NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPLIGE UNIVERSITET, INSTITUTT FOR VASSBYGGING Side av Faglig kontakt under eksamen: Prof. Geir Moe, Tel. 79 467 (.6$0(,(0(6,%+<'0(.$,.. Lørdag 8. desember 00 Tid: kl. 09.00-.00 Hjelpemidler: A - Alle trykte og håndskrevne hjelpemidler tillatt. Sensuren faller uke. Det er fire oppgaver, og hver oppgave teller % av karakteren.
SSJDYH Side 4 av $ U %DVVHQJ $.DQDO XPSH,QQVM 7YHUUSURILO$$ Figuren er ikke i målestokk \ P P P Vann pumpes fra en innsjø opp til et vannbasseng, i henhold til lengdeprofilet vist på figuren over. Vannspeilet i innsjøen ligger på 00 meter over havet. Vannspeilet i bassenget ligger 0 meter over havet. Røret har en lengde på km, og en diameter på 0.4 m, med sirkulært tverrsnitt. Temperaturen er 0 grader C. Pumpens virkningsgrad er 0.9. Vannstanden i bassenget holder seg konstant ved at vannet renner over i en bratt kanal som har overkritisk strømning. Kanalen har et Manningstall på 0=60, en helning på :0, og et tverrsnitt som er gitt i figuren over. Vanndybden, \, i snitt A-A er 0. meter. Innløpstapskoeffisienten for røret i innsjøen settes til 0.. a) Vis at vannføringen i røret blir 79 l/s. b) Hvis pumpen har en effekt på kw, hva er maksimal ruhet i røret? c) Hva blir normaldybden i kanalen?
Side av SSJDYH Vann renner ut av en tank som vist i figuren til høyre. Figuren er et lengdesnitt. Tverrsnittet er helt likt. Tanken er kvaderatisk sett ovenfra, med et overflateareal på toppen på x meter. Arealet av utløpet er 0.x0. meter. Vannstanden i figuren er gitt ved tiden T=0 som 7 meter over utløpet. Hvor lang tid tar det å tømme tanken? m meter Tips: Bruk kontinuitetsligningen og finn et uttrykk for vannføringen ut av tanken bl. a. ved hjelp av Bernoulli s ligning. Finn også et uttrykk for vannforandringen i tanken ved hjelp av uttrykket d\/dw. Tilsammen gir dette en differensialligning som kan gi et uttrykk for tømmetiden som funksjon av \. 4 m Utløp y
/ VQLQJVIRUVODJ SSJDYH a) Vannføringen finnes ved at en antar kritisk strømning i snitt $-$. Froude-tallet for en generell geometri er da lik : Fr Q = B = ga Bredden av kanalen er %=. meter, og arealet blir lik $=0.8 m, når\=0. m. Når vi setter dette inn i ligningen over, og løser ut 4 får vi 0.79 m /s. b) Tilgjengelig energihøyde,+, er gitt fra effektligningen: Effekt, : 4ρJ+η = 000 = 0.79x000x9.8x+/0.9 Her er alle verdier gitt utenom +, og når vi løser ut denne får vi +=77.7 meter Energihøyden brukes til å flytte vannet opp 0 meter, samt singulærtap og friksjonstap. Finner først singulærtapene. Regner ut hastigheten i røret fra kontinuitetsligningen: Q U - 0.79 = = A π0. =.0 Hastigheten er m/s. Singulærtapet er summen av innløps og utløpstap: h s ( K i + K u ) U -.0 = = ( 0. +.0) = 0.7m g x9.8 Friksjonstapet blir da lik energihøyden minus vannforflytningen og singulærtapet: K I = 77.7 m - 0 m - 0.7 m = 7 m Bruker så Darcy-Weissbach s ligning: h f f L = D -U g Her er alle verdiene gitt, utenom I. Setter inn, og løser mhp. I 7 = f 000-0.4 x9.8
Dette gir at f = 0.0. Regner så ut Reynolds tallet for Moody diagrammet: UD x0.4 Re = = - ν 0 6 =.x0 6 Går så inn i Moody diagrammet med denne verdien ogi=0.0 (venstre side), og leser av forholdet ruhet/diameter til 0.00 på høyre vertikale akse. Siden diameteren er 0.4 m, blir ruheten 0.8 mm. c) Normaldybden finnes ved Manning s formel og kontinuitetsligingen: Q = AMr Vi kjenner 4 fra spørsmål a) (0.79), og 0 og 6 er gitt i oppgaven (0=60, og 6=:0) Løser ligningen ved iterasjon. Dvs. gjetter på en y, og setter inn i høyre side av ligningen, og ser om en får riktig 4: Tabellen under viser dette, der P er våt omkrets. Siden strømningen er overkritisk, må y være mindre enn 0.. Riktig svar vil være ca. 0.7 meter. SSJDYH S 7DEOH y A P r Q 0.0 0.. 0. 0. 0. 0.7.0 0.087 0.9 0.7 0. 0.0 0.04 0.99 Vi antar at topparealet av tanken er $ = m x m = m. Tverrsnittsarealet av bunnen erd = 0.m x 0.m = 0.04 m. Bruker så følgende to uttrykk for vannføringen. Det første er kontinuitetsligningen for uttsrømningsarealet, der 8 er gitt fra Bernoullis ligning: Q = au = a gy Dette vil være likt synkehastigheten av vannoverflaten ganger arealet av dette: Q = A y ( ) dy - For den øverste delen av tanken vil $ være konstant. Det negative fortegenet kommer av at vannspeilet beveger seg i motsatt retning av \. To ligninger og tre ukjente: \, W og 4. Eliminerer 4:
a gy = A dy - Dette blir: A = - dy a g y Integrerer: t = - A y+ C a g Konstanten & bestemmes fra grensebetingelsen \=+ for W=0. Dette gir: t = - A ( H y) a g Denne ligningen vil gjelde så lenge vannspeilet ligger mellom 7 og 4 meter. Setter vi inn, får vi: x t = - ( 7 4) = 8s 0.04 x9.8 Her er + lik 7 meter, $ = m x m = m,d = 0.m x 0.m = 0.04 m. For den nederste delen av tanken, vil vi ha følgende formel for A(y): Ay ( ) πr. 0. = = π ( )y + 0. =.04y + 0.6y + 0.6 4 Funksjonen r(y) er funnet på bakgrunn av at vi har antatt at dette er en linær funksjon, på formen U D\E Vi har satt inn r =. for y = 4 og r = 0. for y = 0, og får da funksjonen inne i parantesen i ligningen over. Bruker samme metode som tidligene: a gy A( y) - dy.04y dy = = [ + 0.6y + 0.6] - = 0.04 x9.8y = 0.778 y Dette gir Integrerer: [.04y + 0.6y + 0.6] = - dy =.8y dy.0y dy 0.70y 0.778 y t =.8y +.0y + 0.70y + C =.y.y.4y Konstanten & bestemmes fra grensebetingelsen \= for W=0. Dette gir: C =.x4.x4.4x4 dy + C
som gir at C=6 sek. Tiden det tar før y=0 blir: t =.x0.x0.4x0 + 6 = 6s Tilsammen tar det 8+6 sek = 08 sek.