Innlevering i matematikk Obligatorisk innlevering nr. 4 Innleveringsfrist: 1. januar 1 kl. 14. Antall oppgaver: 4 Løsningsforslag Oppgave 1 a = [3, 1, ], b = [, 4, 7] og c = [ 4, 1, ]. a) a = 3 + ( 1) + = 1 b = + 4 + 7 = 69 c = ( 4) + 1 + = 1 b) a b = [3, 1, ] [, 4, 7] = 3 + ( 1) 4 + 7 = a c = [3, 1, ] [ 4, 1, ] = 3 4 1 + = 13 b c = [, 4, 7] [ 4, 1, ] = 4 + 4 + 7 = 1 c) Vi kallar vinkelen mellom a og b for u. Denisjonen av skalarproduktet seier at a b = a b cos u. Dette gir at cos u = a b a b = = u = cos 1 85, 6. 1 69 69 69 v er vinkelen mellom a og c: cos v = a c a c = 13 = 13 ( u = cos 1 13 ) 153, 8. 1 1 1 1 w er vinkelen mellom b og c: cos w = b c b c = 1 69 1 = 1 3 161 u = cos 1 1 3 161 74, 8. 1
d) a b = e 1 e e 3 3 1 4 7 = ( 1) 7 e 1 + e + 3 4 e 3 4 e 1 3 7 e ( 1) e 3 = 7 e 1 1 e + 14 e 3 = [ 7, 1, 14]. e 1 e e 3 a c = 3 1 4 1 = e 1 + + 3 e 3 6 e 4 e 3 = [, 6, 1]. e 1 e e 3 b c = 4 7 4 1 = 8 e 1 + 8 e + e 3 7 4 e 1 4 e ( 16) e 3 = [1, 3, 18]. e) Volumet V er gitt ved absoluttverdien av tre-vektor produktet; ( V = a ) b c = [ 7, 1, 14] [ 4, 1, ] = 8 1 + 8 = 35. f) Vektorproduktet a b mellom to vektorer, a og b, er denert ved at produktet skal ha retning normalt på både a og b etter en høgrehåndsregel, og lengda av a b er gitt som a b sin u, der u er vinkelen mellom vektorene. Dersom a og b hadde vært vektorer i planet, ville det ikke vært mulig å nne noen vektor som står normalt på begge to for to generelle vektorer a og b; dersom de ikke er parallelle vil ikke en vektor som står normalt på a, stå normalt på b og vice versa. Går vi derimot til høyere dimensjoner (selv om det er vanskelig å se for seg rom med 4 eller ere dimensjoner, er det ikke noe problem å regne med vektorer med 4 eller ere komponenter), er det annerledes. Da blir det nemlig slik at der er mange retninger som står normalt på både a og b. På den måten vil ikke denisjonen av vektorprodukt gi noen entydig vektor for vektorer med ere enn 3 komponenter. Oppgave a) Mengda av alle punkt med en bestemt avstand til et gitt punkt blir en sirkel. I dette tilfellet har sirkelen radius r = 4 og sentrum i S( 1, 3). b) Nei, dette kan ikke være grafen til en funksjon siden den ikke er entydig; for noen -verdier svarer det to y-verdier. c) Vektoren P S = [ ( 1), y 3] = [ + 1, y 3] skal ha lengde r = 4. Altså: P S = ( + 1) + (y 3) = 4 ( + 1) + (y 3) = 4.
d) Vi forsøker å skrive likninga + y 4 + 1y + = på samme form som likninga i oppgaven over. For å gjøre dette kan vi benytte oss av 1. og. kvadratseting. + y 4 + 1y + = 4 + y + 1y + = + y + 5y + = + + y + 5y + 5 5 + = ( ) + (y + 5) 5 + = ( ) + (y + 5) 9 = ( ) + (y ( 5)) = 3. Av forma på likninga ser vi at dette tilsvarer en sirkel med sentrum i (, 5) og radius 3. Oppgave 3 Bestem disse grenseverdiene dersom de eksisterer: 4 3 a) lim 5 5 Vi ser at både teller og nevner blir null for = 5. Derfor må telleren vere delelig med ( 5). Polynomdivisjon: Vi får: ( 4 3) : ( 5) = + 6 ( 1) 6 3 (6 3) 4 3 ( 5)( + 6) lim = lim = lim (+6) = 5+6 = 16. 5 5 5 5 5 + b) lim sin Vi veit at sin når. Vi ser også at telleren i uttrykket ikke går mot når går mot. Dermed får vi at + sin Grenseverdien ekstisterer ikke. c) lim 1 (5 + 1) = 1 5 + 1 =. ± når. 3
3 3 15 + 4 1 d) lim 3 7 + 16 1 Både teller og nevner går mot null når : 3 3 15 + 4 1 = for telleren og 3 7 + 16 1 = for nevneren. Dermed er faktor i både teller og nevner. Vi faktoriserer ved hjelp av polynomdivisjon: Vi får: (3 3 15 +4 1) : ( ) = 3 9 + 6 (3 3 6 ) 9 +4 ( 9 +18) 6 1 (6 1) ( 3 7 +16 1) : ( ) = 5 + 6 ( 3 ) 5 +16 ( 5 +1) 6 1 (6 1) 3 3 15 + 4 1 lim 3 7 + 16 1 = lim ( )(3 9 + 6) ( )( 5 + 6) = lim 3 9 + 6 5 + 6 Også i dette uttrykket blir både teller og nevner null når vi setter inn =. Dermed er også den nye telleren og den nye nevneren delelige med ( ). Vi utfører polynomdivisjon igjen: Dermed blir grenseverdien (3 9 +6) : ( ) = 3 3 (3 6) 3 +6 ( 3 +6) ( 5 +6) : ( ) = 3 ( ) 3 +6 ( 3 +6) 3 9 + 6 lim 5 + 6 = lim ( )(3 3) ( )( 3) = lim 3 3 3 = 3 3 = 3. 3 4
3 3 15 + 4 1 e) lim 4 3 7 + 16 1 = 3 43 15 4 + 4 4 1 4 3 7 4 = 9. + 16 4 1 Oppgave 4 a) a() = 4 1 Nevneren er når = 1. Når = 1, blir telleren 4 1 =. Dermed har vi at a() ± når 1. = 1 er en vertikal asymptote for a(). For ± får vi at a() = 4 4 1 = 1 y = 4 er en horisontal asymptote for a(). = 4 1 1 4 1 = 4. b) b() = 1 +3 Nevneren er når = 3. Når = 3, er telleren ( 3) ( 3) 1 = 1. Dermed får vi at b() ± når 3. = 3 er en vertikal asymptote for a(). Siden polynomet i telleren har høgere grad enn polynomet i nevneren, vil ikke b() ha noen horisontal asymptote. Derimot har den en skrå asymptote. Denne nner vi ved polynomdivisjon: ( 1) : ( + 3) = 8 + 1 +3 ( +6) 8 1 ( 8 4) 1 1 +3 når ±. Derfor er y = 8 en skrå asymptote for b(). 5
c) c() = 1 4 Nevneren er når = ±. Telleren er 1 (uavhengig av hva er). Derfor er = og = vertikale asymptoter for c(). Når ± : c() = 1 1 1 4 = = 4 1 4 1 =. Dermed er y = en horisontal asymptote for c(). 6
d) d() = 1+5 6 Vi nner nullpunktene til nevneren: 6 = 3 1 = = ( 3) ± ( 3) 4 1 ( 1) 1 = 3 7 = = 3 + 7 = 5 = 3 ± 7 For = blir telleren ( ) 1 ( ) + 5 = 49. Dermed er = en horisontal asymptote for d(). For = 5 blir telleren 5 1 5 + 5 =. For å nne ut om = 5 er en asymptote, ser vi på denne grenseverdien: lim d() = lim 5 5 ( 5) ( + )( 5) = lim 5 5 ( + ) = 5 5 (5 + ) =. Vi har her brukt 1. kvadratsetning og nullpunktene til nevneren for å faktorisere uttrykket. Siden d() ikke går mot ± når 5, er ikke = 5 noen asymptote. Når ± : d() = 1 + 5 6 = 1 + 5 6 y = 1/ er en horisontal asymptote for d(). = 1 1 + 5 6 1 + 1 = 1. 7