R - 6.0.05 - Differensialligninger Løsningssisser Oppgave Løs differensialligningene y x y b) y y x c) y 8y 7y 0 Separabel: y y x y dy xdx y x C y x 4 C y C x 4 Da ligningen er ulineær, bør vi også se etter trivielle løsninger: y 0 er også løsning! b) ): y C x 4 y 0 Lineær, ie separabel: IF e dx e x Vi får: ye x xe x Delvis integrasjon: ye x xe x dx x ex ex dx x ex 9 ex C ): y x 9 Cex c) Karateristis ligning: r 8r7 0 r r 7 ): y Ce x De 7x Oppgave En bil med masse m 500 g jører med onstant fart v idet clutchen tryes inn og bilen triller videre uten motorraft. Vi regner at bare frisjonsrefter og luftmotstand, proporsjonale med farten i andre potens, R v, virer på bilen når den triller videre. Vis at vi har differensialligningen mv v 0 som modell for bilens fart v [m/s] som funsjon av tiden t [s]. b) Finn den generelle løsningen av differensialligningen. c) Finn den spesielle løsningen ved hjelp av initialbetingelsen v0 v. d) Bru resultatet i c) til å utlede den såalte "coasting"-formelen: H-P Ulven av 5 r_605_ls.tex
v v m t, der t er tiden bilen bruer på å trille fra startfart v til sluttfart v. e) Dette an brues til å finne fatoren ved å ta tiden t bilen bruer på å sane farten fra v til v med frioblet motor. Finn hvis v 60 [m/t], v 40 [m/t] ogt 0 [s] f) Hvor langt har bilen beveget seg på de 0 seundene i e)? Newton II: F ma gir: v mv mv v 0 b) Separerer: v v m Integrerer: v dv m dt v m t C v t m C v t m C vt m (Generell løsning.) tc c) Initialbetingelse: v0 v m C v C m v vt m t m v mv v tm (Spesiell løsning.) d) vt v mv v v tm mv v v t mv v v t mv v m t v v v v m t v v QED e) m t v v 500 0 40 60. 5 (Obs: [m/s] [m/t] ) f) Veilengde: s t vt s 0 0 vtdt vt mv s 0 0 500 60 50060 v tm 60.5t500 60.5t500 0 t0 dt 0 ln 80 0 ln t0 ln t 0 ln 80 ln 0 70 [m] Oppgave En gjenstand med masse m henger i en fjær som er festet i taet. Fjæronstanten er og dempningsoeffisienten er d. Bru Newtons andre lov og forlar hvordan du ommer frem til en differensialligning der y er utslaget som funsjon av tiden t. b) Sriv opp betingelsene for de fire svingebevegelsene harmonis svingning, dempet svingning, ritis dempet svingning og overritis dempet svingning. H-P Ulven av 5 r_605_ls.tex
Tegn figur. Se side 0-04 i lærebo! Newton II: F ma gir: I lievetsposisjon: mg s 0 0 Med utslag y: mg y s 0 dy my my dy y s 0 mg 0 my dy y 0 b) Se side 05-06 i lærebo. Karateristis ligning gir: mr dr 0 r d d 4m I Harmonis svingning (Udempet svingning): Demping li 0: d 0: r d m i y C sin m t Dcos m t Svingetid: II Dempet svingning: T H m d 4m : r d 4md i i y e t C sint Dcost Svingetid: T T H, da uttryet T 4m 4m 4m m T H 4md III Kritis dempning: d 4m : r d y C Dte d t er større enn (dobbelrot) IV Overritis dempning: d 4m : r r r r y Ce r t De r t Oppgave 4 Når en bil jører over en hump i veien, er det ønselig at støtdemperne sørger for at den vertiale svingebevegelsen som oppstår blir dempet mest mulig. Hvis massen til bilen er m, den samlede fjæronstanten til støtdemperne og dempningsonstanten i støtdemperne er q, vil den vertiale posisjonen y ft til bilen være gitt ved en løsning av differensialligningen my qy y 0 En bil med massen m 000 g jører på en horisontal vei. Den samlede fjæronstanten for de fire støtdemperne setter vi til. 0 0 5 N/m, og dempningsonstanten til q. 0 0 4 Ns/m. Bilen jører over en hump. H-P Ulven av 5 r_605_ls.tex
Finn det generelle uttryet for posisjonen y til bilen t seunder etter passering av toppen på humpen, når initialbetingelsene er y0 0. [m] og y 0 0 [m/s] b) Hva slags type svingning er dette? Bør støtdemperne siftes? En gammel bil med samme masse og samme samlede fjæronstant har dempningsonstant q. 0 0 4. c) Hva slags type svingning får denne bilen etter passering av en tilsvarende hump? Bør støtdemperne siftes? (Gode støtdempere bør ie passere lievetspuntet mer enn en gang etter en hump og stabilisere seg på lievetspuntet etter ca. ett seund.) y d m y m y 0 eller y 0y 00y 0 Karateristis ligning: r 0r00 0 r 0 (Dobbelrot) Generell løsning: y C Dte 0t Initialbetingelser: y0 0. : 0. C 0 C 0. y De 0t C Dt0e 0t y 0 0 : 0 DC 00 D 0C Spesiell løsning: y 0. te 0t b) Dette er en ritis dempet svingning som er aurat på grensen, men greit no. (Det vitigste er at den svinger inn i løpet av ett seund og at den ie er en dempet svingning, selv om en sli svingning er dempet, vil den rysse lievetspuntet flere ganger!) c) Karateristis ligning: r 0r00 0 r 5 5 i y e 5t C sin8. 66t Dcos8. 66t Dette er en dempet svingning, og den vil svinge lenger enn ett seund og passere lievetspuntet flere ganger, så denne bør siftes. (Er direte farlig å jøre med slie støtdempere...) Oppgave 5 Forlar hvorfor y y y y y. Bru dette til å løse differensialligningen y y y x Produtregel på y y gir y y y y y y y y y QED H-P Ulven 4 av 5 r_605_ls.tex
Vi har da: y y x og integrasjon gir da: y y x C Denne er separabel, så vi integrerer igjen: ydy C x y dx C x x D 6 y DCx x (Ligningsform) y DCx x (Funsjonsform) H-P Ulven 5 av 5 r_605_ls.tex