Vektoranalyse TFE4120 Elektromagnetisme Johannes kaar, NTNU 4. januar 2010 1 Integraler og notasjon Linjeintegral Et linjeintegral a et ektorfelt A oer en kure C skrier i C A d l. Når kuren er lukket tegner i en ring rundt integraltegnet: C A d l. Integralet C A d l er det samme som i matematikken ofte skries C A tdl, der t er en enhets-tangentektor til kuren, et. C A xdx + A y dy + A d. His A er en kraft på et legeme, og legemet flyttes d l, er A d l arbeidet som utføres a kraften A. Da il altså integralet C A d l ære det arbeidet som A utfører når legemet flyttes langs C. C A d l Flateintegral For enkelhets skyld skrier i et flateintegral med kun ett integraltegn: A d. Dette integralet gir strømmen (eller fluksen) a A gjennom flaten. I matematikken kan man ha sett den alternatie notasjonen A nd, der n er en enhets-flatenormalektor, og d er arealet til flateelementet. En lukket flate angis med en ring rundt integraltegnet. d A 1
Volumintegral Vi skrier også olumintegraler med ett enkelt integraltegn: ρd. Her er d et olumelement, og i integrerer ρ oer olumet. His f.eks. ρ er massetettheten, il ρd ære den totale massen i. d 2 Koordinatsystemer Enhetsektorene i et kartesisk koordinatsystem peker langs henholdsis x-, y- og -aksen. Vi kaller dem u x, u y og u. Et sylindrisk koordinatsystem angis med koordinatene r, φ og, se figuren nedenfor. Her er r astanden fra -aksen. Det er hensiktsmessig å innføre enhetsektorer også her disse er definert slik at de har retning den eien den tilsarende koordinaten øker raskest. F.eks. er enhetsektoren i -retning, u, i den retningen hor øker. Tilsarende er u φ i den retningen hor φ øker, og u r radielt utoer. Vi merker oss at u φ og u r ikke har samme retning oeralt de er ahengige a hor i befinner oss: u u φ u r y x φ Et sfærisk koordinatsystem har koordinatene r, φ og θ. Her er r astanden fra origo, φ er lengdegraden, mens θ er breddegraden (jfr. koordinatene på jordkloden). Merk at φ og θ er ombyttet i noen matematikkbøker. Konensjonen som er algt her er standard i så og si all fysikklitteratur. Enhetsektorene er u r, u φ og u θ : θ u r u φ x φ u θ y 2
3 kalare funksjoner f(x, y, ) Eksempler: T (x, y, ): Temperaturen som funksjon a posisjon i rommet. T (x, y,, t): Temperaturen i rommet som funksjon a tiden t. h(x, y): høyden oer haet på kartet eller i terrenget. V (x, y, ): potensialet i rommet. 4 Vektorfelt A(x, y, ) Eksempler: trøm som funksjon a posisjon i rommet (f.eks. annstrøm eller elektrisk strøm): E(x, y, ): Elektrisk felt i rommet. Typiske oppførsler for ektorfelt: konstant utstrømning/diergens sirkulasjon/curl 3
5 Gradient Et kart angir høyden h(x, y) ha. koter: P 2 01 01 P 1 h Vi beeger oss fra punktet P 1 = (x, y) til P 2 = (x + dx, y + dy). Da endrer høyden seg med: dh = h ( h h dx + x y dy = x, h ) (dx, dy) = h d y l = h d l cos θ, (1) der θ er inkelen mellom ektorene h og d l. Gradienten h er altså definert som ( h h = x, h ), (2) y og lengdeelementet er d l = (dx, dy). Vi har brukt notasjonen at (dx, dy) er en ektor med x-komponent dx og y-komponent dy. Dette kan også skries d l = (dx, dy) = dx u x + dy u y, (3) der u x og u y er enhetsektorer i henholdsis x- og y-retning. Retningsfaktoren cos θ i (1) iser at høyden endrer seg mest dersom dl er i samme retning som gradienten h. Når i har gått horisontalt 1 meter i denne retningen, har høyden steget med h meter. Noen iktige ting å merke seg: I 3 dimensjoner ( definerer ) i tilsarende: V = V x, V y, V = V x u x + V y u y + V u. V er gradienten til en (skalar) funksjon. V er ektor! V står normalt på flatene V = konstant (is dette!). V kan regnes ut i sylinderkoordinater og sfæriske koordinater. Uttrykkene står på formelarket bakerst i dette notatet. ( ) Huskeregelen = x, y, er nyttig både for gradient, diergens, curl og laplaceoperator. 4
6 Diergens Hor mye strømmer et ektorfelt A = (A x, A y, A ) ut a punktet P = (x 0, y 0, 0 )? For å sare på dette spørsmålet, omslutter i punktet P med en boks med infinitesimale sidekanter dx, dy og d: y d dx P dy Boks med olum = dxdyd og oerflate. P er i midten a boksen. x Vi definerer så diergens som netto utstrømning (fluks) a A ut a boksen: dia A = lim d. (4) 0 Her er den lukkede flaten som boksen består a, og = dxdyd er olumet a boksen. Integralet i telleren er A d = A nd, (5) der n er normalektoren til flaten. Vi husker at normalektoren alltid er definert til å peke ut a en lukket flate, så n peker ut a boksen. Vi ønsker nå å regne ut høyre side a (4). Vi må da huske på at komponentene A x, A y og A er ahengige a posisjon (x, y og ), så de kan ahenge a hor på boksen i befinner oss. Integralet er en sum a integralene oer de 6 sidene til boksen: A d = A x (foran)dyd A x (bak)dyd (6) foran bak A y (enstre)dxd + A y (høyre)dxd enstre høyre + A (topp)dxdy A (bunn)dxdy. topp F.eks. er A x (foran) A x (bak) = A x (x 0 + dx/2, y 0, 0 ) A x (x 0 dx/2, y 0, 0 ) = Ax x dx, der siste likhet kommer fra definisjonen a den derierte. Tilsarende kan man finne ut at A y (enstre) + A y (høyre) = Ay y dy og A (topp) A (bunn) = A d. Dette betyr at integralet i er på jakt etter, kan skries bunn A d = A x x dxdyd + A y y dxdyd + A Fra definisjonen (4) får i dermed at diergensen kan uttrykkes dxdyd. (7) di A = A x x + A y y + A = A. (8) Pga. denne sammenhengen skrier i diergensen til et ektorfelt A heretter som A. En tilsarende regneøelse kan gjøres i sylindriske og sfæriske koordinatsystemer, og man får da formlene for A som du finner bakerst i dette notatet. Merk at A er en skalar (et tall), ikke en ektor! Regneregel: (a A + b B) = a A + b B. 5
7 Diergensteoremet Gitt en lukket flate som omslutter et areal. Diergensteoremet sier at A d = Ad. (9) Med andre ord kan strømmen (fluksen) a A ut a flaten finnes ed å summere opp diergensen a A i alle punkt innenfor. Et flateintegral kan dermed uttrykkes som et olumintegral, eller omendt. Diergensteoremet er et lite mirakel, men likeel ikke så anskelig å forstå. å fort man har forstått ha enstre og høyre side a (9) betyr, kan man beise teoremet med nærmest bare en skisse. Figuren nedenfor iser terrsnittet a et olum som omsluttes a en lukket flate. Volumet er delt opp i infinitesimale olumelementer. Flatenormalene til elementene 1 og 2 er angitt med piler. Legg merke til at flatenormalen til ett element er motsatt rettet a flatenormalen til naboelementet flatenormalen peker alltid ut a en lukket flate. en del a 1 2 For det infinitesimale olumelementet 1 gir definisjonen a diergens (4) at Ad = A d. (10) 1 Her er d olumet til elementet, og 1 oerflaten som omslutter elementet. ummerer i oer alle olumelementer, får i Ad = A d, (11) i i der i er oerflaten som omslutter element i. e nå på grenseflaten mellom element 1 og 2. Integralet A d oer denne flaten il ære like stort, men med motsatt fortegn, for leddene med i = 1 og i = 2. Dette er fordi de respektie flatenormalene peker motsatt ei. Dermed kansellerer alle bidrag oer de indre grenseflatene. Bare på randen, ds. på sele, il i få et bidrag. Med andre ord blir høyre side a (11) lik A d, hilket gir diergensteoremet. 6
8 Curl Hor mye (og i hilken retning) sirkulerer et ektorfelt A = (A x, A y, A ) rundt punktet P = (x 0, y 0, 0 )? aret finnes fra curl A, som defineres som sirkulasjonen rundt de tre koordinataksene. F.eks. defineres x-komponenten a curl A som (curl A) x = lim 0 C A d l, (12) der er et flateelement som inneholder P, og som er normalt på x-aksen, og C er den lukkede kuren som omslutter dette flateelementet. Vi kan regne ut høyre side a (12) ha. følgende figur: y d P dy Kadrat med areal = dyd, omsluttes a en lukket kure C. Integralet blir C A d l = Vi har at nede A y (nede)dy oppe A y (oppe)dy enstre A (enstre)d+ høyre A (høyre)d (13) A y (nede) A y (oppe) = A y (x 0, y 0, 0 d/2) A y (x 0, y 0, 0 + d/2) = A y d, A (høyre) A (enstre) = A (x 0, y 0 + dy/2, 0 ) A (x 0, y 0 dy/2, 0 ) = A y dy, der i igjen har brukt definisjonen på de partiellderierte. Dette gir ( A d A l = y A ) y dyd, (14) og derfor C (curl A) x = A y A y. (15) Vi kan finne de andre komponentene a curl A på tilsarende is man finner da at curl A = A, (16) der man altså tar kryssproduktet a nabla-operatoren og A. Pga. denne relasjonen il i heretter bruke notasjonen A for curl. Vi kan også regne ut A i sylinderkoordinater og sfæriske koordinater. Resultatet finnes bakerst i dette notatet. Merk at A er en ektor! Regneregel: (a A + b B) = a A + b B. Merk at ( V ) = 0 og ( A) = 0 for alle V og A. (jekkes enkelt ed utregning.) 7
9 tokes teorem tokes teorem stadfester at sirkulasjonen a A rundt en lukket kure C er summen a alle små sirkulasjoner inne i arealet som kuren omslutter: A d l = A d. (17) C Vi beiser (17) helt tilsarende som diergensteoremet. Først deler i opp arealet inn i infinitesimale arealelementer d: en del a C 1 2 Vha. definisjonen på curl, ser i at f.eks. for kure C 1 rundt elementet 1 gjelder A d = A d l. (18) C 1 Her er d arealet til elementet 1, og retningen til d er normalt på flaten, i henhold til høyrehåndsregelen (ds. legg høyre hånd rundt C 1 ; da peker tommelen og dermed d ut a papirplanet). ummerer i oer alle flateelementer, får i A d = A d l. (19) i C i e nå på høyre side a (19). iden i integrerer i motsatt retning for kurene mellom naboelementer, il bidraget fra alle slike kurer bli null. Vi får kun bidrag fra integralet langs randen, ds. C. Dermed blir høyre side lik C A d l, og tokes teorem følger. For et konseratit ektorfelt, ds. et ektorfelt A som tilfredsstiller A = 0, så ser i fra (17) at C A d l = 0 for enher lukket kure C. Dette impliserer at integralet b a A d l er uahengig a eien i måtte elge mellom punktene a og b. (Vis dette! Hint: e på to forskjellige eier fra a til b. Disse utgjør til sammen en lukket kure C.) 10 Laplace-operatoren 2 Laplaceoperatoren til en skalar funksjon V er gitt a ( 2 2 V = V = Laplaceoperatoren til et ektorfelt er definert som x 2 + 2 y 2 + 2 2 ) V. (20) 2 A = ( A) A. (21) F.eks. er x-komponenten a 2 A lik 2 A x. Merk at 2 A og ( A) ikke er det samme. 8
11 Helmholt teorem Helmholt teorem sier at et ilkårlig ektorfelt som går glatt mot null i uendeligheten, kan dekomponeres i en curlfri del og en diergensfri del: Vektorfelt = curlfri del (som diergerer) + diergensfri del (som sirkulerer) Beises ikke her. 9
12 Vektorformler Differensielle ektoridentiteter: u x V = V (x ilkårlig akse) x (V + W ) = V + W (V W ) = V W + W V f(v ) = f (V ) V ( A + B) = A + B (V A) = V A + A V ( A B) = B A A B ( A + B) = A + B (V A) = ( V ) A + V A ( A) = 0 ( V ) = 2 V ( V ) = 0 ( A) = ( A) 2 A Integralidentiteter: V d = Ad = A d = A d Ad = C A d l V d (Diergensteoremet) d A (tokes teorem) Kartesisk koordinatsystem: V = V x u x + V y u y + V u A = A x x + A y y + A ( A A = u x y A y ) ( Ax + u y ( Ay + u x A x y 2 V = 2 V x 2 + 2 V y 2 ) + 2 V 2 A ) x 2 A = ( 2 A x ) u x + ( 2 A y ) u y + ( 2 A ) u ylindrisk koordinatsystem: V = V r u r + 1 V r φ u φ + V u A = 1 (ra r ) + 1 A φ r r r φ + A ( A 1 A = u r r φ A ) ( φ Ar + u φ A ) r + u ( (raφ ) A ) r r r φ 2 V = 1 r r ( r V r færisk koordinatsystem: ) + 1 r 2 2 V φ 2 + 2 V 2 V = V r u r + 1 V r θ u θ + 1 V r sin θ φ u φ A = 1 (r 2 A r ) r 2 + 1 r r sin θ + u θ r (sin θa θ ) + 1 A φ θ r sin θ φ A = u ( r (sin θaφ ) A ) θ r sin θ θ φ ( 1 A r sin θ φ (ra ) φ) + u ( φ (raθ ) A ) r r r r θ ( r 2 V ) + 1 ( r r r 2 sin θ V ) sin θ θ θ 2 V = 1 r 2 1 2 V + r 2 sin 2 θ φ 2 10