OPPGAVER FOR FORUM

OPPGAVER FOR FORUM 2006-2007 MERK!: Du skal først skrive hele oppgaveteksten for hver oppgave, og deretter svaret på oppgaven. Hvert svar skal være detajert, og skrevet i et klart og tydelig matematisk språk. Du får ikke godkjent en besvarelse som ikke er motivert, som jeg ikke forstår, eller som jeg ikke kan lese. En betyr at oppgaven er litt mer utfordrende enn vanlig OPPGAVESETT 6. Innleveres senest 10/5 Oppgave 6.1. En normal undergruppe H av en gruppe G er en gruppe slik at g 1 Hg H for alle g i G, d.v.s. g 1 hg er i H for alle g i G og h i H. Bestem alle normale undergrupper i S 3. Oppgave 6.2. For hver undergruppe H av en gruppe G setter vi N(H = {g G : g 1 Hg = H} og kaller N(H normalisatoren til H i G. La G = S 3. Hva er N(H for H som i Eksempel 2.4.8 side 27. Oppgave 6.3. Vis at H er en normal undergruppe av G hvis og bare hvis N(H = G. ( ( Oppgave 6.4. La T og U bestå av matriser på formen a b, respektive 1 b, 0 c 0 1 der ac 0. (1 Vis at T er en undergruppe av Gl 2 (R. (2 Vis at U er en undergruppe av Gl 2 (R. (3 Vis at U er en abelsk gruppe, det vil si AB = BA for alle A, B i U. (4 Vis at T ikke er abelsk. (5 Vis at U er en normal undergruppe av T. (6 Beskriv for hver matrise A i T sideklassen AU. (7 Vis at T/U er en abelsk gruppe. (8 Vis at T er en normal undergruppe i Gl 2 (R. Oppgave 6.5. Bestem undergruppene i A 4 og finn de som er normale. Oppgave 6.6. For hvert par av elementer g, h i en gruppe G definerer vi kommutatoren av g, h ved [g, h] = ghg 1 h 1. La H være en undergruppe av G. Vis at følgende betingelser er ekvivalente: (1 H inneholder kommutatoren til alle par av elementer. (2 H er en normal undergruppe av G og G/H er en abelsk gruppe, det vil si gh = hg for alle par av elementer g, h i G/H. 1

2 OPPGAVESETT 1. Innleveres senest 9/11 Oppgave 1.1. La A, B, C være matriser i M n (R. Vis regnereglene: (1 I n A = A = AI n. (2 (ABC = A(BC. (3 tr (AB = tr B tr A. (4 Vis at om A, B er i Gl n (R så vil AB være i Gl n (R. Mer bestemt, gjør dette ved å vise at (AB 1 = B 1 A 1. (Ledetråd: De tre første punktene blir letter om du bruker kortformen A = (a ij n for matriser. Oppgave 1.2. La S være en mengde og la F(S bestå av alle avbildningene f : S S. For to avbildninger f : S S og g : S S i F(S definerer vi produktet fg som sammensetningen S g S f S av avbildningene f og f, det vil si, for alle x i S setter vi (fg(x = f(g(x. La i : S S være enhetsavbildningen, eller identitetsavbildningen, definert ved i(x = x for alle x i S. Vi følgende regneregler for alle f, g, h i F(S: (1 if = f = fi. (2 (fgh = f(gh. Oppgave 1.3. La F(S være som i Oppgave 1.2 og la P(S være de avbildningene f : S S som er bijektive, det vil si, for hvert y i S finnes det nøyaktig et x i S slik at f(x = y. La f, g være i P(S: (1 Vis at det finnes nøyaktig en funksjon f 1 i P(S slik at f 1 f = i = ff 1. (2 Vis at (gf 1 = f 1 g 1. Oppgave 1.4. La A være i M n (R. Som i heftet kan vi betrakte A som en funksjon f A : R n R n ved f A (v = Av for alle v in R n. Her er Av matriseproduktet av A og v, og vi merker at vi har endret notasjon fra boken der f A ble betegnet med A. La A, B være i M n (R. (1 Vis at f B f A = f BA, der f B f A er produktet av f A og f B gitt i Oppgave 1.2, og der BA er matriseproduktet. (2 Bruk (1 og Oppgave 1.2 til å gi et enkelt bevis for formel (2 i Oppgave 1.1. Oppgave 1.5. La A være i M n (R. (1 Med betegnelsene i Oppgave 1.4, vis at f A er i P(R n hvis og bare hvis A er i Gl n (R. (2 Vis at når A er i Gl n (R så vil f A 1 = f 1 A. (Ledetråd: Vis at om f A er i P(R n så vil (f A 1 være en lineær avbildning. Oppgave 1.6. La A, B i M n (R n være slik at BA = I n. (1 Vis at da vil A og B være i Gl n (R og B = A 1. (2 Vis (1 uten å bruke determinanter.

( 3 5 Oppgave 1.7 4 5. Matrisen A = 4 5 er en speiling om en linje L i planet og ( 3 5 3 1 2 2 matrisen B = er en rotasjon θ grader av planet om origo. 1 2 3 2 (1 Bestem L på formen t ( a b for noen tall a, b, der t er en parameter. (2 Bestem vinkelen θ. 3

4 OPPGAVESETT 2. Innleveres senest 7/12 Oppgave 2.1. Finn symmetriene med hensyn til origo for kvadratet med hjørner (0, 0, (1, 0, (1, 1, (0, 1. Oppgave 2.2. Finn symmetriene med hensyn til origo for kvadratet med hjørner (1, 0, (2, 0, (2, 1, (1, 1. Oppgave 2.3. Finn symmetriene med hensyn til origo for trekanten med hjørner (1, 0, ( 1/2, 3/2, ( 1/2, 3/2. Oppgave 2.4. Vis at funksjonen : Z n Z, definert ved (m 1,..., m n = 1 i<j n (m i m j, ikke er null funksjonen, det vil si, (m 1,..., m n er ikke null for alle (m 1,..., m n i Z n. Regn ut verdien av funksjonen på n tuplet (1, 2,..., n. Oppgave 2.5. La n være et positivt heltall. (1 Vis at alle permutasjonene i S n kan skrives som et produkt av høyst n 1 transposisjoner. (2 Anta n > 1. Vis at en fremstilling av en permutasjon som et produkt av transposisjoner aldrig er entydig. (Ledetråd: Bruk induksjon etter n for den første delen. Oppgave 2.6. En sykel er en permutasjon σ = (i 1, i 2,..., i r i S n slik at σ(i j = i j+1 for j = 1, 2,..., r 1 og slik at σ(i r = i 1. (1 Skriv permutasjonen σ = som et produkt av disjunkte sykler. ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 7 8 3 2 9 1 4 6 ( (2 Skriv τ = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 som et produkt av disjunkte sykler. 7 4 5 2 9 8 1 6 3 (3 Skriv σ 1 som et produkt av disjunkte sykler. (4 Skriv τ 1 som et produkt av disjunkte sykler. Oppgave 2.7. La (i 1, i 2,..., i r betegne permutasjonen som tar i j til i j+1 for j = 1, 2,..., r 1 og som tar i r til i 1. Vi kaller en slik permutasjon en sykel. To sykler (i 1, i 2,..., i r og (j 1, j 2,..., j s er disjunkte om ingen av i 1, i 2,..., i r forekommer blandt j 1, j 2,..., j s. (1 Vis at hver permutasjon i S n entydig kan skrives som et produkt av disjunkte sykler. (2 Vis at (i 1, i 2,..., i r = (i 1 i 2 (i 2 i 3 (i r 2 i r 1 (i r 1 i r. (3 La (i, i 2,..., i r og (j, j 2,..., j s være disjunkte sykler og la τ ij være transposisjonen som bytter i og j. Vis at τ ij (j, j 2,..., j s (i, i 2,..., i r = (i, i 2,..., i r, j, j 2,..., j s. (4 La (i, i 2,..., i r, j, j 2,..., j s være en sykel og la τ ij være transposisjonen som bytter i og j. Vis at τ ij (i, i 2,..., i r, j, j 2,..., j s = (i, i 2,..., i r (j, j 2,..., j s. (5 Vis at antallet disjunkte sykler i permutasjonene σ og τ ij σ skiller seg med 1.

5 (6 Vis at om σ = σ 1 σ 2 σ r = τ 1 τ 2 τ s der σ 1, σ 2,..., σ r og τ 1, τ 2,..., τ s er transposisjoner så er r s et like tall. (7 Vis at vi entydig kan definere en funksjon sgn : S n {±1} ved at vi skriver hver permutasjon σ som et produkt σ = τ 1 τ 2 τ s av transposisjoner og setter sgn(σ = ( 1 s. (8 Vis at for alle permutasjoner σ og τ vil sgn(στ = sgn(σ sgn τ. (Ledetråd: For den første delen begynn med 1 og betrakt følgen σ(1, σ 2 (1 = σσ(1, σ 3 (1 = σσ 2 (1,... til du får tilbake σ(1. Ta deretter et tall som ikke er i denne følgen og fortsett på samme måte. Oppgave 2.8. En sykel er en permutasjon σ = (i 1, i 2,..., i r i S n slik at σ(i j = i j+1 for j = 1, 2,..., r 1 og slik at σ(i r = i 1. (1 Vis at om r er et odde tall så er σ 2 en sykel. (2 Vis at om r er et like tall større enn 2 så er σ 2 ikke en sykel.

6 OPPGAVESETT 3. Innleveres senest 1/2-07 Oppgave 3.1. Vi betegner Kronecker deltaet med δ ij, det vil si, { 1 om i = j δ ij = 0 om i j. La P M n (R være matrisene i M n (R som er på formen (δ iσ(j n for en permutasjon σ i S n, det vil si, n n-matriser med 1 i posisjon (i, j om i = σ(j og 0 ellers. Vi kaller matrisene i P M n (R for permutasjonsmatriser. La ϕ : S n P M n (R være avbildningen definert ved ϕ(σ = (δ iσ(j n. (1 Vis at ϕ(ι = I n. (2 Vis at for σ, τ i S n så vil ϕ(στ = ϕ(σϕ(τ. (3 Vis at ϕ(σ er invertibel. (4 Vis at ϕ(σ 1 = ϕ(σ 1. (5 Determinanten det(a til en matrise A = (a ij n er definert ved det(a = σ S n sign(σa 1σ(1 a 2σ(2 a nσ(n. Skriv ut det(a for n = 1, 2, 3. (6 Vis at det(ϕ(σ = sign(σ. (7 Vis at ϕ avbilder den alternerende gruppen A n til den spesielle lineære gruppen Sl n (R. Oppgave 3.2. La S være en matrise i M n (R og la G S (R være matrisene i Gl n (R slik at tr ASA = S. Vis at: (1 I n er i G S (R. (2 Om A og B er i G S (R vil AB være i G S (R. (3 Om A er i G S (R vil A 1 være i G S (R. (4 Om S er i Gl n (R og A er i G S (R så vil det(a = ±1. (5 Om A, B, C er i G S (R vil (i AI n = A = I n A (ii A 1 A = I n = AA 1 (iii (ABC = A(BC.

7 OPPGAVESETT 4. Innleveres senest 8/3 Oppgave 4.1. Vi at de relle tallene bortsett fra tallet 1 med produktet a b = a + b + ab, der ab er produktet av relle tall, og a + b er summen av reelle tall, er en gruppe. Oppgave 4.2. La G være en gruppe med et endelig antall elementer og la H være en undermengde. Anta at om g 1 og g 2 ligger i H så vil g 1 g 2 ligge i H. Vis at H er en undergruppe av G. oppgave 4.3. Er {A Gl 2 (R : A 2 = I 2 } en undergruppe av Gl 2 (R? Oppgave 4.4. Vis at (g m 1 1 gm 2 2 g m r r 1 = g m r r g m r 1 r 1 g m 1 1. Oppgave 4.5 1. La G være en mengde med et produkt slik at: (1 Det finnes et element e i G slik at eg = g for alle g i G. (2 For hvert element g i G finnes det et element g slik at g g = e. (3 For alle elementer f, g, h i G vil (fgh = f(gh; Vis at G er en gruppe. (Ledetråd: Vi har g gg = eg = g. La g g = e. Da får vi gg = egg = g g gg = g eg = g g = e og ge = g(g g = (gg g = eg = g.

8 OPPGAVESETT 5. Innleveres senest 29/3 Oppgave 5.1. La H være en undergruppe av gruppen G og la g være et element i G. (1 Vis at g 1 Hg er en undergruppe av G. (2 Vis at H og g 1 Hg er isomorfe grupper. Oppgave 5.2. Hvilke av følgende avbildninger ϕ : Gl n (R Gl n (R er gruppehomomorfier? (1 ϕ(a = tr A. (2 ϕ(a = A 1. (3 ϕ(a = tr A 1. (4 ϕ(a = B 1 AB, med B i Gl n (R. Oppgave 5.3. La U være undergruppen av Gl 2 (R av matriser på formen med ac 0. Vis at avbildningen ϕ : U Gl 2 (R definert av ϕ = en homomorfi av grupper. Bestem kjernen. ( a b 0 c ( a 0 0 c ( a b 0 c er Oppgave 5.4. La G være en gruppe og ϕ : G G avbildningen ϕ(g = g 1. vis at ϕ er en gruppehomomorfi hvis og bare hvis gh = hg for alle g, h i G. Oppgave 5.5. La g være et element i gruppen G. Vis at avbildningen ϕ : G G definert ved ϕ(h = g 1 hg er en isomorfi av grupper. Oppgave 5.6. Vis at avbildningen sign : S n {±1} er karakterisert av de to egenskapene i Proposisjon (1.4.10. (Ledetråd: Bruk Eksempel (2.2.8.