E. MAGNETISKE MOMENTER. SPINN E.1 Energibidrag knyttet til dreieimpuls og spinn

TFY4250/FY2045 2005 - Tillegg 15 - E. Magnetiske momenter. Spinn 1 Tillegg 15: E. MAGNETISKE MOMENTER. SPINN E.1 Energibidrag knyttet til dreieimpuls og spinn (Se avsnittene 1.5, 6.8 og 12.2 i B&J, 8.3 i Hemmer og 4.4 i Griffiths, ved siden av herværende Tillegg.) Hypotesen om elektronets spinn (indre dreieimpuls) ble framsatt alt i 1925 av Uhlenbeck og Goudsmit, omtrent samtidig med Heisenbergs og Schrödingers formuleringer av kvantemekanisk teori og oppdagelsen av Pauli-prinsippet. De viktigste eksperimentelle ledetrådene som førte fram til spinnhypotesen var Finstrukturen av optiske spektra Zeeman-effekten Stern Gerlachs eksperiment Alle disse effektene har noe å gjøre med hvordan en partikkel med spinn eller dreieimpuls oppfører seg i et magnetfelt. a. Magnetisk moment (avsnitt 8.3.3 i Hemmer) Først litt klassisk elektrodynamikk I elektromagnetisk teori (se f.eks D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, kapittel 6) lærer en at en infinitesimal strømsløyfe plassert i et magnetfelt påvirkes av et dreiemoment N = µ B (T15.1) og en kraft F = ( µ B). (T15.2) Her er µ det magnetiske (dipol-)momentet til den infinitesimale strømsløyfen. For en plan sløyfe som omslutter et areal A er dette magnetiske momentet µ = I A ˆn IA, der I er strømmen og ˆn er enhetsvektoren normalt på sløyfeplanet. Samme sak observeres når en liten stavmagnet plasseres i et magnetfelt.

TFY4250/FY2045 2005 - Tillegg 15 - E. Magnetiske momenter. Spinn 2 Denne påvirkes av et dreiemoment N (α) = µb sin α = ( µb cos α) = α α ( µ B). (T15.3) (Merk at denne relasjonen er analog med F x (x) = V/ x.) Ligningene ovenfor viser at det magnetiske momentet µ plassert i magnetfeltet B svarer til en vekselvirkningsenergi E = µ B. (T15.4) Nullpunktet til denne potensielle energien er valgt slik at E er lik null når µ B, negativ (og minimal) når µ er parallell med B, og positiv (og maksimal) når de to vektorene er antiparallelle. Figuren viser en partikkel med masse m og ladning q (< 0) som holdes i en klassisk sirkelbane med radius r og hastighet v av et sentralfelt V (r). Også denne danner en strømsløyfe. Med omløpsfrekvensen ν = v/(2πr) er strømmen I = qν. Dette gir et magnetisk moment µ = I A = q v 2πr πr2 = 1qrv = 1 q r v. 2 2 Det magnetiske momentet knyttet til ladningens sirkelbevegelse er altså proporsjonalt med banedreieimpulsen L = m r v : µ L = q 2m L. Forholdet q/2m mellom disse to størrelsene kalles det gyromagnetiske forholdet. La oss også ta med at for en slik klassisk bevegelse vil L og µ L ikke være bevegelseskonstanter, dersom bevegelsen foregår i et magnetfelt. Fra Newtons 2. lov samt (T15.1) har vi nemlig at dl dt = N = µ L B = q 2m B L ω L L. (T15.5) Fra denne ligningen følger det at at L (og dermed µ L ) preseserer. Presesjonsfrekvensen, ω L q 2m B, (T15.6) er kjent som den såkalte Larmor-frekvensen.

TFY4250/FY2045 2005 - Tillegg 15 - E. Magnetiske momenter. Spinn 3 Med disse klassiske betraktningene som innledning skal vi nå se hva kvantemekanikken har å si om disse tingene. Kvantemekanisk behandling Betrakter vi en kvantemekanisk tilstand som f.eks hydrogentilstanden ψ 211 = (64πa 5 0) 1/2 r e r/2a 0 sin θ e iφ, så svarer denne til en roterende sannsynlighetsstrømtetthet j = Re[ψ h im e ψ]. Vha gradientoperatoren i kulekoordinater kan en vise at denne er rettet i φ-retningen (roterer om z-aksen): h/m e j = ê φ r e r/a 0 sin θ. 64πa 5 0 Siden elektronet har både masse og ladning, svarer denne strømmen både til en dreieimpuls (L z = h i dette tilfellet) og et magnetisk moment µ z, som viser seg å være lik ( e/ ) h, altså med samme gyromagnetiske forhold som for en klassisk sirkelbane. Generelt viser det seg at det magnetiske momentet knyttet til banebevegelsen for en partikkel med masse m og ladning q representeres av operatoren ˆµ L = q 2m ˆL = q 2m r ˆp. (T15.7) Når L og µ L ikke er klassiske bevegelseskonstanter i et magnetfelt, blir de heller ikke kvantemekaniske bevegelseskonstanter. Med dette mener vi at forventningsverdiene L og µ L ikke blir konstante. De vil faktisk presesere akkurat på samme måte som de klassiske størrelsene. Operator-relasjonen (T15.7) innebærer at det magnetiske momentet µ L knyttet til banebevegelsen blir kvantisert på samme måte som banedreieimpulsen. Dvs at størrelsen og en av komponentene kan ha skarpe verdier samtidig. For et elektron (med q = e) innebærer dette at størrelsen kan ha verdiene µ L = e L = µ B l(l + 1) ; l = 0, 1, 2,, (T15.8) mens f.eks z-komponenten kan ha verdiene (µ L ) z = e L z = mµ B ; m = 0, ±1, ±2,. (T15.9)

TFY4250/FY2045 2005 - Tillegg 15 - E. Magnetiske momenter. Spinn 4 Analogt med at h er den naturlige enheten for dreieimpuls ser vi her at størrelsen µ B e h (1 Bohr-magneton) (T15.10) er den naturlige enheten for det magnetiske momentet til et elektron. [1 µ B = 5.788 10 5 ev/t(esla).] Vi kan også merke oss at kvantiseringen av L z og µ z svarer til en retningskvantisering, dvs bestemte vinkler mellom vektoren µ L og z-aksen. b. Normal Zeeman-effekt Plasserer vi et hydrogenatom i et ikke altfor sterkt magnetfelt B = Bê z, får Hamiltonoperatoren Ĥ0 = ( h 2 / ) 2 e 2 /(4πɛ 0 r) et tillegg Ĥ 1 = ˆµ L B = eb ˆLz pga det magnetiske momentet knyttet til banebevegelsen. Dette er en svak perturbasjon av Hamilton-operatoren. Og hvis dette var den eneste perturbasjonen, så kunne vi ha fortsatt å bruke de uperturberte egenfunksjonene ψ nlm til Ĥ 0 som energiegenfunksjoner. Siden disse er egenfunksjoner til ˆL z, blir de også egenfunksjoner til Ĥ = Ĥ0 + Ĥ1. Men siden det også kommer andre tillegg til Ĥ 0, blir det hele mer komplisert. Men forutsatt at perturbasjonene er svake, kan vi i slike tilfeller bruke første-ordens tidsuavhengig perturbasjonsteori for å finne korreksjonene til energinivåene; se kapittel 7.1 i Hemmer. Denne hører egentlig hjemme i TFY4205 Kvantemekanikk, så derfor bare en liten briefing: Med Ĥ = Ĥ0 + λv, der λv er en liten perturbasjon, kan vi rekkeutvikle energiegenfunksjonene i litenhetsparameteren λ: ψ n = ψ n + λψ (1) n + λ 2 ψ (2) n +. Vi må anta at også energiegenverdiene kan rekkeutvikles: E n = E n + λe (1) n +. Innsetting i den tidsuavhengige Schrödingerligningen gir da til første orden i λ: (Ĥ0 + λv )(ψ n + λψ (1) n + O(λ 2 )) = (E n + λe (1) n + O(λ 2 ))(ψ n + λψ (1) n + O(λ 2 )),

TFY4250/FY2045 2005 - Tillegg 15 - E. Magnetiske momenter. Spinn 5 λ er her en variabel parameter, og dersom resultatet skal være gyldig for alle (små) λ må ligningen være oppfylt orden for orden. Nullte-ordens-leddet gir da Ĥ 0 ψ n = E n ψ n, som forteller at ψ n er den uperturberte egenfunksjonen for n te nivå. Førsteordensleddet gir λv ψ n + λĥ0ψ n (1) = λe n (1) ψ n + λe n ψ n (1). Denne relasjonen projiserer vi på ψ n (dvs vi multipliserer med (ψ n ) og integrerer): λ ψ n, V ψ n + λ ψ n, Ĥ0ψ (1) n = λe (1) n ψ n, ψ n Her kansellerer leddene som er understreket, fordi + λe n ψ n, ψ n (1). (ψ n ) Ĥ 0 ψ n (1) d 3 r = (Ĥ0ψ n ) ψ n (1) d 3 r = E n ψ n, ψ n (1). Følgelig er førsteordenskorreksjonen til energien gitt ved λe n (1) = ψ n, λv ψ n = (ψ n ) λv ψ n d 3 r. (T15.11) Vi kan altså slå fast at for svake perturbasjonsledd i Hamilton-operatoren er energikorreksjonen tilnærmet gitt av forventningsverdien av det perturberende leddet, beregnet vha de uperturberte tilstandene. Her har vi stilltiende antatt at energinivåene er ikke-degenererte. For degenererte energinivåer er det ikke fullt så enkelt; se Hemmer. Fra (T15.11) følger det at energikorreksjonene pga perturbasjonen til første orden blir Ĥ 1 = (eb/ )ˆL z E = eb m h = m e h B = m µ B B, m = 0, ±1,, (T15.12) dvs at korreksjonen avhenger av m-kvantetallet. Dette er forøvrig grunnen til at m kalles det magnetiske kvantetallet. Retningskvantiseringen av L og µ L gir altså en oppsplitting; m- degenerasjonen oppheves. Selv for sterke magnetfelter (av størrelsesorden 1 tesla) blir denne oppsplittingen svak ( 10 5 ev). Dersom perturbasjonen Ĥ1 var den eneste perturbasjonen, skulle denne oppsplittingen bli som illustrert i nivåskjemaet nedenfor, sterkt overdrevet.

TFY4250/FY2045 2005 - Tillegg 15 - E. Magnetiske momenter. Spinn 6 For overgangen fra 2p til 1s skjønner vi at den svake oppsplittingen av 2p-nivået vil resultere i en tilsvarende svak oppsplitting av spektrallinjen. For 3s 2p fås tre spektrallinjer med den samme oppsplittingen. Og utvalgsregelen m = 0 ± 1 betyr faktisk at vi får ut de samme tre spektrallinjene for overgangen 3d 2p som for 3s 2p. Denne oppsplittingen i tre linjer kalles av historiske grunner for den normale Zeeman-effekten, oppkalt etter Zeeman som gjorde sine første observasjoner i 1896. Men her er det i høyeste grad på sin plass med anførselstegn. Eksperimenter viser at det er absolutt mest vanlig med såkalt anormal Zeeman-oppsplitting, oftest med mer enn tre linjer, og med varierende avstand. Forklaringen ligger i at vi ovenfor har neglisjert elektronets spinn: I tillegg til banedreieimpulsen viser det seg at elektronet har en indre dreieimpuls, kalt spinnet. Og med på kjøpet følger et tilsvarende indre magnetisk moment µ S som er uløselig knyttet til spinnet S, på tilsvarende måte som µ L er knyttet til L. Hvordan spinnet virker inn i Zeeman-effekten er en komplisert affære, som du kan se i kapittel 14 i Hemmer, og kapittel 6.4 i Griffiths. Derimot gir Stern Gerlach-eksperimentet et veldig klart og lettfattelig signal om elektron-spinnet. c. Stern Gerlachs eksperiment (Avsnitt 4.4 i Griffiths, 1.5 i B&J.) I et homogent magnetfelt påvirkes det magnetiske momentet µ bare av dreiemomentet N = µ B; kraften F = ( µ B) er da lik null, og det magnetiske momentet nøyer seg med å presesere omkring B, slik vi diskuterte ovenfor. Stern og Gerlachs ide i 1921 var: La oss forsøke å måle det magnetiske momentet til et atom ved å sende en stråle av slike atomer, avgrenset av en tynn horisontal spalt, gjennom et inhomogent magnetfelt og måle avbøyningen. Med et inhomogent magnetfelt som antydet i figuren fås nemlig en vertikal avbøyning (i z-retningen), dersom vi lar strålen gå der hvor feltet peker vertikalt. Dette kan vi vise ved å regne med en enkel modell for et slikt inhomogent magnetfelt: B = axê x (B 0 + az)ê z, der a = B z / z er en passende konstant. Du kan lett kontrollere at dette feltet er divergensfritt ( B = 0), slik alle magnetfelter er. Kraften blir nå F = (µ B) = (µ x ax µ z (B 0 + az)) = a(µ x ê x µ z ê z ). (T15.13)

TFY4250/FY2045 2005 - Tillegg 15 - E. Magnetiske momenter. Spinn 7 Her må vi nå huske på at µ preseserer hurtig omkring B-feltet, dvs omkring z-aksen. x- komponenten µ x er derfor i middel lik null, og gir ingen avbøyning. Vi får derfor en avbøyning i positiv eller negativ z-retning, bestemt av F z = aµ z. Målingen av avbøyningen er derfor en måling av µ z. (Merk at µ z er konstant under presesjonen.) I 1921 (før kvantemekanikken) ventet Stern og Gerlach at retningen av atomets magnetiske moment µ skulle være tilfeldig fordelt (0 < α < π). De ventet derfor å finne en kontinuerlig fordelt avbøyning, som skulle svare til en variasjon av µ z mellom µ og + µ. Håpet var at de ved å måle den maksimale avbøyningen (for α lik null og π) skulle kunne beregne µ ut fra hastigheten til strålen, atommassen, lengden av magneten og parameteren a. Etter 1925 har kvantemekanikken lært oss at en måling av µ z må gi en av egenverdiene (ifølge målepostulatet). Siden retningen til µ og dermed µ z er kvantisert, må vi derfor vente å finne en kvantisert avbøyning. Dersom den totale dreieimpulsen til atomet er heltallig (gitt av et dreieimpulskvantetall L), skulle vi da vente å finne 2L + 1 diskrete avbøyninger, altså et odde antall bilder på skjermen av spalten i figuren ovenfor. Men eksperimentet viste noe annet: Stern og Gerlach (1922) brukte en oppvarmet gass av sølvatomer (Z = 47). Resultatet var to striper på skjermen. Et tilsvarende eksperiment med hydrogenatomer, utført av Phipps og Taylor i 1927, viste også to striper. Spinn og magnetisk moment for elektronet Forklaringen ble funnet av Uhlenbeck og Goudsmit i 1925, og er egentlig den samme både for Ag og H, men er enklest å forstå i hydrogentilfellet: Selv med l = 0 har elektronet i H-atomet et magnetisk moment µ S, som er ansvarlig for avbøyningen av banen til H- atomene. Dette er knyttet til en indre dreieimpuls, det såkalte spinnet S. Som alle dreieimpulser kan spinnet karakteriseres ved et dreieimpulskvantetall, som vi kan kalle s, slik at S = h s(s + 1), og slik at z-komponenten kan ha verdiene S z = m s h, der m s = s, s + 1, s + 2,, +s, analogt med at m = L z / h har verdiene l, l+1, l+2,, +l for et gitt banedreieimpulskvantetall l. Antallet m s -verdier er 2s + 1, analogt med de 2l + 1 verdiene av L z. At vi får to diskrete avbøyninger må vi da tolke slik at spinnkvantetallet s er lik 1. Elektronet har altså spinn 2 s(s 1, som vi sier. Dette svarer til S = h + 1) = h 3/4 = 0.866 h. 2 De to mulige verdiene av det magnetiske kvantetallet for spinnet er da m s = ± 1, som 2 1 svarer til S z = ± 2 h. Disse to tilstandene kalles hhvis spinn opp og spinn ned.

TFY4250/FY2045 2005 - Tillegg 15 - E. Magnetiske momenter. Spinn 8 Eksperimenter viser at det indre magnetiske momentet knyttet til spinnet er µ S = g e e S. (T15.14) Her er faktorene foran S produktet av det gyromagnetiske forholdet vi hadde for elektronets banebevegelse og g e, som er en dimensjonsløs faktor. Nøyaktige målinger viser at denne er g e = 2 1.001159652187 (±4) (gyromagnetisk faktor for elektronet), (T15.15) hvor usikkerheten (±4) ligger i siste siffer. De to diskrete avbøyningene i SG-eksperimentet skyldes altså at målingen bare kan gi to mulige verdier for µ z, S z og F z : m s = + 1 2 : S z = + 1 2 h, (µ S) z = 1 2 g e e h = 1 2 g eµ B, F z = aµ z = 1 2 g e aµ B, m s = 1 2 : S z = 1 2 h, (µ S) z = + 1 2 g eµ B, F z = aµ z = 1 2 g e aµ B. 1 Med a > 0 ser vi her at den øverste stripen svarer til måleresultatet S z = + 2 h (spinn 1 opp), mens den nederste svarer til S z = 2 h (spinn ned).1 Protonet og nøytronet Hva med protonet som utgjør kjernen i H-atomet har ikke også dette spinn 1 og et 2 magnetisk moment? Svaret er jo, men det viser seg at det magnetiske momentet er mye mindre enn for elektronet; µ p = 5.59 e S p (g p = 5.59). (T15.16) 2m p 1 Med H-atomer eller sølvatomer fra en ovn blir det en 50/50 fordeling mellom øvre og nedre stråle; sannsynligheten for å måle spinn opp er altså like stor som for å måle spinn ned. En sier da at primærstrålen ut fra ovnen er upolarisert. Etter passasjen gjennom det inhomogene magnetfeltet kan vi derimot si at atomene som er havnet i den øvre strålen er fullstendig spinnpolarisert; de utgjør et ensemble som alle er i tilstanden spinn opp (og tilsvarende for den nedre strålen). En Stern Gerlach-apparatur (karakterisert essensielt av et inhomogent magnetfelt) kan derfor brukes både til å måle spinnkomponenter og til å preparere ensembler med veldefinert spinn.

TFY4250/FY2045 2005 - Tillegg 15 - E. Magnetiske momenter. Spinn 9 Her er altså den naturlige enheten for det magnetiske momentet µ N e h 2m p = 3.1524515 10 8 ev/t(esla) (1 kjernemagneton). (T15.17) Forklaringen på det store avviket fra g = 2 for protonet ligger i at dette er en sammensatt partikkel, bygd opp av to u-kvarker med ladning q = 2e/3 og én d-kvark med q = e/3. Også nøytronet er en sammensatt partikkel (én u og to d), og da er det ikke så rart at det får et magnetisk moment, µ n = 3.83 e 2m n S p (g n = 3.83), (T15.18) selv om det er en nøytral partikkel. Det er et viktig poeng at µ p og µ n er en faktor 1000 mindre enn µ e. Atomers oppførsel i magnetfelt bestemmes derfor i hovedsak av elektronene. Hvorfor får vi bare to diskrete avbøyninger også for sølvatomene? Svaret ligger i at 46 av de 47 elektronene i sølvatomet befinner seg i en kvantemekanisk tilstand som svarer til at både det totale spinnet og den totale banedreieimpulsen for disse 46 elektronene er lik null. Det ytterste elektronet er i en s-tilstand (l = 0). Dermed blir samlet magnetisk moment for atomet akkurat som for det ytterste elektronet. (Et eventuelt magnetisk moment til kjernen kan vi se bort fra, fordi dette uansett vil være størrelsesorden en faktor 1000 ganger mindre enn µ S.) Spinnene til andre partikler Elektronet og dets antipartikkel positronet er bare to av flere såkalte leptoner (partikler som ikke vekselvirker sterkt) som alle har spinn 1 2. Dette gjelder både myonene µ± (med masse m µ = 105.66 MeV/c 2 ) og τ ± (m τ = 1777 MeV/c 2 ) som er et slags tyngre utgaver av elektronet. Slektskapet understrekes av at også g-faktoren for myonet µ er tilnærmet lik 2: µ µ = g µ e 2m µ S µ, (T15.19) g µ = 2 1.0011659160 (±6) (gyromagnetisk faktor for myonet). (T15.20) Spinn 1 finner en også hos de nesten masseløse nøytrinoene, ν 2 e og ν e, samt tilsvarende par av myon-nøytino og -antinøytrino (ν µ og ν µ ) og tau-nøytrino og -antinøytrino. Fotonet kommer i en særstilling fordi spinn-komponenten langs bevegelsesretningen bare kan ha verdiene ± h. Dette henger sammen med at fotonet er masseløst. Beslektet med fotonet er de massive vektor-bosonene, W ± (M W 80.4 MeV/c 2 ) og Z 0 (M Z 91.2 MeV/c 2 ), som alle har spinn 1, og som sammen med fotonene sørger for formidlingen av de elektrosvake vekselvirkningene. Spinn 1 finner en også hos gluonet, som formidler de sterke kreftene. Gravitonet, bæreren av gravitasjonskraften, antas å ha spinn 2. Alle de øvrige partiklene er hadroner (med sterke vekselvirkninger). Disse kan deles i to grupper. Den ene er baryonene (p, n, Λ, Ω, ), som i likhet med nøytronet og protonet er tre-kvark-systemer. Siden kvarkene har spinn 1, følger det fra reglene for addisjon av 2 dreieimpulser (som vi skal komme tilbake til) at baryonene har halvtallig spinn (1/2, 3/2, osv). Den andre gruppen er mesonene (π, K, ρ, ω, ) som er kvark-antikvark-systemer, og som derfor får heltallige spinn (f.eks 0 for π-mesonene og 1 for ρ-mesonene).