Newtons lover i én dimensjon () 1..16 YS-MEK 111 1..16 1
Identifikasjon av kreftene: 1. Del problemet inn i system og omgivelser.. Tegn figur av objektet og alt som berører det. 3. Tegn en lukket kurve rundt systemet. 4. inn kontaktpunkter hvor kontaktkrefter angriper. 5. Navngi kontaktkrefter og definer symboler. 6. Identifiser langtrekkende krefter og definer symboler. 7. Tegn objektet med skalerte krefter. 8. Tegn inn koordinatsystemet. Newtons andre lov: net i i ma summen av alle ytre krefter som påvirker objektet og har årsak i omgivelsen. fri-legeme diagram YS-MEK 111 1..16
http://pingo.upb.de/ access number: 89189 Kan bier løfte en laptop? Ja Nei se også Mythbusters episode 156 «bug special» (1) YS-MEK 111 1..16 3
http://pingo.upb.de/ access number: 89189 Du prøver å løfte en stor plate med et helikopter. Platen er festet rett under helikopteret og veier mindre enn nyttelasten. Klarer du å løfte platen? Ja Nei system: helikopter + plate Er luften mellom rotor og plate del av systemet eller omgivelsen? YS-MEK 111 1..16 4
http://pingo.upb.de/ access number: 89189 En vogn står på en friksjonsfritt overflate. En kraftsensor på vognen er festet med en snor til en masse m som henger ned som vist i figuren. I starten holder du vognen. Når du slipper den, så vil spenning i snoren øke bli det samme minke når du holder vognen: T når du slipper: T T mg mg T ma mg mg YS-MEK 111 1..16 5
Newtons første lov: Alle legemer bevarer sin tilstand av ro eller jevn bevegelse i en rett linje, dersom det ikke blitt tvunget til å endre denne tilstand av krefter som blir påført. spesiell tilfelle som følger fra Newtons andre lov: net ma dv a dt v konst. husk: det gjelder bare for inertialsystemer. YS-MEK 111 1..16 6
Kraftmodeller Gravitasjon fra B påa mm r 3 AB r AB langtrekkende kraft på jorden mm m mg g 9.81 r s AB (rettet mot jordens senteret) YS-MEK 111 1..16 7
viskøs kraft for små hastigheter Eksempel: en ball beveger seg gjennom luften luften må flytte seg og strømme rundt ballen luftmotstand små hastighet jevnt strømning erfaring: luftmotstand er hastighetsavhengig empirisk modell fra eksperimenter D k v v mot bevegelsesretning tilnærming for små hastighet for sfære med radius R og væske med viskositet : k v 6R 1.81 5 Ns m luft: vann: 1.1 3 Ns m YS-MEK 111 1..16 8
viskøs kraft for større hastigheter større hastighet turbulent strømning undertrykk bak objektet empirisk modell fra eksperimenter D Dv mot bevegelsesretning tilnærming for stor hastighet for en sfære med radius R og en væske med tetthet : D 1. R Du behøver ikke huske uttrykket for k v og D, men du bør huske k v for små hastighet D v D Dv for stor hastighet YS-MEK 111 1..16 9
http://pingo.upb.de/ access number: 89189 En små stålkule med radius R og en større stålkule med radius R synker i en stor sylinder med olje. Hvilken kule synker fortere? den lille den store begge er like rask http://video.mit.edu/watch/steel-ball-dropped-in-a-viscous-fluid-84/ YS-MEK 111 1..16 1
Stålkuler som synker i olje D D k v v mg når D blir like stor som gravitasjonskraft nettokraft er null bevegelse uten akselerasjon terminalhastighet terminalhastighet: mg k v v t v t mg k v mg 6R for en kule: 4 m R 3 3 v t R YS-MEK 111 1..16 11
http://pingo.upb.de/ access number: 89189 Er det raskere å svømme i vann ( = 1.1-3 Ns/m ) eller i sirup ( = 1.91-3 Ns/m )? raskere i vann like rask raskere i sirup avhengig av teknikken eksperiment ved University of Minnesota: B. Gettelfinger, E.L. Cussler, Am. Inst. Chem. Eng. J. 5, 646 (4). se også: Mythbusters episode 6 (9) YS-MEK 111 1..16 1
jærkraft Eksperiment: vi måler kraften som trengs for å strekke en fjær. Hookes lov: kl k: fjærkonstant L L L L : likevektslengde stiv fjær myk fjær pass på fortegn: L kan også være negativ. Bruk intuisjon! Vi skriver ofte: kl YS-MEK 111 1..16 13
Eksempel: Et lodd av masse m = 1 kg er festet til en fjær med fjærkonstant k = N/m. Beregn elongasjonen til fjæren hvis klossen er i ro. x Systemet er i likevekt Vi måler posisjonen til loddet oppover. kontaktkraft fra fjæren til loddet gravitasjonskraft G Kraftmodell: Newtons andre lov: kl L L L net L L kl mg L mg k L ma 1kg 9.81m/s N/m L 4.9cm 4.9cm G mg YS-MEK 111 1..16 14
Eksempel: En masse m = 1 kg er festet til en fjær med fjærkonstant k = 1 N/m og kan bevege seg på et bord uten friksjon og luftmotstand. Massen beveger seg med v = 1 m/s ut fra likevektsposisjon. kontaktkrefter: kraft fra fjær til massen normalkraft N fra bordet til massen langtrekkende kraft: gravitasjonskraft G Normalkraft kompenserer gravitasjon: ingen bevegelse i y retning. N G kraft fra fjær til massen: kl NL: vi definerer x = i likevektsposisjon; hvis x > trekker kraften i negativ x retning: x kx ma a k m x kx initialbetingelser: x( t v( t ) m ) 1m/s YS-MEK 111 1..16 15
Numerisk løsning med Euler-Cromer: massen svinger frem og tilbake vi leser fra diagrammet: x max =.1 m v max = 1 m/s ved x = m Hva er perioden for svingning? YS-MEK 111 1..16 16
Analytisk: a kx d x dt k m x initialbetingelser: x( t v( t ) m ) 1m/s ansatz: x( t) Asin( t) Bcos( t) dx v( t) Acos( t) Bsin( t) dt a( t) dv dt d x dt Asin( t) Bcos( t) x( t) m k 1 N/m 1s 1kg frekvens: stiv fjær eller liten masse rask svingning 1 x( ) B v( ) A v v 1m/s A -1 1s v x( t) sin( t) v( t) v cos( t) amplitude: høy initialhastighet stor amplitude.1m YS-MEK 111 1..16 17
v [m/s] x [m] Svingning analytisk v x( t) sin( t) v( t) v cos( t)..1 -.1 numerisk -..5 1 1.5 t [s] 1-1 -.5 1 1.5 t [s] YS-MEK 111 1..16 18