ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 Hva er dekket i disse otatee? Seks forelesiger av meg i ECON2200 våre 2010 8. og 22. februar, 2., 9. og 15. mars og 3. mai Legges ut på emeside madag kl. 10 (til forelesig madag kl. 14.15) eller madag kl. 14 (til forelesig tirsdag kl. 8.15) Gir hovedtrekkee i teori-gjeomgage Ikke (alle) figurer, ikke eksempler Derfor: Nyttig å otere på forelesigee Språk: Stikkord og ufullstedige setiger for å spare plass I dag: Produktfuksjoer og kostadsfuksjoer Kjeer disse begrepee fra ECON1210 (eller likede emer) Nytt her: Bruke matematikk til å se ærmere på egeskapee Fie hvilke valg ( hvilke tilpasig ) som gir lavest kostader Fie hvilke valg som gir høyest overskudd Bruker bl.a. førsteordesbetigelser for miimum og maksimum 1
ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 Produktfuksjoer E produktfuksjo, = f(v 1, v 2,..., v m ), gir sammehege mellom faktorisats og produksjo for e viss type produksjo Fuksjoe ka f.eks. beskrive e bestemt bedrift (et alegg), eller e bestemt produksjosprosess (f.eks. produksjo av spiker ved hjelp av maskier, arbeidskraft, eergi og stål). Fuksjoe beskriver hva som skjer i løpet av e viss periode, som vi ofte lar være å spesifisere ærmere i teoretiske drøftiger, me som må spesifiseres år teorie skal avedes Slik fuksjoe f er skrevet ovefor, er det m forskjellige isatsfaktorer Tallet m vil (ofte) være forskjellig for forskjellige prosesser Likige sier at hvis faktoree brukes i megdee v 1, v 2,..., v m, så blir det produsert e megde av produktet, Hva betyr...? Slik likige er skrevet, må vi teke oss at megde som brukes av faktor 3, kalles v 3, megde som brukes av faktor 4, kalles v 4, o.s.v. 2
ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 Fysisk eller økoomisk sammeheg? Megdee av isatsfaktorer og produkt måles i fysiske eheter E produktfuksjo er e fysisk sammeheg, upåvirket av priser økoomisk atferd To forbehold: Vi forutsetter oftest at det er gratis å kvitte seg med overflødige megder av e isatsfaktor, fri skrotig Vi forutsetter at det ikke sløses, dvs. at f(v 1,..., v m ) defieres som det maksimale som det er mulig å produsere av produktet med disse megdee av isatsfaktoree og det spesifiserte alegget (eller prosesse) (For oe f-fuksjoer og oe (v 1,..., v m )-vektorer ka fordelig av isatsfaktoree på flere like alegg gi større produksjo) Hva medfører dette for fuksjosforme? Fuksjoe er voksede i alle argumeter Hvis de er deriverbar, betyr det f(v 1,..., v m ) v i 0 for alle i og overalt (dvs. for alle faktorvektorer (v 1,..., v m )). Det står ikke at de er stregt voksede (derivert > 0) 3
ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 Geerelle eller spesifikke fuksjoer? For å lage økoomiske teorier: Øsker geerelle fuksjoer Kaller produktfuksjoe f.eks. (jfr. læreboka, ØABL): F () hvis det er bare e isatsfaktor, (f.eks. arbeid), f(, k) hvis det er to isatsfaktorer, og k, f(v 1, v 2,..., v m ) hvis det er et atall, m, isatsfaktorer Teori gjør gjere forutsetiger ut over at fuksjoe er voksede, f.eks. F er kotiuerlig eller kokav Fortsatt e lag rekke fuksjoer som oppfyller disse betigelsee Mer spesifikke fuksjoer, typisk brukt i øvigsoppgaver: f() = a b der a og b er positive kostater, eller f.eks. f() = a (1 ) b +1 Ka evt. forutsette oe mer om f.eks. b (0, 1) Øvigsoppgaver starter ofte geerelt, gir flere betigelser etter hvert Eda mer spesifikke: Helspesifisert, f.eks. f() = 417 0,81 Helspesifisert er typisk brukt i umerisk økoomisk aalyse Tallee ka f.eks. estimeres (statistikk, økoometri) fra data 4
ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 E, to eller flere isatsfaktorer? I ØABL (s. 26) er tilfellee m = 1 og m = 2 evt spesielt Skal se at det er spesielle gruer til å drøfte disse, me også det geerelle tilfellet der m er et uspesifisert tall (og iblat spesifiserte m større e 2) Matematisk sett kue vi gjere la m være uspesifisert, et hvilket som helst heltall E stor m er kaskje mest realistisk, treger gjere både maskier, arbeidskraft, eergi og mage råvarer for å produsere Vil likevel studere mer igåede f(, k), er arbeidskraft, k er kapital F (), med bare arbeidskraft som isatsfaktor f(, k), altså m = 2, yttig bl.a. for grafisk framstillig m = 1 er urealistisk som bokstavelig tolkig Pedagogisk yttig likevel å starte med det ekleste Dessute, viktig tolkig som korttidsproduktfuksjo, = f(, k) F () der kapitale k er kostat på kort sikt Ifører tidsdimesjo og ulik fleksibilitet: Rimelig å teke at det tar tid å edre k, mes ka edres raskere Ka drøfte økoomisk atferd på kort sikt, for gitt k 5
ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 Deriverbarhet; grese- og gjeomsittsproduktivitet Atar i dag m = 1, evt. begruet ved f(, k), k kostat Ser ofte på fuksjoer som er kotiuerlige og deriverbare Av og til bare stykkevis deriverbare; oe kekkpukter Teker oss at faktorer og produkt er uedelig delbare Med bare e isatsfaktor er greseproduktivitete F () (Tilærmet) hvor mye mer produksjo år øker med 1 Med m = 1 er gjeomsittsproduktivitete F ()/ Hvor mye blir produsert per ehet av isatsfaktore ØABL ser på dette for oe ekle, typiske fuksjosformer 6
ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 Tolker grese- og gjeomsittsproduktivitet grafisk Sammmeheg grese- vs. gjeomsittsproduktivitet Ka vise (ØABL s. 35) at ) d ( F () d > 0 F () > F () Begruelse: De deriverte er ) d ( F () d = F () F () 2 = F () F () I et -itervall der F () > F () I et -itervall der F () < F (), vil F (), vil F () være voksede være avtakede 7
Figur 1: Produktfuksjo = F (), stigigstall F ( 1 ) og F ( 1) 1 F() 1 1 8
ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 Elastisitet, forholdet mellom små relative edriger De førstederiverte F () måler forholdet mellom e edrig i fuksjosverdie ( F ) og e edrig i argumetverdie ( ) Nærmere bestemt, det som står i evere er e edrig i argumetverdie,, mes det som står i tellere er e tilhørede edrig i fuksjosverdie, F F ( + ) F () Eda mer presist: Vi ser på små edriger, dvs. vi ser på greseverdie av forholdet år 0, og skriver dette F () = df () d E beevt størrelse, side tellere er eheter av produktet, evere er eheter arbeidskraft Av og til mer iteressert i relative edriger Prosetvis edrig i F () hvis øker med e proset? Elastisitete; både teller og ever er relative edriger: ε () df () F () d = df () d F () = F () F () ØABL kaller dette arbeidskraftes greseelastisitet I et -itervall der F () F () I et -itervall der F () F () > 1, vil F () < 1, vil F () være voksede være avtakede 9
ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 Økoomisk tilpasig, kostadsfuksjoe Avsitt 2.2 2.3 i ØABL ser fortsatt på kort sikt Først og fremst betyr dette m = 1 Me vil også trekke i k, kostat kapitalmegde Problemstilliger Hva koster det å produsere et visst kvatum,? Hvor mye vil e produset velge å produsere? Kostadsfuksjoe gir svaret på det første spørsmålet Hvor mye tregs av? Hva koster per ehet? Atar F er kotiuerlig og mootot voksede overalt Eetydig; eksisterer e ivers fuksjo, G, defiert ved = F () = G() ØABL (s. 39) kaller G faktorisatsfuksjoe I øvigsoppgave 1 til sem.uke 2 blir de kalt faktorfuksjoe Må ikke forveksle med faktoretterpørselsfuksjoe, s. 55, 59 For å fie kostadsfuksjoe, multipliser med faktorpris, w c(, w) = wg() er kostadsfuksjoe for m = 1 Tolkig: Kort sikt, disse kostadee kalles variable kostader Kostader kyttet til k kommer i tillegg, kalles B = q k (s. 41) Atar gjere at disse er driftsuavhegige; de påløper uasett drift 10
ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 Tolkig av kostadsfuksjoe Ut fra defiisjoe av F, og av G som ivers fuksjo: G() er miste faktorisats for å produsere Har atatt at faktorprise (per ehet ) er kostat Frikokurrase, dee produsete er e lite etterspørrer i forhold til hele arbeidsmarkedet Produsete er prisfast kvatumstilpasser i faktormarkedet ØABL skriver av og til c(), av og til c(; w) for å markere at de variable kostadee er fuksjo av, som velges av produsete, og w, som er eksoge for produsete De totale kostadee skrives (s. 41) C(; w, q, k) = c() + q k Matematisk sett er det ikke oe prisipiell forskjell på de to typee argumeter (Sydsæter bruker komma, ikke semikolo) Fi e typisk C(; w, q, ): Iverter e typisk F, multipliser med w, legg til B = q k, som er e kostat, uavhegig av 11
ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 Gresekostader og gjeomsittskostader På samme måte som vi studerte grese- og gjeomsittsproduktivitet er det yttig å studere gresekostader og gjeomsittskostader (også kalt ehetskostader) Gresekostadee er c () dc dc(;w,q, k) d, lik d side db d = 0 For gjeomsittskostadee må vi derimot skille mellom variable ehetskostader og totale ehetskostader Vil i første omgag se på variable ehetskostader, c() Følgede resultat (s. 43 i ØABL) er helt aalogt med resultatet for grese- og gjeomsittsproduktivitet (se s. 7 ovefor) I et -itervall der c () > c() c(), vil I et -itervall der c () < c() c(), vil være voksede være avtakede 12
ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 Produksjosbeslutig for prisfast kvatumstilpasser Ser på kort sikt, dvs. kapitalmegde er fast, k Formålet til produsete: Størst mulig overskudd Ata at produktprise er p (per ehet av ) Produsete er e lite aktør også i produktmarkedet Defier dekigsbidraget, D(; p, w) = p c(, w) Ka oppfattes som et kortsiktig (brutto)overskudd Bidrag fra produksjo av til å dekke faste kostader B Samlet, etto overskudd (profitt) er π() = D(; p, w) B Hvis det ikke er produksjo ( = 0), er D = 0 og π = B Atar i det følgede at F () er to gager deriverbar Tre beslutigsregler (ØABL s. 45, 49, 54) (forutsatt at gresekostadee vokser år blir stor ok) 1. Produser (dvs. velg > 0) hvis p α(w) mi c(;w) 2. Maks profitt år p = c (; w) og c (; w) > 0 3. Tilbudt megde er 0 for p < α; for p > α er tilbudt megde = s(p; w) som er de iverse fuksjoe til c (; w)) (for ehver w > 0, som oppfattes som kostat) 13
ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 Første regel: Hva skal til for å produsere? Regel: Velg > 0 hvis p α(w) mi c(;w) p c(;w) er ødvedig og tilstrekkelig for dekigsbidrag 0: p c(; w) p c(; w) D(; p, w) p c(; w) 0 For å velge e > 0: Treger ikke p c(;w) for alle mulige Me må kue oppå dette for de som skal produseres For e eksoge w defierer vi α(w) mi c(;w) Tilstrekkelig at dee miste ehetskostade er lavere e p Hvilke rolle spiller de driftsuavhegige faste kostadee, B? B spiller ige rolle i resoemetet ovefor, side vi har forutsatt at B må betales uasett om > 0 eller ikke Kaskje er de maksimale D(; p, w) et tall mellom 0 og B, slik at π = D B < 0; likevel bedre e D = 0 14
ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 Adre regel: Første- og adreordesbetigelse for ma D Øsker størst mulig dekigsbidrag, ma D(; p, w) = ma (p c(; w)) Førsteordesbetigelse er p c (; w) = 0 Adreordesbetigelse er c (; w) < 0, dvs. c (; w) > 0 Leter etter e der gresekostade er voksede og lik prise Grafisk drøftig er godt hjelpemiddel for å fie ut: Eksisterer det oe (mulig) som oppfyller førsteordesbetigelse? Hvis ja, er adreordesbetigelse oppfylt for disse -verdiee? Hvis ja, gjelder dette e -verdi eller flere? Hvis flere, udersøk hvilket av disse lokale maksimumspuktee som er globalt maksimum Udersøk om globalt maks gir D(; p, w) > 0 15
ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 Tredje regel: Gresekostadskurve er tilbudskurve ØABL (s. 54): Når produktfuksjoe har et regulært forløp Tolkig: Gresekostadskurve skjærer ehetskostadskurve edefra for e og bare e, et miimumspukt for c(;w) (jfr. s. 12), og er deretter e voksede fuksjo av Utledig starter med betigelsee fra s. 15 for ma D > 0: p = c (; w), pris lik gresekostad c (; w) er voksede p > c(;w) De første og tredje av disse medfører c (; w) > c(;w) Løsige er til høyre for skjærigspuktet c (; w) = c(;w), i et -itervall der begge disse er voksede i For ehver p > α(w) ( betigelse for at det er mulig å oppå positivt dekigsbidrag ) velger altså produsete e slik at prise blir lik gresekostade Dette betyr at tilbudskurve er e ivers fuksjo til e del av gresekostadskurve, emlig der c (; w) > c(;w) Gresekostadsfuksjoe gir kostad som fuksjo av Tilbudsfuksjoe gir som fuksjo av pris, lik gresekostad De ee er dermed de iverse fuksjoe til de adre 16