Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x e x e x 1 f x x x ) g x 3 x 1 1 3x gx 3 x x 1 x 1 b) Vis at x 1 er en løsning av likningen 3 x 6x x 6 0 3 1 61 16 66 0 x 1 er en løsning av likningen. Bruk polynomdivisjon til å finne de andre løsningene. 3 Siden x 1 er en løsning av likningen, er x 1 en faktor i x 6x x 6. Polynomdivisjon 3 x x 3 x 6x x 6 : x 1 x 4x 6 4x x 6 4x 4 x 6x 6 6x 6 0 Eksamen REA30 Matematikk R1, Høsten 010 Side 1
Vi har da at 3 x 6x x 6 0 x x x 1 4 6 0 x x x 1 0 4 6 0 x 1 1 Vi løser andregradslikningen x 4x6 0 x 4x 6 0 1 4 4 4 6 x 4 16 48 x 4 4 64 x 4 4 8 x 4 x 1 x 3 c) Vi har gitt vektorfunksjonen r t 6 t, 5t 45 1) Tegn grafen til vektorfunksjonen når t 0,3 Vi regner først ut noen verdier av x og y. t 0 x 60 0 t 1 x 61 6 t x 6 1 t 3 x 63 18 y 50 45 45 y 51 45 5 45 40 y 5 45 54 45 0 45 5 y 53 45 59 45 45 45 0 Vi markerer så punktene i et koordinatsystem og tegner grafen. Eksamen REA30 Matematikk R1, Høsten 010 Side
) Bestem v 1. Tegn fartsvektoren inn på grafen. 6, 10t v t v1 6, 10 1 6, 10 Fartsvektoren er tegnet inn med rødt i koordinatsystemet ovenfor. 3) Bestem akslerasjonsvektoren. Kommenter svaret ditt. at 0, 10 Akselerasjonen er konstant lik 10 i negativ y - retning. d) En gjeng består av seks gutter og fire jenter. Vi trekker tilfeldig ut to av dem. Hva er sannsynligheten for at vi trekker ut én gutt og én jente? 6 4 4 6 1 1 4 8 PÉn gutt og én jente 10 9 10 9 45 45 45 15 Eksamen REA30 Matematikk R1, Høsten 010 Side 3
e) I ABC er AB 10,0 cm, A 75 og C 90. Konstruer trekanten. 1) Vi avsatte linjestykket AB 10 cm. ) Vi konstruerte midtnormalen til AB. 3) Vi konstruerte en halvsirkel med sentrum i midtpunktet på AB og radius AB. 4) Vi konstruerte to vinkler på 60 med toppunkt i A. Den siste av disse vinklene halverte vi to ganger, slik at vi fikk en vinkel på 15. Vi har da en vinkel på 60 15 75 Punktet C er skjæringspunktet mellom halvsirkelen i 3) og venstre vinkelbein til vinkelen på 75. Eksamen REA30 Matematikk R1, Høsten 010 Side 4
5) Vi trakk opp linjestykkene AC og BC. f) Bestem grenseverdiene dersom de eksisterer: 1) ) x 4 lim x x x 4 lim x x x 4 lim x x eksisterer ikke siden x lim 4 8 x mens x lim 0. x x 4 lim lim x x x x x x 4 Oppgave (4 poeng) Figuren ovenfor viser en sirkel med sentrum i S og radius r. Fra et punkt A utenfor sirkelen trekker vi en linje som tangerer sirkelen i punktet T. Linjen som går gjennom A og S, skjærer sirkelen i B og C. Vi setter AT x og AB y a) Bruk Pytagoras læresetning i SAT til å vise x y y r Radius står vinkelrett på tangenten i punktet T. SAT er derfor rettvinklet. Eksamen REA30 Matematikk R1, Høsten 010 Side 5
ST r AT x AS AB BS y r ST AT AS r x y r r x y yr r x y yr r r x y yr x y y r b) Vi setter SCT 30. Finn y AB uttrykt ved r i dette tilfellet. SCT 30 er en periferivinkel. Denne vinkelen spenner over samme bue som sentralvinkelen BST. Vi har da at AST BST SCT 60 Vinklene i SAT blir da 30, 60 og 90 og hypotenusen AS y r er dobbelt så lang som den korteste kateten ST Da er y r r y r r y r r. Eksamen REA30 Matematikk R1, Høsten 010 Side 6
Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 3 (5 poeng) f x 4x e x Funksjonen f er gitt ved a) Vis ved regning at x Vi bruker et wxmaxima, definerer 4 f x x e x x f x 8xe 4x e. Tegn grafen til f. fx og finner f x 8 x 4 f x x e x e x Vi tegner grafen til f i GeoGebra Eksamen REA30 Matematikk R1, Høsten 010 Side 7
b) Bruk grafen til f til å finne eventuelle topp-, bunn- og vendepunkter på grafen til f. For å finne eventuelle topp-, bunn- og vendepunkter på grafen til f, finner vi topp -, bunn og nullpunkter på grafen til f. Vi ser av grafen at den deriverte er negativ for x,0, positiv for x 0, og negativ for x,. Det betyr at grafen til f avtar for x,0, har et bunnpunkt for x 0, vokser for x 0,, har et toppunkt for x og avtar igjen for x,. Vi regner og finner at (Se nedenfor.) f 0 0 og f e 16,17. Grafen til f har da et bunnpunkt i 0,0 og et toppunkt i,,17. Eksamen REA30 Matematikk R1, Høsten 010 Side 8
For å finne nøyaktig når grafen til f har et toppunkt og et bunnpunkt, har vi tegnet grafen til f, og funnet nullpunktene. (Se grønn stiplet graf i koordinatsystemet ovenfor.) Grafen til f har et toppunkt for x 0,59 og et bunnpunkt for x 3,41. Grafen til f vokser da raskest og har et vendepunkt for x 0,59 og avtar raskest og har et vendepunkt for x 3,41. Vi regner og finner at f 0,59 0,77 og (Se nedenfor.) f 3,41 1,54. Grafen til f har da vendepunkter i 0,59, 0,77 og 3,41, 1,54. Oppgave 4 (4 poeng) Firkanten ABCD er et kvadrat med side a. Punktet P er plassert vilkårlig inne i kvadratet. Høyden i ABP kaller vi h. Eksamen REA30 Matematikk R1, Høsten 010 Side 9
a) Finn arealene av ABP og PCD uttrykt ved a og h. Areal Areal ABP PCD ah ah a a h a ah b) Finn et uttrykk for summen av arealene til ABP og PCD. Beskriv hva du har funnet. ah a ah ah a ah a Summen av arealene av de to trekantene er lik halve arealet av kvadratet. Oppgave 5 (11 poeng) Punktene A 1,0, B7, og 3,6 C er hjørner i en trekant. a) Bestem koordinatene til vektorene AB og AC. Finn A i AB [7 ( 1), 0] [8, ] AC [3 ( 1), 6 0] [4, 6] ABC ved regning. cos A cos A cos A AB AC AB AC [8, ] [4, 6] 8 ( ) 4 6 31 68 5 cos A 0,3363 A 70,3 Eksamen REA30 Matematikk R1, Høsten 010 Side 10
Punktet D ligger på AB slik at Punktet E ligger på AC slik at 3 AD AB. 4 3 AE AC. Se figur 1. 4 Figur 1 b) Vis at DE 3, 6. Forklar at DE BC. DE DA AE AD AE 3 3 AB AC 4 4 3 3 8, 4,6 4 4 4 6 1 18,, 4 4 4 4 3 9 6, 3, 3,6 BC [3 7, 6 ] [ 4, 8] 3 3 4 4 Eksamen REA30 Matematikk R1, Høsten 010 Side 11
6 3 8 4 3 DE BC, vektorene er da parallelle. 4 Vi lar nå hjørnet A ha koordinatene t,0. Ved å variere verdien til parameteren t kan vi få A til å «gli» fram og tilbake på x - aksen. Figur viser hvordan trekanten ser ut når t 13. Figur c) Forklar at DE har samme lengde for alle verdier av t. 3 DE BC 4 Siden punktene B og C ligger fast, er BC den samme for alle verdier av t. Da må DE ha samme lengde for alle verdier av t. d) Bestem ved regning verdier for t slik at A 90 AB [7 t, 0] [7 t, ] AC [3 t, 6 0] [3 t, 6] A 90 AB AC 0 ABAC 0 [7 t, ] [3 t, 6] 0 (7 t) (3 t) ( ) 6 0 1 10t t 1 0 t 10t 9 0 Eksamen REA30 Matematikk R1, Høsten 010 Side 1
Vi løser likningen i wxmaxima: t 1 t 9 e) Finn ved regning, eller ved hjelp av dynamisk programvare, andre verdier for t slik at ABC blir rettvinklet. I d) har vi funnet de verdiene av t som gjør at A 90. Trekanten kan også være rettvinklet dersom B 90 eller C 90. Vi bruker GeoGebra. Vi lager en «glider» for t og setter punktet A lik t,0. B 90 når t 11 C 90 når t 9 (Se skjermbilder fra GeoGebra nedenfor.) Eksamen REA30 Matematikk R1, Høsten 010 Side 13
Eksamen REA30 Matematikk R1, Høsten 010 Side 14
Oppgave 6 (6 poeng) Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen. (Dersom besvarelsen din inneholder deler av begge alternativene, vil bare det du har skrevet på alternativ I, bli vurdert.) Alternativ 1 Figuren ovenfor viser en terning med side lik. a) Bestem ved regning lengden av linjestykket AG Vi bruker først Pytagoras setning på AC AB BC 8 AC 8 ABC for å finne lengden av AC Så bruker vi Pytagoras setning på AG AC CG 8 1 AG 3 ACG for å finne lengden av AG Eksamen REA30 Matematikk R1, Høsten 010 Side 15
Punktet P ligger på sidekanten EF. Vi setter PF En maur går fra A til P og videre til G på overflaten av terningen (se figuren). x b) Forklar at mauren tilbakelegger strekningen S gitt ved S x x x Vi bruker Pytagoras setning på AEP for å finne lengden av AP AP AE EP AP x AP ( x). Så bruker vi Pytagoras setning på PFG for å finne lengden av PG PG PF FG PG PG x x Hele strekningen mauren tilbakelegger er derfor ( ) s x AP PG x x c) Bruk kalkulator eller et program på datamaskinen til å finne den korteste strekningen mauren kan gå for å komme fra A til G. Vi tegner grafen til s for x 0, i et digitalt verktøy for å finne den korteste strekningen mauren kan gå for å komme fra A til G. Eksamen REA30 Matematikk R1, Høsten 010 Side 16
Grafen har et bunnpunkt i 1, 4,47. Den korteste strekningen er 4,47. (Da er punktet P plassert midt på EF.) For å finne bunnpunktet på grafen nøyaktig, tegnet vi grafen til den deriverte i samme koordinatsystem (se grønn stiplet graf), og fant så nullpunktet til den deriverte. d) En elev kommer med følgende påstand: «Hvis jeg svinger opp lokket EFGH om EF, så ser jeg med en gang at smin 4 0». Tegn en figur og forklar hvordan eleven har resonert og regnet. Eksamen REA30 Matematikk R1, Høsten 010 Side 17
Dersom mauren går den korteste veien, som er langs en rett linje, vil den gå langs linjestykket AG på figuren ovenfor. Vi bruker Pytagoras setning på ABG og finner AG AG AB BG AP AP 4 0 4,47 Eksamen REA30 Matematikk R1, Høsten 010 Side 18
Oppgave 6 (6 poeng) Alternativ En teatersal er formet som en regulær sekskant ABCDEF med side 16 m. Scenekanten er siden AB i sekskanten. Et sete er plassert i punktet S. ASB. a) Finn lengden til BD ved regning. BCD er likebeint. BC CD 16m. Periferivinkelen BCD spenner over buen BD. Ifølge setningen om sentralvinkler og periferivinkler, er denne vinkelen halvparten så stor som sentralvinkelen som spenner over den samme buen. Denne sentralvinkelen er 4 360 40 6 40 Periferivinkelen BCD er da BCD 10 180 10 Da er CBD BDC 30 Eksamen REA30 Matematikk R1, Høsten 010 Side 19
Vi kan da dele BCD i to trekanter med vinkler på 30, 60 og 90. Se figuren ovenfor. Den korteste kateten CM er da halvparten så lang som hypotenusen, altså 8,0 m. Vi kan da bruke Pytagoras' setning for å finne BM. BM BC CM 16 8,0 56 64 19 64 3 8 3 BD BM 8 3 16 3 b) Forklar at 30 når setet er plassert i hjørnene C, D, E eller F. Vinkelen vil da være en periferivinkel og spenne over buen AB. Denne buen er 360 60 6 Vi har da at 60 30 Ikke alle er enige om hvor de beste setene i salen er. c) Noen mener at det beste setet er der hvor 90. Vis ved konstruksjon hvor de beste setene er plassert hvis dette er det eneste kravet. Ifølge Thales' setning vil de beste setene da være plassert langs sirkelperiferien til en halvsirkel med sentrum i midtpunktet på AB og radius AB. Eksamen REA30 Matematikk R1, Høsten 010 Side 0
d) Vis ved hjelp av en skisse, på frihånd eller med digitalt verktøy, hvor vi kan plassere S slik at 45. Vinkelen vil være 45 dersom den er en periferivinkel som spenner over samme bue som en sentralvinkel på 90. Vinkelbeina til vinkelen går gjennom punktene A og B. Vi kan derfor plassere S langs sirkelperiferien til en sirkel som går gjennom A og B med sentrum der midtnormalen til AB skjærer halvsirkelen fra c). Se figuren nedenfor. Eksamen REA30 Matematikk R1, Høsten 010 Side 1
Eksamen REA30 Matematikk R1, Høsten 010 Side
Oppgave 7 (8 poeng) Figuren ovenfor viser en kvartsirkel med radius 3 og sentrum i origo. En tangent i punktet P skjærer koordinataksene i A og B. Kvartsirkelen er grafen til funksjonen f gitt ved f x 9 x, x 0,3 Punktet P har førstekoordinat a. Det kan vises at likningen for tangenten er y a x 9 9a 9a a) Bestem koordinatene til punktene A og B uttrykt ved a. Punktet A ligger på x -aksen, andrekoordinaten er y 0. Punktet B ligger på y -aksen, førstekoordinaten er x 0. Vi definerer yx i et wxmaxima Eksamen REA30 Matematikk R1, Høsten 010 Side 3
Vi løser så likningen yx 0 Punktet A har koordinatene 9,0 a Vi regner ut y 0 og får Punktet B har koordinatene 0, 9 9 a 81 1 a 9 a b) Vis at arealet F av trekanten OAB er Fa Arealet av trekanten er 9 y OAOB Fa a 0 Vi bruker digitalt verktøy og får 81 1 a 9 a F a c) Tegn en skisse av grafen til F. Bruk skissen til å finne det minste arealet av OAB med tilhørende verdi av a. Eksamen REA30 Matematikk R1, Høsten 010 Side 4
Vi tegner grafen til F i GeoGebra. Se blå graf i koordinatsystemet ovenfor. For å finne bunnpunktet helt nøyaktig, tegner vi også grafen til F (grønn stiplet graf) og finner nullpunktet til den deriverte. Grafen til F har et bunnpunkt i,1, 9 Det minste arealet OAB kan ha er 9 Den tilhørende verdien av a er,1 Eksamen REA30 Matematikk R1, Høsten 010 Side 5
d) Bestem F a og bruk denne til å finne den eksakte verdien for a som gjør at arealet av trekanten blir minst mulig. Vi definerer Fa i et digitalt verktøy, finner F a og løser likningen F a 0. 81 81 Fa 9 a 3 a 9 a Siden kvartsirkelen ligger i første kvadrant er a 0 for Vi har da at F a 0 3 3 a Av grafen i c) ser vi at dette er et bunnpunkt. Arealet av trekanten er minst mulig når 3 a Eksamen REA30 Matematikk R1, Høsten 010 Side 6