FYS1120 Elektromagnetisme ukesoppgavesett 7 25. november 2016
Figur 1: En Wheatstone-bro I FYS1120-undervisningen legger vi mer vekt på matematikk og numeriske metoder enn det oppgavene i læreboka gjør. Det gjelder også oppgavene som blir gitt til eksamen. Derfor er det viktig at du gjør ukesoppgavene som blir gitt. Dersom du syns det er vanskelig å komme i gang med dem, eller hvis du ikke syns det er nok oppgaver, så kan du godt gjøre følgende oppgavene fra boka i tillegg. Fra kapittelet Direct-Current Circuits (oppgaver på s. 215 og utover): Exercises 3,13, 44 Fra kapittelet Magnetic Field and Magnetic Forces (oppgaver på s. 258 og utover):1, 4, 10, 18 Oppgave 1 Wheatstone-broen Kretsen i figur 1 kalles en Weatstone-bro. Denne kan brukes til å bestemme resistans til en ukjent motstand R. Det er tre variable motsander R 1, R 2 og R 3, verdiene til disse motstandene er til enhver tid kjent. Med bryterne S 1 og S 2 lukket, varieres de tre motstandene til galvanometeret måler null strøm. Da sier vi at broen er balansert. a) Vis at under disse forholdene er resistansen til den ukjente motstanden gitt ved R = R 1R 3 R 2. (1) 1
Løsning: Dersom det ikke går noen strøm gjennom galvanometeret, må vi fra Kirchoffs 1. lov ha at I R2 = I R3 og I R1 = I R. Vi kaller strømmen gjennom R 2 og R 3 for I V (venstre) og strømmen gjennom R 1 og R for I H (høyre). For at kirchoffs slyngeregel skal være oppfylt må vi ha: I V R 2 = I H R 1 (2) Dermed må Slik at I V R 3 = I H R (3) I V R 2 = I HR 1 I V R 3 I H R (4) R = R 1R 3 R 2 (5) Oppgave 2 Sfærisk symmetrisk strøm Vi skal nå se på to konsentriske kuleskall, laget av metall, med radius a og b (a < b). I sjiktet mellom kuleskallene er det et svakt ledende materiale med konduktivitet σ. Husk at konduktivitet er definert som σ 1/ρ, der ρ er resistiviteten til materialet. a) Anta at ved tiden t = 0 finnes det en ladning +Q på det innerste kuleskallet, og en ladnig Q på det ytterse skallet. Finn strømtettheten som funksjon av posisjon mellom kuleskallene, J = J(r). Løsning: Stømtetthet J = I/A. Resistiviteten er definert som ρ = E/J. Vi bruker Gauss lov til å finne det elektriske feltet mellom kuleskallene. Feltet er E(r) = Q 4πɛ 0 for a < r < b. Dermed er strømtettheten r 2 J(r) = E(r)/ρ = σe(r) = σq 4πɛ 0 r 2 (6) b) Finn strømmen I(t = 0) fra det innerste kuleskallet til det ytterste. Løsning: Når vi kjenner strømtettheten over et kuleskall kan vi finne strømmen: I = JA = σq 4πɛ 0 r 2 4πr2 = σq (7) ɛ 0 2
c) Finn resistansen i materialet mellom kuleskallene. Løsning: Resistansen kan beregnes på flere måter. Her velger vi å integrere resistiviteten. R = b a ρdr 4πr 2 = ρ 4π [ ] 1 b = ρ ( 1 r a 4π a 1 ) = 1 ( 1 b 4πσ a 1 ) b (8) d) Finn ladningen på det innerste kuleskallet som funksjon av tiden t. Hint: Sammenlingn denne situasjonen med en kondensator som utlades. Løsning: Situasjonen er akkurat som en kondensator koblet i en krets med en motstand. Vi bruker kirchoffs slyngeregel for spenningsfallet. Spenningsfallet over motstanden er IR og spenningsfallet over kondensatoren er V = Q C der C = 4πɛ 0 1 a 1 b er kapasitansen til en kulekondensator. Vi setter opp likningen for ladning på det positive kuleskallet og strømmen fra det positive kuleskallet til det negative. Q C + RdQ dt = 0 (9) Denne likningen har løsning Q(t) = Q 0 e t/rc og I(t) = Q 0 RC e t/rc der Q 0 er den initielle ladningen på kondensatorkuleskallene og R er motstanden fra forrige oppgave. Oppgave 3 Det magnetiske momentet til hydrogenatomet I Bohrs atommodell for hydrogenatomet går et elektron som er i laveste energitilstand, i en sirkulær bane rundt et proton. Hastigheten til elektronet er da 2.2 10 6 m/s, radius til banen (også kalt Bohrradien) er a 0 = 5.3 10 11 m. a) Finn omløpstiden T til elektronet. Løsning: Omløpstiden er den tiden det tar elektronet å gå én runde rundt protonet. T = strekning hastighet = 2π 5.3 10 11 m 2.2 10 6 m s 1 = 1.5 10 16 s (10) 3
b) Ved å betrakte på elektronets bane som en strømsløyfe, hva blir da strømmen? Løsning: Elektronet vil passere et gitt sted i banen hvert 1.5 10 16 s. Dermed blir strømmen I = 1.6 10 19 C 1.5 10 16 s = 1.1 ma (11) c) Elektronets bevegelse gir opphav til et magnetisk dipolmoment. Finn dette magnetiske dipolmomentet. Løsning: Det magnetiske dipolmomentet til en strømsløyfe er µ = IA. For den lille strømsløyfen elektronet rundt protonet utgjør blir dette µ = 1.1 ma π (5.3 10 11 m) 2 = 9.7 10 24 A m 2 (12) Om vi hadde regnet mer presis her hattt flere gjeldende siffer), ville vi fått verdien til et bohr-magneton: µ B = 9.27 10 24 J T 1. d) Vi plasserer et hydrogenatom i et magnetfelt på 1 T. Finn den potensielle energien til hydrogenatomet for disse to tilfellene: (i) Magnetfeltet har samme retning som det magnetiske dipolmomentet til hydrogenatomet. (ii)magnetfeltet har retning normalt på det magnetiske dipolmomentet til hydrogenatomet. I hvilken av situasjonene, (i) og (ii), vil det magnetiske dipolomomentet innrette seg etter magnetfeltet? Løsning: Den potensielle energien til et magnetisk dipolmoment som befinner seg i et magnetfelt er gitt ved U = µ B (13) (i)dersom dipolen er parallell med magnetfeltet, kan absoluttverdiene til magnetfeltet og dipolmomentet multipliseres: U = µ B = µ B = 9.7 10 24 A m 2 1 T = 9.7 10 24 J (14) (ii)står dipolen vinkelrett på magnetfeltet er U = 0 (15) Siden den parallelle konfigurasjonen har lavest energi, vil dipolen vri seg til den har oppnådd denne konfigurasjonen. Altså vil tilfelle (ii) innrette seg etter magnetfeltet. 4
Oppgave 4 Kraft på en strømførende ledning Figur 2: En strømførende ledning som delvis ligger i et magnetfelt. Retningen til magnetfeltet er ut av arket. I figur 2 ser vi en strømførende ledning. Den delen av ledningen som har formen til en halvsirkel ligger inne i en region med et uniformt magnetfelt som peker rett ut fra oppgavearket. Retningen til ladningsbærerne indikeres av retningen til pilene. Finn kraften som virker på ledningen på grunn av magnetfeltet. Løsning: Figur 3 Ledningen føler bare en kraft hvor magnetfeltet virker. Et infinitesimalt segment av ledningen føler kraften df = Idl B. y-komponenten av denne kraften (se figur 3) er gitt ved df y = df sin θ (16) der df = IBdl = IBRdθ slik at størrelsen til den totale y-komponenten av kraften er gitt ved π F y = df y = IBR sin θdθ = 2IBR. (17) 0 5
x-komponenten er gitt ved F x = IBR π 0 cos θdθ = 0 (18) noe vi også kunne sett ut i fra symmetrien til problemet. Videre må kraften peke i negativ y-retning (jmf. høyrehåndsregelen). Dermed F = 2IBRĵ (19) 6