK α alfapartikler; β beta (+ eller ); γ gammastråling; n,p nøytron, proton; ǫ eletroninnfanging (electron capture); e konversjonelektron (et atomært elektron dyttes ut); SF spontan fisjon (f.eks. uran); IT isomer-overgang (eksitert kjerne m/lang halveringstid); E total desintegrasjonsenergi MeV. Videre er følgende symboler relevante for nøytronindusert fisjon: σ innfangingstverrsnitt for termiske nøytroner. Har sluttkjernen en isomertilstand, gis σ for både denne og for grunntilstanden; nukliden er fisjonsprodukt fra 235 U eller 239 Pu. Nederst gis isotopvekt ( 12 C skala) for alle stabile isotoper. Nuklidekartet er et oversiktlig og greit oppslagsverk i vår sammenheng, samtidig som det gir mye informasjon om fysikken i de fenomener vi skal konsentrere oss om. Vi finner også (som regel) massefordelingen for fisjonsprodukter på nuklidekartet. Kartets generelle utseende gir umiddelbart en fysikalsk forståelse av fenomenene fisjon og fusjon. Studerer vi et nuklidekart nærmere ( dvs. en mere detaljert figur 4.1), finner vi: 1. For stabile kjerner finner vi Z N for små A. Når A øker får vi et økende nøytronoverskudd. 2. Vi finner flest stabile kjerner med både Z og N lik jamne tall. For både Z og N odde finnes kun noen få stabile kjerner (kan ikke sees på figuren). 3. Radioaktive kjerners halveringstid er ofte kortere jo lenger de ligger fra de stabile (kan vanskelig sees på figuren). 4. For noen Z og N, f.eks. 20, finnes flere stabile kjerner enn for nærliggende verdier. Disse tall kalles magiske, og tilsvarer ekstra stabile nukleon-konfigurasjoner i analogi med edelgassenes elektronkonfigurasjon. 4.2 Bindingsenergi og halvempirisk masseformel Nukleonenes bevegelse i atomkjernen beskrives ved hjelp av kvantemekanikk, og mange av de fenomener vi finner vil derfor ikke ha sin umiddelbare parallell i den makroskopiske verden. Allikevel er det mulig å få en kvalitativ fysikalsk forståelse av en rekke av kjernens egenskaper ved hjelp av enkle halvklassiske betraktninger. Den enkleste kjernemodellen, der kjernen betraktes som en inkompressibel væskedråpe, er en typisk halvklassisk modell. Denne kan brukes til å gi en kvalitativ beskrivelse av fisjon, men vi skal hele tiden være oppmerksomme på at modellen har alvorlige begrensninger. I energisammenheng er de forskjellige kjerners masse en viktig størrelse. Setter vi A nukleoner sammen til en kjerne, vil vi få en kjerne som har mindre masse enn A nukleonmasser. Differansen representerer kjernens bindingsenergi. Vekselvirkningen mellom nukleonene er ikke tilstrekkelig kjent til at en formel for en vilkårlig kjernes masse kan settes opp. Det enkleste vi kan gjøre er derfor å lage en masseformel der den matematiske form bestemmes ut fra fysikalske betraktninger ved å studere

4.2. BINDINGSENERGI OG HALVEMPIRISK MASSEFORMEL 5 systematikken i nuklidekartet figur 4.1. De numeriske størrelser bestemmes ved tilpassing til målte verdier. Den enkleste masseformelen vi kan lage er en sum av følgende seks ledd som vi kort skal begrunne: 1. Kjernens masse er til første orden bestemt av antall protoner og nøytroner, og dette gir det største bidraget til massen: Zm p + Nm n. 2. Hvert nukleon bindes ved kortrekkende kjernekrefter til de andre nukleonene i den umiddelbare nærhet. Massen får derfor et fradrag som er proporsjonalt med antall nukleoner; a 1 A. 3. Punkt 2 må modifiseres fordi nukleonene på kjernens overflate ikke er så sterkt bundet som de øvrige. Massen øker derfor når overflaten øker, altså med R 2, som gir et ledd a 2 A 2/3. 4. Fra nuklidekartet vet vi at lette kjerner har Z = N. Dette skyldes kjernekreftenes egenskaper og kjernens indre struktur, som vi her bare må akseptere. Vi inkluderer derfor et symmetriledd som favoriserer Z = N; a 3 (Z N) 2 /A. 5. Protonene er ladet og vil frastøte hverandre. Ser vi på kjernen som en uniformt ladet kule, vil de elektrostatiske kreftene øke massen proporsjonalt med Z 2 /R. Dette Coulombleddet skrives som a 4 Z(Z 1) A 1/3. 6. Like nukleoner har en tendens til å pare seg til en stabil enhet, noe som forklarer at vi finner flest stabile kjerner der både Z og N er like tall. Dette gir et bidrag til den totale massen; δ A 3/4, Avhengig av antall u-parede nukleoner har vi δ = a 5 for både Z og N like (like like kjerner); δ = 0 for Z eller N odde (Z + N odde); δ = a 5 for både Z og N odde (odde-odde kjerner). Summen av alle bidragene gir masseformelen M(A,Z) = Zm p + Nm n a 1 A + a 2 A 2/3 (Z N) 2 Z(Z 1) +a 3 + a 4 A A 1/3 + δ A3/4. (4.1) De ukjente koeffisientene a i tilpasses målte verdier for kjernemasser. Et sett slike koeffisienter er [3]: a 1 = 15,56; a 2 = 17,23; a 3 = 23,19;a 4 = 0,71; a 5 = 33,5, (4.2)

6 KAPITTEL 4. LITT KJERNEFYSIKK hvor alle tall er i MeV 2. Kjernens totale bindingsenergi er, som nevnt ovenfor, gitt ved massedifferansen Zm p + Nm n M(A,Z). Bindingsenergien pr. nukleon blir derfor: B(A,Z) = [Zm p + Nm n M(A,Z)]/A = a 2 a 1 [ A 1/3 + a (2Z A) 2 Z(Z 1) 3 A 2 + a 4 A 4/3 + δ A Denne likningen gir oss en kvalitativ forståelse av en rekke fenomener. 7/4]. (4.3) Figur 4.2: B(A, Z) sammenliknet med like-like kjerner. Den glatte kurven er den tilpassede halvempiriske formelen som er beskrevet i teksten. For konstant A representerer uttrykket for massen, likn. (4.1), en parabel som funksjon av Z. Ved å derivere bindingsenergien B(A,Z) gitt ved likn. (4.3) mhp. Z, finner vi bindingsenergiens maximum fra db(a, Z) dz 2Z A 2Z 1 = [2a 3 A 2 + a 4 ] = 0. A4/3 Herav kan vi utlede en halvempirisk stabilitetslinje gitt ved Z m = 1 ( ) A 1 1 + 2 1 + a 4 4a 3 A 2/3. (4.4) For små A, A ( 4a 3 a 4 ) 3 2, ser vi at stabilitetslinjen tilnærmet er gitt ved Z A/2 eller Z N. De stabile kjerner ligger i et smalt område ved stabilitetslinjen, slik det framgår av nuklidekartet i figur 4.1. Ustabile kjerner som ligger utenfor dette område vil, f. eks. ved β utsendelse, endre forholdet Z/N, slik at de kommer nærmere stabilitetslinjen. 2 Merk at massen er her gitt i energienheten MeV. For å få det til, har vi multiplisert begge sider av likningen med c 2 (lyshastigheten kvadrert).

4.3. RADIOAKTIVITET 7 Bindingsenergien pr. nukleon langs stabilitetslinjen er gitt ved B(A) = B(A,Z m (A)), hvor Z m (A) er gitt ved likn. (4.4). Figur 4.2 viser hvordan en slik kurve går i forhold til eksperimentelle data [1]. Vi ser av figuren at B(A) først vil øke og deretter avta med økende nukleontall A. Kurvens maksimum er for A 50, og den midlere bindingsenergi er ca. 8 MeV. Det vil derfor være energetisk fordelaktig å la lette kjerner fusjonere, eller å la tunge kjerner, med A 80, dele seg i to (fisjonere). Vi vet at dette praktisk talt ikke skjer i naturen, noe som skyldes at interne vekselvirkninger mellom partiklene i kjernen hindrer dette. 4.3 Radioaktivitet Kjerner som befinner seg langt fra stabilitetslinjen vil enten kvitte seg med ett eller flere nukleoner, eller transformere protoner over til nøytroner (eller omvendt) til stabilitetsområdet nås. Dette kalles radioaktivitet, og forekommer både i naturen og som et resultat av induserte kjernereaksjoner. For eksempel vil fisjonprodukter være nøytronrike, langt fra stabilitetsområdet, og derfor være radioaktive. 4.3.1 Radioaktiv desintegrasjon Kjerner med stort nøytronoverskudd desintegrerer oftest ved e (β ) utsendelse; f.eks.: 14 C 14 N + β + η, hvor η betegner et antinøytrino. Kjerner med protonoverskudd desintegrerer oftest ved utsendelse av β + ; f.eks.: 64 Cu 64 Ni + β + + η. (η=nøytrino). Denne kjernen kan for øvrig også desintegreres ved å fange inn et elektron fra innerste bane (K-innfanging), dvs.: 64 Cu + e 64 Ni + η. β-desintegrasjon er en relativt langsom prosess. Dersom det er energetisk mulig og andre eventuelle barrierer ikke eksisterer, kan vi også få partikkelutsendelse; viktigst er 4 He (alfapartikkel) og n (nøytron), f.eks.: 239 Pu 235 U + 4 He. 87 Br 87 Kr + β + η 86 Kr + n 87 Kr + γ 87 Kr + β + η Figur 4.3: Eksempel på alternativ radioaktiv desintegrasjon som starter fra 87 Br.

8 KAPITTEL 4. LITT KJERNEFYSIKK Sluttproduktet fra en partikkel- eller beta-desintegrasjon kan befinne seg i en eksitert energitilstand. Eksitasjonsenergien vil som regel frigis ved utsendelse av gammastråler, men vi kan også få partikkel-utsendelse fra eksiterte tilstander. I enkelte tilfeller kan gammadesintegrasjon av et eksitert energinivå være sterkt forhindret på grunn av de involverte nivåenes indre struktur. Slike langtlevende eksiterte tilstander kalles isomertilstander (ex. 86 Rb, figur 4.1). En radioaktiv kjerne eller en eksitert kjerne kan ofte desintegrere på mer enn én måte. Et eksempel er gitt i figur 4.3. Hver desintegrasjonsmåte har en bestemt relativ sannsynlighet. 4.3.2 Halvveringstid Radioaktiv desintegrasjon er en stokastisk (tilfeldig) prosess. Sannsynligheten for desintegrasjon i et tidsrom dt er proporsjonalt med dt, uavhengig av hvor lenge kjernen har eksistert. Har vi N radioaktive kjerner vil antall desintegrasjoner pr. tidsenhet, dvs aktiviteten, også være proporsjonal med N; dn dt = λn. (4.5) Aktiviteten blir tallverdien av dn/dt. Enheten for aktivitet er Bequerel (Bq), som er én desintegrasjon pr. sekund. Enheten er forøvrig definert i kapittel 7. Faktoren λ kalles desintegrasjonskonstanten, og er en naturkonstant for den aktuelle kjerne. Kaller vi N ved t = 0 for N 0 og integrerer, finner vi den kjente eksponensielle desintegrasjonsloven; Den midlere levetiden er gitt ved N = N 0 e λt. (4.6) τ = 0 te λt dt 0 e λt dt = 1 λ. (4.7) I strålingsfysikken brukes oftest halveringstid, dvs. den tid det tar til N = N 0 /2; 4.3.3 Radioaktive kjeder T1 2 = τ ln(2) = 0,6931 τ. (4.8) Figur 4.4: 135 Xe konsentrasjon etter reaktorstopp ved t = 0. Fenomenet kalles Xenonforgiftning.

4.3. RADIOAKTIVITET 9 Sluttkjernen (ofte kalt datterkjernen) fra en radioaktiv desintegrasjon kan også være radioaktiv. Vi får en radioaktiv kjede som til slutt ender i en stabil kjerne. Dette gjelder de fleste fisjonsprodukter, ett eksempel er kjeden fra 135 Te: 135 Te <1m 135 I 6,7h 135 Xe 9,2h 135 Cs 2 106 y 135 Ba. (4.9) (Halveringstidene er angitt over hver pil.) En slik β kjede finner vi på en rett linje med stigningsforhold -1 på nuklidekartet. Kjeden gitt ved likn. (4.9) gir forøvrig opphav til den såkalte Xenon-forgiftning i en fisjonsreaktor. Vi ønsker nå å finne antall 135 Xe kjerner som funksjon av tiden. Ved tiden t = 0 har vi I 0 kjerner 135 I og X 0 kjerner 135 Xe. Forandringen dx i antall Xe-kjerner finner vi ved følgende likning: dx = λ X Xdt + λ I Idt. Nå vet vi at I = I 0 e λ It (vi ser bort fra 135 Te s korte halveringstid), og vi får: dx dt = λ XX + λ I I 0 e λ It. Med grensebetingelsen X = X 0 for t = 0, kan løsningen 3 av differensiallikningen skrives som X(t) = λ II 0 λ X λ I (e λ It e λ Xt ) + X 0 e λ Xt. (4.10) På tilsvarende måte kan vi nå finne antall kjerner i neste ledd i den radioaktive kjeden, osv. Forløpet X(t) er vist i figur 4.4. Vi lar nå I og X bety mengden av de to første radioaktive kjerner i en desintegrasjonskjede. For det spesielle tilfelle at λ I λ X, svarende til at den første kjerne har mye lenger halveringstid enn den andre, kan likn. (4.10) etter lang tid t skrives: X(t) λ I λ X I 0 e λ It = λ I λ X I(t). (4.11) Etter en viss tid oppstår altså likevekt mellom X og I. Den radioaktive kjernen X får tilsynelatende den samme halveringstid som I, og likevektsforholdet blir: X(t) I(t) = λ I λ X. (4.12) Tilsvarende forhold gjelder for senere ledd i en radioaktiv kjede dersom første kjerne har lengst halveringstid av alle. Et eksempel på et slikt forhold er den radioaktive kjeden som følger α desintegrasjon av 238 U, der 238 U har lengst halveringstid. En tilsvarende likevektstilstand får vi i en reaktor, der en mengde radioaktive kjerner dannes kontinuerlig. Ser vi på en slik kjerne X, og antar at den bare forsvinner ved radioaktiv desintegrasjon, varierer antall X etter følgende likning: dx = Fdt λ X Xdt, (4.13) 3 Løsningen av denne differensiallikning kan skrives som en sum, X = X h +X p, av den homogene løsning X h = Ce λ Xt, hvor C er en konstant som bestemmes av grensebetingelsen, og den partikulære løsning X p = λ I λ X λ I I 0e λ It.

10 KAPITTEL 4. LITT KJERNEFYSIKK hvor F er antall kjerner X som dannes pr. tidsenhet i reaktoren. Ved å integrere denne likning etter samme framgangsmåte som ga likn. (4.10), får vi X(t) = F λ X (1 e λ Xt ). Etter lang tid, t 1/λ X, får vi tilnærmet likevektsantallet X gitt ved X = F λ X, (4.14) som svarer til at dannelsesraten er lik desintegrasjonsraten; dvs. dx = 0. For t = 4τ1 får 2 vi e λxt = 1/16, dvs. etter ca. fire halveringstider er X(t) ca. 6 % fra likevektsverdien X. 4.4 Kjernereaksjoner Radioaktivitet kan også induseres ved at en partikkel a treffer en kjerne A. Partikkelen kan være en kjerne, et nukleon eller et gammakvant. I en fisjonsreaktor vil a være et nøytron, i en fusjonsreaktor vil både a og A være partikler i brenselet, fortrinnsvis deuterium, 2 H, og tritium, 3 H. Sluttproduktet etter en kjernereaksjon vil i de fleste tilfeller være en eller to partikler, som regel en tyngre sluttkjerne B og en lettere partikkel b. Dette kan skrives a + A B + b. Konvensjonen i kjernefysikken er å skrive dette som For eksempel betyr 10 B(n, 4 He) 7 Li A(a,b)B. n + 10 B 7 Li + α (α 4 He). I en kjernereaksjon gjelder følgende viktige bevaringssatser: 1. Nukleontallet er bevart. 2. Ladningen er bevart. 3. Energien (inkludert alle masser) er bevart. 4. Bevegelsesmengde (massefart) og bevegelsesmengdemoment (angulært moment) er bevart. Den teoretiske beskrivelse av kjernereaksjoner er komplisert. I mange reaksjoner dannes først en mellomkjerne som glemmer sin fortid før eventuelle partikler sendes ut. Denne reaksjonsmekanismen observerer vi oftest ved lave energier, fra noen MeV og nedover, og kalles mellomkjernereaksjon. En viktig egenskap ved mellomkjernereaksjoner er at sannsynligheten for reaksjonen, virkningstverrsnittet, varierer sterkt med den innkomne partikkels energi. Når energien nøyaktig tilsvarer en mulig energitilstand i mellomkjernen, vil virkningstverrsnittet være stort, dette kalles en resonans. Kjennskapet til resonanser i de aktuelle reaksjoner som foregår i en reaktor er viktig, som vi senere skal se. Vi finner en mengde resonanser i nøytroninduserte reaksjoner (se fig. 4.6, side 12), dette er bl.a. viktig ved avling av plutonium fra uran. Videre har reaksjonen 3 H( 2 H,n) 3 He en bred resonans ved ca. 100 kev, hvilket gjør at nettopp denne reaksjonen er lettest (eller minst vanskelig), å få til i en fusjonsreaktor.

4.4. KJERNEREAKSJONER 11 En partikkel som forsøker å trenge inn i eller komme ut av en kjerne vil som regel støte mot en barrière. Den vanligste barrièren skyldes Coulomb-frastøtingen som en ladet partikkel opplever når den nærmer seg kjernen. En skulle derfor tro at partikkelen må ha energi nok til å komme over barrieren i klassisk forstand. Det viser seg imidlertid at atomære partikler ifølge kvantemekanikken har en endelig sannsynlighet for å trenge gjennom en barrière. Dette kalles tunneleffekten, og er en avgjørende effekt i denne sammenheng. Det er tunneleffekten som gjør at urankjerner er radioaktive og sender ut alfapartikler, at transuranene fisjonerer spontant, at ladde partikler i sola fusjonerer osv.. 4.4.1 Energibevarelse, Q-verdi Ser vi bort fra bindingsenergien for atomære elektroner, får vi følgende energiregnskap for en kjernereaksjon: T i + M a + M A = T f + M b + M B. T i og T f er kinetisk energi henholdsvis før og etter reaksjonen. Massene M er her gitt i energienheter. Denne likningen gjelder selv om sluttkjernen er eksitert, idet massen da er tilsvarende høyere. Reaksjonens Q verdi er den energi som frigjøres ved reaksjonen, Q M A + M a (M B + M b ) = T f T i. (4.15) Q er derfor også gevinsten i kinetisk energi. En reaksjon er bare mulig dersom Q er positiv. For eksempel vil nøytronindusert fisjon i 235 U ha en Q-verdi rundt 200 MeV, mens reaksjonen 10 B(n, 4 He) 7 Li har Q = 2,8 MeV. Imidlertid er det viktig å huske at en reaksjon ikke nødvendigvis inntreffer selv om Q er positiv; det kan finnes barrierer som hindrer reaksjonen. Q-verdien for en reaksjon finner vi i tabeller. Den kan også beregnes fra massetabeller, f.eks. [8], ved bruk av likn. (4.1). 4.4.2 Virkningstverrsnitt Mens Q-verdien forteller om reaksjonen er energetisk mulig, forteller virkningstverrsnittet hvor sannsynlig reaksjonen er. Generelt er virkningstverrsnittet energiavhengig og betegnes gjerne σ(e). For å konkretisere begrepet ser vi igjen på reaksjonen 10 B(n, 4 He) 7 Li. Vi tenker oss en situasjon som i figur 4.5. Vi har valgt en tynt skiveformet volum Figur 4.5: Kjernereaksjon (f.eks. reaksjonen 10 B(n, 4 He) 7 Li) for illustrasjon av begrepet virkningstverrsnitt. dv = Adx,

12 KAPITTEL 4. LITT KJERNEFYSIKK hvor A er arealet og dx er tykkelsen. Innenfor volumet dv har vi NdV atomer, der N er tettheten av kjerner. Loddrett på arealet kommer monoenergetiske nøytroner med en intensitet I n. Noen nøytroner passerer volumet, andre deltar i den aktuelle kjernereaksjonen. Fra reaksjonene observerer vi en flux df α av α-partikler ut av volumet pr. tidsenhet. Vi tenker oss virkningstverrsnittet som den effektive blink hver kjerne representerer. Alle nøytroner som treffer en blink induserer en reaksjon, de som bommer går fri. 4 Alle kjerner i volumet utgjør et samlet blink areal NσdV, idet vi antar at skiven er så tynn at ingen av blinkene ligger bak hverandre. Reaksjonsraten df α, dvs. antall nøytroner som pr. tidsenhet treffer blink-arealet er gitt ved df α = AI n σnadx A = NσI n dv. (4.16) Virkningstverrsnittet for kjernereaksjoner som varierer meget sterkt, uttrykkes med enheten barn som er lik 10 28 m 2. Som en kuriositet kan nevnes at for langsomme (termiske) nøytroner er σ = 3813 barn for reaksjonen i figur 4.5, mens 10 B-kjernens geometriske tverrsnitt er av størrelsesorden 0,5 barn! Vi måler virkningstverrsnittet ved å registrere hvor mange α-partikler som blir dannet pr. tidsenhet. Alternativt kunne det måles ved å observere hvor mange nøytroner som blir fjernet fra den opprinnelige nøytronstrålen. Siden nøytronene kan bli fjernet fra strålen via flere forskjellige reaksjoner, ville vi i dette tilfelle måle summen av alle virkningstverrsnitt, som vi kaller det totale virkningstverrsnitt. Figur 4.6: Totalt nøytronindusert virkningstverrsnitt for 238 U og 235 U. Figur 4.6 viser det totale nøytrontverrsnittet (elastisk spredning + uelastisk spredning + innfanging + fisjon) for 238 U og 235 U (ref. [2]). Vi kan grovt dele energien inn i tre 4 Dette er noe ufysikalsk. I kvanteverden kan nøytroner som treffer blinken passere uforstyrret, mens nøytroner som bommer kan indusere reaksjonen. Statistisk sett kan vi imidlertid bruke vår forenklede modell.

4.4. KJERNEREAKSJONER 13 områder: 1. For lave energier går tverrsnittet omtrent som 1/ E. Dette kalles for 1/v-området, der v er hastigheten. 2. For noe høyere energier er det sterke variasjoner, området kalles for resonansområdet". 5 3. Over resonansområdet er det mindre struktur i σ, som stadig avtar med energien. Dette kalles hurtig fisjon området. Legg merke til at σ her er 2 3 størrelsesordener mindre enn i 1/v-området for 235 U. Makroskopisk virkningstverrsnitt Virkningstverrsnittet forteller oss noe om de individuelle kjerner som inngår i en reaksjon. For virkningen av mange identiske kjerner som blir bestrålt av en partikkelstrøm, la oss igjen si nøytroner, innføres begrepet makroskopisk virkningstverrsnitt. Vi bruker samme eksempel som i figur 4.5. Vi kan omskrive likn. (4.16) ved å innføre endringen i nøytronfluxens intensitet, di n ved df α = AdI n ; di n = ΣI n dx. (4.17) hvor Σ, som har dimensjon 1/lengde, og kalles det makroskopiske virkningstverrsnitt, er gitt ved Σ = σn. Tettheten av kjerner, N, er gitt ved 6 N = ρ N A M = massetetthet Avogadros tall atomvekt ( = kg m 3 atomer mol kg mol = atomer ) m 3 Likning (4.17) er formelt identisk med likn. (4.5), og vi får i analogi med likn. (4.6), I n = I 0 e Σ x. For et volum med en blanding av atomer i med respektive virkningstverrsnitt σ i og tetthet av atomer N i, har vi Σ = N 1 σ 1 + N 2 σ 2 +... + N i σ i +... (4.18) For en blanding av atomer i molekyler med masse M, har vi N i = ρ N A M x i, (4.19) hvor x i er andelen atomer av i te type i molekylet. For en homogen blanding, f.eks. ved en blanding av naturlig forekommende isotoper, har vi N i = ρ i N A M i x i, (4.20) 5 For 238 U gir dette området lite eller ingen fisjon, innfanging av nøytroner fører til nabokjernen 239 U, som deretter desintegrerer til 239 Pu via 239 Np. 6 For ρ i kg/m 3 og atomvekten M i g (egentlig i enheten 0,012 kg av nukliden 12 C) er Avogadros tall N A = 6, 022 10 23 mol 1. Det faktum at et mol av alle stoff inneholder det samme antall atomer eller molkyler er enkelt å forstå i lys av kjernefysikken; det skyldes at det er nukleonene i kjernene som inneholder praktisk talt all masse..

14 KAPITTEL 4. LITT KJERNEFYSIKK hvor indeksen i betegner kjerner av type i, og x i er relativ forekomst, ρ i massetetthet og M i atomvekt. Den midlere frie veilengde d for en partikkel i strålen er gitt ved d = 0 xe Σ x dx 0 e Σ x dx = Σ 1. (4.21) En partikkel som beveger seg i en reaktor kan, som tidligere nevnt, reagere på forskjellige måter. Den midlere frie veilengden er derfor gitt som den inverse av summen av alle aktuelle Σ i. Hver mulig reaksjon skjer med en relativ sannsynlighet P i som er lik kjerne i s relative bidrag til den totale Σ; P i = Σ i Σ. (4.22) 4.4.3 Fluks og reaksjonsrate I en reaktor beveger partiklene seg i alle retninger og med en energifordeling som spenner over mange størrelsesordener. For enkelthets skyld skal vi først se hvordan vi ved hjelp av de makroskopiske virkningstverrsnitt kan beregne reaksjonsraten R(E) for partikler med energi E. I middel kan partiklene iflg. likn. (4.21) bevege seg en avstand d = Σ(E) 1 i reaktoren, der vi har antatt at Σ(E) er et gjennomsnitt av alle aktuelle Σ i. Med en skalar hastighet v er derfor partikkelen fri i en tid Med en partikkelenergifordeling f(e), får vi reaksjonsraten R(E) = f(e) τ τ = d v = 1 vσ(e). (4.23) = vσ(e)f(e) = Σ(E)φ(E), (4.24) hvor vi har innført partikkelflukstetthet, eller kort fluks, φ; φ(e) = vf(e) = 2E/mf(E). (4.25) Den totale fluks er definert ved Φ = Tilsvarende har vi for den totale reaksjonsrate F = 0 0 R(E)dE = φ(e)de. 0 Σ(E)φ(E)dE. (4.26) Vi ser derfor at den termiske effekt i en reaktor, som åpenbart er proporsjonal med antall reaksjoner pr. tidsenhet, er proporsjonal med fluksen. Skal vi f.eks. produsere en radioaktiv isotop for medisinsk bruk i en fisjonsreaktor, kan vi beregne reaksjonsraten ved likn. (4.24), og derved få den kildestyrke vi ønsker. Omvendt, produserer vi en radioaktiv isotop i en reaktor, og måler aktiviteten etter at prøven er tatt ut, kan vi regne oss tilbake og finne fluksen. Typiske verdier for fluks i en elektrisitetsproduserende reaktor er fra 10 13 til 10 15 nøytroner/(m 2 s). I en termisk fisjonsreaktor og i en fusjonsreaktor kan vi som en første tilnærmelse se på partiklene som en partikkelgass med en hastighetsfordeling gitt ved Maxwells hastighetsfordeling. 7 I en fisjonsreaktor vil det dannes og absorberes nøytroner. Dette vil modifisere 7 I en gass i termodynamisk likevekt er partiklenes hastighetsfordeling gitt ved Maxwell-fordelingen f(v) = Ae mv2 2kT,

4.4. KJERNEREAKSJONER 15 fluksen noe, men Maxwell-fordelingen er likevel en rimelig tilnærmelse. Ved å benytte likn. (4.25), blir den tilsvarende fluks φ M (E) = πn (πkt) 3/2 ( 2 m )1/2 E e E/(kT). (4.27) Et viktig spesialtilfelle er når virkningstverrsnittet er av typen 1/v, slik at vi kan sette σ = σ 0 v 0 /v. (4.28) Setter vi videre inn for fluksen, φ = vf(v), og virkningstverrsnittet, Σ = Nσ, finner vi reaksjonsraten som et integral over v, F = σ 0 v 0 N 0 f(v) dv = σ 0 v 0 nn, (4.29) hvor n er nøytrontettheten. Likning (4.29) impliserer derfor at reaksjonsraten er konstant, uavhengig av nøytronenes hastighetsfordeling. F er her også uavhengig av kjernenes hastighetsfordeling. 4.4.4 Nøytroninduserte reaksjoner Nøytroner har ikke elektrisk ladning og spiller derfor en spesiell rolle i kjernefysikken. En viktig egenskap er at det ikke merker elektromagnetiske krefter når det trenger inn i en kjerne. Og som vi har sett ovenfor, er tverrsnittet for innfanging av termiske nøytroner ofte meget stort. Nøytronet er uhyre viktig i kjerneenergisammenheng, i fisjon fordi det opprettholder kjedereaksjonen, og i deuterium-tritium fusjon fordi den vesentligste energien frigjøres i form av høyenergetiske nøytroner. Typisk for begge typer reaktorer er derfor at de har en meget høy nøytronfluks. Dette er kanskje den viktigste faktor som en må ta hensyn til når det velges konstruksjonsmateriale. Ved siden av fisjon er nøytroninnfanging en viktig reaksjon i vår sammenheng. Sluttkjernen er her naboisotopen, som regel eksitert. Er sluttkjernen radioaktiv, kalles dette nøytronaktivering, som bl.a. brukes til produksjon av isotoper til medisinsk bruk. En annen viktig reaksjon er (n,2n), dvs. en reaksjon der ett nøytron inn gir to ut. Reaksjonen (n,2n) er foreslått brukt i termiske bridere og i fusjonsreaktorer for å øke antall nøytroner (forbedre nøytronøkonomien ). hvor m er partikkelmasse, T temperatur og k Boltzmanns konstant. Med en romlig partikkeltetthet n, gir normeringen n = f(v)dv xdv ydv z, m A = n( 2πkT )3/2. Vi kan uttrykke Maxwell-fordelingen ved energien E = 1 2 mv2, og siden fordelingen er kulesymmetrisk, har vi for volumelementet dv xdv ydv z = 4πv 2 dv = 4π 2E m m de. Siden vi nå har f(v)dv xdv ydv z = f(v)dv = f(e)de, får vi at v fordelingen er gitt ved og energifordelingen ved f(v) = n 2/πv 2 e mv2 /2kT, f(e) = πn (πkt) 3/2 Ee E/kT.

16 KAPITTEL 4. LITT KJERNEFYSIKK Reaksjonen (n,α) brukes til deteksjon av nøytroner. Denne reaksjonen skjer i komponenter av rustfritt stål (Ni, Fe, Cr), hvilket er et problem, spesielt i hurtige reaktorer. De hurtige nøytronene fra (d,t)-fusjon vil bli brukt i reaksjonen 6 Li(n, 3 H) 4 He til å danne nytt tritium ( 3 H). Nuklidekartet gir virkningstverrsnittet for innfanging av termiske nøytroner. Det er vanlig å gi dette tverrsnittet ved en nøytronenergi tilsvarende nøytroner i termisk likevekt ved romtemperatur, hvilket tilsvarer en midlere hastighet på 2200 m/s. De aller fleste tverrsnitt for nøytroninnfanging i dette energiområdet er av type 1/v. Er temperaturen kjent kan derfor det aktuelle tverrsnitt regnes ut ved å bruke likn. (4.28).

Bibliografi [1] A. Bohr and B.R. Mottelson, Nuclear Structure, Vol. I, W.A.Benjamin Inc. (1969). [2] S. Glasstone and A. Sesonske, Nuclear Reactor Engineering. Van Nostrand. 3. ed. (1981). [3] A.E.S. Green, Nuclear Physics McCraw- Hill (1955). [4] K.S. Krane, Introductory Nuclear Physics, John Wiley & sons (1988). [5] J.R. Lamarsh, Introduction to Nuclear Reactor Theory. Addison-Wesley Publ. Inc. (1966), nytt opplag 1972. [6] J.R. Lamarsh, Introduction to Nuclear Engineering, Addison-Wesley Publ. Inc., 2. utg. (1983). [7] E. Segré, Nuclei and Particles, W.A. Benjamin Inc., 2. utg. (1977). [8] A.H. Wapstra and N.B. Gove, Nuclear Data Tables, A, Vol. 8, No 4-5 (1971). 17