HAVBØLGER Her skal vi gjennomgå den enkleste teorien for bølger på vannoverflaten: Airy teori, også kalt lineær bølgeteori eller bølger av første orden Fremstillingen her vil temmelig nøyaktig følge kompendiet Introduksjon til bølger og bølgekrefter Strengt tatt finnes det en teori til for bølger på vannoverflaten. Det gjelder bittesmå bølger: kapillærbølger. ( Krusninger på vannet.) De settes opp av samspillet mellom overflatespenning og treghetskraft, mens Airybølger settes opp av samspillet mellom tyngdekraft og treghetskraft 1
Ekstrembølger (1)
Ekstrembølger () 3
Ekstrembølge, 3 Ryc. 9.. Ekstremalnie wysoka fala wśród znacznie niższych fal martwych. Pogoda całkowicie bezwietrzna, statek ("Esso Nederland") płynie na Prądzie Agulhas na wysokości Port St.John's. 1978 r. Reprodukcja fotografii z 4 Mariners Weather Log.
z+dz z Kontinuitetsligninga (på differensialform) z (w) u x u x+dx + x dx x (u) Kontinuitet: Det skisserte elementet ligger på et fast sted i væsken, med nederste venstre hjørne ved (x,z) og øverste høyre hjørne ved (x+dx,z+dz), se figur Væsken er inkompressibel Da må det strømme like mye inn, i som ut av elementet! Figuren antyder strømningen i x-retningen: For venstre side, med sideflate (dz*1): Innstrømning pr. sekund (u dz): For høyre side, utstrømning pr. sekund : Netto strømning ut, i x-retningen: Netto strømning ut, i z-retningen: Summerer og forkorter (dx dz) u + dx dz x dx dz x w dz dx z w + = (Cyklisk ombytting) ( u =) 5
Rotasjonsfri bevegelse z (w) z z w x x (u) Gjennomsnittlig rotasjon: 1 w 1 ω = ω = u Ingen rotasjon: w = 6
Innfører et potensial φ Innfører en ny ukjent φ som er slik at u φ =, w = φ Med disse hastighetene er strømmen automatisk rotasjonsfri: w = φ φ Kontinuitetsligninga : w + = gir φ φ = + Med del-operatoren = i + x z j gir dette: φ = (Laplace ligning) Potensialteori, ideell væske 7
Oppsummering Rotasjonsfri og kontinuerlig strøm potensialteori Potensialet φ kan finnes fra differensialligningen : (Denne kalles Laplace ligning) Alternativ skrivemåte: φ = φ φ = + Når φ er kjent, kan hastighetene finnes : u φ = w = φ 8
Transportakselerasjon Ser først på hastigheten i x-retningen: u(x,z,t) Vi vil bestemme hastighetsendringen når vi følger partikkelen: Starter med et totalt differensial: du( x, z, t) = dx + dz + dt t Dette er en liten økning ( et inkrement ) av hastigheten, u, og avhenger (naturligvis) av de små størrelsene dx, dz, dt Dividerer med et kort tidsintervall dt: du( x, z, t) dx dz dt = + + dt dt dt t dt Når vi følger partiklene, er dx og dz funksjoner av t, slik at dx/dt, dz/dt har en spesiell betydning dx dt dz du( x, z, t) u u u = u, = w Altså = + w+ Crowe (4.11), dt dt t Moe(.7) 9
Akselerasjon av et lite væskevolum Total akselerasjon: Du = + u + w Dt t u t forteller om endringen pr tidsenhet av farten på et gitt sted (x,z) i væsken. Altså akselerasjon av strømfeltet på dette stedet. u u x forteller om endringen pr tidsenhet av horisontalhastigheten når en følger strømmen i x-retningen til et sted med høyere hastighet. forteller nemlig hvor mye horisontalhastigheten endres pr. meter i x-retningen, x og u forteller hvor mange meter en flytter seg i x-retningen pr. tidsenhet. w z forteller om endringen pr tidsenhet av horisontalhastigheten når en følger strømmen i z-retningen til et sted med høyere hastighet. / forteller om hvor mye horisontalhastigheten endres pr. meter i z-retningen, og w forteller hvor mange meter en flytter seg i z-retningen pr. tidsenhet. 1
Akselerasjon i væsken - tolkning z Du Dt kalles materiell derivert eller substansiell derivert og representerer hastighetsendring når vi følger væskepartikkelen u x x D u = + u + w D t t Hastighetsendring fordi partikkelen flytter seg til et sted i væska med en annen hastighet t Endring av u på et gitt sted u, w kalles transportakselerasjoner, eller konvektive akselerasjoner 11
Akselerasjon i væsken - eksempel D u = + u + w D t t Antar stasjonær strøm, dvs: Gitt: (a) Hastigheten ved x= er u= m/s. (b) Ved x=.5m er tverrsnittet 1% mindre. t = Ved x=.5 m blir u=/.9=. m z x Endringen i hastighetsfeltet blir da: u x. = =.5.44 t Endring av u på et gitt sted (= ) Hastighetsendring fordi partikkelen flytter seg til et sted i væska med en annen hastighet = atransp u.44.88 m/s x = (transportakselerasjon) 1
Eulers ligninger - Venstresiden (Dette kommer direkte fra Newtons. lov, også kalt bevegelsesligningene, Momentum equation ) Kompendiet behandler tilfellet der skjærspenningene er ubetydelige, noe som fører til Eulers ligninger (Også presentert i Crowe 5.1 og 5.11. Den formen er gyldig langs en strømlinje.) Hvis skjærkreftene også tas med, får en de generelle bevegelses-ligningene: Navier-Stokes ligninger. (Crowe 6.37-6.4. Er også forelest av Nils R. Olsen (?) ) Venstresiden: Bruker Newtons. lov for et lite væskevolum dx dz*1 Masse: ρ dx dz*1 Akselerasjon: Du = + u + w Dt t (Høyresiden: Kraft på samme volum, se neste bilde!) 13
Eulers ligninger Høyresiden (Krefter) z (w) p p p + dx x Vi antar at skjærspenningene τ xz = τ zx =. Da blir normalspenningene i x- og z- retningene like: τ xx = τ zz = - p dz X Trykkforskjell i x-retningen gir: z p dx dz (Mot venstre, dvs. minus) x (u) x x+dx X: Kraft pr. volumenhet, oftest egenvekt. (Hvis z er vertikal oppover, blir X lik null) Volumkraft på elementet: X dx dz Sum krefter på elementet ( Høyresiden ): p + x X dx dz 14
Eulers ligninger Setter høyre side lik venstre side og dividerer med massen, ρ dx dz + u + w = 1 p + X t x z ρ x ρ Moe, (.11a) Tilsvarende ligning for z-retningen (fås ved å bytte x og z, u og w samt X og Z): w + u w + w w = 1 p Z + t ρ ρ Moe, (.11b) Med z-aksen vertikal oppover, blir X=, og Z = - ρ g Dermed + u + w = 1 p t ρ w + u w + w w = 1 p g t ρ (For x-retningen) (For z-retningen) 15
Bernoulli Den vanlige Bernoulli-ligningen gjelder langs en strømlinje og kan utledes fra Eulers ligning langs en strømlinje, se Crowe, 5.1 5.13b. Der forutsettes det at strømmen er stasjonær, altså at strømbildet ikke forandrer seg med tiden dvs: t og w t overalt og bestandig. Da gjelder: p +γz+ρu /= konst. (langs strømlinjen) Bernoulli - Type Vi trenger en ligning som er gyldig for ikke-stasjonær strøm (tidsvarierende strøm), dvs t og w t Dette får vi til hvis strømmen er rotasjonsfri. Da blir: ϕ + 1 p u w + + + gz = konst t ρ (Dette vil bli vist på de neste 3 arkene) Moe (.17) 16
Bernoulli-Type Ser på Eulerligningen i z-retningen: w + u w + w w = 1 p g t ρ Antar rotasjonsfri strøm: w = Setter inn for w/ i. ledd ovenfor : w 1 u + w = ( u + w ) Første ledd kan skrives som en z-derivert, v. hj.a.: w φ = z w φ = t t Siste ledd kan også skrives som en z-derivert: g = z ( g z) Med konstant ρ kan da Eulerligningen for z-retningen skrives: φ 1 p + ( u + w ) + + gz = t ρ 17
Bernoulli-Type (forts.) Dersom vi bytter u og w, samt x og z i Euler-ligningen for z-retningen, får vi nesten ligningen for x-retningen. Men siste ledd skal fjernes, det har jo med tyngdeeffekten å gjøre, og er -g for vertikal, men for horisontal retning! (Syklisk ombytting blir da ikke korrekt.) z Vi må derfor fjerne leddet ( gz) før vi begynner med å bytte x og z, samt u og w Resultatet blir: Legger til uttrykket φ p + ( u + w ) + = t ρ = ( gz) for å få samme hakeparentes som for z-retningen φ p + ( u + w ) + + gz = t ρ 18
Bernoulli Type (siste) Kaller hakeparentesen: φ 1 p F ( x, z, t) = + ( u + w) + + gz t ρ F( x, z, t) F( x, z, t) = = Nå vet vi at Altså avhenger F bare av t. Denne funksjonen av t trekker vi inn i φ slik at vi til slutt skriver: φ 1 p + ( u + w ) + + gz = C t ρ (Bernoulli Type ) C er en konstant, og u og w kan naturligvis uttrykkes via φ 19