OPPGÅVE a) Deriver funksjonen f( ) = tan 2 ( ) b) Bestem integralet 4 lnd c) Bestem integralet + 2 d d) Gitt funksjonen f ( ) = cos 5 0, 2π ) Finn f ( ) 2) Finn koordinatane til eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f ved rekning. e) Ei kuleflate er gitt ved likninga 2 2 2 6 y 2y z 4z + + + = ) Finn sentrum S og radius r i kula. 2) Vis at punktet ( 3, 2, 6) A ligg på kuleflata. Finn likninga for eit plan som går gjennom A og som står normalt på AS. f) Ein stokastisk variabel X har følgjande sannsynsfordeling: P( X 0 2 3 = ) 0,2 0,3 0,4 0, ) Bestem forventningsverdien og standardavviket til X. 2) Ein annan stokastisk variabel Y er gitt ved Y = 3X + 5. Bestem forventningsverdien og standardavviket til Y. Eksamen AA6524 Matematikk 3MX Side 4 av 5
OPPGÅVE 2 Ei gruppe elevar ønskjer å bestemme kor stor del av bilane i Noreg som er raude. Dei stiller seg ved ein hovudveg for å registrere kor stor del som er raude av dei bilane som passerer. Vi definerer den stokastiske variabelen: X = talet på raude bilar som passerer. a) Forklar kvifor det er rimeleg å hevde at X er binomisk fordelt. Elevane registrerer 93 raude av totalt 420 bilar som passerer. b) La p være delen av raude bilar i Noreg. Bruk dei registreringane elevane gjorde, og finn eit estimat for p. Bestem standardfeilen til estimatet. c) Finn eit 95 % konfidensintervall for delen av raude bilar basert på teljingane til elevane. OPPGÅVE 3 Kari sparer på ein BSU-konto. Ho set inn 5 000 kroner i byrjinga av året i 0 år. Vi reknar med at innskottsrenta er 2,5 % per år i heile spareperioden. a) Kor mykje har ho på kontoen eitt år etter at det siste beløpet er sett inn? Kari kjøper eit hus. Ho låner 000 000 kroner. Vi reknar med at lånerenta er 4,0 % per år i heile låneperioden. Banken foreslår at lånet skal betalast tilbake i 20 like store årlege beløp, første gong eitt år etter låneopptaket. b) Finn ved rekning kor store dei årlege innbetalingane vil bli etter denne planen. Kari ønskjer ikkje å betale meir enn 60 000 kroner i året. c) Finn ved rekning kor lang nedbetalingstida da vil bli. Eksamen AA6524 Matematikk 3MX Side 5 av 5
OPPGÅVE 4 Du skal svare på anten alternativ I eller alternativ II. Dei to alternativa er likeverdige ved vurderinga. (Dersom svaret inneheld delar av begge, vil berre det du har skrive på alternativ I, bli vurdert.) Alternativ I Kurva på skissa nedanfor blir kalla ein lemniskate. Bernoulli sin formel for den høgre delen av lemniskaten er π π r ( θ ) = 2cos( 2θ ) θ, 4 4 a) Finn ved rekning koordinatane til skjeringspunkta mellom grafen til r og førsteaksen. b) Teikn grafen til r. c) Finn ved rekning arealet av det området som er avgrensa av grafen til r. Den unge Niels Henrik Abel arbeidde også med lemniskaten. Han brukte følgjande likning for lemniskaten: ( ) 2 2 2 2 2 + y = 2 2y d) Sett = r cosθ og y = r sinθ inn i likninga til Abel, og vis at du får Bernoulli sin formel for lemniskaten. Eksamen AA6524 Matematikk 3MX Side 6 av 5
Alternativ II Funksjonen f er gitt ved π π f ( ) = 3sin 3cos 2 2 0, 24 a) Teikn grafen til f. b) Vis at f ( ) kan omskrivast til π 5π f ( ) = 3 2sin + 2 4 c) Finn koordinatane til eventuelle topp- og botnpunkt ved rekning. Eit døgn var temperaturen T( ) målt i gradar celsius timar etter midnatt gitt ved ( ) = 5 + ( ) T f 24 d 24 T Gjennomsnittstemperaturen dette døgnet er gitt ved ( ) d) Bestem gjennomsnittstemperaturen ved å løyse integralet ved rekning. Forklar korleis du kunne ha funne gjennomsnittstemperaturen på ein annan måte. 0 Eksamen AA6524 Matematikk 3MX Side 7 av 5
OPPGÅVE 5 I denne oppgåva skal vi studere funksjonar gitt på forma f ( ) = cos m cos n Først ser vi på funksjonen gitt ved f ( ) = cos cos 5 a) Skisser grafen til f i eit koordinatsystem. Vel -verdiar frå 0 til 7. b) Teikn grafane til cos og cos i det same koordinatsystemet. Kommenter det du ser. c) Bruk formlane til å vise at ( ) ( ) cos u v = cos ucosv + sinusinv cos u + v = cos ucosv sin usinv cos ucosv = cos u v + cos u + v) 2 ( ( ) ( ) d) Bruk resultatet i c) til å rekne ut integralet cos cos5d e) Vis ved rekning at 2π 0 cos m cos n d = 0 for alle naturlege tal m og n, der m n. f) Bestem ved rekning integralet i e) når m = n. Eksamen AA6524 Matematikk 3MX Side 8 av 5