Arantza Egurcegui DBH 2 MATEMATIKA erein
Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena, legeak aurrez ikusitako salbuespenezko kasuetan salbu. Obra honen zatiren bat fotokopiatu edo eskaneatu nahi baduzu,jo Cedrora (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org). Eusko Jaurlaritzako Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailak onetsia (2010-VI-0) Euskararen arduraduna: Rosetta Testu Zerbitzuak Azala eta liburuaren diseinua: Iturri Maketazioa: Erein Azaleko irudia eta ilustrazioak: Ivan Landa Arantza Egurcegui EREIN. Donostia 2010 ISBN: 978-84-9746-49-0 L.G.: SS-1244/2010 EREIN Argitaletxea. Tolosa Etorbidea 107 20018 Donostia T 94 218 00 F 94 218 11 e-mail: erein@erein.com www.erein.com Inprimatzailea: Gertu Zubillaga industrialdea 9 20560 Oñati T 94 78 09 F 94 78 1 e-mail: gertu@gertu.net
Matematika DBH 2 Arantza Egurcegui Aintzane Olaetaren lankidetzarekin
Aurkibidea 0. unitatea. Lehen eta Bigarren Hezkuntzen arteko lotura... 7 Aurrezagutzak... 10 Metodologia / Nola landuko dugun... 11 Ikasturtearen aurkezpena... 15 1. blokea: 1. unitatea. Zenbaki arruntak / zenbakia osoak... 18 1. Zenbaki arruntak... 19 2. Zenbaki osoak... 19. Zenbaki arrunten eta osoen arteko erlazioa... 20 4. Zenbaki osoak adierazteko modua... 20 5. Eragiketak zenbaki osoekin... 21 6. Zenbaki osoen propietateak... 25 7. Zenbaki osoen berreketak eta erroketak... 27 8. Erroketak... 1 9. Zatigarritasuna... 5 Taldeko lana... 40 Zenbaki arruntak / zenbakia osoak - Sintesia... 41 Zenbaki arruntak / zenbakia osoak - Autoebaluazioa... 42 2. unitatea. Zenbaki arrazionalak... 44 1. Zenbaki arrazionalak... 45 2. Zatiki motak... 46. Zatiki baliokideak... 47 4. Zatikien eragiketak... 48 5. Zatikien propietateak... 52 6. Zenbaki arrazionalaren kontzeptua... 54 7. Buruketak zatikiekin... 57 Taldeko lana... 60 Zenbaki arrazionalak - Sintesia... 61 Zenbaki arrazionalak - Autoebaluazioa... 6. unitatea. Zenbaki hamartarrak / ehunekoak... 64 1. Zenbaki arrazionalak eta zenbaki hamartarrak... 65 2. Nola aldatu zenbaki hamartar batetik zatiki batera: Zatiki Sortzailea... 66. Zenbaki hamartarrekin egiteko eragiketak... 68 4. Zenbaki ez-arrazionalen mundua. Zenbaki irrazionalak... 71 5. Zenbaki arrazionalak eta ehunekoak... 75 Taldeko lana... 80 Zenbaki hamartarrak / ehunekoak - Sintesia... 81 Zenbaki hamartarrak / ehunekoak - Autoebaluazioa... 82 2. blokea: aljebra 1. unitatea. Aljebra... 86 1. Aljebraren esanahia... 87 2. Aljebrazko hizkuntza... 89. Adierazpen aljebraiko baten zenbakizko balioa... 94 4. Adierazpen aljebraikoekin egiten diren eragiketak... 97 5. Eragiketak polinomioekin... 100
6. Biderketa bereziak... 104 7. Biderkadura nabarmenen erabilera... 111 Taldeko lana... 116 Aljebra - Sintesia... 117 Aljebra - Autoebaluazioa... 118 2. unitatea. Ekuazioak... 120 1. Ekuazioak / Identitateak... 121 2. Ekuazio baten ebazpena... 12. Ekuazioaren gaiak... 125 4. Lehen mailako ekuazioak... 126 5. Emaitza motak... 1 6. Problemak ebazten... 1 7. Bigarren mailako ekuazioak... 14 8. Soluzio kopurua... 145 9. Bigarren mailako ekuazio osagabeak... 147 10. Bigarren mailako ekuazioak dituzten problemak ebazten... 154 Taldeko lana... 159 Ekuazioak - Sintesia... 160 Ekuazioak - Autoebaluazioa... 161. unitatea. Ekuazio-sistemak... 164 1. Ekuazio-sistemen esanahia... 165 2. Ekuazio-sistemen soluzioa... 167. Nola aurkitu soluzioak?... 171 4. Problemak ebazteko... 18 Taldeko lana... 190 Ekuazio-sistemak - Sintesia... 191 Ekuazio-sistemak - Autoebaluazioa... 192. blokea: funtzioak 1. unitatea. Funtzioak... 196 1. Funtzioen esanahia... 197 2. Funtzioak deskribatzeko moduak... 198. Grafikoak... 199 4. Funtzio baten formula... 208 5. Funtzio baten ezaugarriak... 214 Taldeko lana... 220 Funtzioak - Sintesia... 221 Funtzioak - Autoebaluazioa... 222 2. unitatea. Funtzio motak... 224 1. Funtzio motak... 225 2. Magnitudeen arteko erlazioak... 227. Proportzionaltasun zuzena... 229 4. Proportzionaltasun zuzeneko funtzioa. Formula eta Grafikoa... 22 5. Funtzio linealak... 26 6. Funtzio konstantea. Grafikoa zuzena duen beste funtzio bat... 240 7. Zuzenen arteko posizioak: zuzen paraleloak, elkar ebakitzen duten zuzenak... 241 8. Alderantzizko proportzionaltasunezko funtzioa... 24 9. Proportzionaltasun konposatua... 248
Taldeko lana... 251 Funtzio motak - Sintesia... 252 Funtzio motak - Autoebaluazioa... 25 4. blokea: geometria 1. unitatea. Geometria laua... 258 1. Kideko irudiak... 259 2. Talesen teorema... 269. Triangelu hauek ebazteko beste modu bat. Pitagorasen teorema... 275 Taldeko lana... 286 Geometria laua - Sintesia... 287 Geometria laua - Autoebaluazioa... 288 2. unitatea. Irudiak espazioan: sailkapena... 290 1. Sarrera... 291 2. Planotik espaziora... 292. Gorputz geometrikoen sailkapena... 29 Poliedroak... 29 A. Prismak... 294 B. Piramideak... 297 Biraketa-gorputzak... 01 A. Zilindroa... 01 B. Konoa... 02 C. Esfera... 02 Taldeko lana... 05 Irudiak espazioan: sailkapena - Sintesia... 06 Irudiak espazioan: sailkapena - Autoebaluazioa... 08. unitatea. Irudiak espazioan: neurriak... 10 1. Irudi geometrikoak. Neurriak... 11 2. Irudi geometrikoen azalera... 12. Gorputz geometrikoen bolumena... 20 4. Galderak / geometria sakondu... 24 5. Bolumena / Unitate-aldaketak... 25 6. Bolumenak. Estimazioa... 28 Taldeko lana... 0 Irudiak espazioan: neurriak - Sintesia... 1 Irudiak espazioan: neurriak - Autoebaluazioa... 2 5. blokea: probabilitatea 1. unitatea. Probabilitateak... 6 1. Sarrera... 7 2. Aurrezagutzak... 9. Gertaera baten probabilitatea... 41 4. Probabilitatearen propietateak... 4 5. Probabilitatea kalkulatzeko estrategiak... 45 6. Problema-ebazpena... 52 Taldeko lana... 55 Probabilitateak - Sintesia... 56 Probabilitateak - Autoebaluazioa... 57
unitatea 01.DBHtik- 2.DBHra Aurrezagutzak Metodologia / Nola landuko dugun Ikasturtearen aurkezpena
Sarrera Hasteko, iazko ikasturtetik dakizkigunak berriro landuko ditugu. ZER EDUKI LANDU GENITUEN DBH-KO 1. IKASTURTEAN? NOLA LAN EGINGO DUGU IKASTURTE HONETAN? Iazko ikasturteko metodologia berari (ikasteko moduari) jarraituz. MATEMATIKA LAGUNGARRIA DA: 1. IKASTEN IKASTEKO 2. ZURE GOGOETAK KOMUNIKATZEN IKASTEKO. TALDEAN LAN EGITEN IKASTEKO Iazko ikasturtetik gogoan izango duzun bezala, lehendik ere ezagunak dituzun sinbolo batzuk agertuko dira liburu honetan, une bakoitzean zein alor lantzen ari zaren zehaztuko dizutenak. Sinbolo horiek eta bakoitzak zer esan nahi duen taula honetan agertzen dira: 1. IKASTEN IKASI IKURRA Zer esan nahi du? Ikasten ari zarenak zer esan nahi duen ari zara lantzen (esanahia eta kontzeptuak). Ekuazioak ebazteko, emaitzak ateratzeko... zer urrats egin behar dituzun ari zara lantzen. ALGORITMOAK deitzen direnak ari zara lantzen. Egiten duzunaren arrazoibidea, emaitza batera iristeko frogantzak ari zara lantzen. Matematikaren erabilera nagusiak, eta Aritmetika, Aljebra, Funtzioak, Geometria eta Estatistika blokeen arteko loturak ari zara lantzen. Prozesu batzuk luzeak dira, eta une oro galdetu behar diozu zeure buruari prozesu horretako zein unetan zauden. AUTOEBALUAZIOAK egiten dituzunean, eta EBALUAZIO IRIZPIDEAK irakurtzen dituzunean, garbi ikusiko duzu: zer landu duzun. ongi menderatzen duzun ala gehiago landu behar duzun. zeri begiratuko dion irakasleak landu duzuna ulertu duzun neurtzeko. SINTESIA: Unitatea bukatzerako gauza asko landu izango dituzu, eta ongi antolatu behar dituzu zeure baitan, beren arteko loturak aztertuz, hala hobeto uler ditzazun eta denbora joandakoan ahaztu ez ditzazun. 8 SAKONDU. Ikasle bakoitza desberdina denez, ikasle batzuek gehiago jakin nahi dute. Hemen aurkituko dituzu sakontzeko ariketak.
2. ZURE PENTSAMENDUA KOMUNIKATZEN IKASI IKURRA HIZTEGIA / HIZKERA Zer esan nahi du? Badakizu matematika mundu guztian berdina den HIZKUNTZA BEREZI bat dela; horregatik ongi ikasi behar dituzu matematikako terminoak, eragiketen eta sinboloen izen egokiak, zure arrazoibideak ongi adierazi ahal izateko, definizioak erredaktatu ahal izateko... Ariketa askotan esaldiak osatu beharko dituzu, zure iritzia arrazoitu beharko duzu, definizioak idatzi beharko dituzu.... TALDEAN LAN EGITEN IKASI IKURRA DENOK ELKARREKIN LAN EGITEN EZ BADUGU LANA EZ DA BURUTZEN Zer esan nahi du? Zure ikaskideekin batera lan egingo duzu, era askotako egoerak ebazten. Zure ikaskideen iritziak eta ideiak oso garrantzitsuak dira lana burutzeko. Denen arteko elkarlanak eta ahaleginak berebiziko garrantzia du egoera horien soluzioa aurkitzeko. Lan horien bidez aukera izango duzu, era berean, ORDENAGAILUA erabiltzeko: POWER POINT programa aurkezpenak egiteko, Internet informazioa bilatzeko, KALKULAGAILUA propietate bereziak ondorioztatzeko, KAMERA ahozko azalpenak grabatu eta komunikazioa aztertzeko... DENOK ELKARREKIN LAN EGITEN EZ BADUGU LANA EZ DA BURUTZEN Ariketak Ikur horiek zer esan nahi duten gogoratzeko, lotu esaldi hauek dagokien sinboloekin. HIZTEGIA / HIZKERA 4. Zeri ematen dio garrantzia irakasleak nota jartzeko? 1. Lan hau egiten ez badut kalte egingo diet nire ikaskideei. 5. Zertarako ote da polinomioen zera hori? 2. Koefizientea, maila, kidea, ezezaguna. 6. Web orri honetan agertzen den informazioak problema hau ebazteko balio dit.. Zergatik egingo ote da honela hiruko erregela? 7. Hau da suerte ona: Mariarekin lan egitea egokitu zait, eta oso trebea da algoritmoak erabiltzen. Ni, berriz, problemak planteatzen naiz trebea. 8. Zergatik ote da 180º triangelu guztien angeluen batura? 9. Mendeko aldagaia, aldagai askea, koordinatuen ardatzak, abszisa, ordenatua, koordenatuen abiaburua. 10. Hauxe luzea!, ez dakit zertan ari naizen ere. 11. Zatiki baliokideak azterketan sartuko ote dira? 12. Azterketa baino lehen ideiak ordenatu behar ditut, ikasi dudan guztia ordenatu behar dut. 9
Aurrezagutzak Aritmetika berrikustea. ZER LANDU GENUEN? 10 1. ERAGIKETAK ongi egiten, zenbaki arruntekin, osoekin eta zatikiekin. Lehentasunak ongi aplikatuz. Oinarrizko eragiketak (+,, x, :) ongi aplikatuz. Bitarteko sinplifikazioak ondo eginez. Egin eragiketa hauek: a) 5 6 + 20 : 4= b) 12 2 (8 4) + (22 4) = c) 7 4 (12 2 + 8 : 4) = d) 20 {12 [4 + 7 (5 4)]} = e) 2 ( 7) + 5 (5 ) (2 6) = f) 8 9 : x 2 7 10 : 5 = g) 4 ( ) + ( 2) ( 4) 2 : ( 8) = h) 12 2 [7 4 2 ( )] ( 8) : 4 = i) j) 4 21 12 k) b - 18 $ $ 14 8 2 4 - l $ b + 2l = 5 4 6 2. ZATIGARRITASUNA: mkt eta ZKH aurkitzeko ALGORITMOA: kalkulatu mkt (168,90) ; ZKH(168,90) algoritmoa erabiliz.. BERREKETAK, propietateak ondo adierazten eta aplikatzen. a) Osatu: a a n m = a - 2 1 + = 6 2 n m 6 = 45 Berreketen propietateak b) Aplikatu berreketen propietateak. a) 8 4 8 = b) c) 4 5 4 = d) b l 4 2 = e) ] 5 2 g = f) 7 7 5 = 2 4 2 $ 2 2 = 2 $ 2 4. Bizkor kalkulatzen dituzu ematen zaizkizun kopuruen ehunekoak: Kalkula itzazu ehuneko hauek: 56.02 kg-ren % 27 eta 125 m-ren % 8. 5. ZATIKIAK: a) Bi zatiki baliokideak direla frogatzeko modu bat baino gehiago dago: 6 9 Frogatu hiru modu desberdinetan eta zatiki baliokideak direla. 10 15 b) Zatiki kanonikoa zer den eta nola ateratzen den. Bilatu ren zatiki kanonikoa eta azaldu zer den. 54 120 6. FROBLEMAK EBAZTEN: Eguneroko egoeretan badakizu Eskemak, marrazkiak, taulak egiten. Jarraitutako prozesua argi adierazten. Soluzioa egoki adierazten eta soluzioa logikoa den aztertzen; beherapena baldin bada, soluzioa hasierako prezioa baino txikiagoa izango da; gorakada bada, kopuru handiago bat izango da soluzioa. a) Zinema-areto batean 250 eserleku daude. Sarreraren prezioa 6 da. Gaur 47 eserleku hutsik geratu dira, eta pertsona ordaindu gabe sartu dira, gainera. Zenbat diru jaso dute gaur leihatilan? b) Iñakik bere pagaren gastatu ditu, eta 20 geratzen 7 zaizkiola ohartu da. Zenbatekoa zen paga? 2 c) Koldok tarta baten jan du, eta Estefaniak geratu den 7 zatiaren. Tarta osoaren zenbateko zatia jan du Estefaniak? Zenbateko tarta zatia geratzen da? 5 d) 460 kg udare eta 621 kg sagar ontziratu nahi dira, ontzi guztiek pisu bera izateko moduan, eta pisua ahal den handiena izateko moduan. Zenbateko pisua izango du ontzi bakoitzak? Zenbat ontzi beharko dira fruitu mota bakoitzerako? e) Blue-jean batzuen prezioa 85 -tik 60 -ra jaitsi baldin badute, zenbateko beherapena egin diote, ehunekotan? f) Erosi nahi nuen mendirako bizikletaren prezioa 1.250 bazen, eta orain % 8 igo badute, zenbatekoa izango da oraingo prezioa?
Aritmetikari buruzko gogoeta Ariketak zuzendu ondoren, osatu taula hau ariketa bakoitzean zer landu duzun idatziz. Edukiak Ongi ulertu dut? Kontuan hartu behar diren akatsak 1. Eragiketak zenbakiekin 2.. 4. 5. 6. Aljebra. ZER LANDU GENUEN? 1. ALJEBRAKO HIZKUNTZA: Itzuli esaldi hauek hizkuntza aljebraikora: a) Zenbaki baten eta bere aurrekoaren batura. b) Mikelek orain dela hiru urte zuen adinaren karratua. c) Zenbaki baten eta haren hirukoitzaren arteko kendura. d)10 -ko x billeterekin eta 50 -ko y billeterekin duzun dirua. e) Altuera oinarria baino cm txikiagoa duen laukizuzen baten perimetroa. 2. ERAGIKETAK adierazpen aljebraikoekin: a) a 2b 5a + 4b 6b + = b) 4x 5xy y + 4xy = c) 5xy ( ) xy = 5 2b 4b 10 d) = 2 $ e) x + 2(x + 1) 7x = f) 2(z + t) (z t) = g) a a b abc = 2 5 ab $ ab 10 4 h) - = i) x (x + x 2 + 1) = Aljebrari buruzko gogoeta Ariketak zuzendu ondoren, osatu taula hau ariketa bakoitzean zer landu duzun idatziz.. EKUAZIO BATEN SOLUZIOA: balio bat ekuazio baten soluzioa dela egiaztatzeko, ekuazioan ordezkatu eta berdintza betetzen den begiratu. a) Egiaztatu x= 2 balioa dela x 2 + 6x = 0 ekuazioaren emaitza. 4. EKUAZIOAK EBAZTEN: a) 5x + 7 2x = 8 4x + 2 b) 2 (x + 1) + (x 2) = 6 (x + 4) Edukiak Ongi ulertu dut? Kontuan hartu behar diren akatsak 1. Aljebrako hizkuntza 2.. 4. 5. c) d) x x 2 + 1 = - 4 6 x + 1 2 x x 5 - - = 1 + + 4 6 5. BURUKETAK: a) Bilatu bien batura 26 izango den elkarren segidako bi zenbaki bikoiti. b) Pedrok bere seme Julenen adinaren hirukoitza du, baina 15 urte barru Julenen adinaren bikoitza izango da Pedroren adina; kalkulatu bakoitzaren adina. c) Kalkulatu laukizuzen baten azalera, jakinik oinarriak altuera baino 6 cm gutxiago dituela eta perimetroa 20 cm-koa dela. 11
GEOMETRIA. ZER LANDU GENUEN? 1. ANGELUAREN ESANAHIA: Angelu hauetatik zein da handiena? Zergatik? Adierazi zer neurtzen duen angelu magnitudeak? 4. POLIGONOEN NEURRIAK. Kalkulatu azalera hauek: A erronboidea = H =,5 cm 8 cm 2. ANGELUEN ARTEKO ERAGIKETAK: AW = 48 6 BW = 6 52 Kalkulatu AW + BW eta BW. POLIGONOEN SAILKAPENA: Osatu mapa hau: A erronboa = A trapezioa = d = 5 cm D = 7 cm 8 cm H = 2,5 cm 1 cm A pentagonoa = A triangelua = 5. ZIRKUNFERENTZIA BATEN NEURRIAK: P zirkunferentzia =... A zirkulua =... l =,4 cm 2,5 cm 6 cm D = 6 cm 6. PROBLEMAK: azalera ala perimetroa eskatzen den bereizten eta beharrezkoak diren formulak aplikatzen. a) ZOROk toreatzen duen zezen-plazan egurrezko itxitura berri bat jarri dute, eta 722,56 m behar izan dute. Zer distantzia dago alde batetik itxituraren bi ate hauen artean? dira POLIGONOAK motak Triangeluak motak zer dute Besteak b) Era honetako zenbat pin egin daitezke 86 x 128 cm-ko metalezko xafla laukizuzen batetik? cm Geometriari buruzko gogoeta Ariketak zuzendu ondoren, osatu taula hau ariketa bakoitzean zer landu duzun idatziz. 12 Edukiak Ongi ulertu dut? Kontuan hartu behar diren akatsak 1. Angeluaren esanahia 2.. 4. 5. 6.
FUNTZIOAK. ZER LANDU GENUEN? 1. PUNTUAK PLANOAN IRUDIKATZEN. Jarri puntuok planoan: A( 2,) B(5, 2) C(6,0) D( 1,). PROPORTZIO BATEAN EZAGUTZEN EZ DEN GAI BAT KALKULATZEN: 7 14 = 11 x 15 ; 18 = x 60 2. GRAFIKOAK INTERPRETATZEN. Kontuan hartzen duzu: Ardatzetan irudikatzen diren magnitudeez hitz egin behar dela. Grafikoan aztertzen diren puntuak ongi interpretatu behar direla, erabili diren eskalak kontuan hartuta. Interpretatu grafiko hau: Distantzia (m) 500 4. MAGNITUDE ZUZENKI PROPORTZIONALAK: Zuzenki proportzionalak diren magnitudeen ezaugarria; A = konstantea erabiliz, balio ezezagunak aurkitzen. B A 8 16 24 2 B 7 14 28 100 6 Denbora (min) a) Zenbateko bidea egin du lehenengo hiru minutuetan? b) Zer gertatu da. minututik 8.era bitartean? c) Zein unetan zituen eginda 50 m? d) Zer abiadatan ibili da 8. minututik 12.era? e) Zergatik du horren aldapa txikia 12. minututik 20.era bitarteko mugimendua adierazten duen zuzenak. f) Egoki iruditzen zaizu grafiko honetako puntuak elkarrekin lotzea? 5. PROPORTZIONALTASUN-PROBLEMAK EBAZTEN: Iazko ikasturtearen amaieran izotzetan patinatzera 12 pertsona joan ginen eta orduz patinatu genuen. Iaz denen sarrerengatik 18 ordaindu bagenituen, zenbat ordaindu beharko dugu aurten, 15 pertsona bagoaz eta 2 orduz patinatu behar badugu? Funtzioei buruzko gogoeta Ariketak zuzendu ondoren, osatu taula hau ariketa bakoitzean zer landu duzun idatziz. Edukiak Ongi ulertu dut? Kontuan hartu behar diren akatsak 1. Puntuak planoan irudikatzen 2.. 4. 5. 1
ESTATISTIKA. ZER LANDU GENUEN? 1. TAULAK ETA GRAFIKOAK: Datuak maiztasun-taula batean laburtzen, eta grafiko egoki baten bidez adierazten. Laburbildu ondoko datuok maiztasun-taula batean eta egin grafiko egoki bat: atari bateko etxebizitza bakoitzeko biztanle kopurua: 1 / 2 / 1 / 5 / 4 /2 / / 4 / 6 / 5 / 12 / 4 / / 5 / 5 / 4 / 2 / / 7 / 5 / 6 / 2 / 5 / 4 / 5 / / 4 / 2 / 4 / 6. NEURRIAK: Datu errazak direnean neurriak ateratzen: batez bestekoa, moda, mediana eta ibiltartea. Kalkulatu batez besteko aritmetikoa, moda, mediana, eta ibiltartea. 255, 280, 250, 276, 260, 272 2. EHUNEKOTIK MAIZTASUN ABSOLUTURA ALDATZEA: Grafiko batean agertzen den informazioa taula batean adierazteko ehunekotik maiztasun absolutuetara aldatzen. Galdeketak 1.650 pertsonari egin zaizkiela jakinik, aldatu maiztasun absolutuzko taula batera ondoko honetan biltzen diren datuak. % 5 futbola 4. BATEZ BESTEKOA: Maiztasun-taula batean batez besteko aritmetikoa kalkulatzean datuak eta maiztasunak ondo bereizten Kalkulatu batez besteko aritmetikoa. Pertsona kopurua 15 8 10 6 12 5 1 Oin zenbakia 5 6 7 8 8 40 41 % bidezidor-kirola % 8 igeriketa % 5 tenis Beste batzuk Estatistikari buruzko gogoeta Ariketak zuzendu ondoren, osatu taula hau ariketa bakoitzean zer landu duzun idatziz. Edukiak Ongi ulertu dut? Kontuan hartu behar diren akatsak 1. Maiztasun-taulak egin. Grafikoak egin 2.. 4. 14
Aritmetika Geometria Aljebra Funtzioak Probabilitatea LOTURAK IKASI IKASTEN IKASI! Sintesi-ariketak Ikasturte honetan eduki-bloke hauek landuko ditugu: ARITMETIKA GEOMETRIA ALJEBRA FUNTZIOAK PROBABILILITATEA Iazko ikasturtetik badakizun bezala, garrantzi handiko gauza izaten da edukibloke hauen arteko LOTURAK ongi ikustea, bakoitzaren erabilera hobeto ulertzeko, eta denbora igarotakoan gauzak ez ahazten lagunduko dizun modu batean ikasteko. Zertarako balio du ARITMETIKAK? Ekuazioak ebazteko AL- JEBRAN, formulak ongi aplikatzeko GEOMETRIAN, joko batean zenbateko probabilitatea dagoen kalkulatzeko PROBABILITATE BLOKEAN Bloke bakoitzean zer lantzen den gogoratzeko eta PROBABILITATE BLO- KEAN zer aztertzen den jakiteko aurtengo ikasturteko gai berria baita, irakurri informazio hau eta erabili ondoko mapa hau osatzeko: BLOKEAK Zer da / zertan datza 1 DBH-n zer landu genuen 2 DBH-n zer landuko dugu Aritmetika Zenbakiez, eragiketez, propietatez, neurriez dihardu. Matematikaren beste eremu batzuetan lan egiteko tresna gisa balio du batez ere. Eragiketak zenbaki arruntekin, osoekin, zatikiekin, hamartarrekin. Propietateak eta lehentasuna edo hierarkia. Sakondu dena Aljebra Honetan zenbakien ordez letrak erabiltzen dira, eta egoera desberdinetan balio ezezagunak aurkitzen ahalegintzen den arlo bat da. Fisikan, Kimikan, Teknologian erabilgarria da, eta beste bloke batzuetan erabili dugu: Geometria; Estatistika; Funtzioak. Planoko edo espazioko irudien azterketa da. Historian landu zen lehenengo eremuetako bat da, eskulturan, arkitekturan eta astronomian zuen baliagarritasunagatik. Izadiko eta arteak sortutako irudien edertasuna eta harmonia ezagutzen eta baloratzen laguntzen digu. Aljebrako hizkuntza Adierazpen aljebraikoak eta eragiketak 1. mailako ekuazio sinpleak ebazten. Buruketak. Ekuazio konplexuagoak ebazteko polinomioak behar ditugu. Polinomioen arteko eragiketak. 1. eta 2. mailako ekuazioak. Buruketak. Geometria Irudiak PLANOAN. Ezaugarriak eta sailkapena. Perimetroa eta azalera. PLANOAN: Antzeko irudiak. Thalesen teorema. Triangeluak. Pitagorasen teorema. ESPAZIOAN: Irudien ezaugarriak eta sailkapena. Azalerak eta bolumenak. Funtzioak eta grafikoak Probabilitatea Magnitudeen arteko erlazioen azterketa egiten du, eta informazioa adierazten eta interpretatzen laguntzen digu. Fisikan, Ekonomian, Kazetaritzan, Medikuntzan Aldez aurretik asmatu ezin diren esperimentuak nolabait gertatzeko aukerak ikertzen ditu. Funtzioaren kontzeptua. Hiztegia. Puntuak irudikatu eta interpretatu. Grafikoak eraiki eta interpretatu. Taldeko lanean ikusi genuen Gertaera baten probabilitatea = Venn-en diagramak: zenbat ikaslek jokatzen dute futbolean eta tenisean? Zuhaitz-diagramak: Zenbat modutan jantzi naiteke? Funtzioaren kontzeptua eta hiztegia sakonduko dugu. Funtzioaren ezaugarriak. Funtzioaren formula. Funtzio motak zuzenak kurbak. Hiztegia. Gertaera motak. Probabilitateak aurkitzeko estrategia desberdinak. Problemak ebaztea. Ariketak 1. Aurreko informazioa erabiliz osatu eskema hau, lotu blokeak (balio du) gezien bidez, blokeen arteko erlazioak adierazteko. DBH 2 15
1blokea
Zer ikasi behar dugu? Zenbaki arrazionalak eta irrazionalak eta zenbaki horiek egoera desberdinetan erabiltzen. Zenbakiek leku desberdinetatik bildutako informazioa hobeto ulertzeko duten balioa kontuan hartzen. Egoera jakin batean soluzio ZEHATZA ala GUTXI GORABEHERAKOA bilatzea komeni den erabakitzen. Problemak ebazterakoan pauso guztiak adierazten eta estrategiarik egokiena zein den erabakitzen. Kalkulagailua zentzuz eta egoki erabiltzen, kontzeptuak eta prozedurak ikasteko lagungarri gisa. Eragiketen lehentasuna ikasteko, adibidez.
1. unitatea. Zenbaki arruntak / zenbaki osoak Zer ikasiko dugu? Zenbaki arruntak eta zenbaki osoak Nola izendatzen diren Haien arteko erlazioa IKASTEN IKASI * Zenbaki osoak Eragiketak b b ( +,,x,:,a, a) Hierarkia UNITATE HONETAN * ZER GIDOI ERABILIKO DUGU? Zatigarritasuna Multiploak eta zatitzaileak ZKH eta mkt Buruketak * Helburu didaktiko hauek ikasleei transmititzerakoan ikasten ikasteko gaitasuna lantzen ari gara.
Espero dugu 1. DBHko ikasliburua gertu izatea. Dena den, 2. DBH hasteko, iaz landutako materialaren berrikusketa arin bat egingo dugu eta gero eduki batzuk sakonduko ditugu. 1. Zenbaki arruntak Nola sortu ziren? Zibilizazioaren hasiera-hasieratik, zenbatu beharra sentitu izan du gizakiak, ea zenbat izar ikusten zituen, ea zenbat arbola, zenbat ardi zituen... Hala, orain dela 4.000 urte inguru, zenbakia dei daitekeenaren lehenengo aztarrenak agertu ziren, gaur egun zenbaki arruntak deitzen diegunen hasiera izan zirenak. HIZTEGIA / HIZKERA Arrunta = naturala N N garrantzitsuago Osoak Z Z garrantzitsuago Nola adierazten dira? Zenbaki arrunten multzoa izendatzeko N letra erabiltzen da. Hau da: 2. Zenbaki osoak Nola sortu ziren? N = { 0, 1, 2,, } Askotan, ordea, zenbaki arruntak ez dira aski kopuru bat adierazteko. Eman dezagun, adibidez, 50 ditudala aurreztuta, eta 75 balio duen opari bat erosi nahi dudala. 50 75 = 25. Beste 25 behar ditut, opari hori erosi ahal izateko. Batuketa- eta kenketa-eragiketen emaitza dira, eta zatitu ezin daitekeen unitate kopuru bat adierazten dute. Erabiltzeko alorrik ohikoena eta zuzenena kontabilitatea da. Nola adierazten dira? Zenbaki osoen multzoa Z letraz adierazten da. Hau da: Z = {, 2, 1, 0, 1, 2,, } 19
. Zenbaki arrunten eta osoen arteko erlazioa Garbi dago zenbaki arrunt guztiak zenbaki osoak direla; zenbaki arrunten multzoa zenbaki osoen multzoaren barruan dagoela esan daiteke, horrenbestez. HIZTEGIA / HIZKERA N Z barruan dago Z N Z N 4. Zenbaki osoak adierazteko modua G O G O R A T U 1 100 txikiago handiago Zuzen batean zero zenbakiaren lekua markatzen dugu, puntu bat jarriz. Erreferentziazko neurri bat hartuz, eskuinerantz distantzia errepikatuz, zenbaki arruntak adierazten ditugu, zenbaki oso positiboak, alegia, eta ezkerrerantz zenbaki oso negatiboak. 2 1 0 1 2 Kontuan hartu behar da zenbat eta eskuinerago egon, orduan eta handiagoak izango direla zenbakiak, eta, zenbat eta ezkerrerago egon, orduan eta txikiagoak. Esate baterako: 12 < Ariketak 20 1. Handiagoa ala txikiagoa den idatzi, < edo > ikurrak erabiliz. (handiagoa/txikiagoa) a) 7 zenbakia 2 baino... da. Hau da, 7 2 b) 0 zenbakia baino... da. Hau da, 0 c) 1 zenbakia 4 baino... da. Hau da, 1 4 2. Hutsuneak bete. a) < < d) 4 > b) < 0 < e) 2 > > 1 c) 4 < < 1 e) > 5 >. Ordenatu txikitik handira zenbaki hauek. 8; 5; 4; 2; 0; 1; 10 4. Idazkera sakondu. a) Zer esan nahi du Z + = N dela esateak? b) Badakizu zeinuak -ren barruan dago esan nahi duela. Bi multzoren arteko erlazio bat adierazteko erabiltzen da. Hau da, N Z Beste alde batetik, barnekoa izatea adierazteko ikurra erabiltzen da (barnean dago). Hala, 5 Z Zuzen adierazita daude adierazpen hauek? -8 a) Z c) 4 N e) Z 2 1-20 b) N d) 15,7 N f) Z 5 5
A Batuketa + Bi bide daude 5. Eragiketak zenbaki osoekin BIDE PRAKTIKOA LOGIKO JAUNA BIDE LOGIKOA + Zenbakiaren ikurrak agintzen duena egin (+) + ( 4) = 1 atzera 1 Ikur berdinak (+2) + (+4) = 6 ( 2) + ( 4) = 6 Emaitza: batuketa egin eta errepikatzen den ikurra jarri Ikur desberdinak (+) + ( 4) = 1 ( 2) + (+4) = 2 Emaitza: kenketa egin eta zenbaki handienaren ikurra jarri C. URRATSA B. URRATSA A. URRATSA D. URRATSA PRAKTIKO JAUNA E. URRATSA URRATSA. URRATSA B Kenketa Bi bide daude BIDE LOGIKOA Zenbakiaren ikurrak agintzen duenaren kontrakoa egin. ( ) ( 2) = 1 atzera 1 BIDE PRAKTIKOA (+5) (+2) = ( 5) ( 2) = (+5) + ( 2) = ( 5) + (+2) = Emaitza: lehendabiziko zenbakiari bigarrenaren aurkakoa batu. C Biderketa (+2) ( 6) = ( 6) + ( 6) = 12 batu bi aldiz 6 ( 2) ( 6) = ( 6) ( 6) = +6 +6 = +12 kendu bi aldiz 6 Emaitza: (+) (+) = + ( ) ( ) = + ( ) (+) = Ariketak / oinarrizko eragiketak 5. Kalkulatu. ( 4) + ( 5) = (+7) + ( 8) = (+) ( 2) = ( 7) + ( 5) = (+2) ( 4) = ( 5) ( ) = ( 16) : ( 2) = (+10) : ( 2) = ( ) (+4) = 6. Bete hutsuneak. (+7) + ( 2) = +5 (+2) ( 10) = 20 ( 4) ( ) = 7 ( ) ( 5) = 15 ( 4) ( 5) = 1 ( 25) : ( 5) = 5 ( 2) + ( ) = 5 ( 100) : ( 2) = 50 D Zatiketa (+8) ( 2) = 16 bada ( 16) : ( 2) = +8 Horregatik biderketa eta zatiketa modu berdinean egingo ditugu. E Berreketak eta erroak Eragiketa hauek aurrerago landuko ditugu. Emaitza: (+) : (+) = + ( ) : ( ) = + ( ) : (+) = 7. Adierazi zenbaki-zuzenean ondoko eragiketa hauek eta ebatzi. Adibidea: ( ) (+2) = 5 5 a) (+6) + ( ) = b) ( 2) (+4) = c) ( 5) ( 1) = 8. Osatu (+) ( 5) = 15, beraz ( 15) : ( 5) = + ( 10) : ( 2) =, beraz... ( 25) ( 1) =, beraz... Horregatik, biderketaren arauak eta...-renak berdinak dira. 21
Parentesiak kendu IKASTEN IKASI! (2 + ) 2 5 [7 (8 + 9)] = + zeinuak dioena + (+2) = +2 = 2 aurrera + ( ) = atzera zeinuaren kontrakoa (+2) = 2 aurrera ( 2) = +2 atzera 60 G O G O R A T U Erabili inbutuaren araua. Errazago berrikusten dira eragiketak. Errazago aurkitzen dira akatsak. LEHENIK SEMAFOROA, GERO OINEZKOAK ETA AZKENIK AUTOAK Hau da ( ) + ( 5) = 5 = 8 ( 4) ( 1) = 4 + 1 = (5 4 + 7) = 5 + 4 7= 8 Egin beharreko eragiketak luzeak direnean, bi modutan joka dezakegu. a) Parentesiak kendu eta, gero, dauden ordena berean egin eragiketak. (12 6 8) ( 5 + 7) = 12 6 8 + 5 7= 6 8 + 5 7 = 2 + 5 7 = 5 + 5 7 = 0 7 = 7 b) Zenbaki positiboak alde batean eta negatiboak bestean multzokatu. 1 5 + 4 16 + 7 7 2 = 1 + 4 + 7 5 16 7 2 = LEHENIK eta : GERO + eta (1 + 4 + 7) (5 + 16 + 7 + 2 + )= 24 = 9 parentesiak jarri 2 ez ( 2) bai HAU DA ( ) Eragiketa konposatuak a) Parentesi barruko eragiketarik agertzen ez bada, biderketa/zatiketa egiten da lehendabizi, eta gero batuketa/kenketa. b) Parentesi barruko eragiketak agertzen badira, haiek egiten dira lehendabizi, gero biderketa/zatiketak, eta gero batuketa/kenketak. 15 5 ( 2) + ( 14) : 7 = 8 (5 7) = 15 ( 10) + ( 2) = 8 ( 2) = 15 + 10 2 = 8 ( 6) = 22 25 2 = 2 8 + 6= 14
Ariketak 9. Kendu parentesiak. a) + ( 2) = c) (+7) = b) ( 5) = d) + (+6) = 10. Kendu parentesiak. a) (1 5) (4 10) = b) (8 4 + 11) = c) ( 4 7) (4 + ) + (5 7)= d) (2 ) (9 6) + (2 7) ( 4) = 11. Jarri parentesiak. a) 6 + 8 14 5 7 + 1 b) 20 4 5 + 7 11 + 4 + 6 = 12.Aplikatu lehentasunak. a) 12 7 ( 4) + ( 15) : ( ) = b) (5 7) (4 10) = c) 2 (1 ) 4 (6 11) = d) 7 (1 5) + 8 4 (9 1) = 1.Ikusi parentesien garrantzia. a) 5 + 6 ( 4) = b) ( 5 + 6) ( 4) = c) 5 (6 4) = 14. Harrapatu akatsak. Bilatu eta sailkatu akatsak. Akats mota Ariketa (Larria/arina) 2 (5 8) = 1 = 5 (8 10) 4 (2 8) = 5 ( 2) 4 ( 6) = 7 + 10 = 15 : ( ) (1 2) = 21 : ( ) 1 7 = 10 Zuzenketa 15. Batzuetan parentesiak ( ), kako zuzenak [ ] edo giltzak { } erabili beharra izaten dira. Adibidez: 16. Kontu 0-arekin. 5 [( 7) (4 5)] = 5 [( 4) ( 1)] = 5 [ 4 + 1] = 5 [ ] = 5 + = 8 2 (5 7) { [4 (6 8)]} = 2 ( 2) { [4 ( 2)]} = 4) { [4 + 2]} = 4) { 6} = 4) { } = 4) + = 1 a) 5 15 : [ 2 ( 2 +) + 14] = b) 14 : ( + 4 8) {(12 10) ( 1) [2 ( 1)]} = c) 6 : [ 8 : ( 5 + ) + 12 : ( 2 + 2 4)] = d) {11 (4 5) [ 10 ( 1)]} : (9 10) = e) 45 : [ 2 + 12 : ( 7 + )] (5 12) = f) {6 : (2 + 6) + (14 2 8)} 2 [( + ) : ( )] = g) 2 {7 2 [8 11 2 ( 4)]} = h) {18 : ( ) + [10 + ( 1) 16 : 2]} {6: ( ) 2 [1 ( 5)]} = i) 5 2 {7 : (1 + 7 9) [28 : (1 + 6 9) (4 14)]} = j) ( 2) (9 1 6 ) : ( 2) + [( 1) 10 + 7] : ( ) = UF! LORTU DUT! (5 4 7) + 0 (8 5 + 4 7 + 10 25) = 5 4 7 = 6 a) 5 [ 7 ( )] = b) 5 { 2 [8 + 2 ( 7)]} = c) (10 2 5) {5 (4 5)} = 0 (edozergai)= 0 denez 2
Ariketak 17. Hemen duzu zenbaki osoak erabiltzen trebatzeko beste ariketa sail bat. Zenbat behar dituzu sasoian egoteko? 1. maila a) ( 1 ) ( + 4 1) ( 2) ( 1 +2) = b) 2 ( 2 ) ( + 4) + ( 1) : ( + 5) = c) ( 2 5 + 7 2 8) : 4 = 6 14 d) : ( 1) + 5 + 7 8 : 2 = 5 1 e) ( 4) ( ) ( ) ( 5) ( 2) ( 2) (+2) = 2 14 f) ( ) ( 5 + 1) (2 ) ( 1) ( 4) = 6 1 g) 5 [ : ( )] = h) ( 10) : 2 (2 4) : 2 = i) ( ) 4 24 : [2 (5 7)] = ZENBAT ARIKETA BEHAR DITUZU SASOIAN EGOTEKO? (AUTONOMIA, ANIZTASUNA ) * 1 9 ENTRENADORE PERTSONALA 2. maila 20 a) 2 [ 2 ( 2 5) ( + 1)] [ 2 ( + 1)] = 1 b) 1 [ (7 2 + ) 2 ] ( ) 4 24 : [ + 2 (2 7) 5] = c) 4 [2 ( + 2) (2 1) 2] 2 [ 7 + 2 + 4 : 4 ( 2 4)] = d) + 15 [7 16 + 144 : 12] + 5 (5 1) + [2 (1 5)] 2 = e) 7 [ 2 + 4 (5 2) 7 ( 4 : 2)] +8 [( 12 + 6) : ( 6)] = f) [( 2) + 4 ] 7 ( 2) 6 : (10 11) [6 : ( 1) +] = g) 28 : [( 12 + 9) ( 12 : ) + 2] = h) 10 : [( 12 + 10) : ( 2) + (12 5)] + 5 {2 [ 1 27 : ( 9)]} = i) 10 8 [( 12 + 6) : 6 + (8 5 ) : ( )] 12 ( 4) = j) [ + (6 4) : 2 + 6 : (1 + 7 2) + (1 ) 2] ( ) [5 7 ( 1 8)] = 1 5 2 49 2 22 26 1 6 7 72. maila 17 29 a) (2 5) {14 : ( + 4 8) [(12 10) ( 1) (2 5) : ( )]} = b) {2 : ( 2) [(11 7 1) ( 1) (10 )]} { 10 : (17 12) + [2 ( 8 + 5) 8 ( 5 +]} = c) [6 : ( 6) ( 6) 8 + (8 8 1)] { 2 [25 24 : ( 5 + 7)]} = d) [18 : ( )] + {[10 + ( 1) 16 : 2 ] 6 : ( )} = e) (6 ) : ( 1) + 2 {5 4 2 [( 1) 11 : ( 1)]} = f) 2 [11 : ( 1) 2 ( 6)] 4 2 [5 (7 + 4 )] = g) {(7 + 1 ) + : (10 + 14) 2 [5 7 (8 10)]} = h) {[2 ( 1)] : [2 : ( 1)]} [6: ( 1)] : [ (2 ) : ( 1)] = i) 11 (4 5) [ 10 ( 1)] {11 [7 +8 ( 1)] + ( 8) + 12 : ( 4 + 4 2)} = 50 4 24 * Lantzen ari gara AUTONOMIA ( Ahalik eta gehien. Ez dut behar gehiago) Lantzen ari gara DIBERTSITATEA ( 1. maila minimoak.. maila sakonak)
PROPIETATEAK BETE BEHARREKO LEGEAK DIRA. 6. Zenbaki osoen propietateak Aurreko ikasturtean lan asko egin genuen zenbaki osoen propietateei dagokienez. Orain propietate horietako bakoitzaren esanahia berrikusiko dugu. Batugaien ordena edo biderkagaien ordena aldatzeagatik, emaitza ez da aldatzen. Faktoreen ordenak ez du aldatzen emaitza. esan nahi du Trukakortasun-propietatea Adibidez 2 + 6 = 6 + 2 4 + (7 + 6) = (4 + 7) + 6 Adibidez Irakurketa pixka bat Eragiketa luzeak direnean, multzoka daitezke batugaiak eta biderkagaiak, komeni den eran. esan nahi du Elkartze-legea Banatze-legea esan nahi du Parentesi barruan, batuketa bat zenbaki batez biderkatuta dagoenean, biderka daiteke zenbaki hori batugai bakoitzaz eta gero batuketa egin. Adibidez 2 (8 + ) = 2 8 + 2 Elementu neutroa Kontrako elementua Alderantzizko elementua esan nahi du Beste zenbaki batekin eragiketa eginez emaitza aldatzen ez duena da. Adibidez + 0 = esan nahi du Zenbaki baten kontrako elementua, zenbaki horrekin batuketa eginik emaitzatzat elementu neutroa ematen duena da. Adibidez 5+ ( 5) = 0 esan nahi du Zenbaki baten alderantzizko elementua, zenbaki horrekin biderketa eginik emaitzatzat elementu neutroa ematen duena da. Adibidez 1 = 1 25
HIZTEGIA / HIZKERA a a kontrato elementua a 1 alderantzizko elementua a Hau dena hobeto uler daiteke, zenbakiz adierazi ordez, letraz adierazten badugu. Batuketa a + b = b + a Trukakortasun-ezaugarria Biderketa a b = b a Banatze-legea a (b + c) = a b + a c Elkartze-legea (a + b) + c = a + (b + c) Batuketa a + 0 = a Elementu neutroa Biderketa a 1 = a Kontrako elementua Alderantzizko elementua 1 a + ( a) = 0 a = 1 a Ariketak 18. Egia al da zenbakia ren kontrakoa dela? 19. Kenketa-eragiketak banatze-legea betetzen du? 20. Aztertu ea berdintza hau betetzen den. (5 2) = ( 5) ( 2) 21. Leirek dioenez, banatze-legeak dio x ( 2) = (x ) (x 2) dela. Egia da hori? 22. Azaldu propietateak, w, t, eta z letrak erabiliz. Adibidez, trukakortasun-legea: w + t = t +w. Elkartze-legea:... Banatze-legea:... y-ren kontrakoa... da, zeren.... y-ren alderantzizkoa... da, zeren.... 2. Aztertu ea berdintza hau betetzen den. 2 ( 4) = 2 2 4 a) Adierazi eragiketa hori bera, letrak erabiliz. b) Idatzi berdintza horrek adierazten duen propietatea. c) Azaldu zer esan nahi duen. 24. Orain zenbaki osoekin kalkuluak egiten trebetasunaz baliatuko gara, berdintza betetzen den ikusteko. a) a (b+ c) = a b + a c ( ) [2 + ( 5)] = ( ) 2 + ( ) ( 5) propietatea... b) (a +b) + c = a +(b + c) [( 5) +7] + ( ) = ( 5) + [7 + ( )] (a b) c = a (b c) [( 4) 2] ( 5) = ( 4) [2 ( 5)] propietatea... 25. Frogatu bi atalek desberdinak direla. a + (b c) (a + b) (a + c) ( ) + [( 5) 2] [( ) + ( 5)] [( ) + 2] AURKAKOA IKASI DUT! ALDERANTZIZKOA 26
kendu biderkatu zatitu erroketak berreketak batu E R A G I K E T A K HIZTEGIA / HIZKERA 4 BERRETZAILEA BERREKIZUNA Nola irakurtzen da? ber 4 7. Zenbaki osoen berreketak eta erroketak Badakizue: 5 5. 5 = 5 = 125. Horrek esan nahi du biderketaren biderkagaiak berdinak direnean, biderketa hori berreketa bihurtzen dela. Beste alde batetik, 125 = 5 5 = 125 denez; horrek esan nahi du erroketa berreketaren kontrako eragiketa dela. Zertarako balio du? Geometrian, adibidez: l B = l HIZTEGIA / HIZKERA a errotzailea da a b= c c erroketaren emaitza da b errokizuna da errokaria deitzen zaio eta l A = 16 cm 2 l = Beste blokeetan ere erabiltzen dira. ALJEBRA EGITEKO 2 16 = 4 cm ARITMETIKA ZERTARAKO? FUNTZIOAK EGITEKO GEOMETRIA EGITEKO Nola erabiltzen dugu? PROBABILITATEA EGITEKO Berreketa Kontrako eragiketak Erroketa Algoritmoa Kalkulagailua P 1 P 2 P P 4 P 5 P 6 a n a m a n + $ = m n a nm m = a - a n b n = (a b) n n n a a n = b l a 0 = 1 (a n ) m = a n m a b b Karratu eta kubo perfektuak erabiliz. Estimatuz 27
Berreketen propietateak Gogoan izango duzue propietateak Frogatzen direla 2 4 $ = Y $ $ 144 $ 2$ 44$ = 2 aldiz 4 aldiz 6 Izendatzen dira (berreketa baten berreketa) (a n ) m HIZTEGIA / HIZKERA Egiaztatu frogatu Frogantza: emaitza batera iristeko lehendabizi norbaitek aurkitu eta guk ulertu eta ikasi egin behar dugun ibilbide bat da. Egiaztatzea: adibide bat erabiliz berdintza betetzen dela ikustea. Ariketak Azaltzen direla a n a m = a n+m berrekizun berdineko berreketen biderkaketa egiteko berrekizun PROPIETATEAK Letra bidez adierazten direla c b c d d = b - b 26. Kalkulatu. a) 2 ; ( ) 2 ; 4 b) ( 1) 5 ; 5 0 ; 10 5 27. Kalkulatu. a) b) c) d) 2 100 = 100 = 8 = 16 = 27 = 2. Aplikatu propietateak, zenbakiak erabiliz. a) (5 ) 2 = d) (5 2) = b) 6 6= e) ( 157) 0 = 5 8 8 c) = f) = 2 8 2. Aplikatu propietateak, letrak erabiliz. a) c c = d) (W ) 4 = b) (t z) 2 = e) y 0 = c) t z = 5 t f) = t 2 28 28. Esan propietate honen izena. 10 0 = 1 29. Frogatu a a = a - 0. Azaldu (b c) n = b n c n n m n m 1. Azaldu propietate hau, w, t, eta z letrak erabiliz. 2 2 b 5 l 5 = 2 4. Berreketa propietateak sakontzen. a) Frogatu 2 5 2 = 15 2 b) Azaldu propietate hau (4 ) 2 = 4 6 hiztegi egokia erabiliz. c) Jarri izena (izenburua) propietate honi 8 8 4 = 8 7 7 5 d) Adierazi letren bidez 2 = (hau da, propietatea orokortu!)
Propietateak sakontzen ( ) 100 > 0 Berrekizuna negatiboa denean: ( ) 2 = ( )( ) = + 9 ( ) = ( )( ) ( ) = 27 ( ) 8 =... =? 6.561 ( ) 15 =... =? 14.48.907 Berretzailea bakoitia baldin bada, emaitza negatiboa izango da. Berretzailea bikoitia baldin bada, emaitza positiboa izango da. Kasu partikularra: ( 1) 121 = 1 ( 1) 28 = +1 Hori ikusirik, hurrengo galdera, normala den bezala, hau izango litzateke: zer gertatzen da berretzailea negatiboa denean? Soluzioa bitxia da, itxuraz, baina frogantzaren bidez berehala ohartuko zarete baduela bere logika. HIZTEGIA / HIZKERA f.n.g. laburdurak frogatu nahi genuenez esan nahi du. ESKERRAK FROGATU DUGUN, BESTELA EZ NUKE SINETSIKO Frogantza: 2 =??? 2 = 0 2 0 1 = = f.n.g. P 1 Berretzailea kenketa baten moduan jarriko dugu 2 P 2 Propietateaz baliatuz 0 = 1 dakigunez 2 2 1 1 = = 2 9 Beraz, berreketa zatiki bihurtzen da ariketak BERREKETAK SAKONTZEKO 5. Ebatzi berreketa hauek. a) ( 6) 2 = c) ( 1) + ( 2) 5 = b) ( 2) 4 = d) ( 4) 2 ( 1) 4 = 6. Gogoan izan > 0 adierazpenak positiboa dela esan nahi duela, eta < 0 adierazpenak negatiboa esan nahi duela. Osatu > edo < a) ( 5) 0 c) ( 1045) 0 b) ( 2) 4 0 d) ( 4) 28 0 7. Kontuz ikurrekin eta zeinuekin. Hona askotan errepikatzen den hutsegite bat: ( 5) 2 = + 5 2 EZ! + 25 = 28 izatez, soluzioa beste hau delarik: ( 5) 2 = 25 = 22 1. berreketa 2. aldatu zeinua BAI! Hori kontuan hartuta, kalkulatu adierazpen hauek. a) ( 2) ( 4) 2 = c) ( 9) 2 ( 6) 2 ( 2) 2 = b) 1 + ( 1) = d) ( 1) 121 ( 1) 242 = 29
0 ariketak 8. ( 5) 2 moduko adierazpen bat aurkitzen denean, era honetan ebatzi behar da: ONGI ( 5) 2 = ( 2) 2 = 4 GAIZKI ( 5) 2 = 2 5 2 = 14 Kalkulatu: a) (1 4) = b) (10 11) 22 (10 11) 5 = c) (5 7) 5 (1 ) 2 = 9. Batzuetan eragiketa batzuk egin behar izaten dira, propietateak aplikatu baino lehen. Adibidez: 4 2 2 = (2 2 ) 2 2 = 2 4 2 = 2 7 2 6 (5 ) 5 5 = 6 = 1 5$ 5 5 14 2 7 4 2 = (7 2) 2 7 4 2 = 7 2 2 2 7 4 2 = 7 6 2 Praktikatu eragiketa hauetan. a) (2 4 ) 2 5 4 100 2 = e) = 10 2 4 2 8 $ 8 $ 8 25 $ 5 b) 4 = f) = 8 5 c) (d 4 ( ) 2 $ ) d = g) 9 9 4 5 e $ f d) = h) 100 2 5 2 4 2 = e $ f SAKONTZEKO 40.Arrazoitu egia ala gezurra den. a) ( 1) ( 1) 8 24 (- 1) = 0 b) 547 = 1 (- 1) 41. ( 2) 4 = 2 4 egia baldin bada, esan genezake ( 2) 4 2 = 2 4 2 = 2 7 dela. Kalkulatu, era berean: a) ( ) 6 2 4 4 (- 5) $ 5 = b) 6 (- 5) 42. Ausartuko al zinateke 10 1 = 0,1 dela frogatzen? 4. Hau bai korapiloa! (-) 2 = 9 dela eta 2 1 = 9 dela kontuan hartuta Esan ea adierazpen hauek egia ala gezurra diren (gezurra bada eman benetako emaitza). a) ( ) 2 = 1 d) 2 4 1 = 9 8 b) ( 2) 4 = 2 4 e) ( 1) 2 = 1 c) ( 1) 7 = 1 f) 5 4 = 0,2 44. ( 2) = 8 denez, esan genezake ( 2) Z. Hori kontuan hartuta, kalkulatu adierazpen hauek, esan al daiteke ondoko adierazpen hauek egia diren? HIZTEGIA a) ( 1) 125 N? Zergatik? 8 N b) ( ) 8 N? Zergatik? barruan dago c) ( 125) Z? Zergatik? 4 Z 45. 41. ariketako logikari jarraituz, berdin kalkulatu ahal izango genuke, ( 2) 4 = 2 4 dela; eta ( 2) = 2 denez, egin dezakegu ( 2) 2 5 = 2 2 5 = 2 8 a) ( ) 5 4 2 5 (- 5) $ 5 = b) = (- 5) 2 46. Lotu berreketak eta emaitzak. Berreketak: 5 2 ; ( 5) 2 ; 10 2 ; ( 1) 25 ; 5 2 ; ( 1) 2 ; (10) 2 ; 10 1 Emaitzak: 25 ; 100 ; 0,01 ; 25 ; 1 ; 0,1 ; 100 ; 1 47. Kalkulatu balioak. a b (a b) c a c b a= 2 b = 1 c = c 2 (a b) 2 c (a 2 b) 48. Akats-bilaketa, azaldu eta zuzendu. a) 2 4 = (2 ) 4 c) 5 = 7 e) 276 0 = 0 b) ( 2) 5 2 = 2 8 d) 2 + 5 2 = 8 2 49. Aztertu ariketa hauek, bilatu akatsak eta zuzendu. a) 15 ( 1) + ( 5) 2 = b) ( 2) + (5 7) 2 = 12 ( 1) 25 = 8 + 5 2 7 2 = 12 25 = 8 + 25 49 = 7 49 = 16
8. Erroketak HIZTEGIA / HIZKERA 2 100 erro karratua 8 erro kubikoa HIZTEGIA / HIZKERA ERROKETAK DOTOREAK DIRA! existitzen da ez da existitzen E E 2 Dakizuenez, 100 = 100 = 10 zeren 10 2 = 100 delako 8 = 2 zeren 2 = 8 delako Zer gertatzen da errokizuna negatiboa denean? ren erro karraturik ez da existitzen, zeren ( 5) 2 = 25 eta 5 2 2-25 = 25 Baina bada 27 ren erro kubikoa da, zeren ( ) = 27 Ondorioa: Ez da existitzen zenbaki negatibo baten (errokizun negatibo baten) erro karraturik. Zenbaki negatiboen (errokizun negatiboen) erro kubikoak, berriz, bai existitzen dira. KASU PARTIKULARRAK AZTERTU ARAU OROKORRAK ONDORIOZTATU PENTSAMENDU MATEMATIKOA ariketak 50. Hiztegia: a) Idatzi berrekizuna -5 eta berretzailea 2 dituen berreketa bat eta kalkulatu emaitza. b) Idatzi errokizuna 8 eta errotzailea dituen erroketa bat eta kalkulatu emaitza. c) Egia al da zenbaki negatiboen errorik inoiz ez dela existitzen? Azaldu adibideren bat jarriz. 51. Kalkulatu erro hauek, existitzen baldin badira. a) 144 d) 64 b) -81 e) -75 c) -1.000 f) -4 52. Osatu esaldi hauek. a) -75 = zeren eta = delako b) -121 =... zeren eta... c) 225 =... zeren eta... d) -125 =... zeren eta... 5. Osatu hutsuneak. a) 169 = 1 d) 125 = 5 b) = 2 e) =900 c) 12100 = f) 64 = 54. Hiztegia. d k = x d =... K =... x =... =... 1
Erroketak kalkulatzeko metodoak ❶ Karratu perfektuak eta kubo perfektuak erabiliz. a 1 2 9 10 11 12 1 14 15 20 110 150 a 2 1 4 9 81 100 121 144 169 196 225 400 12.100 22.500 Adibidez: kubo baten bolumena125 cm baldin bada, zenbat neurtzen du haren aldeak? B = 125 = l l = 125 = 5 cm l = 5 cm l ZER BIDE JARRAITUKO DUT? ❷ Estimazioak eginez. a) 10? 11 2 = 121 denez 12 2 11 < 10 < 12 = 144 denez 25 2 = 625 b) 60 25 < < 26 26 2 60 = 676 (Kalkulagailuz) ❸ Kalkulagailuz. eta teklak baldin badaude, bestela x y edo x 1/y teklak bilatu. Adibidez: 1.95.125 =125 ❹ Algoritmoa. Erro karratua bada 6084 49 1184 1184 0 7 8 7 2 = 49 7 X 2 = 14 14 8 X 8 = 1.184 ariketak 55. Kalkulatu bi metodo erabiliz: 125.000 HEMEN NAGO BERRIRO! 56. Kalkulatu bi metodo erabiliz: 16.84 57. Estimatu erabil dezakezu kalkulagailua x 2 egiteko. C. URRATSA D. URRATSA E. URRATSA URRATSA a) 800 b) 28.561 B. URRATSA. URRATSA 58. Ikerrek idatzi du 12 2 < 150 < 2. Ondo al dago adierazpena? A. URRATSA PRAKTIKO JAUNA 2 59. Egia da 10 < 105 < 11? Zergatik? B 8 Autonomia eta ekimen pertsonala
PROPIETATEAK BETE BEHARREKO LEGEAK DIRA. Erroketen propietateak Aurreko atalean ikusi dugun bezala, modu bat baino gehiago dago erroak kalkulatzeko. Beste alde batetik, erroekin eragiketak egiteko, betetzen diren zenbait propietate ezagutzea komeni da. Lehenengo zenbakiekin ikerketa egingo dugu eta ondorio bezala propietatea deduzituko dugu: ❶ Kalkulatu: KASU PARTIKULARRAK AZTERTU ARAU OROKORRAK ONDORIOZTATU ❷ Kalkulatu: 4 $ 9 = 4 $ 9 = Gauza bera da? 9 $ 100 = 9 $ 100 = Hona ondorioa: 6 9 a$ b = a $ b n n n 6 = = Gauza bera da? 9 PENTSAMENDU MATEMATIKOA 100 100 = = 25 25 Hona ondorioa: b a n n = a n b 2 ❸ Kalkulatu: 25-9 = 25 9 = Gauza bera da? 6 + 64 = 6 + 64 = ariketak Propietate hauek erabiliz ariketa asko egin ditzakegu adibidez: 6400 = 64 $ 100 = 64 $ 100 = 8 $ 10 = 80 81 81 9 0,81 = = = = 0,9 100 100 10 Modu honetan egin hurrengo ariketak. 60. a) 250.000 = c) 0,25 $ 0,26 = 144 b) 0,027 d) = 25 Hona ondorioa: n a! b! n a! n b Ondorioa: Errotzailea eta errokizunaren berretzailea berdinak direnean, erroketa desegin egiten da. 4 4 7 7 = 7 ; 11 = 11 ; x = x 7 Propietate honetaz baliatzeko, errokizuna deskonposatu egin behar da. Adibidez: 216 = 6 = 6 61. Hurrengo berdintza beste propietate bat izan daiteke. Begira: 5 2 = 2 5 =? 2 2 16 2? betetzen badu? 5 = 25? = 2 8 2 hau da 5 2 5 = 2 4 2 2 2 1 Errokizuna deskonposatuz, kalkulatu: a) 125 = c) 27 = e) 4 = 4 b) 81 = 4 d) 625 = f) 225 = Osatu: a) 5 = 5= c) 7 4 = 7 e) t 8 8 =
4 ariketak 62. Egin kalkulu hauek erroketen propietateez baliatuz: 27 a) 6 $ 6 = h) = 225 b) = i) 6 $ 12 $ 2 625 400 c) 27 $ 48 = j) = 900 48 144 d) = k) = 12 81-216 e) = l) 5 $ 80 = 27 64 f) 5 $ 80 = m) 8 g) 7 $ 6 $ 8 = n) 21 $ 84 = Hori dena kontuan hartuta, osatu taula hau. x 5 1 2 2 x 2 ( x) 2 x 2 ( x) 2 BERREKETAK/ERROKETAK ERROKETA BERREKETAREN ALDERANTZIZKO ERAGIKETA DA. x = y y = x 6. Idatz ezazu berretura gisa. a) 2 c) 2 e) 125 g) 64 b) 24 d) 49 f) 128 h) 256 64. Kontuz parentesiekin. Dakizunez: ( ) 2 = ( ) ( ) = +9 2 = [ ] = 9 2 1 1 = ( ) 2 1 1 2 = = 2 = 9 9 65. Osatu berdintza hauek: a) 27 = ) = 27 d) -1 = )... b) 16 = ) 4 = 16 e) -1.000 = )... c) = 2... 66. Kalkulatu kasu bakoitzean x-ren balioa. a) x 2 = 64 d) x 2 = 625 g) x 4 = 16 b) x = 216 e) x = 8.000 h) x = 1 c) x 4 = 81 f) x 2 = 169 i) x = 1.1 67. Kalkulatu kasu bakoitzean m-ren balioa. a) m = 5 4 d) m = 4 g) m = 7 5 b) m = 1 4 e) m = 2 h) m = 12 c) m = 5 f) m = 4 68. Kalkulatu Oharra: lehenengo berreketa, gero aldatu zeinua, adibidez: 1 ( 2) 2 = 1 (+4) = 1 4 = 5 a) ( 2) (+2) 2 4 = b) 2 4 + 2 5 = c) 4 + 2 4 15 = d) ( ) 4 ( 1) 2 ( ) = e) ( 2) 4 ( 2) 2 ( 2) + 1 0 + 2.000 0 = f) 4 ( 2) 5 5 = 69. Erroketen propietateak. a) [ 5 2 ] 5 = b) [( 5) 1 : ( 5) 2 ] 4 = 5 c) [ 2 ] 4 = d) {( 5) [( 5) 2 ] 4 } 2 = ( 5) 70. Kalkulatu, algoritmoaz baliatuz. a) 1.69 b) 12.568 71. Estimatu erro hauen balioak. a) 728 b) 67 c) 450 d) 42 e) 281 72. Osatu eta bete hutsuneak. 7 2 5 $ $ 5 $ 5 a) 6 = 5 $ $ 5 $ 5 b) ( 5 2 2 5 4 5 ) : (2 2 2 5 4 ) = 2 5
75 > 75 5 Multiploa 25 0 5 15 Zatitzailea HIZTEGIA / HIZKERA 5 = 5en multiploa 5 = {5, 10,15, 5 k, } 9. Zatigarritasuna Lehendik gogoan izango duzuen bezala, zatigarritasuna zenbaki osoen arteko erlazio bat da. a eta b zenbaki osoen arteko zatiketa eginda, hondarra zero baldin bada, a eta b zenbakiak zatigarritasun-erlazio batez lotuta daudela esango dugu. 5 eta 75 zenbakien artean zatigarritasun-erlazioa dago, adibidez. Multiplo eta zatitzaileak Multiploa. Aurreko adibidean, 75, zenbaki handiena, 5en multiploa da. Zatitzailea. Kasu horretan, 5 izango da, zenbakirik txikiena, 75en zatitzailea. Zenbat multiplo ditu zenbaki batek? 5en multiploak, esate baterako, 5 k eginez ateratzen dira, eta kopuru infinitu bat dago. Alderantziz, zenbat zatitzaile ditu zenbaki batek? 72ren zatitzaileak, adibidez, hauek dira: HIZTEGIA / HIZKERA infinitu = 1 2 4 6 8 9 12 18 24 6 72 72 6 0 12 72-ren zatitzaileak 6 eta 12 dira zatitzaileak bikoteka ateratzen dira. Ondorioa: Zenbaki baten zatitzaile kopurua finitua da. Zenbaki lehenak eta zenbaki konposatuak., 5 eta 1 zenbaki lehenak dira; alegia, 1 eta zenbaki bera beste zatitzailerik ez dute. 4, 6 eta 22, aldiz, zenbaki konposatuak dira, 1 eta zenbaki beraz gainera, beste zatitzaile batzuk ere badituztelako. Zenbaki konposatu bat deskonposatzea. Zenbaki konposatua biderketa gisa idatzi daiteke. 42, adibidez. 42 = 2 7 kasu honeten 2,, 7 zenbaki lehenak dira. Horri deitzen zaio zenbaki lehenetan deskonposatzea. ariketak 7. Teorian ikusi dugun bezala, zenbaki baten zatitzaileak binaka ateratzen dira. Egia ote da zatitzaile kopurua zenbaki bikoitia dela beti? Bila itzazu 6ren zatitzaile guztiak; zer gertatzen da? Egin gauza bera 81 zenbakiarekin; zer gertatzen da? Ondorioztatu arauak. 74. a) 0 = 25 + 5 zenbaki baten deskonposaketa da? Zergatik? b) 40 = 2 20 deskonposaketa zenbaki lehenetan da? Zergatik c) 5-en multiplo guztiak 10-en multiploak dira? Zergatik? 5
ETA EZ DU BALIO ZATIKETA EGITEA. REN MULTIPLOA NAIZ. 2.82 Zatigarritasun-irizpideak Zer dira? Zatiketarik egin gabe, zenbaki bat besteren baten multiploa den ala ez jakiten laguntzen diguten zenbakien ezaugarriak dira. 8, adibidez; 2 ren multiploa da, zenbaki bikoitia delako. 1.450 eta 7.855 zenbakiak 5 en multiploak dira, 5ez eta 0z bukatzen direlako. 282 zenbakia ren multiploa da, bere zifren batura (2 + 8 + + 2) = 15 delako eta zenbaki hori ren multiploa delako. Zatigarritasun arauak. Zertarako? A Zenbakiak biderkagai lehenetan deskonposatzeko Adibidez: 10.080 2 10.080 = 2 5 2 5 7 5.040 2 2.520 2 1.260 2 60 2 15 105 5 5 7 7 1 B mkt eta ZKH ateratzeko Lehendik ere badakigu: bi zenbakiren arteko multiplo komun txikienari multiplo komunetako txikiena deitzen zaio. Zenbaki hori bilatzeko, bi bide erabil genitzake: 6 LOGIKO JAUNA Bide logikoa Bi zenbakien multiplo batzuk bilatu. Komunak zein diren begiratu. Horietan txikiena aukeratu. mkt (4,10) 4 4, 8, 12, 20, 24 40 10 10 20 0 40 Komunak 20, 40 Txikiena 20 mkt (4, 10) = 20 mkt Algoritmoa Zenbakiak deskonposatu. Berretzailerik handienarekin hartu biderkatzaile guztiak. mkt (120, 215) 120 = 2 5 215 = 5 2 2 mkt (120, 215) = 2 5 2 2 mkt (120, 215) = 1.890 C. URRATSA B. URRATSA A. URRATSA D. URRATSA PRAKTIKO JAUNA E. URRATSA URRATSA. URRATSA
Bi zenbaki edo gehiagoren zatitzaile komunetako handiena zenbaki horiek zatitzen dituen zatitzailerik handiena da. Bi bide, hori bilatzeko: ZKH Bide logikoa Algoritmoa Zatitzaile guztiak aurkitu. Denentzat komunak direnak bilatu. Handiena hartu. ZKH (0, 42) 0 1, 2,, 5, 6, 10, 15, 0 42 1, 2,, 6, 7, 14, 17, 42 Komunak 1, 2,, 6 Handiena 6 ZKH (0, 42) = 6 Biderkagai lehenetan deskonposatu. Errepikatzen direnak hartu bakarrik berretzaile txikienarekin. ZKH (600, 15) 600 = 2 5 2 15 = 2 5 7 ZKH (600, 15) = 5 ZKH (600, 15) = 15 ariketak ZATIGARRITASUN PROBLEMAK 75. Jonek 120 mineralez osatutako bilduma bat du, eta kaxatan gorde nahi du, kaxa bakoitzean mineral kopuru bera izango dela. Zenbat modutan egin dezake hori, kaxa bakoitzean bi mineral baino gehiago egoteko moduan? 78. Baserri batean arrautza-bilketa egin dute; 700 arrautzatik 800era bitartean bildu dituzte. Dozenakopuru zehatza jaso dute, eta 15 arrautzako paketetan ere zehazki sartuko lirateke. Zenbat arrautza bildu dituzte? 76. Mirenek 60 liburu ditu; paketetan gorde nahi ditu, pakete bakoitzean liburu kopuru bera jarriz. Zenbat modutan egin dezake hori, pakete bakoitzean gutxienez liburu eta gehienez ere 12 sartuz? 79. Bonboi-pila bat daukat: 100dik 00era; 6 bonboiko kaxatan jartzen baditut, ez zait batere geratzen. 8 bonboiko kaxatan jartzen baditut ere, ez zait batere geratzen Zenbat bonboi ditut? 77. Sagu batek 12 segundo behar ditu pista zirkular bat osorik egiteko; beste batek, berriz, 16 segundo behar ditu horretarako. Bi saguak leku beretik eta aldi berean ateratzen dira, eta minutu eta 12 segundotan bukatzen dute lasterketa. Zenbat aldiz aurkitzen dira elkarren ondoan lasterketa horretan? 80. Zenbait ikasgela elkartu dira, ikasle sail handi bat izateko; matematika-lanetarako binaka elkartzen dira, hizkuntza-lanetarako hirunaka, gizarte-lanetarako launaka, eta soinketarako bosnaka. Era guztietara ere, beti geratzen da ikasle bat taldean sartu ezinda. Zenbat ikasle dira gutxienez, soluzioa izateko? ERABAKIAK HARTZEN AUTONOMIAREN BIDEAK B 8 Autonomia eta ekimen pertsonala 7
ariketak 81. Txema gozokigile aparta da, eta gaur goizeko 10 baino lehen prestatuak zituen txokolatezko 120 gozoki, esnegainezko 150 eta merengezko 180. Gozoki kopuru berbera izango duten pilatan bildu nahi ditu, gozoki bat ere kanpoan geratuko ez den moduan. Idatzi horretarako dituen moduak. 84. Belenen autoak 18 urte ditu dagoeneko; 4.000 km-z behin mekanikariaren lantegira joan behar du nibelak begiratzeko eta 18.000 km-z behin olioa aldatzera. Gaur, uztailak 7, San Fermin egunez, Belenek bi azterketak eginda hartu du autoa. Zenbat kilometro egin beharko ditu berriro bi azterketak batera egin behar izateko? 85. Uxue mundu osoko posta-txartelen bilduma bat ari da egiten; 700 ditu dagoeneko, eta kaxa desberdinetan bildu nahi ditu; kaxa bakoitzean posta-txartelen kopuru berbera eduki nahi du, ordea; zenbat modutan antola ditzake, kaxa bakoitzean 20 postatxartel baino gehiago baino 60 baino gutxiago edukitzeko? 86. Murfhinen gazteluaren elezaharrak dioenez, haren fantasma 15 urtez behin agertzen da, eta haren emaztearena 20 urtez behin. Idoia gaztelu hartan egon zen egunean, biak batera agertu zitzaizkion eta izututa utzi zuten; noiz agertuko dira berriro biak batera? 82. Udan Gamarrako igerilekura doan autobusa 20 minutuz behin igarotzen da eta Mendizorrotzako igerilekura doana 25 minutuz behin. Evak ikusi duenez, goizeko 10etan biak batera igaro dira; noiz igaroko dira berriro biak batera? 8. Kepa oso pertsona ordenatua da; eskerrak, dendan milaka botoi ditu-eta. Bi kaxatan dauzka ordenatuta. Kaxa beltzean 24na botoiko poltsatxotan dauzka gordeta, eta ez da bat ere kanpoan geratzen. Kaxa gorrian 20na botoiko poltsatxotan dauzka, eta hartan ere ez da bat ere kanpoan geratzen. Kepak badaki botoi kopuru bera daukala kaxa beltzean eta gorrian. Zenbat botoi ditu Kepak kaxa bakoitzean? (izan daitezkeen soluzio guztietatik, txikiena aski dugu). 87. Julio Europako triatloi-txapelketa handi baterako prestatzen ari da; lanpetuta dago, ordea, eta ez du asti askorik; horregatik, ongi prestatzeko, 5 egunez behin lasterketa egiten du, 18 egunez behin txirrindularitza-prestaketa, eta 15 egunez behin igeriketa; zenbat egunez behin egiten ditu hiru saioak batera? 8
ariketak 88. Zenbaki osoekin eragiketak a) 2 : ( 2) (11 7 1 ) ( 1) ( 10 5) = b) [ 10 : (17 12) + 2 ( 8 + 5)] 2 [8 ( 5 + ) 2 : (45 29)] c) 12 11 (4 5) [ 10 ( 1)] 11 [7 + 8 ( 1)] = d) 10 2 { (4 6) ( 2) [4 ( 1) 1]} = e) { : ( ) ( 1) (5 5 + 2)} {[2 ( 1)] : [2: ( 1)]} = 89. Kalkulatu a) ( 2) 4 c) 2 4 e) ( 10) g) 5 2 b) 5 2 d) ( 1) 5 f) 5 h) ( 5) 97. Zenbaki osoak + berreketak Gogoratu: (2 ) 4 = ( 1) 4 = +1 90. Kalkulatu a) 121 c) 6 7 1 e) 0 g) (- 7) 2 i) 900 b) -125 d) 196 f) 625 h) - 64 j) 91. Estimatu 450 92. Osatu [( 2) 2 ] ( 2) 2 4 = 2 9. Kalkulatu algoritmoa erabiliz 4.225 94. Kalkulatu ( + 4 8) 2 = 95. Egia / gezurra. 2 + 5 a) 25 + 9 = 25 + 9 d) x $ x 4 = x x $ x b) ( 4) 2 = 2 4 2 e) 2 = ( ) 2 c) -25 = 5 f) ( 1) 0 + ( 1) 1 = 0 96. Erroketen propietateak. 2 4 256 a) 2 2 2 [(5 7) 2 2 2 : 4] 2 = b) 2 + (4 8) : 2 2 4 : (1 + 2) 2 = c) 4 2 2 2 [ 8 ( ) 2 ( 5)] = d) [ 5 2 ( 5) 2 ] [( ) 2 2 ] = e) 2 2 2 [ ( 2 + ) 2 ( 6 2)] = f) 9 2 : 2 ( 8) 2 + 12 ( 2) 2 = g) ( 5) 2 : [( : 11) 2 2 ] = 98. Osatu 2 1 6 a) $ @ b) c 4 0 1 = 6 - $ @ - - ] c g c 2 4 = c Gogoratu: n n n n a $ b = n a $ b n a a = b n b n a! b! n a! b a) 6.400 = c) 9$ 16 = 49 b) = d) 0,25 = 4 e) Egiaztatu 9 + 16! 9 + 16 a a 99. = denez, egin dezakezu b b x x x 1 x x x x 1 - = = 2 = 2 = Hau kontutan hartu eta egin a) a $ a = c) x $ x $ x 4 = 6 b y b) 5 = d) 2 = b y 9
Taldeko lana DENOK ELKARREKIN LAN EGITEN EZ BADUGU LANA EZ DA BURUTZEN ZER IKASIKO DUZU? LAN HONEK HONETARAKO BALIOKO DIZU: Batzuetan egoera baten emaitza topatzeko saiakuntza-hutsegite estrategia aplikatu. Ikertzen, probatzen, saiatua izaten baldintza batzuk bete behar dituzten zenbakiak bilatzen. Ez konformatzen edozein soluziorekin, soluzio sakonagoak bilatzen ahalegintzen NOLA LANDUKO DUZU? Landuko duzun problema zure taldeko beste kide batek aurkeztuko du; horregatik zure erantzukizuna izango da problema ongi ulertzea eta taldekide horri ongi ulertu duela ikusten duzun arte ongi azaltzea. Zure problemaren azalpena irakasleak esaten dizun bezala prestatuko duzu ( gardenkiak, Power Point, kanoia ) Zure eginkizuna da zure azalpenaren bidez, problema hori ikasleen aurrean azaldu behar duen ikaskidea seguru eta eroso sentitzea. 1. LANA OSO KUBO BEREZI BAT Irudikatu kubo bat. a) Jarri batetik zortzira bitarteko zenbakiak kuboaren erpinetan, aurpegi bakoitzeko batura beti berdina izateko moduan. b) Jarri zerotik zazpira bitarteko zenbakiak kuboaren erpinetan, aurpegi bakoitzeko batura beti zenbaki lehena izateko moduan.. LANA ZENBAKI BITXIEN BILA 2 PANDA ZENBAKIAK. 60 zenbakia 2z zatituz, ateratzen den zatidura hondarraren berdina da; 2 panda-zenbakia esaten zaio. a) Bilatu 100 baino txikiagoak diren 2 panda-zenbaki guztiak. b) 5 panda-zenbakirik izango ote da? Eta 9 panda-zenbakirik? Beste panda-zenbakirik aurkitu duzu? 2. LANA TRIANGELU MAGIKOA 6 5 2 2 6 5 5 6 2 5 2 6 Hemen ikusten duzun triangelu hau oso berezia da. Triangelutxo bakoitzean agertzen den zenbakia, inguruan dituen hiru triangelutxoetan agertzen diren zenbakien batura da. Alde bakoitzean lau triangelutxo dituenez, 4. dimentsiokoa dela esango dugu. a) Asmatu. dimentsioko triangelu magiko bat. b) Asmatu 4. dimentsioko beste triangelu magiko bat. 4. LANA: ZENBAKI OREKATUAK ETA OREKA GABEAK 12 zenbakiak sei zatitzaile ditu: 1, 2,, 4, 6 eta 12 Horietatik LAU bikoitiak dira (2, 4, 6, 12) eta BI bakoitiak. Zenbaki oreka gabea dela esaten dugu. Zenbaki orekatua izateko, zatitzaile guztiek izan behar dute (1 salbu, jakina!). a) Bilatu zenbaki orekatuak. b) Bilatu zenbaki sasiorekatuak, zatitzaileen erdiak bikoitiak direnak, alegia. * Lan hau banaka ere egin daiteke, irakasleari hala iruditzen bazaio. Zer gaitasunan lantzen dira? 40 B 1 Matematikagaitasuna B 2 Hizkuntzagaitasuna B Zientzia, teknologia eta osasun gaietako kultura B 4 Ikasten ikastea B 5 Informazioaren erabilera eta gaitasun digitala B 6 Gaitasun humanistikoa eta arte-gaitasuna B 7 Gaitasun soziala eta herritar-gaitasuna B 8 Autonomia eta ekimen pertsonala
Zenbaki arruntak eta zenbaki osoak - SINTESia 1. Osatu esaldi hauek zenbakien multzoan. a) Zenbaki arrunt guztiak zenbaki dira. b) Zenbaki osoak, zenbat eta egon, orduan eta txikiagoak dira. c) Zenbaki arruntak letra bidez izendatzen dira eta zenbaki osoak Z d) Z + = N berdintzak esan nahi du e) N Z adierazpenak, esan nahi du f) N ( ez dago barruan) adierazpenak hau esan nahi du: 2. Zenbaki osoen propietateak. a) a + b = b + a. propietatea da; hau esan nahi du: b).. banatze-legea da eta hau esan nahi du: c) + = 0 denez, honek esan nahi du zenbakia zenbakiaren dela. 1 d) denez, horrek esan nahi du zenbakia 4 zenbakiaren alderantzizko elementua 4 dela.. BERREKETAK / ERROKETAK a) Erroketak kontrako eragiketak dira. b) a b berreketan a deitzen da eta b. b c) a erroketan a. deitzen da eta b 4. Berreketen propietateak. Osatu mapatxo hau. Izenburua jarri a n a m = a n+m Frogatu Zer egiten dugu Berreketen propietateak dira 5. Zatigarritasuna. Osatu esaldiak: a) Zenbakiak biderkagai lehenetan deskonposatu mkt eta ZKH b) mkt bilatzeko bi bide desberdin ditugu. eta. c) Zatigarritasuna zenbakien da. d) mkt eta ZKH kalkulatzeak. balio du. 6. Esaldi hauek kontuan hartuz, osatu mapa hau. Zenbakiak biderkagi lehenetan aukera daiteke balio dute balio du zatikien eragiketak egiteko aljebran 41