ELEMENTÆR UTLEDNING AV FLUIDMEKANIKKENS GRUNNLIKNINGER

Professor Iver Håkon Brevik ELEMENTÆR UTLEDNING AV FLUIDMEKANIKKENS GRUNNLIKNINGER FOTO: DLR-Archiv Göttingen Institutt for energi- og prosessteknikk Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet

2 Professor Iver Håkon Brevik ved institutt for energi og prosessteknikk på NTNU utarbeidet en håndskrevet versjon av kompendiet i 2010. Året etter ble kompendiet utvidet av samme forfatter. Kompendiet ble digitalisert av Sigbjørn Løland Bore i 2012. I 2016 ble kompendiet revidert av Andreas Øverlie Svela. Elementær utledning av fluidmekanikkens grunnlikninger er underlagt Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License. Versjon 4.5.476 2016-01-29

INNHOLD 3 Innhold Forord 5 1 Grunnlag 7 1.1 Kontinuumsmodellen.................................... 7 1.2 Gauss integrasjonsteorem.................................. 7 1.3 Bevegelseslikningene til et fluid.............................. 8 2 Statikk 9 2.1 Atmosfæren......................................... 9 2.2 Inkompressibelt fluid..................................... 11 3 Konstant akselerasjon 12 3.1 Lineær akselerasjon.................................... 12 3.2 Uniform rotasjon...................................... 13 4 Eulers likning 14 4.1 1-dimensjonal bevegelse................................... 14 4.2 3-dimensjonal bevegelse................................... 14 5 Bernoullis likning 16 5.1 Strømlinjer.......................................... 16 5.2 Bernoullis likning...................................... 16 5.3 Bernoulli fra Eulers likning................................. 17 6 Friksjon, Navier-Stokes likning 19 6.1 Heftbetingelsen (no-slip condition........................... 19 6.2 Navier-Stokes likning................................... 19 7 Konserveringslikninger 22 7.1 Impulsbalansen....................................... 23 7.2 Energibalansen....................................... 23 8 Strømfunksjonen ψ 25 8.1 Sammenhengen mellom ψ og virvling ζ V.................... 25 8.2 Geometrisk betraktning av ψ............................... 25 8.3 Sammenheng mellom ψ og volumfunksjonen Q.................... 26 8.4 Sammenhengen mellom ζ og rotasjonshastigheten ω for et fluidelement...... 27 9 Hastighetspotensialet φ 28 9.1 Ekvipotensiallinjer er ortogonale til strømlinjer.................... 28 10 Potensialstrømning 29 10.1 Uniform strømning..................................... 29 10.2 Singulariteter........................................ 29 11 Det komplekse potensial 34 11.1 Strømning gjennom en åpning.............................. 39

4 INNHOLD 11.2 Strømning omkring en sylinder.............................. 42 11.3 Blasius teorem....................................... 43 11.4 Kutta-Joukowskis teorem.................................. 44 Formelark for eksamen 45

FORORD 5 Forord Hensikten med dette kortfattede kompendiet er å gi en utledning av grunnlikningene i fluidmekanikken uten å benytte et tungt formelapparat. Lærebøkers utledninger vil vanligvis bygge på Reynolds transport-teorem, som i og for seg er en elegant og fullstendig metode, men som kan være noe tøff for en student på andre årstrinn. Grundigere utledninger finnes i for eksempel Frank M. Whites Fluid Mechanics, 7. utg. (McGraw-Hill 2011. Whites bok er en teknologisk bok med vekt på anvendelser. Eksempler på andre bøker skrevet mer spesielt for fysikere, og mer avansert matematisk, er L. D. Landau & E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics (Pengamon 1987; P. K. Kundu & I. M. Cohen, Fluid Mechanics (Elsevier 2004; og B. Lautrup, Physics of Continuous Matter, 2. utg. (2011. Den første utgaven av dette kompendiet kom i 2010. I 2011-utgaven ble noen trykkfeil rettet opp, og kapitlene 8 10 lagt til. I 2012 ble det håndskrevne kompendiet digitalisert, og i 2016 ble kompendiet revidert for å rette opp i språk- og trykkfeil, samt forbedre enkelte forklaringer og den grafiske utformingen. Vi håper kompendiet vil være til hjelp i arbeidet med fluidmekanikken. Lykke til med faget! Trondheim, 29. januar 2016. Iver H. Brevik Andreas Ø. Svela

6 FORORD Om tegnsettingen i kompendiet: Skalare størrelser er angitt i kursiv type, for eksempel a. Vektorer er angitt i fet type, for eksempel a. Enheter er angitt med normal type (roman, for eksempel [g ] = m s 2. Enhetsvektorer (vektorer med lengde 1 er markert med hatt (i tillegg til fet type, for eksempel ˆn, ˆn = 1. For å markere at en størrelse er konstant, benyttes «KONST». Vær oppmerksom på at denne notasjonen kan benyttes flere ganger i samme avsnitt selv om konstanten kan være forskjellig fra likning til likning i det samme avsnittet. Referanser til likninger er markert med parentes, for eksempel likning (3.1. Referanser til figurer er markert uten parentes, for eksempel figur 3.1.

1 GRUNNLAG 7 1 Grunnlag 1.1 Kontinuumsmodellen Et fluid er en fellesbetegnelse på væske (liquid og gass. Teorien bygger på kontinuumshypotesen (eller -modellen, som betyr at en betrakter systemet som et «utsmurt» system, karakterisert ved massetetthet ρ,[ρ] = kg m 3. Hypotesen antas gyldig over et stort skalaområde. De minste systemene fluiddynamikk kan benyttes på er av størrelse noen hundre nanometer (1000nm = 1µm = 1 10 6 m. I andre enden av skalaen kan fluiddynamikken også brukes i astrofysikken: Vår galakse inneholder 200 10 9 stjerner, og det er minst 200 10 9 stjerner i alt. Så i kosmologisk sammenheng er det fullt legitimt å betrakte vår galakse som ett massepunkt! Hastigheten til et fluidelement med volum δv = δxδyδz skal vi kalle V. Dens komponenter kalles (u, v, w. Altså i kartesiske koordinater V = îu + ĵv + ˆkw, hvor ( î, ĵ, ˆk er enhetsvektorene i (x, y, z retning. Generelt er V tidsavhengig, V = V(x, y, z, t eller V(r, t. Strømningen er stasjonær dersom V = V(r. Vi vil ofte trenge nabla-operatoren,. For kartesiske koordinater er den som kjent gitt ved = î x + ĵ y + ˆk z. Dette er en operator, ikke et tall. Ved å ta skalarproduktet av og V får en V = u x + v y + w z. Dette er divergensen til V, en skalar størrelse, altså et tall. Vi trenger også curl til V; curlen er en vektor. Vi skal skrive den slik: V. Komponentene er ( V x = w y v z, ( V y = u z w x, ( V z = v x u y. 1.2 Gauss integrasjonsteorem Betrakt en vilkårlig lukket integrasjonsflate med utoverrettet enhetsnormal ˆn (lengden av ˆn er altså lik ˆn = 1, se figur 1.1. Skalarproduktet av V og ˆn på overflaten A er V ˆn = V cosα. Ved integrasjon av V over volumet V vil i følge Gauss teorem (divergensteoremet VdV = (V ˆndA volum overflate V α V ˆn Figur 1.1: Integrasjonsoverflate.

8 1 GRUNNLAG 1.3 Bevegelseslikningene til et fluid Bevegelseslikningene for et fluid er som for alle andre legemer, Newtons andre lov, F = ma, hvor F er kraften og a er akselerasjonen, med enhetene [F] = N, og [a] = m s 2. I fluidmekanikken er det vanlig å skrive akselerasjonsleddet på venstre side, og dessuten betrakte én masseenhet av fluidet. Altså F f, hvor f er krafttettheten med enhet [f ] = N m 3, mens massen m ρ. Vi får dermed ρa = f. (1.1 Vi vil ta i betraktning følgende tre bidrag til krafttettheten f (med engelske subscripter: (i Trykkraft, f press. Hvis trykket omkring et volumelement er ulikt i forskjellige retninger, vil det resultere i en trykkraft på elementet. (ii Tyngdekraft, f grav. Denne krafttettheten kan skrives f grav = ρg, hvor g = (0,0, g z = (0,0, g med g = 9,81m s 2 er tyngdens akselerasjon og z-aksen regnet konvensjonelt positiv oppover. (iii Viskøs kraft, f visc, fra fluidets viskositet (eller seighet om du vil. Innsatt i likning (1.1 gir dette ρa = f press + f grav + f visc. (1.2 Vi vil komme tilbake til utrykkene for f press og f visc senere. Først skal vi imidlertid behandle tilfellet hydrostatikk, V = 0.

2 STATIKK 9 2 Statikk Betrakt et skiveformet element av et fluid i ro, altså V = 0. Elementet har et tverrsnitt A, høyden er dz, og det befinner seg i atmosfæren der ρ = ρ(z. Figur 2.1 viser en skisse av elementet. Trykket p er en kraft fra omgivelsene på fluidelementet, per enhet av tverrsnittet. Trykket har enhet [p] = N m 2 Pa. Kraft på undersiden er p A, mens kraften på oversiden er (p + dpa. Resulterende kraft p A (p + dpa = A dp i retning oppover må ved likevekt balansere tyngdekraften ρg A dz i retning nedover: A dp = ρg A dz dp = ρg (2.1 dz Dermed er p = p(z, altså er trykket i uavhengig av x og y. Av dette følger en viktig setning i hydrodynamikken: Trykket p er likt i samme horisontale plan (z = KONST, for en og samme væske. Fra likning (2.1 ser en at krafttettheten kan skrives på vektorform som en gradient: Merk at p er en skalar størrelse, ikke en vektor. z f press = p p + dp dz A p Figur 2.1: Skisse av et skiveformet fluidelement. 2.1 Atmosfæren Standardatmosfæren er en fast, ideell atmosfære, som kan tjene som referanse i beregninger. Den gir et rimelig bilde av virkeligheten i de fleste tilfeller. For standardatmosfæren er temperaturen ved havoverflaten definert til t 0 = 15 C, det vil si T 0 = t 0 + 273 = 288K. Av størst interesse er troposfæren, som strekker seg opp til høyden z = 11km. I denne delen av atmosfæren av temperaturen T (z lineært med høyden. Temperaturfallet i troposfæren er omtrent 6,5K km 1, altså kan temperaturen uttrykkes slik: der B = 0,0065K m 1. T (z = T 0 B z, (2.2 Tropopausen ligger i (det tilnærmede knekkpunktet. På oversiden av knekkpunktet ligger standard stratosfære, hvor temperaturen settes lik t s = 66,5 C opp til en høyde cirka z = 20km. Tilstandslikningen i aerodynamikken skrives vanligvis slik: p = ρrt. (2.3

10 2 STATIKK Dette betyr at vi betrakter én masseenhet, med volum 1/ρ. Videre er R den spesifikke gasskonstanten, som i SI-enheter er gitt ved R = 287J K 1 kg 1. Merk at likning (2.3 medfører at Ofte er det nyttig å skrive avsnitt 2.1 p ρt = KONST. p ρt = p 0 ρ 0 T 0, (2.4 der indeks 0 refererer til havoverflaten, z = 0, eller en annen høyde der p,ρ,t er kjente. Trykkvariasjonen p = p (z i stratosfæren finnes ved å bruke likning (2.1 og sette inn for likningene (2.2 og (2.3: dp p = g RT dz = g R(T 0 B z dz. Denne likningen kan nå integreres, slik at ˆp p 0 dp p = g R ˆz 0 dz T 0 B z ln p = g p 0 RB ln T ( T = ln T 0 p ( T 5,26 =. p 0 Ved å benytte likning (2.4, finnes da det tilsvarende tetthetsforholdet T 0 ( ρ T 4,26 =, ρ 0 T 0 skissert sammen med trykkforholdet i figur 2.2b. T 0 g RB 11 z [km] Stratosfæren Tropopausen Troposfæren z [km] 0,23 0,30 11 ρ ρ 0 p p 0 0,5 1,0 56,5 15 t 0 [ C] (a Graf over hvordan temperaturen varierer med høyde i de ulike lagene av atmosfæren. (b Graf over hvordan trykket og tettheten varierer med høyde i troposfæren. Figur 2.2: Standardatmosfærens temperatur, trykk og tetthet.

2 STATIKK 11 2.2 Inkompressibelt fluid Med et inkompressibelt fluid menes et fluid med konstant volum uavhengig av ytre trykk, altså der ρ = KONST. Væsker vil ved normalt trykk stort sett regnes som inkompressible, mens gasser som oftest er kompressible, da volumet avhenger av trykket. Når en har inkompressible fluider innføres ofte den spesifikke tyngden med symbolet γ og [γ] = Pa m 1 : γ = ρg = KONST. Likning (2.1 gir som ved integrasjon gir dp dz = γ, p 2 p 1 = γ(z 2 z 1.

12 3 KONSTANT AKSELERASJON 3 Konstant akselerasjon Ved konstant akselerasjon kan en ofte behandle problemene enkelt ved bruk av hydrostatikk. 3.1 Lineær akselerasjon Betrakt vognen i figur 3.1. Bevegelseslikning sett fra lab-systemet er ρa = p + ρg. Ved å dele på ρ og flytte akselerasjonsleddet over til høyre får en 0 = 1 p + g a. (3.1 ρ Betrakter så denne likningen slik: Ettersom likning (3.1 er bevegelseslikningen i det medfølgende koordinatsystem altså i et referansesystem der forholdene er statiske er det riktig at venstre side av likning (3.1 (akselerasjonsleddet er lik null. På høyre side opptrer de kjente kreftene ( p/ρ per masseenhet fra trykk, og gravitasjonskraften g. Siste ledd a i likning (3.1 er imidlertid en ny, fiktiv kraft, forårsaket av akselerasjonen. Likning (3.1 kan integreres ved å benytte sammenhengene i likningene: ρ = KONST = 1 ( p ρ p = ; ρ samt ved likning (3.1, får en at z = ˆk = g = g z = ( g z ; x = î = a = a x î = a x x = (xa x ; ( p 0 = ( g z (xa x. ρ Ettersom derivasjon er en lineær operator kan nabla trekkes på utsiden: ( p 0 = ρ + g z + xa x, som ved integrasjon gir p ρ + g z + xa x = KONST = C. (3.2 Verdien av konstanten C vil avhenge av problemet. Hvis origo legges som i figur 3.1, har en randbetingelsene p = p 0 for x = z = 0, som innsatt i likning (3.2 gir C = p 0 /ρ. Fra likning (3.2 har en da at for isobarer, p = KONST, gjelder g z + xa x = KONST. z p 0 ρ x a x Figur 3.1: Illustrasjon av en vogn som inneholder væske av tetthet ρ og utsettes for uniform akselerasjon a x i x-retning.

3 KONSTANT AKSELERASJON 13 3.2 Uniform rotasjon Betrakter fluidet i figur 3.2 i det medfølgende, roterende system, der ê r ˆr er enhetsvektoren radielt utover. Sentrifugalkraften per masseenhet er r Ω 2 ê r. Ettersom akselerasjonen av fluidet i det roterende system er null, blir bevegelseslikningen Integrerer deretter likning (3.3: Som før er 1 ρ = fiktiv kraft 0 = 1 {}}{ ρ p + g + r Ω 2 ê r. (3.3 }{{} som før ( p ρ, og g = (g z. Da r 2 = 2r ê r, blir r ê r = 1 2 r 2, altså r Ω 2 ê r = 1 2 Ω2 r 2 = ( 1 2 r 2 Ω 2. Da blir likning (3.3 ( ( p 1 0 = (g z + ρ 2 r 2 Ω 2 ( p = 0 = ρ + g z 1 2 r 2 Ω 2 som gir p ρ + g z 1 2 r 2 Ω 2 = KONST = C. Hvis p = p 0 ved z = r = 0 som i figur 3.2, blir C = p 0 /ρ. Isobarene, p = KONST, er gitt ved g z 1 2 r 2 Ω 2 = KONST, eller z = 1 2g r 2 Ω 2 + KONST. p 0 z Ω r R Figur 3.2: Illustrasjon av et uniformt roterende kar med radius R, vinkelfrekvens Ω og et atmosfæretrykk p 0. Avstanden fra rotasjonsaksen er angitt med symbolet r.

14 4 EULERS LIKNING 4 Eulers likning Vi skal nå se på de sentrale bevegelseslikningene, med utgangspunkt i lab-systemet. Den første av dem er Eulers likning, som forutsetter at fluidets viskositet er neglisjerbart, a visc = 0. Vi setter opp Vi ønsker å uttrykke a ved den deriverte av V. Generelt er 4.1 1-dimensjonal bevegelse a = a press + a grav + a visc = 1 p + g + 0. (4.1 ρ V a = lim t 0 t. (4.2 Se først på det enkle tilfellet i figur 4.1, der fluidet beveger seg langs x-aksen. Fluidhastigheten V har kun x-komponent, dermed er V = u î. I punkt A er u A = u (t, x, mens hastigheten i punkt B er u B = u (t + t, x + x. Hastighetsforskjellen er dermed u = u B u A = u (t + t, x + x u (t, x. Tar grensen t dt, x dx og taylorutvikler til første orden: u (t + dt, x + dx = u (t, x + dt u t = u du = dt u u + dx t x + dx u x Divider så med dt, benytter du/dt = a x (likning (4.2 og dx/dt = u. Dette gir a x = u t + u u x. 4.2 3-dimensjonal bevegelse Anta nå at hastighetskomponenten u er avhengig av alle tre koordinatene x, y og z i tillegg til tiden: u = u ( t, x, y, z. Utvikler til første orden slik som før: u ( t + dt, x + dx, y + dy, z + dz = u ( t, x, y, z + dt u t = du = dt u t Divider med dt og benytter u/ t = a x, samt u u u + dx + dy + dz x y z. u u u + dx + dy + dz x y z, som gir at V = u î + v ĵ + w ˆk = x t î + y t ĵ + z ˆk, t a x = u t + u u x + v u y + w u z. A u A B u B x-akse Figur 4.1: Illustrasjon av 1-dimensjonal bevegelse ved punktene A og B, med hastighetene u A og u B oppgitt.

4 EULERS LIKNING 15 Det samme resonnementet gjelder for alle de tre komponentene, og dermed kan u erstattes med den fulle hastighet V: a = V t + u V x + v V y + w V z. Dette er det generelle utrykk for a. Det kan skrives på mer kompakt form ved å utnytte nablaoperatoren,. Produktet V = ( îu + ĵv + ˆkw ( î x + ĵ y + ˆk z = u x + v y + w z. V er en operator. Hvis operatoren anvendes på vektoren V, får en (V V = u V x + v V y + w V z. Dette er jo det samme som de tre siste leddene i avsnitt 4.2. Altså kan avsnitt 4.2 også skrives på den mer kompakte formen a = V + (V V. t Akselerasjonsvektoren kan deles opp i to bidrag a = a local + a conv, der a local = V/ t er den lokale hastighetsendringen i en fast posisjon x, y og z, mens a conv = (V V er den konvektive hastighetsendringen ved at fluidet beveger seg fra punkt A til B. Likning (4.1 blir da Dette er Eulers likning, med følgende forutsetninger: null (neglisjerbar viskositet; V t + (V V = 1 p + g (4.3 ρ ellers ingen spesielle begrensninger. Altså tillater likningen kompressibelt fluid (og er derfor nyttig for gasser. Det er heller intet krav til V.

16 5 BERNOULLIS LIKNING 5 Bernoullis likning Et av de mest nyttige teoremene i hydrodynamikken ble oppdaget av Daniel Bernoulli i 1738. Bernoullis likning uttrykker energibalanse for en ikke-viskøs væske. Vi trenger først å definere begrepet strømlinjer. 5.1 Strømlinjer Vi antar stasjonær strømning. En strømlinje er definert ved at dens tangent har samme retning som fluidets hastighet i punktet. Strømlinjens deriverte er lik dy/dx. Det er det samme som forholdet v/u mellom hastighetskomponentene. Altså dy dx = v (5.1 u Hvis u = u(x, y og v = v(x, y er kjente funksjoner, kan strømlinjebildet y = y(x finnes av likning (5.1 ved integrasjon. For en stasjonær strømning er strømlinjene det samme som banelinjene (path lines. Banelinjer er de baner som fluidpartiklene følger. 5.2 Bernoullis likning En enkel utledning er som følger: Vi betrakter strømningsrøret i figur 5.2. Trykkraften på elementets venstre side er p A, og på høyre side ( p + dp A (endringen i A fra venstre til høyre side er neglisjerbar. Netto trykkraft i strømrørets lengderetning er altså A dp, som ifølge Newtons andre lov må være lik massen ρ A dl av elementet multiplisert med akselerasjonen dv /dt: A dp = ρ A dl V t = dp dv = dl ρ dt = V dv Integrasjon langs strømlinjen, og antakelse om ρ konstant (altså inkompressibelt fluid gir p ρ + 1 2 V 2 = KONST. (5.2 Konstanten kan ha forskjellig verdi fra strømlinje til strømlinje. Likning (5.2 skrives ofte Hvis tyngdekrefter inkluderes, får en p + 1 2 ρv 2 = KONST. p + 1 2 ρv 2 + ρg z = KONST, V strømlinje dl dy p p + d p dx Figur 5.1: Strømlinje i 2 dimensjoner, x og y. Figur 5.2: Tynt strømningsrør med tverrsnitt A, hvor fluidelementets hastighet er V. V

5 BERNOULLIS LIKNING 17 som er Bernoullis likning. Utgangspunktet for Bernoullis likning er altså kraftbalanse og deretter integrasjon, med andre ord er den et uttrykk for energibalanse langs strømlinjer. Forutsetningene for Bernoullis likning er: inkompressibelt fluid; ikke-viskøst (taps-fritt fluid; stasjonært hastighetsfelt ( V/ t = 0; gjelder langs strømlinje; men dersom strømningen er curl-fri, V = 0, gjelder Bernoulli mellom vilkårlige punkter, som vises i neste avsnitt. 5.3 Bernoulli fra Eulers likning Ved stasjonær strømning, V/ t = 0, blir Eulers likning (4.3 (V V = 1 p + g. ρ Med antakelse om inkompressibelt fluid er ( p/ρ = (p/ρ. Som tidligere er også g = ( g z. Benytter en vektoridentitet fra matematikken: der ζ er virvlingen (vorticity Kan nå skrive Eulers likning som ( 1 (V V = 2 V 2 V ζ, ( 1 2 V 2 V ζ = ζ V. (5.3 ( p ρ ( g z. Deriverer langs strømlinjen: Bidraget fra V ζ blir null, fordi dette kryssproduktet er ortogonalt til strømlinjen. Dermed står en igjen med som ved integrasjon langs strømlinjen gir ( 1 d 2 V 2 = d ( p ρ g dz, 1 2 V 2 + p ρ + g z = KONST Altså har vi kommet frem til samme resultat som i forrige avsnitt. Her skal vi nevne et viktig spesialtilfelle: ved curl-fri strømning, altså virvling ζ = 0 V = 0. I dette tilfellet er det likegyldig om vi betrakter en strømlinje eller ikke ettersom bidraget fra leddet ζ = 0 simpelthen blir null. Derfor, for curl-fri strømning gjelder Bernoulli mellom to vilkårlige punkter.

18 5 BERNOULLIS LIKNING Eksempel 5.1: Virvel med delt forskrift Gitt en 2-dimensjonal strømning i horisontalplanet, som vist i figur 5.3, skal vi finne p(r. Benytter plane polarkoordinater r og θ. Strømningen består av to deler, et indre og et ytre område: { r ω, r r0 V θ = (5.4 A/r, r > r 0 der ω, A er konstanter. Strømningen i det ytre området (r > r 0 kalles en naturlig virvel. Vi bestemmer først konstanten A ved at V θ må være kontinuerlig ved r = r 0 : r 0 ω = A r 0 = A = r 2 0 ω Virvling er som vanlig gitt ved likning (5.3. Her vil virvlingen kun ha z-komponent, generelt i sylinderkoordinater gitt ved ζ z = ( V z = 1 r r (r V θ 1 r V r θ. I dette tilfellet, med V r = 0 og V θ som i likning (5.4, har en da følgende ζ z = { 1 r 1 r r r ( r 2 ω = 2ω, r < r 0 ( r A r = 0, r > r0. Altså diskontinuerlig virvling ved r = r 0. Dette er fullt mulig, i motsetning til trykket som alltid må være kontinuerlig. Starter med Bernoulli i det ytre området. Velger r = som referansepunkt. For r > r 0 kan vi skrive direkte: p (r + 1 2 ρv 2 θ (r = p +V 2 θ }{{ ( = p (r > r 0 = p 1 } 2 ρ r 0 4ω2 r 2 0 For r r 0 må vi benytte Eulers likning: V 2 θ r = 1 ρ p r. Innsetting av V θ = r ω, samt integrasjon med hensyn på r gir p (r = (1/2ρr 2 ω 2 +C. Trykket er kontinuerlig ved r = r 0, dermed 1 2 ρr 2 0 ω2 +C = p 1 2 ρ r 4 0 ω2 r 2 0 = C = p ρr 2 0 ω2 p(r r 0 = 1 2 ρω2 (r 2 r 2 0 + p z p(r ω r 0 V θ r Figur 5.3: Indre område av strømning i horisontalplanet. r 0 Figur 5.4: Grafer over p(r.

6 FRIKSJON, NAVIER-STOKES LIKNING 19 6 Friksjon, Navier-Stokes likning Friksjon kalles i fluidmekanikken for viskositet (viscosity. Et utgangspunkt for å diskutere effekten er ved å se på den såkalte Couette-strømningen, illustrert i figur 6.1. Jo seigere væsken er, jo større kraft må en utøve på øvre flate for å opprettholde hastighet V. Betrakt et vilkårlig, horisontalt snitt A A i væsken: Væsken på oversiden beveger seg litt fortere enn på undersiden. På A A virker derfor en horisontal kraft i motsatt retning av bevegelsen. Kraft per flateenhet kalles skjærspenning (shear stress, med standardsymbolet τ og benevning lik som for trykk, nemlig [τ] = N m 2 = Pa. Skjærspenningen blir større for økende verdier av hastighetsgradienten du/dy, ettersom større hastighetsgradient gir større relativ glidningshastighet. Enkleste mulighet er å anta at τ og du/dy er proporsjonale: τ = µ du dy. Dette er Newtons friksjonslov. Konstanten µ, den dynamiske viskositet, har dimensjon [µ] = Pa s. 6.1 Heftbetingelsen (no-slip condition Ved en fast overflate er væskens hastighet i forhold til overflaten lik null. Ved nedre overflate altså u (0 = 0; ved øvre flate hvor y = h er u (h = V. En fri overflate er ikke i stand til å oppta skjærspenninger, altså τ = µ du overflate dy = 0. overflate 6.2 Navier-Stokes likning Vi betrakter det mer generelle tilfellet hvor en viskøs væske er i vilkårlig bevegelse. Anta 2- dimensjonal strømning som før. Notasjonen er generell: τ x y er kraften i x-retning når sidens normalvektor peker i y-retning, osv. La et lite element ha volum δv = δxδyδz og la punktet O med koordinatene x, y ligge i venstre nedre hjørne, som illustrert i figur 6.2. Horisontal kraft mot høyre på elementets øvre kant er τ x y ( y + δy δxδz, hvor δz er utstrekningen inn i planet. Denne kraften virker mot høyre (som på figurens overside dersom τ x y er positiv. Tilsvarende er horisontal kraft mot venstre på elementets nedre kant τ x y ( y δxδz. Resulterende kraft på elementet i x-retning er altså: f visc,x δv = τ x y ( y + δy δxδz τx y ( y δxδz. y V u(y τ x y τ y x = τ x y A Figur 6.1: 2-dimensjonal strømning mellom to plater. Nedre plate ligger i ro, mens øvre plate beveger seg med konstant hastighet V i x-retningen. I mellomplanet er horisontal fluidhastighet u = u(y. A x τ y x O δy δx τ x y τ y x Figur 6.2: Fluidelement med volum δv = δxδyδz og skjærspenninger tegnet inn.

20 6 FRIKSJON, NAVIER-STOKES LIKNING Første ordens Taylorutvikling av τ x y : Avsnitt 6 tilsvarer i denne notasjonen τ x y ( y + δy = τx y ( y + τ x y y δy = f visc,x δv = τ x y y δv. = τ x y y τ x y = µ u y, = µ 2 u y 2 = f visc,x. (6.1 Dette kan generaliseres: Den viskøse krafttettheten f visc er på formen f visc = µrv, Hvor operatoren R er rotasjonsinvariant, det vil si uavhengig av orienteringen til aksene x, y og z. Fra likning (6.1 ser vi at den naturlige utvidelsen av 2 / y 2 er 2 y 2 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 2. Altså generelt er f visc = µ 2 V Alle ledd i den generelle bevegelseslikning (1.2 er nå kjent: ( V ρ + (V V = p + ρg + µ 2 V, t eller V t + (V V = 1 ρ p + g + ν 2 V Dette er Navier-Stokes likning, der ν µ/ρ er den kinematiske viskositet, [ν] = m 2 s 1. Legg merke til at det er den greske bokstaven ny som brukes for den kinematiske viskositeten. Den er ikke lik en vanlig enkelt-v, v, som gjerne beskriver hastighetskomponent i y-retning, altså ν v. Forutsetninger for N-S-likning: µ er konstant (newtonsk væske; ρ er konstant (inkompressibel væske; men stiller intet krav til V. Det mer generelle tilfellet med kompressibel væske behandles for eksempel i Landau-Lifshitz: Fluid Mechanics.

6 FRIKSJON, NAVIER-STOKES LIKNING 21 Eksempel 6.1: Væskefilm på skråplan Skal finne væskefilmens hastighet u. Filmens tykkelse er h. Aksene er som vist i figur 6.3, med x-akse langs skråplanet. Antar stasjonære forhold.strømningen opprettholdes av tyngden alene. Trykket p må derfor være uavhengig av x-posisjon, ettersom fluidet drives av gravitasjon alene (intet ytre trykk, altså p = p(y. Farten u er likedan, altså u = u(y. Ingen akselerasjon, a = 0. Setter atmosfæretrykket p 0 = 0. N-S, x-retning: N-S, y-retning: 0 = 1 ρ p +g x + ν 2 u. x }{{} =0, trykket uavhengig av x 0 = 1 p ρ y + g y + ν }{{} 2 v. Her er g x = g sinα, g y = g cosα og 2 u = d 2 u/dy 2. Altså =0, ettersom v = 0 N-S, x-retning: 0 = g sinα + ν d2 u dy 2 (6.2 N-S, y-retning: 0 = 1 p g cosα. ρ y (6.3 Av likning (6.3 er p = ρg y cosα +C 1, og da p = p 0 = 0 for y = h kan C 1 bestemmes, slik at ( p = ρg h 1 y cosα. h Av likning (6.2 er d 2 u/dy 2 = g /νsinα. Integrasjon gir = du dy = g y ν sinα +C 2. Da τ = µ u = 0 følger C 2 = g h/νsinα. Ny integrasjon og innsetting av C 1 gir y=h y u = 0 for y = 0 gir C 3 = 0, og dermed u = g y 2ν sinα + g h ν y sinα +C 3. u = g h ( ν y 1 y sinα. 2h g z h y x p 0 = 0 u g g sinα g cosα α α Figur 6.3: Væskefilm med konstant tykkelse h som renner nedover et skråplan med vinkel α.

22 7 KONSERVERINGSLIKNINGER 7 Konserveringslikninger Betrakt et vilkårlig volum V med overflate A, slik som i figur 7.1. La ˆn være enhetsnormal utover ( ˆn = 1. Strømtettheten (også kalt masseflukstettheten eller impulstettheten, tenk over hvorfor? 1 er ṁ = ρv og har benevning [ṁ] = kg s 1 m 2 Masse per tidsenhet gjennom overflateelementet da er ρv cosα = ρv ˆn. Anta at V har en INN-seksjon og en UT-seksjon slik som i figur 7.2. Da er ˆ massefluks inn: ṁ INN = massefluks ut: ṁ UT = ˆ UT INN ρv ˆndA, ρv ˆndA. Netto massetilførsel til volumet: ṁ INN ṁ UT = ˆ ρv ˆndA ˆ ρv ˆndA INN UT = ρv ˆndA = ˆ (ρv dv. Økningen i masse kan alternativt skrives som ρ/ t dv. Altså ˆ [ ρ t + (ρv ] dv = 0 Da V er vilkårlig, må integranden være null: ρ t + (ρv = 0 (7.1 Dette er kontinuitetslikningen på differensiell form. For inkompressibelt fluid, ρ konstant, gir likning (7.1 at V = 0 Vi tester altså for inkompressibilitet simpelthen ved å regne ut V. V V α ˆn ˆn V ut ˆn Figur 7.1: Integrasjonsoverflaten A på et volum V. Normalvektoren ˆn, samt vinkelen α er tegnet inn. inn Figur 7.2: Volum med inn- og utseksjon. 1 Forklaring (ikke les meg før du har tenkt selv: Masseflukstetthet forteller hvor mye masse som strømmer (fluks: altså flytter seg per tid over et gitt tverrsnitt (derav tetthet. Altså trengs enhetene kg, s 1 og m 2. Impulstetthet: impuls kalles også bevegelsesmengde og er som kjent masse ganger hastighet. Dermed forteller impulstettheten hvor stor tettheten er av impuls i gitt volum, altså trengs enhetene kg, m s 1 og m 3.

7 KONSERVERINGSLIKNINGER 23 7.1 Impulsbalansen Betrakt en stasjonær, inkompressibel strømning. Vi skriver summen av alle kreftene som virker på fluidet inne i kontrollvolumet (CV på formen F. Da impulsen til vannet (fluidet inne i CV ikke endres med tiden ettersom strømmen er stasjonær, må F være lik impulsfluksen Ṁ UT av vannet ut av CV, minus impulsfluksen Ṁ INN inn i CV. Impulstetthet (eller masseflukstetthet osv. er ρv. Impulsflukstetthet er ρv 2. Impulsflukstetthet langs normalen ˆn er ρv 2 cosα = ρv (V ˆn, eller på fullverdig vektorform: ρv(v ˆn. Den totale impulsfluks ut dermed Ṁ UT = UT ρv(v ˆn da. Tilsvarende defineres impulsfluks inn: Ṁ INN = ρv(v ˆn da. INN Impulsbalansen blir dermed Fpå fluidet = Ṁ UT Ṁ INN. V CV V inn ut Figur 7.3: Kontrollvolum med strømning gjennom. 7.2 Energibalansen Stasjonær, inkompressibel strømning som ovenfor. Starter med Bernoulli: p 1 ρ + 1 2 V 2 1 + g z 1 = p 2 ρ + 1 2 V 2 2 + g z 2. (7.2 Bernoulli forutsetter intet arbeid og intet tap, men likning (7.2 kan generaliseres: La w s være nyttig arbeid (shaft work per masseenhet, og skriv friksjonstapet som g h f, derh f kalles friksjonshøyden (head loss. Da blir energibalansen p 1 ρ + 1 2 V 2 1 + g z 1 = p 2 ρ + 1 2 V 2 2 + g z 2 + w s + g h f, ettersom noe av fluidets energi ved punkt 1 går med til friksjonstap og nyttig arbeid før fluidet kommer til punkt 2.

24 7 KONSERVERINGSLIKNINGER Eksempel 7.1: Strømning mellom to åpne basseng a Energilikning 1 2, ved fri strømning mellom bassengene: p 1 ρ + 1 2 V 1 2 p 2 +g z 1 = }{{} ρ + 1 2 V 2 2 +g z 2 + w s +g h }{{} f }{{} =0 0 0 = h f = z 1 z 2 = 40m Friksjonshøyde er altså lik geometrisk høydeforskjell. Merk: Energitap per masseenhet: g h f Energitap per volumenhet: ρg h f Energitap per tidsenhet: ρg h f Q b Anta at samme vannmengde pumpes opp fra 2 til 1. Hva er pumpeeffekten? Energilikning 2 1: p 2 ρ + 1 2 V 2 2 + g z 2 = p 1 ρ + 1 2 V 2 1 + g z 1 + w s + g h f. = w s = g (z 1 z 2 + g h f. Neglisjerer tap i pumpen = h f = 80m som før selv om strømningen er reversert. Gir at: w s g = 40m + 40m = 80m. = Pumpeeffekt P = ρ ( w s Q = 10 3 10 80 0,1W = 80kW 1 z 1 z 2 = 40m Q = 0,1m 3 s 1 2 Figur 7.4: To åpne basseng tilknyttet hverandre med et rør. Volumstrømmen Q og høydeforskjellen z 1 z 2 er gitt.

8 STRØMFUNKSJONEN ψ 25 8 Strømfunksjonen ψ De vektorielle grunnlikningene Euler og Navier-Stokes kan være vanskelige å løse. Derfor ønsker vi å finne skalare likninger som kan benyttes i stedet for vektorlikningene, dersom det er mulig. Til dette brukes de to skalare funksjonene: strømfunksjonen ψ og hastighetspotensialet φ. Vi skal i dette kapitlet betrakte ψ. Anta at strømningen er todimensjonal og stasjonær. I kartesiske koordinater altså, ψ = ψ ( x, y. Anta videre at strømningen er inkompressibel, V = 0 (Vanligvis vil ψ bli benyttet bare i slike tilfeller. Med V = (u, v, vil hastighetskomponentene u og v være gitt som u = ψ y (8.1a v = ψ x (8.1b Disse uttrykkene definerer strømfunksjonen 2 ψ i kartesiske koordinater. Merk at ψ ikke er entydig bestemt: En kan ha ψ ψ + KONST uten at det har innvirkning på u og v. Likningene (8.1 oppfyller kontinuitetslikningen automatisk ved definisjonen: V = u x + v y = ψ x y ψ y x = 0. 8.1 Sammenhengen mellom ψ og virvling ζ V Av interesse er ζ z, komponenten av ζ vinkelrett på bevegelsesplanet. Regner ut ζ z = ( V z = v x u y = 2 ψ x 2 2 ψ y 2 = 2 ψ Altså 2 ψ = ζ z (8.2 i kartesiske koordinater. Dette er altså ikke en vektorlikning og dermed ikke gyldig i alle koordinatsystemer. Den gjelder blant annet i kartesiske og planpolare koordinater, men ikke i aksialsymmetriske koordinater. 8.2 Geometrisk betraktning av ψ Betrakt en kurve som i figur 8.1 hvor strømfunksjonen ψ ( x, y er konstant, det vil si dψ = 0 langs kurven. Dermed er dψ = ψ ψ dx + dy = 0, x y og videre dy dx = ψ/ x ψ ψ/ y = v u ifølge likning (8.1. Men v/u er jo det samme som vinkelkoeffisientene dx/dy for strømlinjer, se likning (5.1. Altså: ψ = KONST langs en strømlinje i stasjonær strømning. 2 Matematisk sidebenevning: Definisjonslikningene (8.1 betyr at en innfører det såkalte vektorpotensial, vanligvis kalt A. Her er A = ( A x, A y, A z = ( 0,0,ψ. Hastigheten følger som V = A.

26 8 STRØMFUNKSJONEN ψ dq ψ = KONST ds θ dy θ dy ˆn Figur 8.1: Kurve til strømfunksjonen ψ. Figur 8.2: Differensielt linjeelement og differensiell volumstrøm. 8.3 Sammenheng mellom ψ og volumfunksjonen Q Betrakt et linjeelement ds på en vilkårlig linje. Hastighetsvektoren V = îu + ĵv, hvor î og ĵ er enhetsvektorer i x- og y-retning. Av figur 8.2 er Normalvektor ˆn til linjeelementet er dx = ds cosθ, dy = ds sinθ. ˆn = îsinθ ĵcosθ. Det infinitesimale volumstrømelementet dq gjennom ds er dq = V ˆn ds, det vil si dq = ( îu + ĵv ( îsinθ ĵcosθ ds = u sinθ }{{ ds } v cosθ }{{ ds } dy dx = ψ x ψ dx + dy = dψ y Det betyr at volumstrømmen Q 12 mellom to strømlinjer 1 og 2 er se eksempelet i figur 8.3. Q 12 = ˆ2 1 V ˆnds = ˆ2 1 dψ = ψ 2 ψ 1, Med plane polarkoordinater (r,θ blir definisjonslikningene slik: V r = 1 r ψ θ, V θ = ψ r Som for kartesiske koordinater oppfylles kontinuitetsbetingelsen automatisk: V = 1 r r (r V r + 1 r Også i disse koordinatene oppfylles likningen 2 ψ = ζ z, V θ θ = 0. slik som i likning (8.2. Altså: Strømfunksjonen kan anvendes også for viskøs strømning. Ofte er det nyttig i praksis. Vi kan for eksempel benytte strømfunksjonen til å beskrive hastighetsprofilet i en elv når en tar hensyn til virvling. På denne måten er strømfunksjonen mer anvendelig enn hastighetspotensialet som introduseres i neste kapittel.

8 STRØMFUNKSJONEN ψ 27 Luft Q ψ B Vinge ψ A Q = ψ B ψ A Figur 8.3: Eksempel: Luftstrømning rundt overflaten av en flyvinge. 8.4 Sammenhengen mellom ζ og rotasjonshastigheten ω for et fluidelement Anta at et fluidelement roterer med konstant vinkelhastighet ω om origo. Elementets hastighet V = ω r, der r = x î + y ĵ + z ˆk. Ta curl til dette uttrykket: V = (ω r = ω }{{} r r }{{ ω } +(r ω (ω r }{{} =( =0 =0 med ( = r = x x + y y + z z = 3. Anta at rotasjonen foregår om z-aksen. Tar z-komponenten av likningen, finner altså ζ z Vinkelhastigheten er dermed gitt ved [ (ω r] z = 3ω z ω z z z = 3ω z ω z = 2ω z. ω z = 1 2 ζ z = 1 2 ( V z.

28 9 HASTIGHETSPOTENSIALET φ 9 Hastighetspotensialet φ Vi forutsetter igjen 2-dimensjonal, stasjonær strømning. I kartesiske koordinater er altså φ = φ ( x, y. Anta at strømningen er curl-fri, V = 0. (9.1 I følge matematikken vil det da være mulig å definere et potensiale φ for vektorfeltet V slik V = φ. Dette kan vises enkelt ved å ta utgangspunkt i at curl til en gradient alltid er null ( ( a 0 for enhver a. Dermed overholdes likning (9.1 for enhver φ. Kurver φ = KONST kalles ekvipotensialkurver. De er nivåflater, på samme måte som gravitasjonspotensialet φ grav = g z er en nivåflate. Vi bruker φ bare i tilfeller hvor viskositeten er null (neglisjerbar. Hvis µ 0 vil det med én gang oppstå virvling. 9.1 Ekvipotensiallinjer er ortogonale til strømlinjer Anta ρ konstant. Langs en linje φ = KONST er dφ = 0, som gir at φ x For en strømlinje ψ = KONST har vi fra før Kombinasjonen av likningene (9.2 og (9.3 gir Med andre ord er kurveskalarene ortogonale. φ dx + dy = 0, y = dy = φ/ x dx φ φ/ y = u v. (9.2 dy = u dx ψ v. (9.3 dy dy = 1. dx φ dx ψ φ φ ψ ψ φ φ Figur 9.1: Strømningfunksjonen og hastighetspotensial rundt et elliptisk objekt.

10 POTENSIALSTRØMNING 29 10 Potensialstrømning Anta et fluid som er todimensjonalt, stasjonært, og ikke-viskøst. Teorien forutsetter: (i rotasjonsfritt (curl-fritt fluid, V = 0; og (ii inkompressibelt fluid, V = 0. En kan nå starte fra (i, som gjør at det er mulig å innføre φ via V = φ (hvorfor? 3. Da vil (ii føre til V = 2 φ = 0. Altså gjelder Laplaces likning: 2 φ = 0. (10.1 Alternativt kan en starte fra (ii, som gjør det mulig å innføre ψ via u = ψ/ y, v = ψ/ x. Ettersom 2 ψ = ζ z, vil dette medføre Laplaces likning igjen, men denne gangen i ψ: 2 ψ = 0. (10.2 Merk at likning (10.2, så vel som likning (10.1, hviler på både (i og (ii. 10.1 Uniform strømning En uniform strømning er en strømning der hastigheten er konstant, slik som figur 10.1 viser. Likningene som beskriver en uniform strømning med hastighet U er φ = Ux, ψ = U y. U Figur 10.1: Uniform strømning med hastighet U. 10.2 Singulariteter Vi skal se på 2-dimensjonal strømning. I enkelte punkter kan potensialene og/eller de fysiske størrelsene divergere. Dette kaller vi singulariteter. 10.2.1 Linjekilde/-sluk i origo Singularitet plassert i origo som i figur 10.2. Kilden (et tynt rør plassert i z-aksen. Ser bare på én lengdeenhet i z-retning. Radiell hastighet er V r = m r der { m > 0 kilde m < 0 sluk, (10.3 der symbolet m ikke er masse, men kalles styrken til linjekilden/-sluket og har enhet [m] = m 2 s 1. 3 Forklaring: Vet fra matematikken at det finnes et potensial for ethvert vektorfelt med curl lik null.

30 10 POTENSIALSTRØMNING ψ y ψ φ y φ ψ ψ φ x φ ψ φ x Figur 10.2: Figuren viser strømning- og hastighetspotensialet rundt en linjekilde. Figur 10.3: Figuren viser strømnings- og hastighetspotensialet rundt en linjevirvel, med postiv virvelstyrke k. Hvis Q er volumstrøm ut fra kilden per lengdeenhet i z-retning, er V r = Q/(2πr. Ved integrasjon av likningene V r = 1 r ψ θ = φ r = m r, V θ = ψ r = 1 r φ θ, finnes ψ = mθ, φ = m lnr. Dermed kan hastighetskomponentene i x- og y-retning beregnes: u = V r cosθ = m x r 2 = v = V r sinθ = m y r 2 = mx x 2 + y 2, my x 2 + y 2. 10.2.2 Linjevirvel i origo Asimutal hastighet V θ = K /r. Av V r = 1 r ψ θ = φ r = 0, V θ = ψ r = 1 r φ θ, finnes ψ = K lnr, φ = K θ. I tillegg kan henholdsvis virvling og sirkulasjon regnes ut: ζ z = 1 (r V θ 1 V r r r r θ = 0 ˆ2π Γ = V ds = V r r dθ = V θ 2πr = 2πK. Virvelen er en fri virvel ettersom ζ z = 0. 0

10 POTENSIALSTRØMNING 31 10.2.3 Dublett/dipol Anta en kilde av styrke +m i ( a,0 og et sluk av styrke m i (a,0, slik som i figur 10.4. La a 0 og m slik at hjelpestørrelsen kalt dipolmomentet λ = 2am holdes konstant. Fra det generelle uttrykket for en kilde φ kilde = m lnr, finnes for dipolen at φ = m lnr 1 m lnr 2 = m ln(r 1 /r 2. Videre behandler vi tilfellet approksimativt: Fra figur 10.4 er som medfører at r 1 r 2 2a cosθ ( φ = m ln 1 + 2a cosθ m 2a r r cosθ, der den siste tilnærmingen kommer av ln(1 + x x for små x (i vårt tilfelle er det a 0. Ved å sette inn λ = 2am får en at for dipolen. φ = λ cosθ (10.4 r For å finne strømfunksjonen for dubletten tar vi utgangspunkt i det generelle uttrykket ψ kilde = mθ. Ved å legge sammen for kilde og sluk får en at ψ = m (θ 1 θ 2. Som vist i figur 10.4 er θ = θ 2 θ 1 = (2a sinθ/r der r 1 r 2 r fordi r 1,r 2 a. Altså Ved igjen å sette inn λ = 2am får en at ψ = 2am r sin θ. (10.5 ψ = λ r sinθ. Hastighetskomponentene kan finnes for eksempel ved derivasjon av φ: V r = φ r = λ r 2 cosθ, V θ = 1 r φ θ = λ r 2 sinθ. r 1 (x, y θ φ + r 1 r 2 θ 1 2a θ r θ 2 r 2 ψ Figur 10.4: Geometrisk skisse av en dipol bestående av kilde og sluk. Figur 10.5: Hastighets- og strømpotensialet rundt en dipol plassert i origo.

32 10 POTENSIALSTRØMNING Eksempel 10.1: Superposisjon av uniform strømning, dublett og virvel Legger sammen strømfunksjonene for komponentene, ψ uniform = U y = Ur sinθ, ψ dipol = λ r sinθ, ψ virvel = K lnr, og får dermed ( ψ = Ur λ sinθ K lnr. r Innfører en lengde a (en hjelpestørrelse som viser seg å ha en fysisk tolkning og benytter deretter hjelpestørrelsen λ = Ua 2. Dessuten legges en konstant C = ln a til siste ledd slik at K lnr K ln(r /a (dette kan gjøres siden ψ etter definisjonen ikke avhenger av eventuelle konstanter. Dette gir ψ = U (r a2 sinθ K ln r r a En ser at ψ = 0 når r = a, det vil si at vi kan tolke r = a som en sylinderoverflate for en sylinder med radius a og sentrum i origo. På overflaten r = a må da V r (a,θ = 0. Finner V r og setter inn: Videre er på overflaten altså V r = 1 r ψ θ = U (1 a2 r 2 V θ = ψ r = U cosθ = V r (r = a = 0. (1 + a2 r 2 sinθ + K r, V θ (r = a,θ = 2U sinθ + K a, ettersom det ikke er noen heftbetingelser (teorien forutsetter ikke-viskøse væsker som nevnt i første setning i dette kapitlet. For moderate verdier av K (> 0 blir strømningsbildet som i figur 10.6. Ettersom V = 0 kan Bernoulli anvendes mellom vilkårlige punkter. Relaterer r = til et punkt på overflaten: p ρ + 1 2 U 2 = p (a,θ + 1 [ 2U sinθ K ] 2 ρ 2 }{{ a } V (overflate=v θ (r =a,θ Gage-trykk p (a,θ p = p G på overflaten er altså p G (a,θ = 1 2 ρu 2 ρ [ 4U 2 sin 2 θ 4KU 2 a sinθ + K 2 ] a 2 Trykkraft på overflateelement per lengdeenhet da = a dθ. Kraftkomponentene per lengdeenhet er altså ˆ F x = F y = ˆ 2π 0 p G (a,θcosθ da = Da sirkulasjonen er Γ = 2πK, gir dette ˆ 2π 0 p G (a,θ a cosθ dθ = 0, ˆ π p G (a,θ a sinθ dθ = 2ρKU sin 2 θ dθ = ρu 2πK. 0 } {{ } =π F y = ρuγ, (10.6 som har navnet Kutta-Joukowskis teorem og behandles ytterligere i avsnitt 11.4

10 POTENSIALSTRØMNING 33 U a K ψ Figur 10.6: Strømingsbilde for kombinasjon av uniform strømning, dublett og virvel. y F y ˆn F x da dθ θ x Figur 10.7: Overflateelement da og kreftene som virker på det.

34 11 DET KOMPLEKSE POTENSIAL 11 Det komplekse potensial Vi skal betrakte en tidsuavhengig potensialstrømning i to dimensjoner. Fluidet er friksjonsfritt (ideelt, og virvlingen ζ V = 0. I kartesiske koordinater er hastighetspotensialet φ = φ ( x, y og strømfunksjonen ψ = ψ ( x, y. Som kjent er komponentene u og v av hastighetsvektoren V gitt ved u = φ x, u = ψ y, v = φ y v = ψ x. Dette er Cauchy-Riemanns likninger fra matematikken. Vi innfører den komplekse koordinaten z og dens komplekse konjugerte z = x + i y, z = x i y Ettersom φ og ψ tilfredsstiller Cauchy-Riemanns likninger, kan vi definere en funksjon w(z som vi vet at er en analytisk (holomorf funksjon av z overalt i planet hvor φ og ψ er definert. Funksjonen w (z = φ ( x, y + iψ ( x, y kalles ofte for det komplekse potensial. Potensialet w ( x, y har en veldefinert derivert, dw dz w (z hvor w (z er den samme uansett fra hvilken retning i planet vi regner den ut. Deriverer, for eksempel i x-retning: w (z = φ x + i ψ x = u i v. Dette er den komplekse hastighet. Størrelse og argument for w (z gir fart V og vinkel θ mellom V og x-aksen: w (z = V e iθ, (11.1 hvor en ser av figur 11.1 at θ er gitt ved tanθ = v u. Ser så på en fast flate C som i figur 11.2, med potensialstrømning omkring (altså ingen friksjon. På overflaten må hastigheten være tangensiell, ψ = KONST. Kan velge ψ = 0 på C. Har da at w (z = φ ( x, y + iψ ( x, y φ ( x, y. Strømningsproblemet reduserer seg til å finne en analytisk funksjon w (z som er reell på randen av C. Benytter residueteoremet 4 på den komplekse hastighet: w (z dz = 2πi k A k, (11.2 4 Kort oppsummert sier residueteoremet at f (z = m (z a m + φ(z = f (z dz = 2πa 1 i a m

11 DET KOMPLEKSE POTENSIAL 35 y u x v θ V Figur 11.2: Strømning rundt en flate C. C Figur 11.1: Illustrasjon av fartskomponentene til V. hvor A k er residuene til w (z. Kan også dele opp integralet: w (z dz = (u i v ( dx + i dy C C ( ( = u dx + v dy +i u dy v dx }{{}}{{} C =V ds C =dq = V ds + i dq C }{{} Γ, sirkulasjon = Γ +Q. C }{{} =Q, volumgjennomstrømning Gjennom en fast flate kan det ikke være noen gjennomstrømning, altså Q = 0. Dermed blir integralet w (z dz = Γ, som sammen med residueregningen i likning (11.2 gir at C Γ = 2πi k A k. Alle residuene er i dette tilfellet imaginære. Eksempel 11.1: w = z 2 Har at w = z 2 = x 2 y 2 + i 2x y. Dette gir strømningsfunksjon og hastighetspotensiale φ = x 2 y 2, ψ = 2x y. Kurvene φ = KONST og ψ = KONST skjærer hverandre ortogonalt som vist i figur 11.3. Eksempel 11.2: Konstruksjon av w for en linjekilde Hastighets- og strømpotensialet for en linjekilde er gitt ved φ = m lnr, ψ = mθ. En får da at w = m (lnr + iθ = m ln z.

36 11 DET KOMPLEKSE POTENSIAL Eksempel 11.3: Konstruksjon av w for en virvel Hastighets- og strømpotensialet for en virvel er gitt ved En får da at φ = K θ, ψ = K lnr. w = K (θ i lnr = i K (lnr + iθ = i K ln z. Uttrykt med sirkulasjonen Γ = 2πK, er w gitt ved w = iγ ln z. 2π I de følgende eksemplene er U en hastighet og a en lengde. Eksempel 11.4: w = Uz Dette gir φ = Ux, ψ = U y. Dette er homogen strømning, skisert i figur 11.4. Eksempel 11.5: w = Ua 2 /z Med z = r e iθ er Strømlinjer ψ = KONST når ψ = Imw = Ua2 r sinθ = Ua2 y x 2 + y 2. y x 2 + y 2 = KONST 1 = x 2 + ( 2 y y 0 = y 2 2y 0. 0 Innfører ny konstant λ (dipolmoment ved og får λ = Ua 2 ψ = λ sinθ, r φ = λ cosθ. r Strømningsbildet rundt en dipol er skissert i figur 11.5 Eksempel 11.6: w = Ua (z/a π/α Antar at 0 < α < π. Setter z = r e iθ og regner ut ( r (π/α πθ φ = Ua cos a α, ( r (π/α πθ ψ = Ua sin a α Strømningsfunksjonen og hastighetspotensialet til w er skissert i figur 11.6.

11 DET KOMPLEKSE POTENSIAL 37 Figur 11.3: Eksempel 11.1: Strømfunksjon og hastighetspotensial ved w = z 2. Figur 11.4: Eksempel 11.4: Strømfunksjon og hastighetspotensial ved w = Uz. Figur 11.5: Eksempel 11.5: Strømfunksjon og hastighetspotensial ved w = (Ua 2 /z. Figur 11.6: Eksempel 11.6: Strømfunksjon og hastighetspotensial ved w = Ua(z/a π/α.

38 11 DET KOMPLEKSE POTENSIAL Stagnasjonspunkter Disse er generelt gitt ved at u = v = 0, slik at den komplekse hastigheten w (z = 0. I eksempel 11.6 får en at stagnasjonspunktet bestemmes av w (z = z (π/α 1 = 0. Når α < π, som forutsatt ovenfor, blir (π/α 1 > 0, og stagnasjonspunktet må dermed være i origo. Fart Av likning (11.1 fås farten V som V = u 2 + v 2 = dw dz w (z. (11.3 Siden så blir slik at dw dz = d dz dw dz = u i v, ( φ iψ = x V 2 = dw dz ( φ iψ = u + i v, dw dz. Eksempel 11.7: w = 2z + 3i z 2 For å finne farten trenger en w og w. Den deriverte w er gitt ved w fås ved Farten kvadrert er da gitt ved w = dw dz w = dw dz = 2 + i 6z. = 2 + i 6z = 2 6i z. V 2 = (2 + 6i z ( 2 6i z = 4 + 36 zz }{{} z 2 +12i = 4 + 36 ( x 2 + y 2 24y, ( z z }{{} 2Im(z=2y Stagnasjonspunkt når w = 0. Det vil si 2 + 6i z = 0 = z = i 3 z = i 3. Likning for strømlinjer finnes ved å definere konstanten a legge denne til på høyre side slik at en får et fullstendig kvadrat ψ = 2y + 3 ( x 2 y 2 = 3a 2 + 1 3 ( = x2 y 1 2 a 2 3 a 2 = 1 Strømningsfunksjonen ψ er skissert i figur 11.7.

11 DET KOMPLEKSE POTENSIAL 39 y 1 3 x Figur 11.7: Eksempel 11.7: Strømfunksjon for w = 2z + 3i z 2. Fundamentalt prinsipp for bruk av det komplekse potensial: Funksjonen w (z bestemmer avbildningen av z-planet på w-planet. Strømlinjene i z-planet avbildes som rette linjer, ψ = KONST, parallelle med den reelle akse, i w-planet, se figur 11.8. Hvis en kan finne en hensiktsmessig avbildning mellom de to plan, vil dette ofte forenkle bestemmelsen av potensialene. y ψ = KONST ψ ψ = KONST x φ (a ψ plottet i z-planet. (b ψ plottet i w-planet. Figur 11.8: Illustrasjon av z w. 11.1 Strømning gjennom en åpning Hvis w = w (z, kan en i prinsippet invertere funksjonen og skrive z = z (w. Noen ganger er dette nyttig. La oss velge funksjonen z = c cosh w, som kan skrives om på følgende vis z = c cosh w = c cosh ( φ + iψ ( = c coshφcosψ+i c sinhφsinψ. }{{}}{{} reell imaginær Identiteten som er brukt ved ( er kombinasjonen av addisjonsteoremet for cosh(x ± y på side 83 i Rottmann og formlene under overskriftenrelasjoner til trigonometriske funksjoner på side 85 i samme bok. Har nå at x = c coshφcosψ, (11.4 y = c sinhφsinψ.

40 11 DET KOMPLEKSE POTENSIAL Eliminerer φ ved å kvadere likningene for x og y og benytter identiteten cosh 2 γ sinh 2 γ = 1 (nederst på side 82 i Rottmann: x 2 c 2 cos 2 ψ y 2 c 2 sin 2 ψ = cosh2 φ sinh 2 φ = 1. (11.5 Kurvene ψ = KONST er hyperbler, med halvakser c cosψ, c sinψ, og brennpunkter i (c,0 og ( c,0. Dette kan en se ved å sette får vi likning (11.5 på følgende form Figur 11.9 viser en hyperbel med halvakser. a =c cosψ, b =c sinψ, x 2 a 2 y 2 b 2 = 1. Strømningen kan anskueliggjøres ved å se på den ved x-aksen: Fra likning (11.5 får en på positiv x-akse (x > 0, y = 0 y-komponenten v av farten V, finnes ved x = c cosψ = ψ = arccos x c. v = ψ x = 1 1 x 2 /c 2 1 c > 0. Åpningen på x-aksen vil være der det er gjennomstrømning i y-retning. Gjennomstrømning krever reell v ulik null. En kan dermed tolke c < x < c som en åpning, slik som i figur 11.10. Denne tolkningen kommer man også frem til på følgende måte: Velg en av hyperblene som fast flate. Vi får da et bilde av strømningen gjennom åpningen (slik som i figur 11.11. Ta så grensen når flaten går mot å være en flat plate, altså har vertikal halvakse er null. Det betyr at ψ = 0 eller ψ = π. Vi får et bilde av en strømning gjennom en åpning av bredde 2c i en fast plate. Det viser seg at strømningbildet er urealistisk på kantene, fordi hastigheten går mot uendelig der. Viser dette, ved å regne ut V 2 = dw dw (11.6 dz dz På kantene (c,0 og ( c,0 finner vi av likning (11.4 at ±1 = coshφcosψ, 0 = sinhφsinψ, som gir φ = 0 og ψ = 0 eller ψ = π. Altså ved innsetting i likning (11.6 altså V. 1 V 2 = dz dz dw dw = c2 sinh w sinh w = 1 [ 2 c2 cosh ( w + w cosh ( w w ] = 1 [ 2 c2 cosh2φ cos2ψ ] = c2 (1 1 = 0, 2

11 DET KOMPLEKSE POTENSIAL 41 y y = b a x ψ F c a b F x Figur 11.9: Kurver med konstant ψ. z y 2c x Figur 11.10: Eksempel på konfigurasjon for strømning gjennom en åpning. Figur 11.11: Strømningbilde gjennom en åpning. Figur 11.12: Strømningbilde gjennom en åpning i en plate.

42 11 DET KOMPLEKSE POTENSIAL 11.2 Strømning omkring en sylinder Gitt det komplekse potensial som gir ( w (z = V z + R2, z ( φ = V r + R2 r ψ = V ( r R2 r cosθ, sinθ. Dette er kjent fra potensialteori tidligere. Det er her forutsatt at sentrum ligger i origo. Hvis sentrum i stedet ligger i z = z 0 får en ( w (z = V z + R2. z z 0 Virvel med sirkulasjon Γ omkring en sylinder er gitt ved likningen som betyr når vi velger ψ = 0 på overflaten. w (z = iγ 2π ln r R, φ = Γ 2π θ, ψ = Γ 2π ln r R, Kombinerer de to potensialene: ( w (z = V z + R2 iγ z 2π ln z R. På overflaten, z = Re iθ, er ( w Re iθ = 2V R cosθ + Γ 2π θ, altså reell, slik at ψ = 0 på overflaten. Stagnasjonspunktene finnes av dw/dz = 0. Av dw dz = V (1 R2 z 2 iγ 2πz = 0 finnes Antar at og innfører β slik at Stagnasjonspunktene er da gitt ved z R = iγ ( Γ 2 ± 1. 4πRV 4πRV Γ 4πRV < 1, Γ 4πRV = sinβ. z = i sinβ ± cosβ. R Stagnasjonspunktene A og B er markert på figur 11.13.

11 DET KOMPLEKSE POTENSIAL 43 Figur 11.13: Strømningbilde rundt en sylinder. 11.3 Blasius teorem En sylinder (ikke nødvendigvis med sirkulært tverrsnitt er plassert i en uniform strømning. Kraftkomponentene er F x og F y (som i figur 11.14a. Ytre krefter, slik som gravitasjon, utelates. Kraften df på et linjeelement ds i to dimensjoner er df = p ˆnds. Fra figur 11.14b ser en at ˆn = (sinθ,cosθ, og at dy =ds sinθ > 0, dx = ds cosθ < 0. Komponentene til df er da gitt ved df x = pn x ds = p dy, df y = pn y ds = p dx. Dermed blir d ( F x i F y = i p ( dx i dy = i p dz. Bernoullis likning gir ettersom C 1 er uten betydning at p + 1 2 ρv 2 = C 1 = KONST p 1 2 ρv 2 = 1 2 ρ dw dz dw dz. På overflaten er ψ = KONST, slik at dw = dw ( = dφ. Altså d ( ( 1 dw F x i F y = 2 iρ dz 2 dz, og dermed som er Blasius teorem. F x i F y = 1 2 iρ C ( dw 2 dz, (11.7 dz