ResTek Løsning Øving Oppgave a) La L bety lengde, M masse, T tid i et hvilket som helst konsistent sett av enheter. Da er [k] =L 2, [µ] =M/LT, [p] =(ML/T 2 )/L 2 = M/LT 2, [c] =LT 2 /M, og da blir [ ] kt t D = φµcrw 2 = p D = L 2 T (M/LT)(LT 2 /M)L 2 =, [ ] 2πkh qµ (p i p w f ) = L2 L(M/LT 2 (L 3 /T )(M/LT) =, altså er begge dimensjonsløse. b) t D = kt φµcr 2 w [ ] D [ sec ] k[md] t[hrs]3600 000 md hrs ] ] [ cm 2 ], 4.7 r 2w [ft2 ]30.48 2 [ φµc psi [ psi atm ft 2 kt t D = 0.000264 φµcrw 2. c) p D = 2π k[md] 000 [ ] D md [ cm h[ft]30.48 ft Q[stb/d]B [ rb/d stb/d ].84 ] (p i p wf )[psi] 4.7 [ ] rcc/sec µ rb/d [ ] atm psi p D (r D, t D ) = 7.08 0 3 kh QµB (p i p(r D, t D )). Her er brukt notasjonen at Q er i stb/d og q er i rb/d, slik at q = QB. Dessuten betyr rcc reservoir cubic centimeter og sec second. I formler i trykktestanalyse vil en ofte se omregningsfaktoren 4.2 som er lik /7.08 0 3. Kommentar. Dersom en ser på trykket i brønnen så er r D = og da skriver en ofte forenklet p D (t d ) istedenfor p D (, t D ).
lik Kommentar 2. Med dimensjonsløse variable blir diffusivitetsligningen ( r p ) = φµc p r r k t r D Oppgave 2 ( ) p D r D r D = p D t D. Produksjonstiden t p er gitt ved t p = N p /Q o = 500/23 24 = 97.6 timer og dette gir tabell. t (hrs) log t p + t p ws psia t 0.0 4506 0.5 2.29 4675 0.66 2.7 4705.0.99 4733.5.82 4750 2.0.70 4757 2.5.60 476 3.0.52 4763 4.0.40 4766 6.0.24 4770 8.0.2 4773 0.0.03 4775 2.0 0.96 4777 Tabell : Trykkdata, oppgave 2; p w f,s = 4506 psia a) Trykkdataene er plottet i figur i et lin-lin plott. De siste syv punktene ligger på en rett linje som ekstrapolert til log(t p + t)/ t = 0 gir p = 480 psia, og dersom reservoaret kan betraktes som uendelig, så er dette et estimat på initielt trykk p i. b) Stigningsforholdet for den lineære del av plottet er m = 24.8 psi/dekade. Dermed blir den effektive permeabilitet til formasjonen gitt ved k o = 62.6Q oµ o B oi mh = 62.6 23.22 24.8 20 = 49 md....() 2
4820 4800 4780 4760 4740 y = -24.838x + 4800.8 R 2 = 0.9998 4720 4700 4680 4660 0 0.5.5 2 2.5 Figur : Hornerplott, innstengingstrykket p ws som funksjon av log(t p + t)/ t 3
c) Skinfaktoren S er gitt ved ( pws(lin hr) p w f k S =.5 log m φµ o crw ( 2 4752 4506 =.5 log 24.8 = 6.0, ) + 3.23 49 0.2 20 0 6 0.09 + 3.23 hvor p ws(lin hr) = 4752 psia er lest av på den ekstrapolerte rette linje i Hornerplottet, en time etter avstenging. d) Ekstra trykkfall p skin over den skadde sone mens brønnen produserer, er gitt ved p skin = Q o µ o B oi S/2πkh atm, = 2mS/2.303 = 0.87mS psi, = 28 psi. e) Under utledningen av Horner-uttrykket p ws = p i 62.6 QµB kh log t p + t, t blir det forutsatt at linjekildeløsningen er gyldig for begge leddene i dette summerte, superponerte uttrykket, i.e., fortsatt produksjon fram til tid t p + t og injeksjon med samme rate fram til tid t. Linjekildeløsningen gjelder mens brønnen er i Infinite Acting perioden, før reservoargrensen er merkes i trykkoppførselen til brønnen. Sålenge dette gjelder, vil trykket p ws følge Horner-uttrykket og ekstrapoleres til p i når t går mot. Vi sjekker derfor om den lengste testetiden, t p + t, er slik at t DA < 0.. Inntil da vil brønnen, som er antatt å være i senter av et sirkulært dreneringsareal, ha en trykkoppførsel som om den var i et uendelig reservoar. Det minste tillatte areal, A min, blir for dette tilfellet, i praktiske enheter, A min = 0.000264kt 0.φµc = 0.000264 50 (97.6 + 2.0) 0. 0.2 20 0 6 /43560 = 83 acres, siden acre er lik 43560 ft 2. Dette arealet er mindre enn estimert dreneringsareal på 300 acres. Antagelsen om at p = p i er derfor rimelig. Oppgave 3 a) Total kompressibilitet c t er gitt ved S g = 0. c t = S o c o + S w c w + c f =.0 0 6 psi, b) Fra graf, figur 2: p i p = 4485 psia. 4 )
4500 4480 4460 4440 y = -78.805x + 4484.4 R 2 = 0.9983 p ws 4420 4400 4380 4360 0 0.2 0.4 0.6 0.8.2.4 log((t p + t )/ t ) Figur 2: Hornerplott for brønn w 5
c) Fra graf, figur 2, er m = 78.8 psi/dekade. Det gir k o = 62.6Q oµ o B o mh = 62.6 20 0.8.5 78.8 30 = 7.6 md. e) (En må løse e) før d) siden φ trengs for å beregne S). Setter inn kjente størrelser i ligning oppgitt i oppgaveteksten og får, 70 + 500 4439 = 4485 80 log( ) 500 80 [ ( 90 2.30 20 ei 0.8 0 6 2500 2 ) φ 0.0005 7.6 (00 + 500) + 80 ( 20 ei 0.8 0 6 900 2 )] φ, eller, 0.0005 7.6 (50 + 500).28 =.58 ei(4.38φ) + 0.67 ei(2.6φ). Av dette kan vi lage tabell 2 som viser at φ = 0.3. φ.58 ei(4.38φ) + 0.67 ei(2.6φ) 0.0.69 0.20 0.78 0.5.2 0.4.2 0.3.3 Tabell 2:.58 ei(4.38φ) + 0.67 ei(2.6φ) som funksjon av φ d) ( pws(lin hr) p w f,s S =.5 m ( 4338.5 423 =.5 log 78.8 = 3.6, log (k/µ) t φc t r 2 w ) + 3.23 7.6 0.3 0.8 0 6 0.276 2 + 3.23 ) hvor p ws(lin hr) = 78.8 log((70 + )/) + 4484.4 = 4338.5, se ligningen for den rette linjen i figur 2, og (k/µ) t settes lik k o /µ o siden S w er så lav som 0.20 og det ikke står oppført noen informasjon om vannproduksjon. Vi har altså en stimulert brønn. 6
Kommentar. I oppgaveteksten står det at en skal anta at interferensen fra w2 og w3 er neglisjerbar i de tidlige trykkdata. Med denne antagelsen beregnes så permeabilitet, deretter porøsitet og så skinfaktor, se løsningen. Det mangler en sjekk av denne antagelsen, som innebærer at de to ei-funksjonene kan betraktes som konstante i begynnelsen av innstengingsperioden til w. Vi setter inn de beregnede verdier for k og φ samt andre størrelser i det oppgitte uttrykk for trykkløsningen, med (p p ws ) 62.6 Q µb kh = log( t + t ) + t ln(0) [ Q2 ei(x ) + Q ] 3 ei(x 2 ), Q Q x = φµc td2 2, x 2 = φµc td3 2, 0.0005kt 2 0.0005kt 3 og hvor d 2 er avstanden mellom w og w2, d 3 mellom w og w3, t produksjonstiden til w, t 2 til w2 og t 3 til w3. Da får en 70 + t V.S. = log( ) t + [ ( 90 ln(0) 20 ei 0.8 0 6 2500 2 ) 0.3 0.0005 7.48 (00 + t) + 80 (0.3 20 ei 0.8 0 6 900 2 )]. 0.0005 7.48 (50 + t) Dersom vi nå plotter trykket p ws mot hele høyre siden av denne ligningen, for samhørende verdier av p ws og t så skal vi få en rett linje med stigningsforhold 62.6Q µb/kh, som altså burde ha blitt lik 78.8 dersom antagelsen hadde vært god. Ved direkte utregning vil en imidlertid se at begge ei-funksjonene endrer seg forholdsvis mye med t. Utføres plottet, så er det ikke så lett å finne noen klar lineær trend, men de rette linjer en kan legge har stigningsforhold som ligger rundt 0.08. Det betyr at permeabiliteten blir en faktor 0000 større, altså urealistisk. Dermed er det altså ikke noen god antagelse å anta at ei-funksjonene kan betraktes som konstante. Dersom en ikke gjør antagelsen, så kan ikke k regnes ut uten videre, en kan dermed heller ikke finne φ, og uttrykket for skinfaktoren blir heller ikke så enkelt som angitt i løsningsforslaget. For å finne et uttrykk for skinfaktoren må vi sette opp hele løsningen før avstenging, inkludert ekstra trykkfall over den skadde sonen og så trekke fra ideell løsning etter avstenging, slik som det ble gjort i forelesningene for PBU-testen sitt vedkommende. For å løse problemet uten å neglisjere ei-leddene så må vi tilpasse hele trykkligningen til datasettet. Denne trykkligningen har da både k og φ som parametre. Vi må 7
lage oss en feilfunksjon, for eksempel sum av kvadratavikene mellom beregnet trykk (med antatte verdier for k og φ) og målt trykk, og så minimalisere feilen ved å variere k og φ. Dette er en egen idrett i numerisk matematikk. Det kalles for ikke-lineær optimalisering. I regnearket Excel er det en utmerket funksjon (et tillegg) som heter Problemløser eller Solver som utfører en slik minimalisering. Antagelig vil feilfunksjonen være mest følsom for variasjoner i k i de tidlige trykkdata og for φ ide seneste trykkdata. Med k og φ bestemt, så kan en finne skinfaktor S som skissert ovenfor. Oppgave 4 a) Fra plott i figur 3 ser en at p e p i p = 3487 psia. Det er brukt en produksjonstid t p = 484/24 24 timer. 3500 3400 3300 p ws 3200 300 y = -70.97x + 3486.9 R 2 = 0.9975 3000 2900 2800 0 0.2 0.4 0.6 0.8.2.4.6.8 2 log((t p + t )/ t ) Figur 3: Hornerplott tilhørende oppgave 4, øving 8
b) Fra plott i figur 3 ser en at m = 7 psi/dekade og dermed blir k o = Oppgave 5 62.6 24 3.2.2 7 8.4 = 54 md. For å linearisere ligning 2 med pseudotrykket, så finner vi først et uttrykk for de deriverte, ( ) ρ p = φ ρ x µ x k t,...(2) m x = m p p x = 2 p p µz x, m t = m p ρ p ρ t = 2 p ρ µz cρ t, siden cρ = ρ/ p. Så setter vi inn i for p x ( ) ρ µz m = φ µzcp m x µ 2p x k 2p t. Bruker nå definisjonen ρ = pm zrt og ρ t i ligning 2 og får og forenkler og får oppgitt uttrykk. 9