Norges teknisk naturitenskapelige uniersitet Institutt for elektroniske systemer ide 1 a 8 Faglærer: Johannes kaar EKAMEN I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETIME Mandag 29. mai 2017 Alle anlige deloppgaer teller 4 poeng, unntatt 2a som teller 8 poeng. For fleralgsoppgaen er det egne regler som angitt. Maks poengsum er 59. Oppgae 1 a) En sylindrisk, uendelig lang, ideell leder har radius a og linjeladningstetthet Q. Det er akuum oeralt rundt lederen. Finn det elektriske feltet oeralt. I resten a oppgaen er den sylindriske lederen fra deloppgae a) en høyspentlinje som henger i en høyde h parallelt med bakken, se fig. 1. Vi ser bort fra de andre lederne i høyspentlinja, og ser også bort fra mastene. b) Vi antar at a h så ladningsfordelingen på lederen er sylindersymmetrisk. Bakken anser i som en ideell leder, og antas å ære flat. Vis at potensialet langs z-aksen er V (z) = Q ln h + z (1) 2πɛ 0 h z for 0 z h a, når referansen settes i z = 0. (Hint: Bruk speilladningsmetoden til å finne det elektriske feltet først. Finn deretter potensialet.) z 2a h 000000000000000000000 111111111111111111111 Figur 1: En sylindrisk leder med radius a henger h oer bakken.
ide 2 a 8 c) Anta at lederen har potensialet V 0. Vis at 0 for z 0, V V (z) = 0 ln h+z for 0 < z < h a, ln 2h h z a V 0 for h a z h + a, der i har brukt at a h. Anta V 0 = 420 kv, h = 10 m og a = 3 cm. Ha er potensialet rett under lederen i en høyde 2 m oer bakken? Kall det V 1. d) tørker tøt befinner seg rett under høyspentlederen med føttene godt plantet på jorda. tørker er 2 m høy. Ha blir potensialet på hodet hans? e) Et langt metallrør henger 2 m oer bakken, parallelt og rett under høyspentlederen. Røret er ikke koplet til noen ting, og er isolert fra bakken. Røret er tynt sammenlignet med høyden oer bakken, og er netto uladet. Forklar horfor røret il få potensialet V 1 fra deloppgae c). Forklar i detalj ha som skjer his tørker kommer borti røret mens føttene er godt plantet på jorda. Vil størrelsen på metallrøret ha noe å si? f) En løsning på problemet i forrige deloppgae er å jorde røret. Røret jordes i den ene enden men ikke den andre. Røret er 10 km langt og går langs kraftlinja. Kraftlinja fører en ekselstrøm med amplitude 1000 A og frekens 50 Hz. Kan det ære farlig å ta på røret på den åpne enden? Forklar, og gjør et grot oerslag oer spenningen mellom den åpne enden og jorda. Hint: Induksjon. Kommentar: I hele denne oppgaen har i bare sett på irkningen fra den ene høyspentlinje-lederen. I irkeligheten il linja bestå a tre ledere (trefasesystem), noe som il redusere effekten a både den kapasitie og induktie koplingen. (2) Oppgae 2 Gitt en koaksialkabel hor radius på innerlederen er a og indre radius på ytterlederen er b, se fig. 2. Ytterlederens tykkelse er t. Alle materialer er umagnetiske, ds. µ = µ 0 oeralt. trømmen I antas jent fordelt oer innerlederens terrsnittsareal, og returstrømmen I antas jent fordelt oer ytterlederens terrsnittsareal. a) Beregn og skissér den magnetiske flukstettheten B som funksjon a r, der 0 r <. (Denne deloppgaen teller dobbelt så mye som de andre deloppgaene.) b) Antagelsen om at strømmen er jent fordelt oer terrsnittsarealet er ikke oppfylt for høye frekenser. Tegn og forklar horfor. e bare på innerlederen. c) Anta at innerlederen forskyes slik at lederne blir liggende eksentrisk. trømmen antas fortsatt jent fordelt oer inner- og ytterleder. Figuren på neste side iser seks forslag til groe skisser a den totale magnetiske flukstettheten. Forklar horfor alle skissene unntatt skisse II må ære gale.
ide 3 a 8 I I a b t z r Figur 2: Koaksialkabel. I II B = 0 III IV V B = 0 VI B = 0 Figur 3: kisser a den magnetiske flukstettheten til bruk i oppgae 2c) og 2d).
ide 4 a 8 d) kisse II er ment å ære en gro skisse a det riktige feltet. tudenten Pirk Keruler ser på skissen i detalj, og sier at det er en flatestrøm på den indre flaten til ytterlederen, på tross a at oppgaen sier at strømmen skulle ære jent fordelt oer terrsnittet. Forklar horfor Pirk har et godt poeng. Oppgae 3 Til hert a spørsmålene som er stilt nedenfor, er det foreslått 4 sar. Oppgi hilket sar du mener er best dekkende for hert spørsmål. arene, som ikke skal begrunnes, agis i skjemaet på siste side. Denne siden ries fra og leeres inn som del a besarelsen. Det gis 3 poeng for hert riktig sar, 1 poeng for hert galt sar og 0 poeng for ubesart. Helgardering (mer enn ett kryss) gir 0 poeng. a) Ha er sant om strømtettheten J i statikken? tatikk betyr her at J skal ære uahengig a tiden. i) J = 0. ii) J = 0. iii) 2 J = 0. i) Alle alternatiene oenfor er riktige. b) En a loene i elektromagnetisme er E = B. Ha kan du si om denne t loen? i) Den heter Faradays lo. ii) Den inneholder et ledd som kalles forskyingsstrømtetthet. iii) Den kan brukes til å finne det magnetiske feltet utenfor en leder som fører en konstant strøm. i) Alle alternatiene oenfor. c) En ring med radius a har uniform linjeladningstetthet. Det er akuum oeralt ellers. Ha er det elektriske feltet E og potensialet V i sentrum a ringen? La referansen for potensialet ære uendelig langt unna ringen. i) E = 0 og V = 0. ii) E < 0 og V = 0. iii) E = Q 4πɛ 0 a 2 ˆr og V = 0. i) E = 0 og V = Q 4πɛ 0 a. d) Ha er rett om gjensidig induktans L 12? De to spolene 1 og 2 har henholdsis N 1 and N 2 iklinger. Anta lineært medium oeralt. i) L 12 kan ha begge fortegn, ahengig a hordan man elger positi omløpsretning for spolene. ii) L 12 er proporsjonal med N 1 N 2. iii) L 12 = L 21. i) Alle alternatiene oenfor er riktige.
ide 5 a 8 e) På det populære nettstedet ElmagTube ser du en film der en frosk seer oer en ekstremt sterk magnet. Ha kan du ut fra dette si om den relatie permeabiliteten til ann (som frosken for det meste består a)? i) µ r < 1, ds. diamagnetisk. ii) µ r > 1, ds. paramagnetisk. iii) µ r 1, ds. ferromagnetisk. i) µ r = π 2 0 ABEDHdt, ds. froskomagnetisk.
ide 6 a 8 Formler i elektromagnetisme: ref F = Qq 4πɛR ˆR, 2 E = F/q, V P = E dl, V = Q P 4πɛR, E = V, D d = Q fri i, D = ρ, D = ɛ 0 E + P, P = ɛ 0 χ e E, D = ɛe, ɛ = ɛ 0 (1 + χ e ), C = Q/V, C = ɛ/d, W e = 1 2 CV 2, w e = 1 2 D E, p = Qd, J = NQ, J = σe, P J = J Ed, db = µ 0 Idl ˆR 4π R 2, df = Idl B, F = Q(E + B), T = m B, m = I, H = B M, M = χ m H, B = µh, µ = µ 0 (1 + χ m ), µ 0 B = 0, H dl = J d, w m = 1 2 B H, C L 12 = Φ 12 I 1 = L 21 = Φ 21 I 2, L = Φ I, W m = 1 2 n I k Φ k = 1 2 k=1 n j=1 k=1 n L jk I j I k, F = ( W m ) uten kilder eller tap, F = +( W m ) I=konst, J + ρ t = 0. Maxwells likninger: E = B t, C E dl = H dl = H = J + D t, C D = ρ, D d = Q fri i, B = 0, B d = 0. B t d, ( J + D t e = dφ dt, ) d, Potensialer i elektrodynamikken: B = A, E = V A t, 2 V ɛµ 2 V t 2 = ρ ɛ, 2 A ɛµ 2 A t 2 = µj, V (r, t) = 1 ρ(r, t R/c)d, A(r, t) = µ J(r, t R/c)d. 4πɛ R 4π R Grensebetingelser: E 1t = E 2t, D 1n D 2n = ρ sˆn, H 1t H 2t = J s ˆn, B 1n = B 2n. Konstanter: µ 0 = 4π 10 7 H/m ɛ 0 = 1/(µ 0 c 2 0) 8.854 10 12 F/m Lyshastighet i akuum: c 0 = 1/ µ 0 ɛ 0 = 299792458 m/s 3.0 10 8 m/s Lyshastighet i et medium: c = 1/ µɛ Elementærladningen: e = 1.6 10 19 C Elektronets hilemasse: m e = 9.11 10 31 kg tandard tyngdeakselerasjon: g = 9.80665 m/s 2 Graitasjonskonstant: γ = 6.673 10 11 N m 2 /kg 2.
ide 7 a 8 Differensielle ektoridentiteter: ˆx V = V (x ilkårlig akse) x (V + W ) = V + W (V W ) = V W + W V f(v ) = f (V ) V (A B) = (A )B + (B )A + A ( B) + B ( A) (A + B) = A + B (V A) = V A + A V (A B) = B A A B (A + B) = A + B (V A) = ( V ) A + V A ( A) = 0 ( V ) = 2 V ( V ) = 0 ( A) = ( A) 2 A ylindrisk koordinatsystem: V = V ˆr + 1 V r φ ˆφ + V ẑ A = 1 r A = ˆr + ˆφ (ra r ) ( 1 A z r ( Ar A z 2 V = 1 r + 1 r A φ φ + A z φ A ) φ ) + ẑ ( (raφ ) r A ) r φ ( r V ) + 1 2 V r 2 φ 2 + 2 V 2 færisk koordinatsystem: V = V ˆr + 1 V r θ ˆθ + 1 V r sin θ φ ˆφ Integralidentiteter: V d = V d Ad = A d (Diergensteoremet) Ad = d A A d = A dl (tokes teorem) Kartesisk koordinatsystem: C V = V V ˆx + x y ŷ + V ẑ A = A x x + A y y + A z ( Az A = ˆx + ŷ ( Ax y A ) y ) + ẑ A z x ( Ay x A ) x y A = 1 (r 2 A r ) r 2 + 1 (sin θa θ ) r sin θ θ + 1 A φ r sin θ φ A = ˆr ( (sin θaφ ) A ) θ r sin θ θ φ + ˆθ ( 1 A r r sin θ φ (ra ) φ) + ˆφ ( (raθ ) A ) r r θ 2 V = 1 r 2 + + ( 1 r 2 sin θ r 2 V ) θ 1 2 V r 2 sin 2 θ φ 2 ( sin θ V θ ) 2 V = 2 V x 2 + 2 V y 2 + 2 V 2 2 A = ( 2 A x )ˆx + ( 2 A y )ŷ + ( 2 A z )ẑ
ide 8 a 8 EMNE TFE4120 ELEKTROMAGNETIME KANDIDATNR.:... arkupong Merk med kryss i de aktuelle rutene. Kun ett kryss for hert spørsmål. pørsmål Alt. i) Alt. ii) Alt. iii) Alt. i) a) b) c) d) e)