DET TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET EKSAMEN I: BIT260 Fluidmekanikk DATO: 15. mai 2007 TID FOR EKSAMEN: kl. 09-13 (4 timer) TILLATTE HJELPEMIDDEL: Bestemt, enkel kalkulator (kode C) Ei valgfri standard formelsamling OPPGÅVESETTET ER PÅ 5 OPPGÅVER PÅ 5 SIDER, INKL. DENNE FORSIDA OG EIT KURVEBLAD MERKNADER: OPPGJEVE: Tabellverdiar: g = 9.80665 m/s 2 ρ vatn = 998.2 kg/m 3 ρ luft = 1.205 kg/m 3 ν vatn = 1.003 10 6 m 2 /s ν luft = 1.50 10 5 m 2 /s (verdiar ved 20 o C og 1 atm) Formeluttrykk: τ = µ du dy µ u y ΣF = Σ(ρQV ) ut Σ(ρQV ) inn Q = π 4 D2 V h f = f L D V 2 2g O sylinder = 2πrL Re = VD ν P = Γω ν = µ ρ = ( x, y, z ) u = φ u = u x + v y + w z ( u) x = w y v z ( u) y = u z w x ( u) z = x v u y ξ = u 1
Oppgåve 1 Figuren syner opplagringa av ein aksling med diameter d = 2r i eit lager med indre diameter D = 2R og lengde L. Klaringa mellom aksling og lager antar vi er den same heile vegen rundt, og er mykje mindre enn akslingsdiameteren. Lageret er fylt av ei smøreolje med viskositet µ. Akslingen roterer med vinkelfrekvensen ω = 2πf. Snøggleiksdifferansen mellom overflatene på grunn av rotasjonen er rω. Oppgjevne talverdiar: r = 4 cm R = 4.015 cm L = 11.81 cm f = 2 s 1 µ = 0.12 Ns/m 2 a) Syn at skjærspenninga ved akslingen blirτ µrω/(r r). (Syn rekninga!) b) Grei ut kvifor det totale viskøse dreiemomentet blirγ=µ R r rω 2πr2 L. c) Rekn ut P, energitapet pr. tidseining på grunn av viskositeten, med benemning W (watt). (Syn rekninga!) Oppgåve 2 Figuren syner ein turbojetmotor sett frå flyet den er festa til. Den tar inn luft vassbeint ved standardatmosfæretrykk og 20 o C ved venstre tverrsnitt, der arealet era 1, og snøggleikenv 1 har storleik lik flyets snøggleik. Forholdet mellom massestraumratene for brensel og innstrøymande luft er R. Eksosen går ut av høgre tverrsnitt med snøggleik V 2, framleis med standardatmosfæretrykk anteke. F x er den vassbeine krafta frå flyet på grunn av fastspenninga av motoren, som balanserer motorens skyvkraft. Oppgjevne talverdiar: A 1 = 0.0407 m 2 V 1 = 280 m/s V 2 = 550.15 m/s R = 1 : 26 a) Rekn ut vektstraumraten(ρgq) brensel for flybensinen. b) Rekn ut eksosens massestraumrate(ρq) ut. c) Rekn ut storleiken av F x. 2
Oppgåve 3 Ein seksjon av ein modell med høgdeh m av et damoverløp er plassert i ei renne i eit laboratorium, der vasshøgda over demninga erh m, og breidden av modellseksjonen erb m. Modellforholdet er λ = H m /H p, men breidden b m av modellseksjonen har ikkje samme forhold til breiddenb p av prototypen. Volumstraumraten over demninga i modellen er Q m, og pr. breiddeeiningq = Q/b. Talverdiar til bruk i punkt c): b m = 32 cm Q m = 25.6 l/s λ = 1/16 b p = 390.65 m Π-teoremet gjev ein funksjonssamanhengφ(π 1,Π 2 ) = 0 mellom 2 dimensjonslause grupper Π 1 = gh3 q 2, Π 2 = h H a) Syn (ta med rekninga!) at volumstraumraten pr. breiddeeining, både for modellen og prototypen, er dermed gjeven ved (derφ 1 er ein funksjon som må bestemmast ved eksperiment) q = gh 3/2 Φ 1 ( h H ) b) Ved dynamisk similaritet er Π 1,p = Π 1,m og Π 2,p = Π 2,m. 1 Syn at det medfører (ta med rekninga!) at q p q m = λ 3/2 c) Rekn utq p og Q p for prototypen. Oppgåve 4 Eit røyr av støypejarn med lengde L, diameter D og ruleik ǫ skal føre vatn med kinematisk viskositet ν vatn ved 20 o C, med volumstraumrate Q. Headtapet h f på grunn av friksjon er kjent. I denne oppgaven skal ein finne naudsynt røyrdiameter D når alle dei andre storleikane er kjent, dvs. et type-3 problem med iterasjon. Oppgjeve: L = 60.93 m ǫ st.jern = 0.25 mm Q = 196.9 l/s h f = 4.0 m (forts. neste side) 1 Dette gir like Froudetal, liksom i tilsvarande løysing i oppgåvesamlinga, men det treng du ikkje tenke på i denne oppgåva! 3
a) Finn taluttrykkene for ǫ/d, V og Re uttrykt ved D, når SI-talverdiar er sett inn for de andre storleikane. b) Finn taluttrykket for D = D(f) når SI-talverdiar er sett inn, på formen D = konstant f 1/5. c) Finn verdien av f ved å iterera D = D(f) og Re = Re(D) sammen med Moodydiagrammet, inntil f ikkje forandrer seg. Vis rekninga! (Velg f. eks. f start = 0.02, midt i Moody-diagrammet.) d) Kva verdi fann du for minste røyrdiameterd? Oppgåve 5 Ei inkompressibel væske strøymer med eit snøggleikspotensial gjeve i kartesiske koordinater som φ = 1 2 a(x2 +y 2 2z 2 ) (a > 0) a) Finn snøggleikskomponentaneu,v ogw. b) Oppfyller snøggleikene kontinuitetslikninga? (Grunngjev svaret ved rekning!) c) Er straumen kvervlingsfri? (Begrunn svaret ved regning!) Korleis kunne du ha forutsett resultatet? På grunn av atv/u = y/x og u 2 +v 2 x 2 +y 2 er det rotasjonssymmetri kringz-aksen, og i det følgjande er det difor tilstrekkeleg å se på straummen ixz-planet: d) Straumlinene i xz-planet oppfyller likninga dx/u = dz/w. Integrer likninga og finn et uttrykk for straumlinekurvane ixz-planet, uttrykt ved ein generell integrasjonskonstant. e) Teikn ein skisse av straumlinene i xz-planet for z > 0, med pilretninger sett på. Kva kan det fulle 3D straumfeltet for eksempel representere? 4
God sumar 5