Faglig kontakt under eksamen: Aase Rees 7 59 5 / 915 75 65 BOKMÅL EKSAMEN I EMNE TKT1 MEKANIKK Onsdag 7. desember 11 Kl. 9. 1. Hjelpemidler: Bestemt, enkel kalkulator 9 vedlagte formelark Ingen medbrakte trkte eller håndskrevne hjelpemidler er tillatt Settet består av i alt 16 ark: 1 forside, 6 ark med oppgavetekst og 9 vedlagte ark med formler Legg vekt på å levere en rddig besvarelse med tdelige skisser og sstematisk redegjørelse for hva som beregnes. Gjør egne, begrunnede antagelser hvis noen deler av oppgaveteksten snes ufullstendig. Vær oppmerksom på at mange av delspørsmålene i settet kan løses uavhengig av hverandre. Hvis du står fast på et spørsmål fortsett med andre oppgaver, og gå heller tilbake til det vanskelige spørsmålet til slutt. Prosenttallene angir omtrentlig vekt ved sensur (og indikerer cirka tidsforbruk på hver oppgave). Side 1 av 7
OPPGAVE 1 (ca %) (a) (b) Figur 1: (a) Ramme påkjent av jevnt fordelt last q og konsentrert last F. (b) Ramme påkjent av temperaturfelt Figur 1 (a) viser en mulig utforming av en konstruksjon. Dette er en én gang statisk ubestemt ramme. Alle komponenter i rammen har samme tverrsnitt, termisk utvidelseskoeffisient T og bøestivhet EI. Geometriske mål og opplagerbetingelser fremgår av figuren. Belastningen på konstruksjonen består av en jevnt fordelt horisontallast q langs sølens øverste del BC, og en konsentrert vertikallast F = qa/ midt på bjelken BD. Ta bare hensn til bøedeformasjoner. Deformasjoner pga. aksialkraft N og skjærkraft V neglisjeres. a) Løs det statisk ubestemte problemet i figur 1 (a) ved bruk av enhetslastmetoden (kraftmetoden). Bestem lagerreaksjonene A, A, C, og D. Tegn M diagram (på strekksiden). Hvor stort er maksimalmomentet i rammen, og hvor er dette? b) Figur 1 (b) viser den samme rammen som i spørsmål a og b, men nå virker det ingen tre last q eller F på rammen. Derimot fører et branntilløp på utsiden av rammen til en temperaturøkning. Denne er T på utsiden av rammens komponenter, og T/ på innsiden av komponentene, som vist i figuren. Anta at alle komponenter i rammen har dobbeltsmmetrisk tverrsnitt med tverrsnittshøde h. Det kan videre antas at h = a/1. Bestem lagerreaksjonene A, A, C, og D pga. temperaturøkningen i rammen vist i Figur 1 (b). Tegn M diagram (på strekksiden). Side av 7
(c) Figur 1 (c): Ramme påkjent av konsentrert last F. En alternativ utforming av konstruksjonen er vist i figur 1 (c). For enkelhets skld skal vi nå bare se på virkningen av den konsentrerte lasten F. I resten av oppgaven skal den plastiske kapasiteten for denne rammen med konsentrert last F som vist i figuren analseres. Anta plastisk momentkapasitet M p for alle komponenter. c) Identifiser én aktuell bruddmekanisme, og beregn tilhørende bruddlast F p uttrkt ved M p og a. Bentt prinsippet om virtuelt arbeid og flteledd. d) Kontroller at bruddlasten fra deloppgave c) er korrekt ved å tegne M diagrammet (på strekksiden) for den aktuelle mekanismen, og påvis at den plastiske momentkapasiteten ikke overskrides i noe punkt i rammen. Side av 7
OPPGAVE (ca 5 %) (a) (b) Figur : (a) Utkragerbjelke utsatt for jevnt fordelt last p. (b) Utkraget skive utsatt for jevnt fordelt last p. En utkragerbjelke er belastet med en jevnt fordelt last p som vist i Figur (a). Anta at forskvningen kan beskrives på formen hvor a er en ukjent konstant. va1cos L a) Hva er essensielle og naturlige randbetingelser? b) Vis at de essensielle randbetingelsene er oppflt for dette forskvningsfeltet. c) Er de naturlige randbetingelsene oppflt? d) Forklar hvorfor Raleigh Ritz metode kan brukes for denne bjelken med denne forskvningsfunksjonen. Finn nedbøningen på enden av bjelken med Raleigh Ritz metode og den oppgitte forskvningsfunksjonen. e) Vurder kvaliteten på løsningen. f) Figur (b) viser en utkraget skive utsatt for jevnt fordelt last. Anta samme forskvningsfelt som v for bjelken, men anta også nå at u. Er de essensielle randbetingelsene oppflt? g) Sett opp virtuelle forskvningers prinsipp og forklar kort hvordan du ville bruke Raleigh Ritz metode til å anslå forskvningen v(l,) for skiven (det er ikke nødvendig å vise beregninger). h) Forklar kort hvordan du kan vurdere kvaliteten på løsningen. Side av 7
OPPGAVE (ca 1 %) Figur : Tverrsnitt ABCD. a) Hva betr plan tøning, og for hva slags situasjoner kan vi anta plan tøning? b) Figur viser et tverrsnitt ABCD hvor vi kan anta plan tøning. Tøningskomponentene, uttrkt ved koordinatene og, er gitt ved: C( L ), D( L ) CD ( A ), hvor A, C og D er kjente konstanter. Forskvningskomponentene (u, v) for = = er: og helningen u/ for = = er: u(,) og v(,) u Bestem u og v som funksjoner av (, ). Side 5 av 7
OPPGAVE (ca 5 %) (a) b a (b) Figur : (a) Plateelement med dimensjoner d d dz. (b) Fritt opplagt plate utsatt for sinusformet last. a) Hvilke forutsetninger og antakelser har vi i tnnplateteori? b) Ta utgangspunkt i figur (a) og vis hvordan vi kan sette opp statisk likevekt for en plate. Vis hvordan vi kommer fram til platas likevektslikning på formen: M M M q Side 6 av 7
Figur (b) viser en fritt opplagt plate utsatt for en sinusformet last definert ved q (, ) q sin sin a b Den eksakte forskvningsfunksjonen er gitt ved w(, ) w sin sin a b c) Vis at denne forskvningsfunksjonen oppfller randbetingelsene og at w q D a b Dimensjonene til plata er: a = m, b = 1 m, h = mm. Lastamplituden q =.1 MPa, og E modulen E = 1 MPa og tverrkontraksjonstall =.. d) Bestem platas maksimale nedbøning. e) Bestem maksimale verdier av spenningene, og for platen. f) Bestem maksimale verdier av hjørnekreftene. g) Denne eksakte løsningen for en fritt opplagt plate med sinusformet last er grunnlaget for en kjent plateløsning. Hvilken? Beskriv kort bakgrunnen for denne plateløsningen og hvordan den brukes for å løse plateproblemer. Side 7 av 7
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TKT1 MEKANIKK Onsdag 7. desember 11 a) OPPGAVE 1 (ca %) Likevekt gir: 5qa C og A A qa Likevekt gir: C, 7 X 1 1 11 ramme A C og A 1 7 M M M d X M d EI EI 1 1 1 1 ramme
Side av 1 Løsningsforslag eksamen TKT 1 Mekanikk Desember 11 M 1 1 16a 1 9 1a 1 M1 d qa a qa a EI EI 7 7 ramme 1 1a 15 1 1 181qa 7 6 EI qa a qa a a qa a a M1 1 1 1a 16a 59a 656a 11 M1 d a a a a EI EI 7 7 77EI 7EI ramme X qa.18qa 656 11 1 181qa 7EI 181 1 11 EI a Lastsituasjon og momentdiagram: qa A X qa 7 1.58, 1 D X1.1qa qa 5qa A 1 X.6qa, C X1.qa, 7 Moment langs BC ( fra C): q Muk.qa d Derivert M langs BC: M uk. qa q Maks M for.a (fra C) d Maks moment langs BC: q. Muk..qa. a qa.9qa
Side av 1 Løsningsforslag eksamen TKT 1 Mekanikk Desember 11 b) Splitter temperatureffekt i to bidrag langs ABC: T u & T g : Temperaturfelt for T + 6 5T 6 T Temperaturfelt for Rammedel Rammedel T For BD blir det kun en uniform temperaturøkning på T/ Bruker følgende SBG: Får positiv tøning i alle elementer, og krumning på utsiden av rammen:
Side av 1 Løsningsforslag eksamen TKT 1 Mekanikk Desember 11 Finner forskvning i C på SBG pga temperatur: 1 C U g N d M d 7 5 1 TT 1 TT TT a a a a a 6 h h 1 7 a TT TT h a h = : 1 1 7 1 C TT a 1aTT T Ta Påfører C =1; blir samme diagram som M fra før. N1 M1 1 87a 1C N1 d M1 d a a a 7a 7a a a a a EA EI EI EI Neglisjeres 1 87a TTa C EI EI 5 EI C T T A 81 a 1 a T T 7 EI 5 EI D T T A 81 a 81 a T T
Side 5 av 1 Løsningsforslag eksamen TKT 1 Mekanikk Desember 11 c) d) M F u P u a : M F a P F a M P Vi får følgende lastsituasjon: & plastisk momentdiagram: M P M E M P D a D a Vi kan anta at D er liten da vi ikke kan ha noen forskvning i -retning der og heller ingen tre laster i - retning. Dersom momentene i BD. D er liten blir også A og C små, dermed blir også momentene i ABC små i forhold til Momentet overskrider ikke M p noe sted i rammen.
Side 6 av 1 Løsningsforslag eksamen TKT 1 Mekanikk Desember 11 OPPGAVE (ca 5%) a) Essensielle randbetingelser er randbetingelser som er knttet til forskvninger eller vinkler. Et annet navn på disse er kinematiske randbetingelser. Naturlige randbetingelser er randbetingelser som er knttet til krefter og momenter. Et annet navn på disse er dnamiske randbetingelser. b) De essensielle randbetingelser for innspent bjelke: v() = og v () = : v( ) a1cos L og v '( ) a sin L L v'() a sin OK, de essensielle RB er oppflt L a og v() 1 cos c) Naturlige randbetingelser: Fri ende: M=V=; v (L) = v (L) =? v''( ) a cos L L v''( L) a cos L og v'''( ) a sin 8 L L og v'''( ) a sin a 8L 8L De naturlige randbetingelsene er ikke oppflt, dvs V v/ fri ende. d) Raleigh-Ritz metode med denne forskvningsfunksjonen kan brukes siden de essensielle randbetingelsene er oppflt for forskvningsfunksjonen. v( ) a1cos L U og v''( ) a cos L L L L L 1 1 1 ''( ) cos cos U EI v d EI a d EIa d L L 16L L L EI EI L EI cos L L L 6L a d a a L L p v( ) d pa 1 cos d pa sin L L L L L L pa L sin sin pa L pal 1 L EI 6L a pal 1
Side 7 av 1 Løsningsforslag eksamen TKT 1 Mekanikk Desember 11 EI a pl 1 a 6L a pl 1 EI pl ( ) 1 1 cos EI v L pl pl EI EI v( L) 1 1 cos 1 a pl pl pl ( ) a 1.1197.95 EI EI 8 EI v L e) Eksakt løsning på forskvning er forskvningen på tuppen. pl vl ( ). Tilnærmet løsning er 95% av denne. Ganske godt estimat på 8EI 16 pl 16 pl pl pl Vinkel på tupp er v'( L) 1 sin 1,1875 1,1 EI EI EI 6EI pl Eksakt vinkel på tupp er. Ganske godt estimat også på rotasjon på tupp. 6EI 8pL Momentet fra RR er gitt ved: M EI v''( ) 1 cos L p L Den eksakte momentfunksjonen er M dm pl Skjærkrafta fra RR er gitt ved: V 1 sin d L Den eksakte skjærkraftfunksjonen er V p( L ).5.5. M_RR M_eksakt 1.9.8 V_RR V_eksakt.5.7..6 M [pl ].5. V [pl].5..15..1..5.1...6.8 1 /L...6.8 1 /L Vi ser av figur at momentet avviker en del fra det eksakte langs med bjelken. Likevel gir det gode verdier for =L og i området [.,.]. Når det gjelder skjærkraften blir denne estimert ganske dårlig. Det er forventet at forskvningene er best estimert, og så estimatet for vinkel, moment og skjærkraft dårligere da de er deriverte av forskvningen, og en tilnærmet løsning da blir dårligere.
Side 8 av 1 Løsningsforslag eksamen TKT 1 Mekanikk Desember 11 f) v Nå har vi v( ) a1cos og u a sin L L L De essensielle randbetingelser for innspent skive: v(, ) = og u(, ) = : v() a1 cos og u(, ) a sin L De essensielle randbetingelsene er oppflt. g) u(, ) a sin L L Vi har følgende forskvningsfelt: v(, ) a1cos L u(, ) a sin L L og følgende virtuelt forskvningsfelt (det samme som valgt forskvningsfelt): v(, ) a1cos L Finner tøninger & virtuelle tøninger: u a cos L L v u v a sin a sin L L L L og a cos L L Hooke s lov gir spenningstilstanden: E E a cos 1 L 1 L E E a cos 1 L 1 L G
Side 9 av 1 Løsningsforslag eksamen TKT 1 Mekanikk Desember 11 Indre virtuelt arbeid blir da: W i da A Dette blir et uttrkk med a og a Ytre virtuelt arbeid: l h W p v, d p a 1 cos d pal 1 L VFP: Wi W gir et uttrkk for a. v( L,) a L I denne deloppgaven skulle det ikke gjøres noen beregninger, bare kort vise de forskjellige stegene i beregningene. h) Vurdering av løsning, Kontrollér: Naturlige randkrav o = på rand = L o = på rand = h/ o = -p på rand = -h/ Kompatibilitetsbetingelsen: Likevektslikningene: o o a) b) OPPGAVE (ca 15%) I en plan tøningstilstand er alle tøningskomponentene i ett av de tre ortogonale snittplanene lik null. Hvis -planet er et slikt snittplan, vil kun disse tre komponentene være ulik null:,,. Plan tøning i -planet krever at ingenting verken last, geometri, forskvning eller randbetingelser avhenger av z- koordinaten. Plan tøningstilstand opptrer tpisk når lange prismatiske eller slinderformede legemer er påkjent av en belastning som står normalt på lengdeaksen, og som ikke varierer langs denne aksen. u C(L ) v D(L ) u v C + D (A )
Side 1 av 1 Løsningsforslag eksamen TKT 1 Mekanikk Desember 11 Integrerer for å finne u og v: 1 u C(L )d C(L ) Y() 1 v D(L )d D (L ) X() Her er X og Y funksjoner av og. Deriverer u og v og setter inn i uttrkket for : u 1 Y() C(L ) v 1 X() D X() 1 Y() 1 C(L ) D C + D (A ) For at denne likningen skal være oppflt må begge sider av likhetstegnet være lik samme konstant: X() 1 C(L ) E Y() 1 D C + D (A ) E Integrerer disse igjen: 1 1 1 X() E C(L )d E C(L ) F 6 1 1 1 Y() E D C + D (A )d E D C + D (A ) G 6 Setter disse inn i likningene for u og v, og bruker de oppgitte randbetingelsene: 1 1 1 u C(L ) E D C + D (A ) G 6 1 C D C(L ) C + DA E G 1 1 1 v D (L ) E C(L ) F 6 u(,) G v(,) F u E C + D (A ) E C + D (A ) Setter uttrkket for E inn i u og v igjen, og får: 1 C D u C(L ) 1 1 1 6 v D (L ) C + D (A ) C(L ) og
Side 11 av 1 Løsningsforslag eksamen TKT 1 Mekanikk Desember 11 a) b) OPPGAVE (ca 5%) Tkkelsen h er liten sammenliknet med andre dimensjoner. Tkkelsen kan variere, men kun slik at platen er smmetrisk om plateplanet (-planet). Ytre kraft q(,) virker normalt på plateplanet. Antar plan spenningstilstand, og de relevante spenningskomponentene er, Spenningskomponenten normalt til plateplanet er antatt neglisjerbar, dvs. z. Antar at skjærtøningen ut av plateplanet kan neglisjeres, dvs. Antar små forskvninger og rotasjoner, dvs. w(, ). h, sin w/. Middelplanet til platen antas plant og spenningsfritt, dvs.. Materialet er homogent, isotropt og lineært elastisk. Kraftlikevekt i z-retning: qd d V V d V V d HUSK: Kreftene er pr. lengdeenhet må derfor gange med bredden Setter inn for V og V : V V q d d V d V d V d V d V Deler på d og d: V q Momentlikevekt om -aksen: d d q d d Vd d V Vd M M d M M d z og. Setter inn for V, M og M : d V V d q d d V d d d V d V d M M M d M d M d M d Deler på d og d: d V V M d M q V d Lar d: M M V
Side 1 av 1 Løsningsforslag eksamen TKT 1 Mekanikk Desember 11 Momentlikevekt om -aksen kan settes opp på tilsvarende måte som for -aksen, lar d, og kommer fram til den siste likevektslikningen: M M V Kombinasjon av de tre likevektslikningene fører til platas likevektslikning. c) Fritt opplagt plate: Forskvning langs render: w(, ) w sin sin a b Krumning (moment) langs render: w, w sin sin a a b w, w sin sin b a b, a w, b w, a w,, b w, q Platens differensialligning: w, w, w, D w, w sin sin a a b w, w sin sin og q(, ) q sin sin a b a b a b w, w sin sin b a b Innsetting i diff. likningen gir: D w sin sin q sin sin a a b b a b a b Dw q a b q w D a b
Side 1 av 1 Løsningsforslag eksamen TKT 1 Mekanikk Desember 11 d) e) Platas maksimale nedbøning opptrer når =a/ og =b/: a b q w w, w sin sin w D a b ma Eh 1MPa mm D 1(1 ) 1(1. ) 6 15 1 Nmm q.1mpa w.7mm ma 6 D 151 Nmm a b m 1m Spenningene, og for platen: z E w w z E w w z E w ; ; (1 ) 1 1 1 Krumninger: w, w sin sin a a b w, w sin sin b a b w, w cos cos ab a b Maksimalverdier av normalspenningene for =a/, =b/ og z=h/ (her har vi størst bøemoment): h E mm 1MPa w.7mm. 5.5MPa 1 a b 1. mm 1mm,ma h E mm 1MPa w.7mm. 1.5MPa 1 b a 1. 1mm mm,ma Størst vridningsmoment opptrer langs randen og i hjørnet for platen, for eksempel når = og =. Dvs vi får maksimal skjærspenning også her: h E mm 1MPa (1 ) w (1.).7mm MPa 1 ab 1. 1mm mm,ma
Side 1 av 1 Løsningsforslag eksamen TKT 1 Mekanikk Desember 11 f) g) Maksimale verdier av hjørnekreftene: w R = M D(1 ) D(1 ) w,, 1mm 6 15 1 Nmm (1.).7mm.5kN Denne eksakte løsningen for en fritt opplagt plate med sinusformet last er grunnlaget for Naviers plateløsning. Bakgrunnen er at en fritt opplagt plate med sinusformet last gir tilsvarende sinusformet forskvning. Man antar at platas forskvninger kan beskrives som en dobbel Fourier-rekke som i formelarket. w mn er ukjente koeffesienter og a og b er platas dimensjoner i hhv - og -retning. Tverrlasten kan utvikles i en Fourier-rekke av samme tpe. Ved innsetting i platas diff. likning finner man uttrkket for de ukjente forskvningskoeffisientene w mn som gitt i formelarket. ab I praksis betr dette at enhver rektangulær fritt opplagt plate kan løses eksakt med Naviers plateløsning såfremt man tar med tilstrekkelig mange ledd i Fourier-rekka.
NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK TKT 1 MEKANIKK Eksamen 7/1 11 SENSUR Oppsummering: Karakterfordelingen er gjengitt i figuren nedenfor (antall og prosentvis). Essens: Over 75% har fått A, B eller C. Færre A er og flere B er enn i i fjor. TKT 1 Mekanikk, eksamen 11 Antall 5 5 5 5 15 1 5 1 1 1 1 5 A B C D E F Karakter TKT 1 Mekanikk, eksamen 11 % 5 5 15 1 5 8 6 1 11 9 A B C D E F Karakter
NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Oppgave 1: Denne oppgaven er den som flest har gjort det best på. Det er kanskje naturlig da det var første oppgave og den likner på oppgaver som er gitt tidligere år. Den har også mest uttelling da det blir me regning. Gjennomsnittsuttelling var ca 8% av full score, og det er bra. Gjennomsnittscore på a) og b) var mellom 8 og 85 %, så dette har de fleste fått til og fått uttelling for. Deloppgave c) har fått gjennomsnittsuttelling på 9%, og det er veldig bra. De fleste har klart å sette opp mekanismen og finne bruddlasten. I deloppgave d) var det veldig variert, og her var gjennomsnittsuttellingen bare 5%. Veldig få beregnet og tegnet M diagram for bruddlasten. Mange satte opp et diagram uten beregning, og dersom diagrammet var feil ble det lite uttelling. Oppgave : Totalt sett var det ca 6% gjennomstnittsuttelling. Dette er jo ganske greit, men her var det me variert. De fleste fikk til a) og b). c) og d) har mange klart me av, mens mange ikke kommer helt i mål på d). e) falt vanskeligst ut, enda veldig mange valgte å sammenlikne forskvningen med eksakt forskvning. Dessverre tenkte få på de andre størrelsene som kan utledes fra RR og sammenliknes med eksakt løsning. De tre siste deloppgavene var også sånn middels. Mange har fått det til, mens mange har nærmest ikke svart. I deloppgave d) fikk man et cosinus integral som ikke var oppgitt i formelsamlingen. Det var selvsagt meningen at det skulle vært oppgitt i oppgaven. Dette integralet ble faktisk også L/, men ingen som har brukt andre verdier her har blitt trukket for det. Oppgave : Deloppgave a) var en liten teori oppgave som mange har svart greit på, men de færreste har fått full pott og fått med seg alle hovedpoengene om plan tøning. Deloppgave b) ble kanskje nøtten i settet, da det var en litt annerledes oppgave. De fleste har forstått at de måtte integrere, men utførelsen av integralene varierte. Oppgave Denne oppgaven bærer nok litt preg av at det er siste oppgave og mange ikke har fått tid til å komme seg gjennom den på en ordentlig måte. Deloppgave a) er det mange som har svart en god del på, mens deloppgave b) var det overraskende få som hadde prøvd seg på. Deloppgavene c) e) er det mange som har fått til og gjort det bra på, mens f) var det me variert, og få som har fått til. På deloppgave g) var det mange som hadde fått med seg at det var Naviers plateløsning vi skulle frem til, men færre som kunne svare noe særlig om bakgrunnen for løsningen.