Kombiatori MAT Disret matemati orelesig : Kombiatori Roger Atose Matematis Istitutt, Uiversitetet i Oslo 7. april 8 Kombiatori er studiet av opptelliger, ombiasjoer og permutasjoer. Vi fier svar på spørsmål Hvor mage måter...? ute å telle. Vitig del av f.es. omplesitetsaalyse av algoritmer. Hvor mye tid bruer e algoritme? Hvor mye plass bruer e algoritme? ruleggede, yttig og fascierede matemati som dere må beherse. Vi sal i dag gjøre oss ferdige med apittel 9. ørst litt repetisjo. MAT Disret matemati 7. april 8 Repetisjo Ilusjos- og eslusjosprisippet: A + B A B A B Hvis vi først teller opp elemetee i A og deretter elemetee i B, har vi talt elemetee i A B to gager. or å få atall elemeter i A B må vi derfor tree fra det vi har talt for mye, emlig atallet i A B. Repetisjo Multipliasjosprisippet: Hvis vi sal treffe e serie uavhegige valg, vil det totale atall muligheter være produtet av atall muligheter ved hvert valg. A B A B Atall elemeter i det artesise produtet A B er atall elemeter i A multiplisert med atall elemeter i B. Begge prisippee a geeraliseres til flere e to megder. eeraliserige av ilusjos- og eslusjosprisippet ses lett ved hjelp av Ve-diagrammer. eeraliserige av multipliasjosprisippet blir A A A A A A MAT Disret matemati 7. april 8 MAT Disret matemati 7. april 8 4
Esempel - det er biære tall av legde Esempel - {a, b, c} {,, } {, } Multipliasjosprisippet gir oss følgede: {a, b, c} {,, } {, } {a, b, c} {,, } {, } 8 Vi a illustrere det sli: a b c a,, a,, a,, a,, a,, a,, b,, b,, b,, b,, b,, b,, c,, c,, c,, c,, c,, c,, MAT Disret matemati 7. april 8 5 MAT Disret matemati 7. april 8 6 Mer repetisjo Pla for dage Defiisjo (Permutasjo) E permutasjo e edrig av reefølge av elemetee i e ordet megde. Vi sier også at e permutasjo av e megde er e ordig av elemetee i megde. Esempel Permutasjoee av {A, B, C} er ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Det er! permutasjoer av e megde med elemeter. Og vi vet (selvfølgelig) at! ( ) ( ) I esempelet har vi elemeter og! 6 permutasjoer. Mer om permutasjoer og ordet utvalg ( Mer om ombiasjoer r) velg r Biomialoeffisietee Pascals treat eeraliserig av første vadratsetig (a + b) a + ab + b Oppsummerig av ombiatorise prisipper Esempler og oppgaver P r MAT Disret matemati 7. april 8 7 MAT Disret matemati 7. april 8 8
Ordet utvalg Vi sal å se på det som alles ordet utvalg fra e megde. Esempel Oppgave: I et baresire er det med bar. Det er lov til å opplyse om hvem som to de tre første plassee, mes reste ie sal rageres. Hvor mage forsjellige resultatlister a ma få? Esempel (ortsatt) Løsig: Det fis mulige viere, deretter 9 mulige adreplasser og til sist 8 mulige tredjeplasser. Det fis altså 9 8 684 forsjellige resultatlister. Legg mere til at 9 8 9 8 7 6 7 6! ( )! Vi sal å defiere dette mer geerelt og brue otasjoe P for dette tallet. MAT Disret matemati 7. april 8 9 MAT Disret matemati 7. april 8 Defiisjo Mer La r og være aturlige tall sli at r. Med! P r meer vi ( r)! P r forteller oss hvor mage måter vi a tree r elemeter i reefølge ut fra e megde med elemeter på. Når r bruer vi at!. Da får vi P! ( )!!!!! Esempel E idrettsleder har syv løpere i stalle si, og sal velge ut fire av dem til å delta i e stafett. I et stafettlag spiller reefølge stor rolle, især om idrettsgree er lagre og det er to etapper i lassis og to i fristil. Da er det 7 P 4 7! 7 6 5 4 84 forsjellige mulige lagutta.! Det er et uder at avisee meer seg å vite hva uttaet vil bli dage i forveie. Det er som forvetet, side det er! permutasjoer av e megde med elemeter i. MAT Disret matemati 7. april 8 MAT Disret matemati 7. april 8
Kombiasjoer Esempel Ata at vi sal fordele tre orasje hatter,, på fem bar. agir hvor mage delmegder med elemeter det fies av e megde med elemeter Vi har tidligere vist dette ved idusjo. Det er også mulig å vise dette ret ombiatoris, som vi sal gjøre sart. Slie tall alles blat aet for biomialoeffisieter. 4 5 Hver ombiasjo svarer til e delmegde av {,,, 4, 5}. Atall måter å velge tre bar på i reefølge er 5 P 5 4 6. Her vil hver ombiasjo av hatter, f.es. {,, 4}, bli telt! 6 gager, som 4, 4, 4, 4, 4, og 4. Hvis vi sal ta høyde for dette, så må vi dele på 6. Atall måter å fordele hattee er derfor 6/6, som er ( 5 ). MAT Disret matemati 7. april 8 MAT Disret matemati 7. april 8 4 Bevis (Nytt, og fritt for idusjo) Teorem La A være e megde med elemeter, og la. Da fies det forsjellige delmegder B av A. Atall måter å velge elemeter i reefølge fra A på er P! ( )! or hver delmegde B med elemeter, så fis det! forsjellige ordede utvalg fra A som gir oss B. Da må atall megder B med elemeter være ( ) P!! ( )!! MAT Disret matemati 7. april 8 5 MAT Disret matemati 7. april 8 6
Legg mere til at ( ) ( ) Biomialoeffisietee Hvorfor det? or esempel, hvis vi har e megde med elemeter, så er det ( ) 8 delmegder med 8 elemeter. or hver sli megde, så har vi også e megde med elemeter. Vi a f.es. lage e fusjo som til ehver delmegde av størrelse 8 gir e delmegde av størrelse. Dee fusjoe vil være både surjetiv og ijetiv. Derfor har vi at ( ( 8) ) 9 9. Atall delmegder av størrelse må være li atall delmegder av størrelse. Det er lie mage måter å velge elemeter på som det er å måter å velge bort elemeter på. Tallee ( ) alles blat aet for biomialoeffisieter. ølgede (reursive) sammeheg var utgagsputet for et tidligere idusjosbevis: + Hvorfor er det sli? La oss se på et esempel. MAT Disret matemati 7. april 8 7 MAT Disret matemati 7. april 8 8 Tre,, av fem hatter,, sal være orasje. Hvor mage måter a dette gjøres på? ( ) ( ) ( ) 5 4 4 + Hvis de første hatte er orasje, så må to av de fire resterede hattee være orasje. Det er ( 4 ) 6 måter å gjøre dette på. Biomialoeffisietee Dette forteller oss at det er to evivalete måter å defiere biomialoeffisietee på: Ved hjelp av faultetsfusjoe og brø:! ( )!! Hvis de første hatte er svart, så må tre av de fire resterede hattee være orasje. Det er ( 4 ) 4 måter å gjøre dette på. Ved reursjo: + MAT Disret matemati 7. april 8 9 MAT Disret matemati 7. april 8
Pascals treat Pascals treat er e måte å srive opp alle biomialoeffisietee på ved hjelp av formele ( ) ( ) ( ) + Pascals treat ( 6 ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ( 4) 5 ) ( 4 5) 6 4 5 6) Hus at Vi får følgede bilde. Vi fier igje mage jete tallreer i Pascals treat De aturlige tallee:,,,4,5,6,... De såalte triagulære tallee:,,6,,5,,... Toerpotesee:,,4,8,6,,... Kvadrattallee:,4,9,6,5,... iboacci-tallee (selv om de er godt gjemt):,,,,5,8,,,... Og mage flere... MAT Disret matemati 7. april 8 MAT Disret matemati 7. april 8 4 6 4 5 5 6 5 5 6 7 5 5 7 8 8 56 7 56 8 8 9 6 84 6 6 84 6 9 45 5 45 55 65 46 46 65 55 66 495 79 94 79 495 66 78 86 75 87 76 76 87 75 86 78 4 9 64 4 64 9 4 5 5 455 65 55 645 645 55 65 455 5 5 Tilbae til biomialoeffisietee Neste alle vet at (a + b). Alle vet at (a + b) a + b. Mage vet at (a + b) a + ab + b. De fleste a rege ut at (a + b) a + a b + ab + b. Noe greier til og med å rege ut at (a + b) 4 a 4 + 4a b + 6a b + 4ab + b 4. Noe bør begye å ae at det er e sammeheg med Pascals treat. Side (a + b) 5 a 5 + 5a 4 b + a b + a b + 5ab 4 + b 5 blir de aelse bereftet. MAT Disret matemati 7. april 8 MAT Disret matemati 7. april 8 4
Teorem (eeraliserig av. vadratsetig) or alle tall a og b og alle hele tall har vi (a + b) a + a b + a b + ( ) ( ) a b + + ab + b a b Bevis (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) }{{} foreomster Hvis vi multipliserer dette ut, så får vi ledd. Hvert ledd består av fatorer, hvor hver fator er ete a eller b, f.es. abaa b. Hvis B A {,..., }, så lar vi B svare til leddet hvor fator ummer i er b hvis i B og a ellers..es. vil {, 4, 5} svare til leddet b a a b 4 b 5 a 6 a Hvert ledd ommer fra e og bare e megde B; det vi har besrevet er e surjetiv og ijetiv fusjo fra potesmegde av A til leddee vi får år vi reger ut (a + b). MAT Disret matemati 7. april 8 5 MAT Disret matemati 7. april 8 6 Oppsummerig av regeprisipper Bevis (ortsatt) Det fis ( ) delmegder av A med elemeter. Da fis det ( ) ledd med b er og a er. Disse leddee ordes til a b Dette er øyatig leddet med ides i teoremet. Side er vilårlig må formele i teoremet gi oss verdie på (a + b). Dette avslutter beviset. Ordet utvalg med repetisjo: r Hvor mage biære tall av legde 5 fis det? Det er 5. Ordet utvalg ute repetisjo: P r På hvor mage måter a vi tree to ort fra e ortsto? Det er 5 P 5 5 65. Permutasjoer:! På hvor mage måter a vi stoe om ordet LAKS? Det er 4! 4 4. Kombiasjoer: ( ) Hvor mage delmegder av {a, b, c, d, e} har to elemeter? ) 5 4 Det er ( 5 Vi sal se på oe flere esempler. MAT Disret matemati 7. april 8 7 MAT Disret matemati 7. april 8 8
ørst e lite digresjo om store tall I ombiatori ommer vi fort opp i veldig store tall. Bredde til et hårstrå: 6 atomer. Atomer i e vadråpe: atomer. Atomer i uiverset: 8 atomer. Atall forfedre 65 geerasjoer tilbae atall atomer i uiverset. Og disse tallee er gase små... Allievel a vi represetere dem og rege på dem ute store problemer. MAT Disret matemati 7. april 8 9 Esempel På hvor mage forsjellige måter a vi gå fra A til B i dette 8 gager 4-ruteettet? Vi må gå ett steg av gage og u oppover eller til høyre. A Hvor mage slie stier er det? Dee stie a represeteres som. Dette er et ord på teg over alfabetet {, } hvor fire av tegee er og åtte av tegee er. Hvor mage slie ord er det? Det er ( ) 9 4 495 4 MAT Disret matemati 7. april 8 B Oppgave Vi sjeer at det stemmer for gager -ruteettet: Atall ord blir i dette tilfellet: ( ) 4 4 6 På hvor mage forsjellige måter a vi gå fra A til B i dee -ube? Vi må gå ett steg av gage og u oppover, til høyre eller iover? B som stemmer... A MAT Disret matemati 7. april 8 MAT Disret matemati 7. april 8
Esempel Esempel studeter per arater, og ige stry a represeteres sli: (Dette ble også evt på forrige forelesig i et itrodusjosesempel om uler og boser.) På hvor mage ulie måter a de 6 arateree A til gis til studeter? Vi ie er iteressert i hvile arater e bestemt studet får, me u atallet av hver arater i fordelige. Det er 6 muligheter for hver av de studetee. Ka vi brue multipliasjosprisippet og si at svaret er 6? Nei La oss lage 6 båser og putte studetee i hver si bås avhegig av hvile arater de får. ordelige a represeteres sli: At alle stryer a represeteres sli: Hvor mage slie ombiasjoer fis det? Av 5 teg må 5 være røde streer. Atall muligheter må være ( 5 5 ) 5 4 5 4 MAT Disret matemati 7. april 8 MAT Disret matemati 7. april 8 4 Esempel rafteori Mer geerelt har vi + Neste gag begyer vi med grafteori. E graf består av oder og ater: som gir hvor mage forsjellige måter vi a fordele idetise elemeter i forsjellige beholdere på. Dette alles også for uordet utvalg med repetisjo. Oppgave: larer dere å tege dee på et ar ute å løfte blyate og ute å gå over e at to gager? MAT Disret matemati 7. april 8 5 MAT Disret matemati 7. april 8 6