Litt GRUPPETEORI for Fys4170

Litt GRUPPETEORI for Fys4170 GRUPPER: Ei gruppe G = {g i } er ei samling element med disse egenskapene: * multiplikasjon slik at g i g j G ; * et enhetselement g 0 = 1 slik at g i g 0 = g 0 g i = g i ; * g 1 g g 3 = g 1 g g 3 Assosiative lov * en invers g i 1 for alle g i G LIEGRUPPER I feltteori og partikkelfysikk har vi i hovedsak bruk for kontinuerlige grupper, kalt Lie-grupper. Ei Liegruppe er ei gruppe der elementa er en funksjon av kontinuerlige parametre: gα 1, α,..., α n, 1 der alle α i kan velges reelle. I feltteori og partikkelfysikk er de viktigste gruppene dvs. mengda av alle fasefaktorer, og U1 = { e iα ; α R }, SUn = { U = n n matrise n =, 3,.. ; U kl C, U U = 1, detu = 1 } 3 Her er R mengda av alle reelle tal, C er mengda av alle komplekse tal, og k, l løper fra 1 til n. Ei matrise U SUn har n komplekse, dvs. n reelle parametre. La oss betrakte matrisa M U U. Diagonalen har n element. Unitariteten, dvs. at M = 1, betyr at alle disse er lik 1. Det er derfor n n/ element over diagonalen. Unitariteten betyr at alle disse er lik 0 Da M = M er alle de n n/ elementa under diagonalen a priori gitt ved det komplekskonjugerte av sitt motstående element, dvs. for ledda under diagonalen får vi ingen nye likninger vilkår. Vi får derfor n n/ komplekse likninger, dvs n n reelle. Til slutt må vi utnytte kravet detu = 1. Fordi 1 = detm = detu U = detu detu = detu, 4 ser vi at detu må væra en fasefaktor, og at kravet detu = 1 bare gir ei ny likning. Dermed blir det: parametre i U SUn n n n n 1 = n 1 5 1

Lie- Algebra Gruppe-elementa i SUn kan skrives { U = exp i k α k L k }, 6 der α j ; j = 1,,..., n 1 er et sett av reelle parametre og generatorene L k = i U α k {α j =0} tilfredstiller en Lie-algebra sum over m er underforstått:, 7 [L k, L l ] = if klm L m, 8 der f klm er et sett av koeffisienter gruppas strukturkonstanter som er fullstendig antisymmetriske i indeksene klm. Dersom {L k } er et sett av generatorer for ei gruppe, kan vi få et nytt sett av generatorer {L k} -som altså også tilfredstiller Lie-algebraen i 8 ved hjelp av en similaritets-transformasjon: L k L k = S L k S 1, 9 der S er ei vilkårlig n n matrise med eksisterende invers. Da U = e A detu = e TrA, 10 får vi fra detu = 1 at for alle k = 1,,..., n 1. TrL k = 0, 11 Irredusible representasjoner For alle Lie-grupper vil en representasjon som kan transformeres til blokkdiagonal form ved en similaritets-transformasjon, dvs S U S 1 = U A 0 0 U B, 1 kalles redusibel. Fundamentalrepresentasjonene for SUn er irredusible, dvs de kan ikke transformeres til blokk-diagonal form. For SU er representasjonene tilsvarende s = 1/, 1, 3/,,... også kalt, 3, 4, 5,... irredusible. For SU3 er representasjonene 3, 6, 8, 10,... irredusible. Kontragrediente representasjoner La {M k } væra en reprentasjon av {L k }, slik at [M k, M l ] = if klm M m. For alle SUn grupper kan det vises at strukturkonstantene f klm er reelle, og

dermed vil også M k = Mk {U} og {U c } gitt ved tilfredstille Lie-algebraen. Representasjonene U = e iα k M k, U = e iα k M k = e iα k M k = U c 13 kalles innbyrdes kontragrediente. Det er et aksiom i partikkelfysikk at partikler og tilsvarende antipartikler transformerer etter innbyrdes kontragrediente representasjoner. For SU er de innbyrdes kontragrediente representasjonene ekvivalente -de er i verste fall relatert ved en similaritetstransformasjon. Gruppa SU: For U SU skriver vi U = a b c d ; a, b, c, d C. 14 For ei matrise definert ved 14 er den inverse gitt ved U 1 = 1 detu d b c a ; 15 der determinanten detu = ad bc. Kravet U U = 1 U 1 = U gir nå a b U = b a ; a + b = 1, 16 dvs. det er 3 uavhengige parametre i gruppa SU. I fundamentalrepresentasjonen av SU er L k = 1 σ k S 1/ k. 17 som svarer til spinn 1/. Høgere representasjoner s = 1, 3/,... har samme Lie-algebra [ s S k, S s ] l = i ǫklm S m s, 18 der ǫ klm er Levi-Civita tensoren. Men andre matriserelasjoner er forskjellige for forskjellig spinn,- for eksempel er σ k σ l = δ kl 1 + iǫ klm σ som impliserer σj = 1 for spinn 1/, mens Sj 3 = S j for spinn 1. Spinn 1 representasjonen av SU svarer til rotasjonsgruppa. Sammenhengen mellom SU og romlige rotasjoner Vi definerer S x σ dets = x 19 Determinanten finnes lett ved hjelp av standard-uttrykka for Paulimatrisene Vi lar så S transformere etter Uǫ SU : S S = USU. 0 3

Dermed blir S = x σ dets = x. 1 På den andre sida er dets = detu dets detu = detu dets = dets, slik at x = x 3 En rotasjon kan uttrykkes slik: x i x i = R ij x j. 4 Fra 19 og 1 og Trσ i σ j = δ ij finner vi da koeffisientene Dersom vi lar R ij = 1 Tr σ i Uσ j U. 5 U = exp i θ n σ = cosθ/ in σsinθ/, 6 representerer dette en rotasjon en vinkel θ omkring retninga n vi har n = 1. I dette tilfelle finner R ij = cosθ δ ij + 1 cosθ n i n j + sinθ ǫ ijk n k, 7 som er rotasjons-matrisa i tre romlige dimensjoner. Videre vil v χ σχ transformere som en vektor, dvs. og χ er en to-komponent spinor. v i v i = R ij v j når χ χ = Uχ 8 Lorentz-transformasjoner En Lorentz-transformasjon av en 4-vektor x µ = x 0, x er i analogi med 4 gitt ved x µ x µ = L µ ν x ν 9 der x x µ x µ = x µ x µ x L α µ L α ν = g µ ν L 1 µ ν = L ν µ 30 Lie-algebraen til Lorentz-gruppa er gitt ved [J k, J l ] = iǫ klm J m, [J k, K l ] = iǫ klm K m, [K k, K l ] = iǫ klm J m, 31 der J k er rotasjonsgeneratorene og K l er boost-generatorene. I Minkowskirepresentasjonen er rotasjons-generatorene i prinsippet 4x4 matriser, men med bare nuller for alle tidskomponentene komponenter der minst en indeks 4

er 0 og de vanlige 3x3 rotasjonsmatrisene i nedre høgre hjørne. For K x K 1 er K x 01 = K x 10 = i og resten av elementa lik 0. En rein boost langs enhetsvektoren e kan skrives der vi har brukt at L = e iψ e K = 1 i sinhψ e K coshψ 1e K 3 e K 3 = e K ; coshψ = 1 v /c 1/ 33 Sammenhengen mellom SLC og Lorentz-transformasjoner Gruppa SLC er definert ved SLC = {A = matrise ; A kl C, deta = 1} 34 Gruppa SLC forholder seg til Lorentz-gruppa på samme måte som SU forholder seg til rotasjonsgruppa. La der har vi definert T x µ σ µ dett = x µ x µ x, 35 σ µ = 1, σ og σ µ = 1, σ. 36 Vi lar så T transformere etter A SLC : T T = ATA. 37 Dermed blir T = x µσ µ dett = x. 38 På den andre sida er dett = deta dett deta = deta dett = dett, 39 slik at x = x. 40 Dermed finner vi analogt med 5 : L µ ν = 1 Tr σ µ Aσ ν A. 41 Videre vil v µ = χ σ µ χ transformere som en 4-vektor, dvs. v µ v µ = L µ ν v ν når χ χ = Aχ 4 og χ er en to-komponent spinor. I SLC-representasjonen er generatorene 5

gitt ved J = 1 σ og K = 1 i σ 43 En kan vise at en generell Lorentz-transformasjon kan skrives A = H U der H = H og U = U 1. 44 der H kan skrives analogt til U i 6: H = exp i iψ e σ = coshψ/ + e σsinhψ/ 45 Det er et poeng at matrisene i SLC er enklere å regne med enn 4 4 matrisene L i Minkowski-representasjonen. Dirac-representasjonen av Lorentz-gruppa Ved studiet av Lorentz-transformasjoner innafor Dirac-teori lønner det seg å bruke Kramer-Weyl representasjonen av Dirac-matrisene: γ µ = γ 0, γ = 0 σ µ σ µ 0 γ µ KW 46 Sammenhengen med den vanligst brukte Pauli-representasjonen er gitt ved γ µ KW = S 1 γ µ P S ; S = 1 1 1 1 1 47 Transformasjonen for en Dirac-spinor Ψ er da gitt ved Ψ Ψ = ΛΨ ; Λ = A 0 0 A 1 48 Kramer-Weyl representasjonen kalles også chiral basis fordi høgre- og venstre- projeksjonene gitt ved Ψ R R Ψ, Ψ L L Ψ ; R 1 1 + γ 5, L 1 1 γ 5 49 har null for nedre og øvre to-komponent. Transformasjonen for Dirac-matrisene blir Λ 1 γ µ Λ = L µ ν γ ν 50 som impliserer tilsvarende relasjoner for A, σ µ, σ µ og L µ ν 6