UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapeige fakutet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: 7 juni 016 Tid for eksamen: 14:30 18:30 (4 timer) Oppgavesettet er på 3 sider Vedegg: Formeark Tiatte hjepemider: Øgrim og Lian: Størreser og enheter i fysikk og teknikk eer Ange, Lian, Øgrim: Fysiske størreser og enheter: Navn og symboer Rottmann: Matematisk formesaming Eektronisk kakuator av godkjent type. Kontroer at oppgavesettet er kompett før du begynner å besvare spørsmåene. Husk å forkare hvordan du øser probemene og begrunn svarene dine. Oppgave 1 (5 poeng) En massiv sirkuær treskive roterer friksjonsøst med vinkehastighet ω om en fast vertika akse som går gjennom massesenteret angs symmetriaksen. Et prosjekti som skytes inn paraet med rotasjonsaksen treffer skiven i en avstand d fra rotasjonsaksen og bir sittende fast i skiven. Vi vinkehastigheten ti skiven endre seg ved denne prosessen? Begrunn svaret! Spinnet omkring aksen for systemet som består av skiven og kuen vi bevares siden kraftmomentet i sammenstøtet er nu i forhod ti aksen. Det betyr at ω vi avta itt etter sammenstøtet siden prosjektiet, som opprinneig ikke hadde noe spinn i forhod ti aksen, nå vi få et spinn siden det bir sittende fast i skiven. Da må vinkehastigheten ti seve skiven gå itt ned for at spinnet ti skiven ska avta ike mye som spinnet ti prosjektiet øker, for at totaspinnet om aksen ska være uforandret. Oppgave (5 poeng) Du står på en høy bygning i Singapore (som igger i nærheten av ekvatoren). Du er så uhedig å miste teefonen din over kanten av bygningen. Mens den faer ned ti bakken virker Corioiskraften F C = mω v på teefonen, hvor ω er jordens vinkehastighet. Finn retningen ti Corioiskraften. Du kan anta at teefonen beveger seg bare i vertika retning. Vi teefonen ande nord, øst, sør eer vest fra posisjonen der du mistet den? Begrunn svaret! Vi bruker koordinatsystemet som er vist i figuren med x aksen mot øst, y aksen mot nord og z aksen vertikat opp. Rotasjonsaksen er i retning nord: ω = ωj, mens teefonen faer i negativ z retning: v = vk. Corioiskraften er: F C = mω v = mωj ( vk ) = mωvi Corioiskraften virker i retning øst og teefonen ander øst fra punktet der du droppet den.
Oppgave 3 (6 poeng) To odder med masse m 1 = m og m = m er knyttet sammen med en masseøs snor som går over et hju med masse M = m og radius R. Hjuet kan rotere om en stasjonær akse uten friksjon, og treghetsmomentet er I = 1 MR. Opprinneig er oddene i ro på samme høyde y = 0. Når du sipper oddene fri synker m ned mens m 1 går opp uten at snoren skir over hjuet. Finn hastigheten ti oddene som funksjon av den vertikae posisjonen. Du kan se bort fra uftmotstanden. Uten friksjon og uftmotstand er det bare gravitasjon som virker og den mekaniske energien i systemet er bevart. Med definisjon av koordinatsystemet som vist i figuren er den potensiee energien ti oddene i begynnesen nu. Etterhvert får m 1 positiv og m negativ potensie energi, og begge to får kinetisk energi. Trinsen befinner seg ved høyde h og har potensie energi som er konstant siden massesenteret ti trinsen beveger seg ikke, men trinsen får kinetisk rotasjonsenergi. Vi setter opp en igning for energibevaring: Mgh = m 1 gy m gy + 1 m 1v + 1 m v + Mgh + 1 Iω Loddet m 1 går ike mye opp som m går ned med samme hastighet v. Siden snoren ikke skir over trinsen vet vi at et punkt på overfaten ti trinsen beveger seg med samme fart v som snoren, og vi finner en reasjon meom vinkehastighet og hastighet ti snoren: ω = v. Vi setter inn massene: R 0 = mgy mgy + 3 mv + 1 v mr = mgy + mv R v = 1 gy Oppgave 4 (11 poeng) Du prøver å dra et sykkehju med masse m og radius R opp en fortauskant av høyde h. For å gjøre dette bruker du en horisonta kraft F som virker på aksen i sentrum av hjuet. a. Tegn et friegemediagram av hjuet og navngi ae krefter. (3 poeng) Det virker 4 krefter: Gravitasjon G horisontat på aksen, den horisontae kraften F som brukes for å dra hjuet, en normakraft N v fra veien og en kontaktkraft N f fra fortauskanten.
b. Forkar kvaitativt hvordan de andre kreftene endres når du øker kraften F, men før hjuet kommer opp på fortauskanten. (3 poeng) Så enge hjuet ikke kommer opp på fortauet er hjuet i ikevekt og summen over ae krefter og kraftmomenter er nu. Hvis vi øker den horisontae kraften F, så øker kraften fra fortauskanten N f mens normakraften fra veien N v minker. Hjuet mister kontakten med veien når N v bir nu. c. Hva er den minste kraften F som kreves for å dra hjuet opp på fortauskanten når radius av hjuet er R = 0 cm og høyden på fortauskanten er h = 8 cm? Uttrykk svaret som en funksjon av massen m og tyngdeakseerasjonen g. (5 poeng) For å finne betingesen for at hjuet kommer opp på fortauskanten ser vi på netto kraftmomentet om kontaktpunktet med kanten. Kraftarmen ti kraften F om kanten er R h = 1 cm. Kraftarmen ti gravitasjonskraften finner vi ved hjep av Pythagoras: = R (R h) = 16 cm. For å få et negativ kraftmoment (med kokken) trenger vi at: F(R h) > mg F > R h mg = 4 3 mg Oppgave 5 (0 poeng): En tynn homogen stang med masse m og engde er opphengt i A som vist på figuren. Vinkeen θ måes meom stangen og vertikaen. Vi antar at det virker ingen friksjon eer uftmotstand. Tyngdens akseerasjon er g. Treghetsmomentet ti en stang som roterer om sitt massesenter er I cm = 1 1 ml. Bevegesen starter med at stangen sippes fra ro i horisonta stiing. a. Finn treghetsmomentet ti stangen om dreieaksen i A. (3 poeng) Vi bruker paraeakseteoremet: I A = I cm + m ( ) = 1 1 m + 1 4 m = 1 3 m b. Tegn et friegemediagram for stangen og navngi ae krefter. (3 poeng) Uten friksjon og uftmotstand virker det to krefter: gravitasjonskraften G = mg og en kontaktkraft i hengseet F A som vi deer i en parae og en norma komponent. c. Finn vinkeakseerasjonen som funksjon av vinkeen θ. (4poeng) Vi bruker spinnsatsen om opphengningspunkt A: τ = I A α Kraftarmen vinkerett på gravitasjonskraften er sin θ. α = τ = mg sin θ = I A 1 3 m 3 g sin θ
d. Vis at vinkehastigheten som funksjon av θ er: (4 poeng) 3g cos θ ω = Siden vi ikke kjenner vinkeen θ(t) som funksjon av tiden kan vi ikke finne vinkehastigheten ved integrasjon av vinkeakseerasjonen. I stedet bruker vi energibetraktninger. Siden det er ingen friksjon eer uftmotstand kan vi bruke energibevaring. Vi setter nupunktet ti den potensiee energien i hengseet. 1 I Aω mg cos θ = 0 mg cos θ = 1 1 3 m ω 3g cos θ ω = e. Finn, som funksjon av θ, kraften som virker på stangen i opphengningspunktet. Det er hensiktsmessig å dee kraften i en komponent angs stangen og en komponent normat på stangen. (6 poeng) Vi finner først kraftkomponenten som er parae med stangen. Massesenteret ti stangen beveger seg på en sirkebane. Vi bruker Newtons andre ov og at nettokraften er ik sentripetakraften mot hengseet: F A mg cos θ = mω Siden vi kjenner vinkehastigheten fra d) kan vi sette inn: 3g cos θ F A = mg cos θ + m = 5 mg cos θ For å finne kraftkomponenten F A som står vinkerett på stangen kan vi bruker spinnsatsen om massesenteret. Vinkeakseerasjonen om massesenteret er den samme som vinkeakseerasjonen om hengseet som vi fant i c). τ cm = F A = I cmα = 1 3 g 1 m sin θ = 1 mg sin θ 8 F A = 1 mg sin θ 4 Oppgave 6 (15 poeng) Bevegesen ti en partikke i xy panet kan beskrives ved potensiafunksjonen U(x, y) = 3x x 3 + y. Potensiaet er pottet i figuren. a. Finn kraften som virker på partikkeen i posisjon r = xi + yj. Uttrykk kraften som en vektor med komponenter i x og y retning. (3 poeng) Vi finner kraften ved å ta gradienten ti potensiaet: F = U(x, y) = U U i x y j = (3x 3)i 4yj
y b. Finn ikevektspunktene. Er de stabie? (3 poeng) I ikevektspunktene er nettokraften nu. Ligningen F = 0 har to øsninger for x = ±1 og y = 0. Vi finner ikevektspunktene r 1 = i og r = i. Fra figuren ser vi at r 1 er et sadepunkt som er et ustabit ikevektspunkt fordi partikkeen vi beveger seg angt bort ved en iten forstyrese. Punkt r derimot er et minimumspunkt og derfor et stabit ikevektspunkt. c. Partikkeen starter i ro fra posisjon r 0 = x 0 i + y 0 j. Skriv et program som beregner posisjon ti partikkeen som funksjon av tiden. Det er tistrekkeig å ta med integrasjonsøkken. (5 poeng) d. Du kjører programmet for en partikke som starter ved -0. posisjon r 0 = 0.5j og du potter posisjonen i xy panet -0.4 som funksjon av tiden. Du får resutatet som er vist i -0.6 figuren. Tok resutatet og beskriv bevegesen ti - -1.5-1 -0.5 0 partikkeen. (4 poeng) x Partikkeen beveger seg mot minimumspunktet i potensiaet ved r = i hvor hastigheten er maksima. Partikkeen fortsetter bevegesen og «katrer opp potensiafjeet» på den andre siden av senkningen. Siden potensiaet ikke er symmetrisk beveger partikkeen seg tibake på en annen vei. I det høyeste punktet på den andre siden har partikkeen en iten hastighetskomponent vinkerett på kraften, sik at denne gangen går partikkeen rundt minimumspunktet og ikke gjennom. Dette fortsetter og partikkeen sirker i potensiasenkningen mens den svinger opp og ned fra side ti side. 0.6 0.4 0. 0 Oppgave 7 (8 poeng): En bijardkue av masse m og radius R igger i ro på et horisontat bord. Den dynamiske friksjonskoeffisienten meom kuen og overfaten på bordet er μ d. Tyngdeakseerasjonen er g. Treghetsmoment ti kuen er I = 5 mr. Du støter kuen med en konstant horisonta kraft F på en høyde h som måes i forhod ti midten av kuen, som vist på figuren. Vi definerer positiv vinkehastighet (om z-aksen) i retning mot kokken og positiv hastighet mot høyre i x-retningen. Først anayserer vi bevegesen etter støtet og vi antar at vi kjenner initiabetingesene ti bevegesen. Vi ser på tifeet hvor du treffer kuen i midten på høyden h = 0, sik at kuen får en transatorisk initiahastighet v 0, men ingen initiavinkehastighet, ω 0 = 0. Vi ignorerer uftmotstanden.
a. Tegn et friegemediagram for baen umiddebart etter støtet (sik at kraften F ikke enger virker) og uttrykk ae kreftene som en funksjon av m, g og μ d. (3 poeng) Gravitasjon: G = mgj. Normakraft fra bordet: N. Det er ingen bevegese i vertika retning. Fra Newtons andre ov får vi at: N = G = mgj. Ved støtet på høyden h = 0 får kontaktpunktet meom kuen og bordet hastighet i x retning. Friksjon virker i motsatt retning: f = μ d Ni = μ d mgi b. Finn uttrykker for transatorisk akseerasjon og vinkeakseerasjon ti kuen etter støtet. Hvor enge er disse uttrykkene gydig? (4 poeng) Vi får akseerasjon fra Newtons andre ov: F = f = μ d mgi = ma a = μ d gi Vi får vinkeakseerasjonen fra spinnsatsen: τ = Iα Gravitasjonen angriper i massesenteret og gir ingen kraftmoment. Normakraften er parae med kraftarmen og gir ingen kraftmoment heer. Den eneste kraften som gir et kraftmoment om massesenteret er friksjonskraften. α = τ I = Rj ( μ dmgi ) 5 μ d g = R k 5 mr Uttrykkene for akseerasjon og vinkeakseerasjon er bare gydig så enge det er friksjon, det vi si så enge kuen skir. Når kuen begynner å rue uten å ski er både akseerasjon og vinkeakseerasjon nu. c. Finn hastigheten, v(t), og vinkehastigheten, ω(t), som funksjon av tiden for kuen fram ti tidspunktet når den begynner å rue uten å ski. Beskriv bevegesen ti kuen. (4 poeng) Vi har en bevegese med konstant akseerasjon og konstant vinkeakseerasjon. Kuen har initiahastighet v 0 og ingen initiavinkehastighet, ω 0 = 0. Vi integrerer og får: v(t) = v 0 μ d gt ω(t) = 5 μ g d R t Rett etter støtet skir kuen uten å rotere. Friksjonskraften bremser inearbevegesen og gir samtidig et kraftmoment som resuterer i en vinkeakseerasjon med kokken. Over tid skir kuen mindre og roterer raskere. På et viss tidspunkt er ruebetingesen oppfyt og kuen ruer uten å ski etterhvert. Når kuen bare ruer virker det ikke enger friksjon, sik at kuen fortsetter å rue med konstant vinkehastighet. d. Finn tidspunktet t r når kuen begynner å rue uten å ski. (4 poeng) Vi finner tidspunktet ut fra ruebetingesen: v(t r ) = Rω(t r ) v 0 μ d gt r = 5 μ dgt r v 0 = 7 μ dgt r v 0 t r = 7 μ d g Vi ser nå nærmere på koisjonen meom køen og kuen som resuterer i en initiahastighet v 0 og en initiavinkehastighet ω 0. Køen støter kuen på høyden h i forhod ti sentrum. Vi antar at kraften F er konstant og virker i øpet av en kort tid t. Ae andre krefter kan negisjeres i øpet av den korte perioden t.
e. Finn et uttrykk for transatorisk akseerasjon og vinkeakseerasjon ti baen under støtet med køen som en funksjon av massen m, kraften F, radiusen R og høyden h. (3 poeng) Vi finner akseerasjon ut fra Newtons andre ov: a = 1 m F Vi bruker spinnsatsen for å finne vinkeakseerasjonen: α = τ hj Fi hfk 5 hf = = = I mr k 5 mr 5 mr f. Finn et uttrykk for hastigheten v 0 og vinkehastigheten ω 0 umiddebart etter støtet som en funksjon av varigheten t, og vis at sammenheng meom hastighet og vinkehastighet er: (4 poeng) ω 0 = 5 h R v 0 Vi har også her en bevegese med konstant akseerasjon og konstant vinkeakseerasjon. Vi finner hastigheten og vinkehastigheten ved integrasjon: v 0 = F m t ω 0 = 5 hf mr t Vi eiminerer tidsintervaet t: ω 0 = 5 hf m mr F v 0 = 5 h R v 0 g. Hvis du ønsker å støte kuen sik at den ruer uten å ski het fra starten, i hviken høyde h r bør du treffe kuen? (3 poeng) For at kuen ruer uten å ski het fra starten må initiahastighet v 0 og initiavinkehastighet ω 0 oppfye ruebetingesen: v 0 = Rω 0. Vi setter inn resutatet fra den forrige oppgaven: ω 0 = 5 h r R v 0 = 5 h r R ω 0 h r = 5 R h. Hviken retning har friksjonskraften hvis du støter kuen ved høyde h > h r? Beskriv bevegesen ti kuen i dette tifeet. (3 poeng) I dette tifeet får kuen en stor negativ vinkehastighet (i retning med kokken) som er større enn i betingesen for å rue uten å ski. Det betyr at punktet på kuen som er i kontakt med bordet skir mot venstre i negativ x retning reativ ti bordet. Friksjonskraften virker i motsatt retning ti høyre (i positiv x retning). Kuen vi i begynnesen rotere rask uten stor ineærhastighet. Friksjonskraften bremser rotasjonsbevegesen og samtidig akseererer massesenteret ti høyre. Når ruebetingesen er oppfyt fortsetter kuen å rue uten å ski uten at det virker en friksjonskraft enger. *** Dette er siste ark i oppgavesettet. Lykke ti med oppgavene!