Matematikk P Odd Heir Gunnar Erstad Ørnulf Borgan John Engeseth Per Arne Skrede BOKMÅL
Modellering.6.7 85 I.7 skal du lære å utnytte ulike modeller innenfor økonomi..7 MODELLER I ØKONOMI Matematiske modeller blir brukt innenfor nesten alle samfunnsområder. Værprognoser blir til ved at kraftige datamaskiner blir matet med store datamengder om temperatur, trykk, nedbør, osv. I oljebransjen løser matematikere avanserte likinger for at en skal kunne utvinne mest mulig olje og gass til lavest mulig kostnader. Økonomer gjør utstrakt bruk av modeller for å beskrive, forklare og beslutte. Dette gjelder både for nasjonaløkonomier og for mindre økonomiske enheter som for eksempel en produksjonsbedrift. Vi skal ta et eksempel på en bedriftsøkonomisk modell.
86 Modellering.7 Lage flere? Eksempel 1 Modeller for kostnad, etterspørsel og overskudd En bedrift vurderer å produsere en bestemt mengde av en vare. For å kunne bestemme den mest lønnsomme produksjonsmengden må bedriften først lage to modeller. Den ene må vise hvordan total produksjonskostnad vil variere med antall produserte enheter. Den andre må vise hvordan etterspørselen varierer når salgsprisen varierer. Ut fra disse to modellene kan bedriften lage modeller for hvordan inntekt og overskudd varierer med antall produserte enheter (x). Bedriften analyserer produksjonskostnader K i kroner for fire ulike produksjonsmengder x og får følgende tabell: Antall produserte enheter x 36 60 100 150 Produksjonskostnader K 700 11 370 000 47 000 Ut fra disse tallene lager ledelsen en modell for sammenhengen mellom x og K. I økonomi bruker man ofte andregradsfunksjoner, så ledelsen forsøker med en slik modell. Regresjon gir K =, 7x 75, 9x+ 744.
Modellering.7 87 50 000 Kostnad K i kr 40 000 30 000 0 000 10 000 Antall produserte enheter x 0 40 60 80 100 10 140 160 Ledelsen har også undersøkt hvordan etterspørselen E varierer med prisen p i kroner. p 340 400 480 E 159 118 70 Lineær regresjon gir etterspørselsfunksjonen E= 0, 63p+ 373. 50 Pris i kr 00 00 150 50 Etterspørsel 50 100 150 00 50 300 350 I sine vurderinger må bedriften stole på at både kostnadsfunksjonen K og etterspørselsfunksjonen E er realistiske. Det betyr at bedriften regner med å selge like mange enheter som den produserer. Bedriften forutsetter altså at E skal være lik antall enheter, x, som bedriften produserer. Men da kan vi bytte ut E med x i etterspørselsfunksjonen: x = 0,63p + 373 Ved å omforme kan vi nå få et uttrykk for prisen p uttrykt ved antall produserte enheter x: p = 1,59x + 59
88 Modellering.7 Samlet inntekt, I, er prisen per enhet ganget med antall enheter. I = p x= 1,59x + 59x Da kan bedriften beregne overskuddet, O, som inntekter minus produksjonskostnader. O = I K = ( 1,59x + 59x) (,7x 75,9x + 744) O = 3,86x + 668x 744 Overskudd i kr 30 000 1 700 0 000 10 000 0 0 40 60 80 10 000 87 100 10 140 160 180 Antall produserte enheter x Den grafiske framstillingen viser at det største overskuddet er ved 87 produserte enheter. Da velger naturligvis bedriften å produsere nettopp dette antallet. Men hvilken pris skal bedriften sette per enhet? Det finner bedriften ut ved å sette inn 87 som x-verdi i uttrykket for prisen som vi fant på forrige side. p = 1,59x + 59 = 1,59 87 + 59 = 454 Bedriften setter prisen per enhet til ca. 450 kr. Sammenhengene som modellene i eksempel 1 beskriver, avhenger av mange forhold, som gjerne endrer seg med tiden. Det kan være konkurransesituasjonen (en konkurrerende bedrift etableres), at prisen på råvarer og arbeidskraft varierer, eller at forbrukerne endrer sine kjøpevaner. Modellene må derfor stadig revideres og tilpasses den nye virkeligheten. Kommentar I dette eksemplet gjorde vi en matematisk finesse. Først så vi på etterspørselen som en funksjon av prisen, deretter så vi på antall produserte enheter som en funksjon av prisen og til slutt så vi på prisen som en funksjon av produserte enheter. Det fikk vi til fordi bedriften antok at den kunne selge like mange enheter (E) som den produserte (x). Dermed kunne vi erstatte E med x. Til slutt ble resultatet at vi lot antall produserte enheter bestemme prisen!
Modellering.7.8 89 Dette skjønner vi bedre dersom vi skiller mellom funksjon som årsak og funksjon som en matematisk sammenheng. Vi løste likningen x = 0,63p + 373 med hensyn på p og fikk p = 1,59x + 59. I det første tilfellet velger vi prisen og regner ut antall produserte enheter. I det andre tilfellet velger vi antall produserte enheter og regner ut prisen. Matematisk sett er disse to framstillingene likeverdige, men tenker vi årsak-virkning, er de temmelig motsatte. Oppgave.15 En parfymeprodusent ønsker å bestemme salgsprisen slik at overskuddet blir størst mulig. Ved et prøvesalg i én uke med fire ulike priser får bedriften følgende resultater: Pris i kroner 10 130 150 175 Salgstall 600 560 475 430 Sti 1 Sti Sti 3 Stifinner: side 186 a b c d Lag en lineær modell for salgstall som funksjon av salgspris. Bedriften har ukentlige faste kostnader på 36 000 kr, og i tillegg 30 kr i produksjonskostnader per enhet. Finn et uttrykk for de totale ukentlige kostnadene til parfymeprodusenten. Bruk modellen i oppgave a til å sette opp et uttrykk for inntekt og overskudd som funksjon av salgspris. Finn grafisk den prisen som ifølge modellen gir størst overskudd. Hva blir overskuddet da, ifølge modellen?
Kapittel : Modellering Oppgavesamling.7 Modeller i økonomi Sti 1 Sti Sti 3 3, 33 3, 33, 34 33, 34, 35 3 Bruk tallene i tabellen til å lage en modell for etterspørselen som funksjon av prisen. Pris i kroner 30 50 60 70 Etterspørsel 1410 150 1150 1000
Oppgavesamling Kapittel : Modellering 187 * 33 En bedrift har undersøkt etterspørselen etter en vare for tre ulike priser. Resultatene ser du i tabellen. Pris i kroner 50 440 650 Etterspørsel 610 430 45 a b Lag en etterspørselsmodell basert på resultatene. Lag en modell som viser inntekten som funksjon av etterspørselen. * 34 En bedrift har registrert kostnader og antall produserte enheter, og fått følgende resultat: Antall enheter x 0 10 5 40 50 60 75 100 140 Kostnader y i 4500 5650 765 9950 11 500 13 500 16 500 3 000 35 000 kroner a Lag en andregradsmodell for kostnadene til bedriften. Bedriften får solgt hele produksjonen for 50 kr per enhet. b Bruk modellen i oppgave a til å finne et uttrykk for hvordan overskuddet varierer med antall produserte enheter. c Hvor mange enheter bør bedriften produsere for at overskuddet skal bli størst mulig ifølge modellen? * 35 En produksjonsbedrift har undersøkt markedet for en ny vare. Resultatene ser du i tabellen. Pris i kroner 400 800 1000 Etterspørsel 100 60 45 a b Lag en etterspørselsmodell basert på resultatene. Lag en modell som viser inntekten som funksjon av etterspørselen. Bedriften har også analysert produksjonskostnadene for fire ulike produksjonsmengder. Produksjonsmengde 30 60 80 10 Kostnader i kroner 10 400 1 900 33 500 64 300 c d e Finn en andregradsfunksjon som passer bra til tallene i tabellen. Bruk modellene i oppgave b og c til å lage en modell for bedriftens overskudd. Hvor mange enheter bør bedriften produsere for at overskuddet skal bli størst mulig? Hva bør salgsprisen være ifølge modellen?
Fasit Innlæringsoppgaver og kapitteltester 5.15 a y = 3, 13x+ 966, 8 (x = salgspris i kroner) b K = 30x+ 36 000 (x = antall enheter) c I = 3, 13x + 966, 8x O = 3, 13x + 1060, 7x 65 004 d 169,40 kr Ca. 4 900 kr (x = salgspris i kroner) Fasit Oppgavesamling 33 3 E = 0, 15p +, 35p+ 1451 33 a E = 0, 91p+ 836 b I = 1, 096E + 917E 34 a y = 0, 860x + 97, 1x+ 4575 b O = 0, 860x + 15, 9x 4575 c 89 enheter 35 a E = 0, 093p+ 136 b I = 10, 8E + 146E c K = 3, 49x + 75, 8x+ 4940 d O = 14, 3x + 1386x 4940 e 48 enheter 946 kr