Kapittel 4: Betinget sannsynlighet Ofte vil kunnskap om at en hendelse har inntruffet påvirke sannsynligheten for en annen hendelse. Definisjon: Den betingede sannsynligheten for A gitt B er: P(A B) P(A B) P(B) Terningkast. ={1,2,3,4,5,6}. A= odde ={1,3,5}. B= mindre enn 4 = {1,2,3}. P(A) g m 3 6 1 2 og P(B) 1 2 A B Hva er sannsynligheten for A dersom vi vet at B har inntruffet? Redusert utfallsrom: ={1,2,3}, A= odde ={1,3} Får da: P(A B) 2 3 Terningkasteksemplet: A= odde ={1,3,5}. B= mindre enn 4 = {1,2,3}. AB={1,3} P(A B) P(A B) P(B) 2 / 6 1/ 2 1/ 3 1/ 2 2 3
Merk: P(A B) og P(B A) er to forskjellige ting! A= fly ankommer i rute og D= flyet drar i rute Vet at P(A)=0.85, P(D)=0.82 og P(AD)=0.78 Dersom flyet ankommer i rute hva er sannsynligheten for at det drar i rute? P(A D) P(D A) P(A) 0.78 0.85 0.92 Dersom flyet drar i rute hva er sannsynligheten for at det ankom i rute? Merk: Komplementregelen gjelder også for betingede sannsynligheter: P(A C B)=1- P(A B) Flyeksemplet: Dersom flyet ankommer i rute hva er sannsynligheten for at det ikke drar i rute? P(D C A) 1 P(D A) 1 0.92 0.08 Dersom flyet drar i rute hva er sannsynligheten for at det ikke ankom i rute?
Multiplikasjonsregelen: P(A B) Fra P(A B) ser vi at: P(B) P(AB)=P(A B)P(B) og P(AB)=P(B A)P(A) 5% av alle menn og 0.25% av alle kvinner er fargeblinde. Du sitter på en kafe, hva er sannsynligheten for at neste person som kommer inn døra er en fargeblind mann. M= mann og F= fargeblind P(MF)=P(F M)P(M)=0.050.5=0.025 5% av alle menn og 0.25% av alle kvinner er fargeblinde. Hvor stor andel av befolkningen er fargeblinde? M= mann, K= kvinne og F= fargeblind Vet altså at P(F M)=0.05 og P(F K)=0.0025. Men hva er P(F)? Antar også at P(M)=P(F)=0.5 M F Ser at F = (FM) (FK) K Da får vi at: P(F) = P(FM) +P(FK) = P(F M) P(M)+ P(F K) P(K) = 0.050.5+ 0.00250.5=0.026
Generell regel (loven om total sannsynlighet/oppsplittingsregelen): La B 1,B 2,,B n være en oppsplitting/oppdeling av utfallsrommet, dvs = B 1 B 2 B n og ingen felles elementer i B i -ene: B 1 B 3 B 2 A Da har vi: P(A) = P(AB 1 )+ P(AB 2 )+ + P(AB n ) = P(A B 1 )P(B 1 )+ P(A B 2 )P(B 2 )+ + P(A B n )P(B n ) B 4 B 5 En fabrikk har 3 maskiner M 1, M 2 og M 3 M 1 lager 30% av produktene og 2% av disse har feil. M 2 lager 45% av produktene og 3% av disse har feil. M 3 lager 25% av produktene og 2% av disse har feil. D= tilfeldig produkt fra fabrikken har feil Hva er P(D)? Viktig spesialtilfelle: P(A) = P(AB)+ P(AB C ) = P(A B)P(B)+ P(A B C )P(B C )
Spørreundersøkelse, sensitive spørsmål. Gi personen to spørsmål, for eksempel 1. Er siste siffer i personnummeret ditt odde? 2. Har du snytt på skatten i år? Be personen kaste kron og mynt (uten at den som spør ser på) og svare på 1 dersom kron og på 2 dersom mynt. A = personen svarer ja E 1 = personen svarer på spørsmål 1 E 2 = personen svarer på spørsmål 2 Ved å spørre mange finner man at P(A)=0.32. Ønsker P(A E 2 ) P(A) = P(AE 1 )+ P(AE 2 ) = P(A E 1 )P(E 1 )+P(A E 2 )P(E 2 ) 0.32 = 0.50.5+ P(A E 2 ) 0.5 P(A E 2 )=0.14, dvs 14% snyter på skatten. Bayes lov Dersom vi kombinerer definisjonen av betinget sannsynlighet P(A B) P(B A) med multiplikasjonsregelen P(AB)=P(A B)P(B) P(A) får vi Bayes lov: P(A B) P(B) P(B A) P(A) I en markedsundersøkelse har man funnet ut at 35% av forbrukerne bruker varemerket Favoritt og 52% bruker Super. Man fant også ut at blant de som bruker Super er der 16% som også bruker Favoritt. Hvor stor andel av de som bruker Favoritt bruker også Super? P(S P(F S) P(S) 0.160.52 F) 0.24 P(F) 0.35
Medisinsk test La A= person tester positivt og B= person har sykdommen Vet at P(B)=0.001, P(A B)=0.99 og P(A B C )=0.02 Finn P(A) og P(B A) P(A) = P(AB)+ P(AB C ) P(B = P(A B)P(B)+P(A B C )P(B C ) = 0.990.001 + 0.02(1-0.001) = 0.02097 P(A B) P(B) 0.990.001 A) 0.0472 P(A) 0.02097 Dvs ved positiv test er det bare 4.72% sannsynlighet for å være syk! Skyldes at sannsynligheten for feilaktig positiv test er ganske høy. Sannsynlighetstrær Situasjoner med mange betingede sannsynligheter kan av og til gjøres mer oversiktelige med å tegne såkalte sannsynlighetstrær. En fabrikk har 3 maskiner M 1, M 2 og M 3 M 1 lager 30% av produktene og 2% av disse har feil. M 2 lager 45% av produktene og 3% av disse har feil. M 3 lager 25% av produktene og 2% av disse har feil. D= tilfeldig produkt fra fabrikken har feil 0.30 Fabrikk 0.45 0.25 M 1 M 2 M 3 0.02 D 0.98 0.03 D 0.97 0.02 D 0.98 D C D C D C
Ved å gange sammen de betingede sannsynlighetene angitt i treet kan vi få regnet ut de sannsynlighetene for slutthendelsene/løvene : Fabrikk 0.30 0.45 0.25 M 1 M 2 M 3 0.02 D 0.006 0.98 D C 0.294 0.03 D 0.0135 0.97 D C 0.4365 0.02 D 0.005 0.98 D C 0.245 Merk at alle sannsynlighetene til høyre summerer seg til 1, og sannsynligheten for at en tilfeldig vare er defekt finner vi ved å summere sannsynlighetene for alle defektutfallene: P(D)=0.006+0.0135+0.005=0.0245 Uavhengighet Dersom informasjon om at en hendelse B har inntruffet ikke påvirker sannsynligheten for en annen hendelse A, sier vi at A og B er uavhengige. Dvs A og B er uavhengige dersom P(A B)=P(A). Dersom f.eks. A= temperaturen i morgen er over 5 grader og B= et terningkast gir utfallet 5 eller 6 er opplagt P(A B)=P(A) dette er uavhengige hendelser. Dersom f.eks. A= Statoil-aksjen stiger i morgen og B= oljeprisen stiger i morgen er P(A B)P(A) dette er ikke uavhengige hendelser. Fra regelen P(AB)=P(A B)P(B) ser vi også at når A og B er uavhengige så vil P(AB)=P(A)P(B). Og når A er uavhengig av B er også B uavhengig av A slik at ved uavhengighet vil følgende tre forhold alltid være oppfylte: P(A B)=P(A), P(B A)=P(B) og P(AB)=P(A)P(B) For å sjekke uavhengighet er det nok å se om en av disse tre er oppfylte
Flyeksemplet A= fly ankommer i rute og D= flyet drar i rute Er A og D uavh.? Vi har vist at P(D A)=0.92 P(D)=0.82, dvs ikke uavhengige! La A= brann og B= brannvarsler ute av drift. Anta at A og B er uavhengige og at P(A)=0.001 og P(B)=0.06. Da blir P(AB)=P(A)P(B) =0.0010.06=0.00006 La A= 6-er i første terningkast og B= 6-er i andre terningkast. Er A og B uavhengige? Oppsummering P(A B) Betinget sannsynlighet: P(A B) P(B) Multiplikasjonsregelen: P(AB)=P(A B)P(B) Loven om total sannsynliget: P(A)=P(A B 1 )P(B 1 )+ P(A B 2 )P(B 2 )+ + P(A B n )P(B n ) der B 1,B 2,,B n er en oppdeling av utfallsrommet. Viktig spesialtilfelle: P(A) = P(AB)+ P(AB C ) = P(A B)P(B)+ P(A B C )P(B C ) Bayes lov: P(A B) P(B) P(B A) P(A) Ved uavhengighet er: P(A B)=P(A), P(B A)=P(B) og P(AB)=P(A)P(B)