UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF347/447 Digital signalbehandling Eksamensdag:. desember 5 Tid for eksamen: 9. 3. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Ingen Tillatte hjelpemidler: Ingen Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Merknad : Alle størrelser og gurakser skal benevnes. Merknad : Les gjennom hele oppgavesettet før du begynner! Oppgave FIR ltre Vi studerer et realiserbart FIR lter av orden M med impulsrespons h[n]. Passbånd- og stoppbåndfrekvensene er ω p =. rad/sample og ω s =.3 rad/sample. Pass- og stopbåndets rippelnivåer er δ p =.5 og δ s =. a) Hva er bredden til lterets transisjonsbånd?.5 p. Skisser magnituden til lterets frekvensrespons og indiker δ p og δ s på den vertikale aksen..5 p. b) Utgangen y[n] fås fra inngangen x[n] ved å sette to ltre med impulsrespons h[n] i kaskade som vist i guren under. Avgjør ordenen til det eektive lteret med impulsrespons h tot [n] som gir y[n] fra x[n]. Begrunn svaret. p. c) De absolutte spesikasjonene for h[n] som tilsvarer δ p og δ s er A p =. db og A s = db. Hva er de absolutte spesikasjonene for passbånd og stoppbånd rippelnivå for det eektive lteret beskrevet i b)? p. d) Frekvensresponsene fra h[n] og h tot [n] er H(e jω ) og H tot (e jω ). Gi et utrykk for fasen til H tot (e jω ) som en funksjon av fasen til H(e jω )..5 p. Hvis H(e jω ) er lineær fase, hva kan man si om fasen til H tot (e jω )? Begrunn svaret..5 p. (Fortsettes på side.)
Eksamen i INF347/447,. desember 5 Side Oppgave Sampling og aliasing La x(t) være et signal med frekvensspektrum X(Ω) = X(Ω) = for Ω π rad/s for Ω > π rad/s a) Skisser frekvensspekteret til x[n], den ideelt samplede versjonen av x(t) med samplingfrekvens F s = 3 Hz. p. b) Hvis x[n] er en impulsrespons, hva slags lter tilsvarer det?.5 p. Er x[n] i så fall realiserbart? Begrunn svaret..5 p. c) Skisser frekvensspekteret til x[n], den ideelt samplede versjonen av x(t) med samplingfrekvens F s = 5 Hz. p. Oppgave 3 Transformanalyse av LTI systemer Du er nylig ansatt på et forskningsprosjekt for pulsmåling av eksamenskandidater ved UiO. Dere har utviklet et kombinert sensor og dataloggingssystem som drives fra lysnettet, men dere har slurvet med hardwaredesignet og sliter veldig med mye 5 Hz målestøy fra lysnettet. Sjefen din har oppdaget at du har tatt kurs i digital signalbehandling, og vil at du skal lage et lter for å få bort denne støyen. Du synes vagt å huske at det var noe som heter notch- lter, men du var så urutinert at du solgte den gamle læreboka di. Etter desperat googling nner du følgende transferfunksjon for et notch-lter: H(z) = b [ ( cos(φ))z + z ] () a) Finn nullpunktene til H(z) som funksjon av φ. Gitt at samplingsfrekvensen i systemet er F s = khz, nn φ for å undertrykke støyen fra lysnettet. Tegn pol-nullpunktsplott for notch-lteret. p. b) Finn et utrykk for magnituderesponsen H(e jω ) til lteret og skisser denne. Du kan gjerne bruke at b = og cos(φ) =.95. Er lteret minimum fase? Begrunn svaret. p. c) Finn impulsresponsen og dierensligningen til systemet. Anta et påtrykt inngangssignal x[n]. p. d) Beregn systemresponsen y[n] for inngangssignalet x[n] = s[n] + v[n] hvor v[n] = A cos(nπ/), n >=. Kommenter det du nner. p. e) Du sliter litt med at lteret tar bort for mye av signalet i frekvensområdet rundt 5 Hz. Hva kan du gjøre for å bedre dette. Bruk polnullpunktsplottet og forklar kvalitativt hvordan din(e) endring(er) vil påvirke frekvensresponsen til systemet. p. (Fortsettes på side 3.)
Eksamen i INF347/447,. desember 5 Side 3 Oppgave 4 Match systemene! Ligninger til 5 beskriver 4 systemer. Figurer, og 3 viser tilhørende plott. 5 p. I pol/nullpunktsplottene er det lagt til nullpunkter i origo for å få lik grad av teller og nevner i transferfunksjonen. Match systemene og gurene. Du kan anta at alle systemene er kausale. Angi i tillegg, når mulig, for hvert system: stabilitetsegenskaper (stabilt/ustabilt/kritisk stabilt). faserespons (minimum fase/blandet fase/maksimum fase). lengden på impulsresponsen (FIR/IIR). type lter (notch/ kam/ digital resonator/ allpasslter/ lavpass/ høypass/ båndpass/ båndstopp ) Merknad! Alle svar skal begrunnes. Tilfeldige kombinasjoner uten forklaring belønnes ikke. Merknad! Ved å bruke hodet og det dere har lært i kurset, er det ikke sikkert dere trenger å beregne noe som helst i denne oppgaven! Merknad 3! Det gis.33 poeng for hver riktig ligning-gur kombinasjon og. poeng for hver riktig tilleggsopplysning. Oppgaven gir maksimalt 5 poeng. y[n] =.9 y[n ].8y[n ] + x[n] () H(z) = M k= (W mk M + W mk M )z k, M =, m =, W m = e jπ/m (3) H(z) = (3/4)(3/4 z ) + z (3 /4)z + (3/4) z (4) H(z) = z + (6/5)z + (6/5) z (5) Fyll ut en tabell på følgende format (Begrunnelser og beregninger tar du utenfor tabellen): Filter Karakteristikk Pol/Nullpkt (gur) Magnituderespons (gur) Impulsrespons (gur) Stabilitetsegenskaper Faserespons Impulsrespons lengde Type Ligning Ligning 3 Ligning 4 Ligning 5 (Fortsettes på side 4.)
Magnitude [db] Magnitude [db] Magnitude [db] Magnitude [db] Eksamen i INF347/447,. desember 5 Side 4 Pole/Zero (plot PZ) Pole/Zero (plot PZ).5.5 9 -.5 -.5 - - -.5.5 Pole/Zero (plot PZ3) - - -.5.5 Pole/Zero (plot PZ4).5.5 -.5 -.5 - - - -.5.5 - -.5.5 Figur : Pole/Zero plots Magnitude spectrum (plot FR) Magnitude spectrum (plot FR) - - -..4.6.8 Magnitude spectrum (plot FR3) -4..4.6.8 Magnitude spectrum (plot FR4) - -..4.6.8 -..4.6.8 Figur : Magnitude spectra (Fortsettes på side 5.)
Amplitude Amplitude Amplitude Amplitude Eksamen i INF347/447,. desember 5 Side 5 Impulse response (plot IR) Impulse response (plot IR).5.5 -.5-3 Impulse response (plot IR3) -.5 5 5 5 Impulse response (plot IR4).5.5 - -.5-5 5 5-5 5 5 Figur 3: Impulse responses Oppgave 5 Lineær vs. sirkulær konvolusjon Vi studerer to sekvenser med endelig lengde x [n] = {,,, 3} x [n] = {,,,,, 4} a) Beregn den lineære konvolusjonen x [n] x [n]. p. b) Beregn den 6-punkt sirkulære konvolusjonen x [n] 6 x [n]. p. c) Hva bør den minste verdien for N være for at den N-punkt sirkulære konvolusjonen skal være lik den lineære konvolusjonen?.5 p. d) Når en ltrering operasjon beregnes på en datamaskin gjøres det som regel ved å bruke multiplikasjoner i frekvens domenet. Hva slags konvolusjon tilsvarer det?.5 p. Forklar hvorfor null-padding er en nyttig teknikk i dette tilfellet..5 p. (Fortsettes på side 6.)
Eksamen i INF347/447,. desember 5 Side 6 Formelsamling Grunnleggende sammenhenger: Lineær konvolusjon: y[n] = x[n] h[n] = Sirkulær konvolusjon: y[n] = x[n] N h[n] = sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β sin α = sin α cos α cos α = cos α sin α sin α + sin β = sin α + β sin α sin β = sin α + β cos α + cos β = cos α + β cos α cos β = sin α + β cos α + sin α = cos α = (ejα + e jα ) cos α β sin α β cos α β sin α β sin α = j (ejα e jα ) { N a n for a = = N n= a N a ellers ax + bx + c = x ± = b ± b 4ac a k= N k= x[k]h[n k] = x[k]h[< n k > N ] = Diskret tid-fouriertransformasjon (DTFT): Analyse: X(Ω) = = Syntese: x[n] = π Diskret fouriertransformasjon (DFT): Analyse: X[k] = (Fortsettes på side 7.) N Syntese: x[n] = N n= N k= N k= n= π π x[n k]h[k] = h[n] x[n] x[< n k > N ]h[k] = h[n] N x[n] x(n)e jωn X(Ω)e jωn dω x[n]e jπkn/n, k N k= X[k]e jπkn/n, k N
Eksamen i INF347/447,. desember 5 Side 7 z-transformasjonen: Analyse: X(z) = n= x[n]z n