Newtons lover i én dimensjon 6.01.017 YS-MEK 1110 6.01.017 1
Hva er kraft? Vi har en intuitivt idé om hva kraft er. Vi kan kvantifisere en kraft med elongasjon av en fjær. YS-MEK 1110 6.01.017
Bok på bordet ingen bevegelse ingen kraft? Hva skjer med gravitasjonen når boken ligger på bordet? Gravitasjon virker på boken om den ligger på bordet eller ikke men bordet hindrer boken å falle ned. Hvis boken ligger på bordet må nettokraft være null, ellers vil boken beveger seg. det må være en kraft fra bordet på boken som kompenserer gravitasjonskraften modell: fjær mellom boken og bordet: boken dytter på fjæren som dytter på bordet fjæren blir komprimert og dytter tilbake på boken mikroskopisk deformasjon i overflaten normalkraft kraft er normal (vinkelrett) til overflaten gravitasjon: langtrekkende eller fjernkraft normalkraft: kontaktkraft YS-MEK 1110 6.01.017 3
Identifikasjon av krefter Vi skiller mellom systemet (=bok) og omgivelsen (= alt annet: bord, luft rundt boken) Alle krefter som virker på systemet har en årsak i omgivelsen. Vi vurderer bare ytre krefter, ikke indre (f.eks. krefter mellom sidene). Krefter er enten kontakt- eller langtrekkende krefter. Vi identifiserer angrepspunktene, som er ofte symbolisk: gravitasjon virker på hele boken normalkraft virker på alle atomer i snittflaten kraft er summen av alle små kontribusjoner: superposisjonsprinsippet. YS-MEK 1110 6.01.017 4
ri-legeme diagram diagram som inneholder alle kreftene som virker på et legeme viktig verktøy for å finne ut hvordan et legeme beveger seg Oppskrift: Eksempel: bungee jump 1. Del problemet inn i system og omgivelser. system: person; omgivelse: tau, luft. Tegn figur av objektet og alt som berører det. 3. Tegn en lukket kurve rundt systemet. 4. inn kontaktpunkter hvor kontaktkrefter angriper. Personen er i kontakt med tauet og med luften. 5. Navngi kontaktkrefter og definer symboler. Kraft fra tauet på personen: T Luftmotstand: D 6. Identifiser langtrekkende krefter og definer symboler. Gravitasjonskraft: G 7. Tegn objektet med skalerte krefter. 8. Tegn inn koordinatsystemet. YS-MEK 1110 6.01.017 5
kraft akselerasjon (Tanke-) Eksperiment Vi trekker på en fjær med kraft slik at lengden blir x = x 0 + x m 1 Vi fester en masse m 1 og slipper. jæren trekker på massen med kraft og vi måler akselerasjonen a 1. m Vi fester en masse m og slipper. jæren trekker på massen med kraft og vi måler akselerasjonen a. m a 1 m a Vi finner: 1 YS-MEK 1110 6.01.017 6
Newtons andre lov: ma Vi kan ikke bevise loven. Eksperimenter viser at loven er riktig. Endringen av bevegelsen er alltid proporsjonal med den motiverende kraft som blir påført, og blir gjort i den rettlinjede retning i hvilken denne kraft blir påført. Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, 1687 Isaac Newton 1643-177 YS-MEK 1110 6.01.017 7
Newtons andre lov: ma er gyldig i inertialsystemer. I et akselerert referansesystem må vi innføre fiktive krefter. gjelder punkt-partikkler. Vi kan bruke NL for utstrakte objekter hvis vi bruker massesenteret. inertialmasse m er en egenskap av et legeme: motstanden mot akselerasjon (= treghet) enhet: kg gjelder summen av alle ytre krefter som påvirker objektet: netto kraft Ytre krefter har årsak i omgivelsen. net i i ma d x er en vektor likning gyldig for hver komponent: x max m dt kreftene er additiv: superposisjonsprinsippet krefter måles i enhet: 1 kg m/s = 1 N = 1 Newton YS-MEK 1110 6.01.017 8
Eksempel To krefter virker på en vogn: 1 trekker til høyre med 6000 N, trekker til venstre med 1000 N. Massen til vogn er 500 kg. Du kan se bort fra andre krefter. Hva er akselerasjonen? 1 = 6000 N i = 1000 N i i : enhetsvektor i x retning net = 1 + = 6000 N i 1000 N i = 5000 N i NL: net ma a = net m = 5000 N i 500 kg = m/s i YS-MEK 1110 6.01.017 9
Eksempel: bordtennisball-kanon inn hastighet til bordtennisball når den kommer ut av kanonen. Identifiser: Modeller: Løs: Analyser: Hvilket objekt beveger seg? Hvordan måler vi? Definer et koordinatsystem. inn initialbetingelsene. inn kreftene som påvirker objektet. Beskriv kreftene med en modell. Bruk Newtons andre lov for å finne akselerasjonen. Løs bevegelsesligningen. d x dx a x,, t dt dt med initialbetingelser (analytisk eller numerisk). inn hastighet og posisjon. Er resultatene for x(t) og v(t) fornuftig?. Bruk resultatene for a svare på spørsmålet. Interpreter resultatene. YS-MEK 1110 6.01.017 10
Identifiser: Hvilket objekt beveger seg? Hvordan måler vi? Definer et koordinatsystem. Ballen beveger seg. Vi måler horisontal posisjon med x(t) Ved t 0 = 0 er x 0 = 0 m og v 0 = 0 m/s. inn initialbetingelsene. Modeller: G P Kontaktkraft: kraft fra luft på ball: P Lufttrykk: P 10 5 N/m Tverrsnitt: A = πr = π (0.0 m) = 0.0013 m P = PA = 15.7 N inn kreftene som påvirker objektet. Beskriv kreftene med en modell. Bruk Newtons andre lov for å finne akselerasjonen. G P : vi kan neglisjere gravitasjon NL: = P + G P = ma a = P m = Langtrekkende kraft: Gravitasjon: G = mg = 0.007 kg 9.81 m/s = 0.065 N 15.7 N 0.007 kg = 4.65 104 m/s YS-MEK 1110 6.01.017 11
Løs: Løs bevegelsesligningen. d x dx a x,, t dt dt med initialbetingelser (analytisk eller numerisk). inn hastighet og posisjon. a t = 4.65 10 4 m/s = konst. x 0 = 0 m v 0 = 0 m/s a = dv dt v = dx dt v t x t = v 0 + at = at = x 0 + v 0 t + 1 at = 1 at Analyser: Hvor mye tid bruker ballen gjennom kanonen? Er resultatene for x(t) og v(t) fornuftig?. Bruk resultatene for a svare på spørsmålet. x t 1 = 1 at 1 = 0.8 m t 1 = x a = Hva er hastigheten etter den tiden? 1.6 m 4.65 10 4 m/s = 0.0059 s Interpreter resultatene. v t 1 = at 1 = 73 m/s = 98 km/h YS-MEK 1110 6.01.017 1
Eksempel: trinse system: trinse omgivelse: tau, akse, luft (loddene og taket er ikke i kontakt med trinsen) kontaktkrefter: normalkraft fra aksen på trinsen: N kraft fra tauet på trinsen venstre/høyre: T A, T B langtrekkende krefter: gravitasjonskraft: G (på grunn av massen til trinsen, ikke loddene) m A m B x YS-MEK 1110 6.01.017 13
Eksempel: lodd i trinsen T x T system: lodd A omgivelse: tau G A system: lodd B omgivelse: tau G B x m A m B NL for lodd A: NL for lodd B: summe T m m B A g m g T m m A = 0.55 kg, m B = 0.56 kg Beregn akselerasjonen. A B a a ( mb ma) g ( ma mb ) a ma m B m A går opp, m B går ned a er det samme for begge loddene. Jeg velger x aksen slik at a er positiv. Lodd B starter med v 0 =0 m/s ved posisjon x 0 =0 m. Hvor mye tid bruker lodd B for å komme til x=1 m? akselerasjon: a m m B A m m A B g x 1 at t x a a 0.01 1.11 g 0.088 m/s t m 0.088 m/s 4.76s Vi tester Newtons andre lov: https://www.youtube.com/watch?v=4ovheksiqv0 YS-MEK 1110 6.01.017 14
Kraftmodeller vi har en oppskrift for å identifisere kreftene fri-legeme diagram vi bruker Newtons andre lov for å finne akselerasjonen fra summen av ytre krefter vi kan løse bevegelsesligningene (analytisk eller numerisk) vi vet ikke hvordan vi kan beskrive / kvantifisere de forskjellige krefter vi trenger kraftmodeller Modeller: inn kreftene som påvirker objektet. Beskriv kreftene med en modell. Bruk Newtons andre lov for å finne akselerasjonen. YS-MEK 1110 6.01.017 15
Gravitasjon Isaac Newton har også oppdraget gravitasjonsloven (fra empirisk observasjon) fra B påa mm r 3 AB r AB : gravitasjonskonstant m: gravitasjonsmasse til A M: gravitasjonsmasse til B : vektor fra senteret av A til senteret av B r AB inertialmasse: treghet et legemes motstand mot å forandre hastighet gravitasjonsmasse: definert av gravitasjonsloven Eksperimenter finner ingen forskjell mellom inertialmasse og gravitasjonsmasse. YS-MEK 1110 6.01.017 16
på jordoverflate fra B påa mm r 3 AB r AB 6.6738410 M 3.973610 11 4 3 m kg s kg r AB 6.37810 6 m (posisjonsavhengig) Gravitasjonskraft er rettet mot jordens senteret. mm m mg g 9.81 r s AB hvis ingen andre krefter enn gravitasjon virker: net m g g m a i m i : inertialmasse, m g : gravitasjonsmasse a m m g i g m i m g alle legemer faller med samme akselerasjon ekvivalensprinsippet YS-MEK 1110 6.01.017 17
Eksempel: heis En heis med masse m H = 400 kg beveger seg opp med en maksimal akselerasjon a max =.0 m/s. Den maksimale nyttelasten er m L = 1600 kg. Hva er den maksimale kraften som virker på kabelen? Det er heisen som beveger seg. Vi måler posisjonen i x retning oppover. Heisen er i kontakt med kabelen og med luften rund seg. Nyttelast er innenfor systemet og forårsaker ingen ytre krefter. Kontaktkrefter: Kraft fra kabelen på heisen: Vi ser bort fra luftmotstand. Langtrekkende krefter: Gravitasjon: G YS-MEK 1110 6.01.017 18
Kraftmodeller: Kraft fra kabelen på heisen er ukjent den skal vi beregne! Vi vet at den virker oppover: Gravitasjon: G mgiˆ iˆ NL: net G iˆ mgiˆ maiˆ m( g a) Kraften avhenger akselerasjonen av heisen. Den maksimale kraften oppstår hvis a = a max og med den maksimale nyttelasten (m = m H + m L ). max m max ( g amax ) ( mh ml )( g amax ) max (400 kg 1600 kg)(9.81 m/s m/s ) 47.4 kn YS-MEK 1110 6.01.017 19
http://pingo.upb.de/ access number: 45786 Du står på en vekt i en heis som beveger seg nedover med konstant hastighet og vekten viser 70 kg. Når du nærmer deg første etasje begynner heisen å bremse. Da viser vekten mer enn 70 kg 70 kg mindre enn 70 kg system: person omgivelse: vekt, luft krefter: gravitasjon G normalkraft N G N G N x v 0 Når heisen bremser: akselerasjon i x retning nettokraft i x retning N G Vekten måler normalkraften. Gravitasjonskraft er konstant: G mg m konst YS-MEK 1110 6.01.017 0 G N x v 0 a
http://pingo.upb.de/ access number: 45786 En person på 60 kg står i en lukket kiste på 10 kg som står på en vekt. Vekten viser 70 kg. Hun hopper opp i luften. Mens hun er opp i luften innenfor kisten så viser vekten N > 70 kg N = 70 kg 10 kg < N < 70 kg N = 10 kg strekke kne a>0 N>G G N x Det spiller ingen rolle om hun hopper i en kiste eller direkte på en vekt. G er konstant siden massen endrer seg ikke, men N kan variere. N bremse etter landing a>0 N>G bøye kne a<0 N<G uten kontakt: fritt fall YS-MEK 1110 6.01.017 1 t
http://pingo.upb.de/ access number: 45786 En fugl på 1 kg står i en lukket kiste på 10 kg som står på en vekt. Vekten viser 11 kg. uglen hopper opp i luften og flyr på en konstant høyde. Mens fuglen er opp i luften innenfor kisten så viser vekten N > 11 kg N = 11 kg 10 kg < N < 11 kg N = 10 kg N < 10 kg I motsetning til personen som hopper er fuglen ikke i fritt fall. Luften i kisten må bære fuglen. Normalkraften fra vekten på systemet kiste, luft, fugl er den samme som i tilfelle at fuglen står i kisten. or eksperimentell bevis se: Mythbusters, sesong 5 (007), episode 8 YS-MEK 1110 6.01.017