FYS3410 Kondenserte fasers fysikk Modul 4 Sindre Rannem Bilden 9. mai 2016
Oppgave 1 - Metaller og isolatorer Metaller er karakterisert med et delvis fyllt bånd kallt ledningsbåndet. I motsetning til metaller har isolatorer et tomt ledningsbånd og et fullt valensbånd. For å avgjøre om materialet er metallisk eller isolerende bør man først sammenligne antall tilstander i et bånd med antallet tilgjengelige elektroner som kan fylle tilstandene, samt ta høyde for båndoverlapp. a) Se på en endimensjonell krystall med en gitterkonstant a satt sammen av enten mono- eller divalente atomer. Avgjør om krystallene er metaller eller isolatorer. Svar: Hvert atom gir to energitilstander. Monovalente atomer gir ett elektron per atom som kan okkupere tilstander og fyller derfor opp halve båndet og blir metallisk. Divalente atomer gir to elektroner som kan okkupere tilstander, de vil okkupere alle tilgjengelige tilstander og bli isolatorer siden det kun finnes én dimensjon. b) Se på en tredimensjonell krystall med for eksempel en primitiv kubisk enhetcelle bestående av mono- eller divalente atomer. Vil definisjonene i én dimensjon holde for tredimensjonelle krystaller? Svar: For en primitiv kubisk enhetcelle vil avstanden til Brillouinsonen være lik i alle dimensjoner. Man kan se på hver dimensjon for seg og får samme situasjon som i a). Siden alle dimensjonene er like vil det som var en isolatoren i én dimensjon fortsatt være isolator i tre dimensjoner. Om man derimot ser på andre enhetceller vil situasjonen være anderledes, siden avstandene til Brillouinsonene er forskjellige i for eksempel BCC vil båndene i forskjellige dimensjoner overlappe og fylles slik at krystallen blir metallisk. Oppgave 2 - Effektiv masse Introduser idéen om effektiv masse m ved å sammenlikne dispersjonsrelasjonen for FEFG og en tenkt E k) som er Taylorutviklet fra fra et minimum/maksimumspunkt. Legg ved en graf av E k) med første og andre deriverte av tilnærmingen. Legg også ved en graf med den effektive massen som funksjon av k innen innen første Brillouinsonefor en endimensjonell krystall. Svar: Om man ser på en partikkel i et periodisk potensiale, kan man få en god tilnærming av energien ved et minimum/maksimumspunkt, Ek 0 ), om man bruker en andregrads Taylorutvikling om minimum/maksimumspunktet. Dette gir en funksjon om k 0 som er E k) =Ek 0 ) + k k 0 ) k Ek 0) + 1 2 k k 0) 2 2 k 2 Ek 0) Ek 0 ) er en ukjent konstant. Siden E k) er en Taylorutvikling om et minimum/maksimumspunkt vil k Ek 0) = 0 og leddet forsvinner. Vi sitter igjen med 1 2 k k 0) 2 2 k 2 Ek 0) Dette kan skrives om til 2 ) 2 2 1 k k 0 ) 2 Ek k 2 0 ) 2 Uttrykket ligner svært mye på energien til et fritt elektron E = 2m k2 så vi introduserer m = 2 1 Ek k 2 0 )) 2 og får 2m k k 0) 2 Dette gir relasjonene vist i Figur 1.
E v g a m Potential k Potential k kpotential kpotential a) Hvorfor er den effektive massen forskjellig fra hvilemassen til elektronet? Svar: Den effektive massen påvirkes av miljøet elektronet er i og bevegelsesmengden til elektronet p = k). b) Kan den effektive massen bli negativ? Hva betyr det? Introduser konseptet hull. Svar: Den effektive massen kan være negativ nær en Brillouinsone siden energien flater ut til en forbudt k-verdi. Elektroner med negativ masse vil gi motsatt reaksjon av hva et elektron med positiv effektiv masse gir. Siden reaksjonen er det negative vil mange tolke det som en motsatt ladd partikkel, da en negativ masse er et fjærnt konsept. Dette leder til tanken om positivt ladde hull i tilstandsbåndene. c) Anta at energien til elektroner i grenseflaten av ledningsbåndet er Ek) = Ak 2 med A = 5e 37Jm 2 = 3.12eV nm 2. Beregn den effektive massen i grenseflaten av ledningsbåndet. Svar: Ved å bruke relasjonen m = 2 k 2 Ek 0 )) 1 2 får vi Figur 1: Relasjon mellom elektronets effektive masse, akselerasjon, gruppehastighet og energi. ) m 2 1 = k 2 Ek 0) 2 = 2A) 1 2 = 2A = 2A c 2 2π) 2 c 2 2π) 2 1240eV nm)2 = 2A2π) 2 c 2 =6241 ev c 2 0.012m 0
Oppgave 3 - Lette og tunge hull GaAs er en halvleder med et direkte båndgap på 1.42eV i romtemperatur. Eksperimentelle verdier for de effektive massene er 0.067,0.082 og 0.45 av massen til et fritt elektron. Massene er målt for et elektron i ledningsbåndet og for lette og tunge hull i toppen av valensbåndet i respektiv rekkefølge. Beregn de korresponderende energi dispersjonrelasjonene og tegn båndstrukturen til GaAs om Γ-punktet. Hva er grunnen til lette og tunge hull? Svar: Om man bruker relasjonen får man 2m k Γ)2 =C + Ak 2 2 2m =A A 1 m = 0.067m 0 ) =0.569eV nm 2 A 2 m = 0.082m 0 ) = 0.465eV nm 2 A 3 m = 0.45m 0 ) = 0.085eV nm 2 dette gir båndstrukturen vist i under. Om hullet/elektrinet er lett eller E g Γ A 1 E C A 2 A 3 E V tungt kommer av energikrumningen i k- rommet, en slak krumning gir tunge hull/elektroner og krappe gir lette. Krumningen defineres delvis av gitterparameteren a i de forskjellige dimensjonene. Oppgave 4 - Hydrogenlike dopanter Se på forsfordonorer i en silisiumkrystall med en effektiv-masse tilnærming for hydrogenlike atomer. a) Beregn energien som behøves for å eksitere elektronet fra donornivået til ledningsbåndet. Svar: Energien til elektronet i et hydrogen er definert som E 0 = me4 8 2 ε 0 2 1 n 2 Et forsforatom i en silisiumkrystall kan ses på som et hydrogenlignende atom siden fosfor har ett valenselektron mer enn silisium. Ser man på en effektiv masse tilnærming får man E C E d = m e 4 8 2 εε 0 ) 2 1 n 2 = E 0 m m ) 1 ε 2 Dette gir at man behøver E = E m ) 1 0 m for å eksitere elektronet ε 2 fra donornivå til ledningsbåndet. Setter man inn den effektive massen m = 0.2m til forsfor i silisium og permitiviteten til silisium ε = 11.7 får man E 0.02eV. b) Beregn Bohr radiusen til elektronene og beregn hvilken dopingkonsentrasjon som må til for å gå fra lokaliserte tilstander til et bånd. Svar: Radiusen til hydrogenatomet er gitt ved r 0 = ε 0 2 πme 2 n2 på samme måte som for energien blir radiusen i et hydrogenlikt atom lik r d = εε 0 2 πm e 2 n2 = r 0 m m ) ε
Setter man inn de samme parameterene som i a får man r d 3.1nm. For at tilstandene skal være lokaliserte og ikke overlappe må det være d = 2r d i avstand mellom hvert fosforatom. Med andre ord kun være ett fosforatom per volum V d = 4 3 πr3 d. Om man så ser på en kubikkcentimeter vil man få plass til 1cm 3 V d = 1 10 2) 3 8 4 3 π3.1 10 9 ) 3 1018 P cm 3 Som virker som en logisk maksimal dopingkonsentrasjon. Oppgave 5 - Ladningsbærere Se på ladningsbærerkonsentrasjonen som funksjon av temperatur i homogent dopet silisium med N d = 10 17 P cm 3. Se på svært lave temperaturer, normale og svært høye temperaturer, som tilsvarer donorfrysing, full donoraktivitet og intrinsisk oppførsel. a) Beregn likevektskonsentrasjonen for elektroner og hull. Plott elektronkonsentrasjonen som funksjon av 1/T ). Svar: Vi har at ladningsbærerkonsentrasjonen for lave temperaturer er domineret av donorelektroner ved n = N C exp E d k B T ), når den termiske energien bli så høy at alle donorelektronene eksiteres til ledningsbåndet blir ladningsbærerkonsentrasjonen lik n d = N d og når temperaturen stiger så mye at valenselektroner kan eksitere oppover vil konsentrasjonen følge n i = N C exp Eg 2k B T ). Vi får krysninger ved N d = N C exp E d k B T ) og N d = N i exp Eg 2k B T ) som tilsvarer T 0 = T 1 = E d k B ln Nd N C ] 40.8K E g 2k B ln Nd N C ] 1123.5K for en ladnindsbærerkonstentrasjon på N C = 2.9 10 19 cm 3 i ledningsbåndet. logn] T 1 T 0 n = 10 17 1/T b) Beregn fermienergien E F relativt til E i. Plott ferminivået ε F som funksjon av 1/T ). Svar: Fermienergien vil ligge mellom E d og E C siden E d er den høyeste okkuperte tilstanden ved T ] = 0K. E C E F = k B T ln n0 n C Ferminivået ligger nært fermienergien ved svært lave temperaturer men vil falle etterhvert som den termiske energien eksiterer elektroner fra donortilstander til ledningsbåndet.e C E F 40.8K) = 10 17 0.0035 ln 0.0199eV Når temperaturen blir høy nok til å eksitere elekroner fra valensbåndet og opp vil materialet oppføre seg som et intrinsisk materiale siden effekten fra valensbåndet vil dominere over tilstandene fra dopingen. E F 1123.5K) E i = 0.097 2.9 10 19 ] 10 17 2 ln 0.5499eV Disse verdiene er ligger på donornivå og på intrinsisk nivå som er logisk med tanke på temperaturene. E E F E i 1.5 10 10 ] T 1 T 0 1/T E C Ed E V