Kapittel 12 differensiallikninger-oppsummering I vår verden endres størrelsene og verdiene som populasjon, vekt, lengde, posisjon, hastighet, temperatur ved tiden eller ved en annen uavhengig variabel. Differensiallikninger kan beskrive hvordan populasjoner forandrer seg, hvordan varmen beveger seg, hvordan fjærer vibrerer, hvordan radioaktivt materiale henfaller og mye mer. De er en veldig naturlig måte å beskrive mange ting i universet. En differensialligning er en ligning som uttrykker en sammenheng mellom en uavhengig variabel x, en funksjon(avhengig variabel) y(x), dens deriverte y (x) og eventuelt høyere ordens deriverte. En differensialligning beskriver en sammenheng mellom en funksjon og dens deriverte. For eksempel, hvis vekstraten dy er proporsjonal med y, kan man få differensialligningen: dx dy = ay, der a er proporsjonalitetskonstanten. Generelt en differensialligning er en ligning som dx forbinder en uavhengig variabel x, en avhengig variabel y og dens deriverte: L(x, y, y, y, ) = 0 Hensikten med å løse en differensialligning er å bestemme funksjonen, y = y(x). Klassifisering(type) En differensialligning er lineær dersom ligningen er lineær med hensyn til den ukjente funksjonen og dens deriverte. Lineær Ikke lineær y + y cos x = e x y + x cos y = e x y + x 2 y = ln x y + y 2 x = ln x Har differensialligningen minst et ledd uten den avhengige variabelen, er differensialligningen inhomogen ellers den er homogen. Homogen y + y cos x = 0 y + x 2 y = ln y Inhomogen y + x cos y = e x y + y 2 x = ln x I pensum vektlegges følgende differensiallikninger: 1) (MAT100) Separable differensiallikninger y = f(x)g(y) 12 differensiallikninger-oppsummering 15. april 2016 Side 1
2) (MAT107) Første orden av typen: ay + by = f(x) 3) (MAT107) Andre orden av typen: ay + by + cy = f(x) Separable diff. ligninger på formen: dy dx = f(x)g(y) Ligningen kan løses ved separasjon: Løs integralet og bestem y = y(x). 1 g(y)dy = f(x)dx Første orden homogen lineær differensialligning med konstante koeffisienter ay + by = f(x) Den generelle løsningen er lik summen til løsningen til den homogene differensialligningen og løsningen til den inhomogene differensialligningen (den spesielle(partikulære) løsningen): Homogen ay + by = 0 y(x) = y h (x) + y p (x) Ved å anta y = e rx er en løsning, kan man sette opp den karakteristiske ligningen: ar + b = 0. Den generelle løsningen av den homogene differensialligningen er y h = Ce b a x. For y p se her under. Andre orden homogen lineær differensialligning med konstante koeffisienter ay + by + cy = f(x) Den generelle løsningen er lik y(x) = y h (x) + y p (x). Homgoen ay + by + cy = 0 Ved å anta y = e rx er en løsning, kan man sette opp den karakteristiske ligningen: ar 2 + br + c = 0 Den generelle løsningen av den homogene differensialligningen er: C 1 e r1x + C 2 e r 2x y h = e rx (C 1 + C 2 x) e αx (C 1 cos βx + C 2 sin βx) Inhomogen ay + by + cy = f(x) r 1 r 2 ( reelle) r = r 1 = r 2 ( reelle) r = α ± iβ For å finne den partikulære løsningen, kan du gjette en spesiell løsning y s og finne konstantene ved innsetting (ubestemte koeffisienters metode). 15. april 2016 Side 2
f(x) k kx kx + l ke αx k sin βx k cos βx y p (x) A Ax + B Ax + B Ae αx A cos βx + B sin βx A cos βx + B sin βx Differensiallikninger er en dynamisk beskrivelse av et kontinuerlig system eller en prosess, basert på de likevektslikningene ( balanselikningene) vi har satt opp for prosessen (Matematisk modellering). Vi skal nøye oss med å finne en matematisk løsning på lineære differensiallikninger med konstante koeffisienter. 15. april 2016 Side 3
12.1 Anvendelser i naturvitenskap og teknologi Anvendelser Differensialligning Grafen til løsningskurve y y 0 Radioaktiv stråling dy dt = ky gitt y(0) = y 0 1 0-1 0 1 2 3 t Løsning y(t) = y 0 e kt y y 0 Sykdom spredning (vekst modell) dy = k(b y), k > 0 dt gitt y(0) = y 0 y 0 > B B y 0 < B y 0 0-1 0 1 2 3 t Løsning y(t) = B + (y 0 B)e kt T 0 T 1 T 0 > T 1 T 0 < T 1 Temperaturendring dt dt = k(t T 1), k > 0 gitt T (0) = T 0 T 0 0-1 0 1 2 3 t Løsning T (t) = T 1 + (T 0 T 1 )e kt Matematisk pendel En pendel består av en tynn homogen fast stav med lengde L og en kule med masse m som er festet i enden. Pendelen kan svinge fritt om aksen (uten friksjon i opphenget). Posisjonen til 12.1 Anvendelser i naturvitenskap og teknologi 15. april 2016 Side 4
pendelen, vinkelen θ(t), er da gitt ved likningen θ + αθ + ω0 2 sin θ = 0, α 0, g der ω 0 = L, α = c, c er dempingsfaktoren, m er massen av pendelen, L er lengden av m L pendelen og g er tyngdens akselerasjon. α kalles ofte dempningskoeffisient. Linearisering (sin θ θ) : θ + αθ + ω0 2 θ = 0, α 0, Kloss-fjær Kommer senere. Dette kapittelet består av flere og mer omfattende eksempler på bruk av differensiallikninger. 12.1 Anvendelser i naturvitenskap og teknologi 15. april 2016 Side 5
Kontrolloppaver - Differensiallikninger Oppsummering fra MAT100 (12.1 ) Oppgave 12.1.1: a) Hva er en differensiallikning? b) Hva vil det si at y = y(x) er en løsning til en differensiallikning. c) Ta et eksempel for en lineær homogen differensiallligning. Ta et eksempel for en ikke-lineær inhomogen differensiallligning. d) Klassifiser differensiallikningen y +x 2 y x cos y = 0 (orden, homogen/inhomogen, lineær/ikkelineær). Oppgave 12.1.2: Gitt differensiallikningene: a) Hva er største forskjellen mellom disse? b) Løs differensiallikningene. i) y = x 2 y ii) y = xy 2 Oppgave 12.1.3: Løs differensiallikningene: a) y + x = 1 b) y + y = 1 c) (1 + x 2 )y + y = 0 d) y = y sin x e) y + 2y = 6 f) y = 12 3y Oppgave 12.1.4: Oppgave 12.1.5: Løs differensiallignigen : dy dt = 3t2 + 2t + 5 y 2, gitt y(0) = 3 Løs differensiallikningene a) y y = 1 b) y 4y + 3y = 3t + 2 c) y + 4y = x d) y = 9y Oppgave 12.1.6: Et klasserom (20m 4m 2,5m ) inneholder i utgangspunktet frisk luft. Ved t = 0, et defekt varmesystem fører gass som inneholder 20% karbonmonoksid som skal pumpes inn i rommet ved en hastighet på 3m 3 per minutt. Den godt blandede luft ventileres ut i samme takt. a) Forklar hvorfor følgende startverdiproblem beskriver denne situasjonen: dk dt = 0, 6 3 200 K, K (0) = 0 der K (t) er karbonmonoksid mengden ved tiden t (målt i min.) i rommet. b) Løs startverdiproblemet. 12 differensiallikninger-oppsummering 15. april 2016 Side 6
c) En karbonmonoksid-detektor i rommet utløses når karbonmonoksid når 1%. Finn tiden når detektoren vil varsle. Oppgave 12.1.7: En høyskolestudent skylder kr.10.000 til et kredittkort selskap, med en rente på 10% per år. Studenten betalinger ned kontinuerlig med et konstant rate på kr. 150 per måned (kr. 1800 per år). a) Forklar hvorfor følgende startverdiproblem beskriver denne situasjonen: dx dt = 0, 1x 1800, x(0) = 10.000 der x(t) er beløpet studenten skylder kredittkortselskapet ved tiden t (målt i år). b) Løs startverdi problemet. Regn ut nedbetalingstiden. Oppgave 12.1.8: a) Hvilken av følgende differensiallikninger er lineær? i) y + 2x 2 y = e x ii) y + 3xy 2 = x b) Hvilken av følgende differensiallikninger er homogen? i) y + 2x 2 y e x = 0 ii) y + 3xy 2 = y Oppgave 12.1.9: Gitt L[y] = y 4y a) Vis at L[y] er en lineær operator. Vis at y = e 2x er en løsning til L[y] = 0. b) Bestem den generelle løsningen til differensiallikningen til a). c) Bestem den generelle løsningen til differensiallikningen y 4y = 6e x. Oppgave 12.1.10: En trekule blir sluppet med i vann. Den synker et stykke ned for så å flyte opp til overflaten. Hastigheten til kula i vannet på vei nedover er bestemt av likningen v = α(v + 2), hvor a = ln(1, 5). a) Vis at v = e αt 2 er løsningen til differensiallikningen. Bruk dette til å forklare hvorfor v = Ce αt 2 er den generelle løsningen. b) Ved tiden t = 0 setter vi farten til kula til å være v(0) = 1. Finn et uttrykk for hastigheten v = v(t) av kula mens den er på vei nedover i vannet. Oppgave 12.1.11: Anta at lysintensiteten I i et vann som funksjon av dybden x (målt i meter) tilfredsstiller differensiallikningen: I = µi. der absorpsjonskoeffisienten µ varierer med dybden. etter formelen µ = µ(x) = 1, 2 + 0, 06x (m 1 ). a) Uten å løse likningen verifiser ved innsetting at tilfredsstiller differensiallikningen. I(x) = Ce 1,2x 0,03x2 b) Bestem C når den ved overflaten er I 0. Finn lysintensiteten når x = 1m. Oppgave 12.1.12: Betrakt nådifferensiallikningen: w = 1, 2w + 0, 06t 12.1 Anvendelser i naturvitenskap og teknologi 15. april 2016 Side 7
a) Uten å løse likningen verifiser ved innsetting at w(x) = e 1,2t + 0, 05t 1 24 tilfredsstiller differensiallikningen. Bruk dette til å sette opp den generelle løsningen uten å løse likningen. b) Løs differensiallikningen. Oppgave 12.1.13: En student skal begynne med et nytt fag og har ingen kunnskaper i faget når studiet starter. La K være studentens kunnskapsmengde i faget t måneder etter studiestart og la P være den totale kunnskapsmengden (pensum) studenten skal lære. En læringsmodell, basert på jevn jobbing, sier at mengden av nytt stoff som blir lært pr. tidsenhet, er proporsjonal med det som gjenstår å lære (proporsjonalitetsfaktor = m ). På grunnlag av dette kan vi sette opp følgende differensiallikning for studentens kunnskapsmengde som funksjon av tiden: K (t) = (P K ), m > 0 a) Vis at studentens kunnskapsmengde K kan skrives på formen: K (t) = P(1 e mt ) uten å løse differensiallikningen. b) Løs denne differensiallikningen og vis at K (t) = P(1 e mt ) c) Etter 1,5 måneder kan studenten halvparten av pensum. Hvor stor del av pensum kan studenten ved eksamen som finner sted 2,5 måneder etter studiestart? Oppgave 12.1.14: Gitt likningen y + 3y = 1, 2. a) Forklar kort hvorfor y(t) = K (konstant) er en løsning av likningen. Finn K. b) Vis at y(t) = e 3t + 0, 4 er en mulig løsning av likningen. Finnes det andre løsninger av likningen? Hvorfor? c) Finn til slutt den generelle løsningen av likningen. Finn en løsning som tilfredsstiller tilleggskravet at y(0) = 1. Oppgave 12.1.15: a) Løs differensiallikningene: i) y = xy 2 ii) y x = (y 2 + 1)(x + 1), gitt y(1) = 0 b) Løs differensiallikningene: i) y + y = 12e 3x ii) y + 9y = 18x, gitt y(0) = 2, y (0) = 1 c) Hva er forskjelligen mellom differensiallikningene: a) y = y 2 cos x og b) y = y cos x? Løs disse. Oppgave 12.1.16: Vann renner inn i en vanntank med konstant hastighet v 1 = 2liter/min. Gjennom et hull i bunnen renner det ut en vannstrøm som ved tiden har en hastighet på v 1 = t t 2 + 1. La V (T ) være vannvolumet i tanken ved tiden T. Anta at det var 15 liter vann i tanken ved tidspunktet t = 0. a) Forklar hvorfor man kan sette opp: V = 2 t t 2, gitt V (0) = 15. + 1 b) Sett opp en funksjon for V (T ) som kan beskrive hvor mye vann som er i tanken ved tiden T. Regn ut ved integrasjon hvor mye vann er i tanken etter 7 min. Oppgave 12.1.17: Hva vil det si at y 0 er en løsning til differensiallikningen L(y) = 0? Anta at y 0 er en løsning til L(y) = 0 der likningen er lineær og y 1 er løsning til L(y) = f(x), der f(x) 0. Hva er den generelle løsningen til differensiallignngen? 12.1 Anvendelser i naturvitenskap og teknologi 15. april 2016 Side 8
Fasit Oppgave 12.1.1: a) Differensiallikninger er en dynamisk beskrivelse av et kontinuerlig system eller en prosess, basert på de likevektslikningene ( balanselikningene) vi har satt opp for prosessen (Matematisk modellering). En differensiallikning beskriver en sammenheng mellom en funksjon og dens deriverte. Generelt en differensiallikning er en ligning som forbinder en uavhengig variabel x, en avhengig variabel y og dens deriverte: L(x, y, y, y, ) = 0 Hensikten med å løse en differensiallikning er å bestemme funksjonen, y = y(x). b) Hvis y = y(x) er en løsning til en differensiallikning, vil det si at y = y(x) tilfredsstiller likningen. c) En lineær homogen differensiallligning: y + x 3 y = 0. En ikke-lineær inhomogen differensiallligning: y + xy 2 = cos x d) Første orden homogen ikke-lineær differensiallikning Oppgave 12.1.2: a) i) er lineær og ii) er ikke-lineær. b) For å løse disse kan vi benytte separasjonsmetoden: i) y = Ce x3 /3 ii) y = Oppgave 12.1.3: a) y = x (1/2)x 2 + C b) y = Ce x + 1 c) y = Ce arctan x d) y = Ce cos x e) y = Ce 2x + 3 f) y = Ce 3x + 4 Oppgave 12.1.4: Løsningsforslag y 2 dy = (3t 2 + 2t + 5) dt eller 1 3 y3 = t 3 + t 2 + 5t + C og dermed: 1 x 2 /2 + C y = 3 3(t 3 + t 2 + 5t + C). y(0) = 3 medfører: y = 3 3(t 3 + t 2 + 5t + 9). Oppgave 12.1.5: Ubestemte koeffisienters metode: a) y y = 1 y = y h + y s = C 1 e x + C 2 e x 1 b) y 4y + 3y = 3t + 2 y = y h + y s = C 1 e x + C 2 e 3x + t + 2 c) y + 4y = x y = y h + y s = C 1 cos 2x + C 2 sin 2x + 1 4 x d) y = 9y y = y h + y s = C 1 e 3x + C 2 e 3x 12 differensiallikninger-oppsummering 15. april 2016 Side 9
Oppgave 12.1.6: dk a) dt = 3(0, 2 1 200 K ) = 0, 6 3 K, K (0) = 0(frisk luft ved t = 0) 200 b) K (t) = 40 40e 3t/200 c) K (T ) = 0, 01 200 = 2 gir T = 200/3(ln 20 ln 19). Oppgave 12.1.7: dx a) = 0, 1x 15 12 = 0, 1x 1800, x(0) = 10.000 dt b) x(t) = Ce 0,1t + 18000 og x(0) = 10.000 gir x(t) = 8000e 0,1t + 18000. Nedbetalingstiden er : t = 10 ln 2, 25 8, 1 år. Oppgave 12.1.8: a) i) Lineær ii) Ikke lineær b) i) Inhomogen ii) Homogen Oppgave 12.1.9: a) L{y 1 + y 2 } = (y 1 + y 2 ) 4(y 1 + y 2 ) = y 1 4y 1 + y 2 4y 2 = L{y 1 } + L{y 2 }. L{αy 1 } = (αy 1 ) 4(αy 1 ) = α(y 1 4y 1) = αl{y 1 }. L{y} er dermed lineær. b) y = C 1 e 2x + C 2 e 2x c) y = C 1 e 2x + C 2 e 2x 2e x Oppgave 12.1.10: a) v = αe αt = α(v + 2). På grunn av linearitet b) v(t) = 3e t ln(1,5) 2 = 3(1, 5) t 2 Oppgave 12.1.11: a) I (x) = C( 1, 2xe 1,2x 0,03x2 b) C = I 0 og I = 0, 29I 0 Oppgave 12.1.12: a) Den homogene delen kan ganges med C: w(x) = Ce 1,2t + 0, 05t 1 24. b) Deriver w og sett inn b) w = w h + w p der w p = At + B, Bestem A og B. Oppgave 12.1.13: a) K (t) (P K )(gjenstår å lære) og dermed: K (t) = m(p K ) der m > 0 b) Man kan bruke enten separasjonsmetode eller løse K + mk = mp ved K = K h + K p. c) ca. 29,2 prosent Oppgave 12.1.14: a) Den partikulære delen er en konstant(1,2). Innsett y(t) = K i ligninge og vi får: K = 0, 4. b) Fordi den homogene delen av likningen(y + 3y = 0) er lineær og kan ha flere løsninger med å gange den homogene løsningen med "C". Ja: y(t) = Ce 3t + 0, 4 (lineær differensiallikning). c) y(0) = 1 gir: y(t) = 0, 6e 3t + 0, 4 12.1 Anvendelser i naturvitenskap og teknologi 15. april 2016 Side 10
Oppgave 12.1.15: 1 a) i) y = (1/2)x 2 + C ii)y = tan(x + ln x 1) b) i) y = C 1 + C 2 e x + 2e 3x ii) y = 2 cos 3x sin 3x + 2x 1 c) a) er ikke lineær og b) er lineær. Løsning: a) y = sin x + C b) y = Cesin x Oppgave 12.1.16: a) Endringen i vannvolumet tanken: V = v 1 v 2. b) V (T ) = 15 + T 0 (2 t t 2 + 1 )dt og V (7) = 24 1 2 ln(50) Oppgave 12.1.17: Det vil si y 0 tilfredsstiller likningen, det vi si, med å sette inn y 0 i likningen får vi 0: L[y 0 ] = 0. Den generelle løsningen er da y = y h + y p = Cy 0 + y 1. Bemerk at dersom y 0 er en løsning til den homogene likningen og hvis likningen er lineær, er Cy 0 er også en løsning. 12.1 Anvendelser i naturvitenskap og teknologi 15. april 2016 Side 11