4. oktober 2004 Forelesningsnotater ECON 2910 VEST OG UTVIING, HØST 2004 7. itt om endogen vekstteori I matematiske fremstillinger hvor vi ser på endringer i variable over tid er det vanlig å betegne de deriverte mhp. tiden ved hjelp av en prikk over variabelen. Jeg vil bruke denne notasjonen, for en variabel xt er den deriverte mhp. tiden altså betegnet med dx t = x dt t Jeg vil dessuten stort sett sløyfe fotskriften t for å forenkle skrivingen. Vi starter med Solow-modellen med teknisk fremgang. Fra forelesing nr. 4 har vi følgende modell: (1) = F(, ) (2) = s δ (3) = n (4) = γ På lang sikt har modellen følgende egenskaper: (i) k = er konstant, gitt ved sf ( k) = ( δ + n + γ ) k (ii) = n + γ uansett verdi på spareraten s Egenskap (ii) innbærer at veksten i produksjon per capita er eksogent gitt (lik γ )! Dette er mildt sagt utilfredsstilende; vi ønsker en teori som forklarer denne veksten. Variabelen t spiller en viktig rolle i Solow-modellen. Hva representerer denne variabelen? Den er et aggregert uttrykk for kunnskapsnivået i samfunnet. Dette er selvsagt svært abstrakt, og sier lite om nøyaktig hvordan vi i praksis kunne tenkes å måle den. For vårt formål er det imidlertid tilstrekkelig å tenke på t som noe som representerer samlet kunnskap. Det viktige vi skal fokusere på er at endringer i dette kunnskapsnivået ikke skjer av seg selv slik som antatt i (4), men blir bestemt endogent i 1
økonomien. Vi skal først la modellens ligninger (1)-(3) være som før, og se på konsekvensen av at ny kunnskap blir produsert gjennom bevisst satsing, som kan inkludere både utdanning og forskning og utvikling. I slutten av kapitlet skal vi se nærmere på produktfunksjonen (1) og se på en alternativ måte kunnskap kan inngå på. Produksjon av kunnskap Vi antar at andeler σ og σ av hhv. sysselsetting og realkapital brukes i produksjon av kunnskap, slik at (1) endres til (1 ) = F((1 σ ), (1 σ ) ) Videre antar vi i stedet for (4) at vi har en produktfunksjon som forklarer hvordan ny kunnskap blir produsert : (4 ) =Φ ( σ, σ, ) For å forenkle skrivingen skal vi heretter anta σ = σ = σ. (Dette er imidlertid ikke en helt uskyldig antagelse. For en gitt verdi av vil samfunnet ønske at kunnskapsproduksjonen er så høy som mulig. Dette gir en bestemt allokering av arbeidskraft og kapital mellom de to aktivitetene vanlig produksjon og kunnskapsproduksjon. Bare i unntakstilfeller vil en slik teknisk effektiv allokering innebære σ = σ.) igningene (1 ), (2) og (3) gir, sammen med forutsetningen σ = σ = σ, at (5) k = s(1 σ) f( k) δ + n+ k For å komme videre må vi noe om funksjonen Φ. Det er ikke opplagt hvilke egenskaper funksjonen Φ har, men la oss først anta at den har helt tilsvarende egenskaper som produktfunksjonen (1), dvs. vi har = (6) G( σ, σ ) hvor G er homogen av grad 1 i sine to variable slik at vi kan omskrive (6) til = σ g( k) hvor g(0)=0, g >0 og g <0 eller 2
(7) = ( ) σ g k slik at (5) kan omskrives til k = s f k + n + g k k (8) (1 σ) ( ) ( δ σ ( )) For tilfellet med n>0 kan det vises at k (=/) vil gå mot null på lang sikt, men at / samtidig vil vokse. Produksjon per capita vil derfor vokse på lang sikt i denne modellen. Vi skal se nærmere på tilfellet hvor n=0, dvs. befolkningen er konstant. Da vil k gå mot en stasjonærverdi k* på lang sikt. Denne stasjonærverdien finner vi ved å sette høyre side av (8) lik null: (9) f( k*) s(1 σ) σg( k*) δ = 0 k * På lang sikt er veksten i produksjon per capita gitt ved (7) med k=k*. Venstre side av (9) er avtagende i k*. En økning i spareraten s vil øke venstre side av (9). For å gjenopprette likheten i (9) som følge av økt s må derfor k* gå opp. Den langsiktige vekstraten σ g( k*) må derfor også gå opp når s går opp. I motsetning til i den enkle Solow-modellen med eksogen teknisk fremgang vil altså den langsiktig veksten i produksjon per capita nå være høyere jo høyere spareraten er. Intuitivt vil en kanskje vente at en høyere andel av realkapital og sysselsetting i kunnskapsproduksjon også vil øke den langsiktige veksten. Dette ville vært tilfelle dersom k* ikke ble påvirket av σ (eller dersom k* var høyere jo σ ), se (7). Imidlertid følger det fra (9) at k* er lavere jo høyere σ er. Virkningen av økt σ på den langsiktige vekstraten er derfor ikke opplagt. En kan imidlertid vise at hvis σ er lav initialt, vil den langsiktige vekstraten σ g( k*) øke hvis σ øker, mens det motsatte vil være tilfellet hvis σ initialt er høy. Fra dett følger det videre at det finnes en verdi av σ som maksimerer den langsiktige vekstraten σ g( k*). Venstre side av (9) er lavere jo høyere er. Jo høyere, jo lavere er derfor også k*. Siden f(k*)/k* derfor er høyere jo høyere er, følger det fra (9) at σ g( k*) er høyere jo høyere er. Den langsiktige veksten i denne modellen er altså høyere jo høyere den konstante sysselsettingen er. Årsaken til dette litt uvanlige resultatet er måten inngår i produktfunksjonene på. Jo større sysselsetting, jo sterkere virker en gitt kunnskapsøkning på samlet produksjon. Dette henger igjen sammen med en viktig egenskap til kunnskapskapital (eller i hvert fall deler av denne). Når ny kunnskap først er utviklet, vil bruken av denne kunnskapen ett sted i økonomien ikke gå på bekostning av muligheten for samtidig å bruke den samme kunnskapen andre steder i økonomien. Dette 3
i motsetning til vanlig produsert realkapital: Dersom en bestemt type maskin brukes ett sted i økonomien, kan ikke samme maskin samtidig brukes andre steder i økonomien. a oss nå se nærmere på egenskapene til funksjonen gitt i (4 ). Spesielt: Er det rimelig at en dobling av realkapital σ og kunnskapsnivå (for gitt verdi av σ ) vil doble produksjonen av ny kunnskap, slik vi har forutsatt i (6) og (7)? Ikke nødvendigvis. Det kan argumenteres for at etter hvert som kunnskapsmengden øker, blir det stadig vanskeligere å øke kunnskapsnivået ytterligere. Det er ikke engang opplagt at økt gir økt for gitte mengder av σ og σ : Økt kan gi lavere, som følge av at de beste ideene blir utnyttet først. Vi skal fortsatt anta at en økning i gir en økning i for gitte mengder av σ og σ, men se på konsekvensen av at øker med mindre enn 1% når og σ begge øker med 1%, og σ holdes uendret. Vi skal imidlertid bare se på en forenklet versjon av modellen, hvor realkapital ikke er med. Modellen er da (10) = (11) = n (12) = b α σ Vi skal anta at at α > 0. Tilfellet vi har sett på til nå svarer til spesialtilfellet α = 1 (bortsett fra at vi tidligere også hadde med realkapital). Fra (12) ser vi umiddelbart at (13) b α 1 = σ Det er nå tre tilfeller: α = 1 For konstant befolkning er vekstraten for konstant, og høyere jo høyere σ og er. Dersom n>0, vil vekstraten for øke over tid, dvs. den årlige prosentvise veksten i produksjon per capita vil i dette tilfelle øke over tid. Disse konklusjonene svarer helt til hva vi tidligere fant for tilfellet med α = 1. 1 α > I dette tilfellet vil vekstraten for øke over tid både når befolkningen er konstant og når den øker (og når den avtar svakt). 4
α < 1 I dette tilfellet kan den langsiktige vekstraten være konstant over tid. I så fall er høyre side av (13) kontant, noe som må innebærer at dvs. ( α 1) + n = 0 (14) n = 1 α I dette tilfellet er altså den langsiktige veksten i produksjon per capita konstant, og høyere jo høyere befolkningsveksten er og høyere jo større andel av sysselsettingen som blir brukt i produksjonen av kunnskap. Ved konstant befolkning er det ingen langsiktig vekst i produksjonen. unnskapseksternaliteter Til nå har vi fokusert på produksjonen av kunnskap. Vi skal avslutte med å se litt nærmere på den egenskapen ved kunnskap som så vidt var nevnt over: En bedrift har ikke bare glede av den kunnskapen den selv har skapt, men også av kunnskapen skapt av andre. Vi har altså en positiv ekternalitet av kunnskapsproduksjon. Se på en enkel økonomi med m like bedrifter. Hver bedrift har følgende produktfunksjon (MER y er nå produksjon i hver bedrift, dvs. ikke lik vår tidligere y): (15) y = bh h µ α 1 α hvor h er kunnskapskapital i bedriften og er sysselsetting i bedriften. Bortsett fra leddet H µ er dette en standard Cobb Douglas funksjon med konstant skalautbytte (dobles h og så dobles også produksjonen). Vi ser for enkelthets skyld bort fra realkapital. eddet H µ fanger opp den positive eksternaliteten mellom bedriftene: H er summen av kunnskapskapital (H=mh), som hver bedrift tar som gitt. For µ > 0 vil produksjonen i hver bedrift være større jo større samlet kunnskapskapital er i samfunnet, selv for gitt h og. Samlet produksjon =my følger fra (15) som (16) = bh ( mh) ( m ) = bh H µ α 1 α µ α 1 α hvor = m. Vi kan kombinere denne produktfunksjonen med de andre to ligningene i den enkle Solow-modellen uten teknisk fremgang, hvor H nå spille nøyaktig samme rolle som før: 5
(17) H = s δ H (18) = n Vi vet at både α og µ er positive, men vi vet ikke om α + µ større eller mindre enn 1. Det viser seg at modellens egenskaper avhenger sterkt av om α + µ er mindre enn, lik eller større enn 1. Vi skal begrense oss til å se på tilfellet hvor denne summen er lik 1, og at befolkningen dessuten er konstant. Vi velger enheter slik at =1. Da følger det fra (16) og (17) at (19) = sb δ som svarer helt til Domar-Harrod modellen. Spesielt ser vi nå at veksten i økonomien avhenger av spareraten s. 6