LECTURES ON PLASTICITY THEORY NTNU, Fall 2006 Aase Reyes Based on lecture notes of Prof. Odd Sture Hopperstad Structural Impact Laboratory (SIMLab) Department of Structural Engineering Norwegian University of Science and Technology 1 Introduksjon hva er plastisitet? Alle materialer kan deformeres ved ytre krefter Elastisk materiale Deformasjonen er reversibel og tidsuavhengig Et legeme går tilbake til opprinnelig konfigurasjon med en gang den ytre kraften fjernes Viskoelastisk - deformasjonen er reversibel men tidsavhengig Deformasjonen kan øke med tiden, og avta sakte etter at lasten fjernes Plastisk materiale Deformasjonen kalles plastisk hvis den er irreversibel og permanent 2
Introduksjon Sprøtt materiale Kun elastisk deformasjon før materialet bryter sammen ved maks last Glass, betong, stein Duktilt materiale Kan tåle vesentlig plastisk deformasjon Plastisitetsteori Forhold mellom spenning-tøyning eller kraft-forskyvning for plastisk deformerende material eller konstruksjon Etablering av disse forholdene Observasjon av forsøk Matematisk representasjon av det som sees i forsøk Spenning som vanligvis oppnås i forsøk er enkel og uniforme endelig mål for plastisitetsteori er en generell matematisk formulering som kan forutsi den plastiske deformasjonen av materialer under kompleks belastning og randbetingelser 3 CONTENTS 1 Phenomenology of plastic deformations 2 Uniaxial behavior (enakset oppførsel) 3 Yield criteria (flytekriterier) 4 Plastic flow (plastisk flyt) 5 Work hardening (fastning) 6 General stress-strain relations 7 Strain rate & temperature - constitutive relations 8 Plastic instability and formability 9 Plastic anisotropy 10 Ductile fracture (duktilt brudd) 4
PHENOMENOLOGY OF PLASTIC DEFORMATIONS Hva karakteriserer plastisk deformasjon? 5 Nominal stress-strain curves s Aluminum alloys s Mild steel Instability Perfectly plastic behavior Work/Material hardening e e Yielding Diffuse necking Fracture Note: Linear relation between stressstrain: Hooke s law (elasticity) Work-hardening capacity and pre-necking ductility Post-necking ductility 6
Plasticity Theory 2005 Lecture 1 Phenomenology of plastic deformations Nominal stress-strain curves s Aluminum alloys s Mild steel Instability Perfectly plastic behavior Work/Material hardening e e Note: Yielding Diffuse necking Fracture Linear relation between stressstrain: Hooke s law (elasticity) Work-hardening capacity and pre-necking ductility Post-necking ductility 6 Typisk forsøk: Enakset strekk-forsøk brukes til å karakterisere plastisk oppførsel i materiale måler kraft og forskyvning - kan regne ut spenning og tøyning fra dette forskjellige materialer kan ha forskjellig oppførsel Aluminium kan kjennetegnes ved Typisk stål elastisk område opptil flyt plastisk område hvor materialet kan fastne en god del, det vil si, det kan tåle en del mer enn flytespenning Etter diffus necking (innsnøring) softening, og så brudd veldefinert flyteplatå kan være lettere å identifisere flytegrensen til stål etter platået kan materialet fastne på samme måte som aluminium og når diffus necking, fulgt av brudd Da det kan være vanskelig å bestemme flytegrensen til aluminium brukes ofte 0.2 grensen, dvs spenningen ved 0.2 % tøyning
Plasticity Theory 2005 Lecture 1 Phenomenology of plastic deformations Nominal stress-strain curves: AA6060 Stress (MPa) 225 T6 200 175 150 125 100 75 50 25 T4 Aluminum alloy AA6060 0 0 5 10 15 20 Strain (%) 7 Temper står for forskjellig varmebehandling Forskjellige temper av samme materiale kan ha helt forskjellig oppførsel: Temper T6 har veldig høy flytespenning, men lite fastning i forhold til temper T4 Temper T4 kan oppnå mye høyere tøyninger enn temper T6
Plasticity Theory 2005 Lecture 1 Phenomenology of plastic deformations Loading, unloading & reloading 2, 4 5 Load history: 1 8 1: First yielding in tension 2. Unloading 3. Reloading 1 3 6 4. Yielding in tension 5. Unloading 6. Yielding in compression 7. Reloading 7 8. Yielding in tension Note: Elastic deformations are reversible and path independent Plastic deformations are irreversible and path dependent 8 Mange materialer har lik oppførsel uavhengig om det strekkes eller trykkes på. Elastisk pålastning opptil flyt, så Laster på til første flyt i strekk Laster på videre plastisk deformasjon. Avlaster ved 2 inntil spenning=0 Laster på igjen elastisk oppførsel opptil flyt. Følger samme kurve fastner mer. Laster av igjen - elastisk, nå til trykkspenning oppnås. Materialet flyter i trykk, og deformeres plastisk - fastner på liknende måte som i strekk Laster på igjen, elastisk oppførsel inntil materialet flyter i strekk
Plasticity Theory 2005 Lecture 1 Phenomenology of plastic deformations Work hardening Y R 0 0 Definitions: Initial yield stress: 0 Hardening variable: R = f (history) Current yield stress (flow stress): Y = 0 + R 9 Work hardening fastning definisjoner Første flytespenning Fastnings variabel - R Nåværende flytespenning (flow stress)
Plasticity Theory 2005 Lecture 1 Phenomenology of plastic deformations The Bauschinger effect 0 Assumption: The material has the same initial yield stress 0 in tension and compression (this is often a reasonable approximation for metals) - 0R - 0 The Bauschinger effect: The yield stress under reversed loading is lower than the initial yield stress: 0R < 0 i.e. the centre of the elastic domain is shifted in the direction of loading 10 Simplified model: Kinematic hardening model En vanlig antakelse er at et materiale har lik initiell flytespenning i både strekk og trykk Forsøk viser at for en del materialer er flytespenningen ved reversert belastning lavere enn initiell flytespenning Denne effekten kalles Bauschinger effekten, og kompliserer modelleringen av plastisk deformasjon. En forenklet modell kalles kinematisk fastningsmodell og brukes gjerne for å modellere Bauschinger-effekten
Influence of strain rate Hittil har det vært snakk om sakte pålastning kvasi-statisk belastning Tøyningshastighet 10-2 10-3 /s Increasing strain rate ( 1 ) 1 log( ) Generell oppførsel (from Dieter, 1988) Flytespenning øker med økende tøyningshastighet, særlig ved lave plastiske tøyninger Tøyningshastighets-avhengighet øker med økende temperatur Dynamisk tøyningsaldring (flytespenning forandrer seg i løpet av tid) kan føre til negativ tøyningshastighets-avhengighet i visse temperatur- og tøyningshastighets- områder 11 Influence of temperature Ved økende temperatur kan sprø materialer bli mer duktile ( 1 ) Increasing temperature 1 T Generell oppførsel (from Dieter, 1988) Flytespenning synker og duktiliteten øker med økende temperatur, pga termisk aktiverte prosesser i materialet Fastning synker med økende temperatur Struktur-forandringer (i materialet) (presipitering, aldring, rekrystallisering) kan forandre generell oppførsel 12
Influence of hydrostatic pressure Bridgman (1947, 1952) : utførte strekk-tester i hydrostatisk trykk opp til 24000 atm Forsøksresultatene (Khan & Huang,1995) Volumet forandrer seg ikke permanent selv for veldig høyt trykk materialet kan antas å være plastisk inkompressibelt Spenning-tøyningskurven forandres ikke av hydrostatisk trykk ved lave tøyninger Duktiliteten øker ved hydrostatisk trykk Effekten av hydrostatisk trykk på flyt kan neglisjeres! Fundamental in plasticity theory 13 Influence of hydrostatic pressure Fra dette kan man sette opp følgende matematisk uttrykk (Inkompressibelt materiale total sann tøyning =0) True strain 1+ 2 + 3 = 0 l w t lwt lwt 0 ln + ln + ln = ln = 0 = e = 1 l0 w0 t0 l0w0t0 l0w0t0 l l0 l w w0 w e1 = = 1 e2 = = 1 l l w w 0 0 0 0 e t t t 0 3 = = t0 t0 1 Nominal strain ( e )( e )( e ) + 1 + 1 + 1 = 1 1 2 3 Sammendrag Flytekriterium for metaller er uavhengig av hydrostatisk trykk Porøse materialer viser trykk-sensitiv plastisk oppførsel porevekst i metaller ved stor plastisk deformasjon kan føre til trykk-sensitivitet av flyt 14
Idealizations of plasticity Virkelig materialoppførsel i det plastiske området er veldig sammensatt Må idealisere/forenkle/tilnærme den plastiske oppførselen for å forenkle løsningen Y Y Y Perfect plasticity Linear strain hardening Elastic - Perfect plastic Y Y 15 Elastic-plastic (Bilinear) Linear strain hardening Power law Non-linear strain hardening Bibliography Bridgman, P.W., 1947. The effect of hydrostatic pressure on the fracture of brittle substances. Journal of Applied Physics 18, 246. Bridgman, P.W., 1952. Studies in Large Plastic Flow and Fracture with Special Emphasis on the Effects of Hydrostatic Pressure. McGraw-Hill, New York. Dieter, G.E., 1988. Mechanical Metallurgy. McGraw Hill, Singapore. Khan, A.S., Huang, S., 1995. Continuum Theory of Plasticity. John Wiley & Sons Inc., New York. 16