Karl Erik Sandvoll m.fl. Sigma1 Helse- og sosialfag Gyldendal undervisning
# Gyldendal Norsk Forlag AS, 2006 1. utgave, 1. opplag Læreboka er skrevet etter gjeldende læreplan for faget matematikk Vg1P for det yrkesfaglige utdanningsprogrammet bygg- og anleggsteknikk. Printed in Norway by PDC Tangen, 2006 ISBN 978-82-05-34942-1 ISBN 82-05-34942-8 Redaktør: Ellen Semb Bilderedaktør: Sissel Falck Design: Gamma grafisk Vegard Brekke og Hild Mowinckel Sats og layout: Gamma grafisk Vegard Brekke, PrePress as Figurer: Gamma grafisk Vegard Brekke, forfatterne Omslagsdesign: Hild Mowinkel Omslagsillustrasjon, omslagsbilde: Ryan/Beyer/Getty Images Illustratører: Anja Ruud Bilder, illustrasjoner: Side 4: Ole Moksnes AS, s. 8: Peter Till/Getty Images, s. 12: Joel Benard/Scanpix, s. 14: Scanpix, s. 15: Corbis/Scanpix, s. 18: ø.ole Moksnes AS, n.george Widman/Scanpix, s. 19: Jason Reed/ Scanpix, s. 21: GBA, s. 25: Jean-Yves Bruel/Masterfile//Scanpix, s. 27: t.v. CERN/Science Photo Library/GV-Press, t.h. Dylan Martinez/Scanpix, s. 31: Ole Moksnes AS, s. 32: Photodisc/GBA, s. 34: Corel/GBA, s. 42: Sverre A.Børretzen/Scanpix, s. 46: Jon Asgeir Lystad/Scanpix, s. 47: Stanley Brown/Getty Images, s. 55: Scanpix, s. 61: Espen Sjølingstad Hoen/Scanpix, s. 64: Hugh Sitton/Getty Images, s. 80: Ole Moksnes AS, s. 81: Helene Aune, s. 83: Berit Roald/Scanpix, s 84: Anne Langdalen, s. 86: Daly & Newton/Getty Images, s. 92 n., 93 ø.t.v., 101 n.t.v.: Ulf Carlsson, s. 102 t.h., 104 ø.t.h.: John Arne Eidsmo, s. 110: Jason Reed/Scanpix, s. 149: n.t.v. Ole Moksnes AS, s. 150: t.v.# Casterman/Distr. by PIB Copenhagen 2006, t.h. Heimdal Eiendomsmegling, s. 152: GBA, s. 154: #Succession Pablo Picasso/BONO 2006. Pablo Picasso: Violin and Grapes, 1912. New York Museum of Modern Art (MoMA). Olje på lerret, 50,6 x 61 cm. Mrs. David M.Levy Bequest.32.1960. #Foto SCALA, Firenze, s. 157: Knut Falch/Scanpix, s. 159, s.160: Ole Moksnes AS, s.160: n.t.h. E.H.Shepard Copyright under the Berne Convention.# by Reed International Books Ltd., s. 161: Photodisc/GBA, s.163: : Liv Hegna/ Scanpix, s.164: Ole Moksnes AS, s. 165: Ragnar Axelsson/Scanpix, s.174,176: Ole Moksnes AS, s. 178: Adam Gault/Getty Images, s. 180: Ole Moksnes AS, s. 188: Trygve Indrelid/Scanpix, s. 191: GBA/Photodisc, s. 194: Jon Asgeir Lystad/Scanpix, s. 206, 207: Diplom-is. Det må ikke kopieres fra denne boka i strid med åndsverkloven eller avtaler om kopiering inngått med KOPINOR, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Alle henvendelser om forlagets utgivelser kan rettes til: Gyldendal Undervisning Postboks 6860 St. Olavs plass 0130 Oslo E-post: undervisning@gyldendal.no
FORORD Denne matematikkboka er skrevet for elever som har valgt det yrkesfaglige utdanningsprogrammet for bygg- og anleggsteknikk. Boka er en alt-i-ett-bok som inneholder lærestoff og et rikt utvalg av oppgaver. Vi har lagt stor vekt på å gi boka en ryddig struktur. Hvert delemne med forklarende tekst, eksempler og aktiviteter er samlet i oppslag over en dobbeltside. På neste side ser du hvordan dette er bygd opp. Delemnene er laget ut fra en helhetstanke, der tekst, eksempler, figurer og aktiviteter til sammen skal hjelpe deg til å nå målene i læreplanen. Mange oppslag inneholder en utfordring som kan være med på å gjøre faget mer spennende. Her kan du også få utfordret din egen forståelse. Kapitlene blir innledet med læreplanmål og en kort, motiverende tekst. Etter oppslagene i hvert kapittel presenterer vi et større sammensatt eksempel. Det skal hjelpe deg til å sette delkunnskapen inn i en helhet. Deretter følger et sammendrag og test-deg-selv-oppgaver. Til slutt i hvert kapittel finner du flere graderte øvingsoppgaver sortert etter emne, og blandede oppgaver fra hele kapitlet. Oppslagene 5.6 Finne lengder ved hjelp av trigonometri og 5.7 Mer trigonometri omhandler emner som ikke kreves i forhold til 1P-læreplanen. Vi har allikevel valgt å ta med disse emnene fordi de er sentrale innenfor felles programfag i VG1 Bygg- og anleggsteknikk. Disse oppslagene er merket med stjerne Denne boka skal hjelpe deg til å løse aktuelle matematiske problemstillinger innen fagområdet bygg- og anleggsteknikk, og i din hverdag i og utenfor skolen. Læreplanmålene sier at du skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster, og at du skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag- og samfunnsområder. Vi har i denne boka valgt å ha med et bredt spekter av oppgaver, alt fra tradisjonelle regneoppgaver til oppgaver som krever andre løsningsstrategier. Miniprosjektene er et eksempel på slike oppgaver. Det kan være å utforske matematiske problemer eller finne informasjon i andre bøker og på nettet. Denne informasjonen må du bearbeide og sammenfatte, for så å presentere for andre. Vi håper dette skal føre til faglige samtaler om matematikk gode muntlige ferdigheter er en forutsetning for å lære. Vi ønsker deg velkommen til www.gyldendal.no/sigma. Nettstedet inneholder sider både for elever og lærere. Elevsidene presenterer blant annet interaktive oppgaver og fordypningsstoff. På lærersidene finnes det forslag til undervisningsopplegg, tempoplan, omtale av kapitler, prøveforslag og annet. I læreplanen heter det: «Opplæringen veksler mellom utforskende, lekende, kreative og problemløsende aktiviteter og ferdighetstrening.» Vi håper dere griper mulighetene som boka og nettstedet gir, slik at matematikkopplæringen kan foregå på en aktiv måte. Vi vil takke konsulenter og andre bidragsytere for konstruktive innspill og gode råd underveis. Oslo, mars 2006 Bjørn Fosdahl Wenche Dypbukt Snorre Evjen Arne S. Kaldahl Silja Mustaparta Rubi Skøyum Karin Øiseth FORORD 3
4
5
INNHOLD Kapittel 1 M LING OG BEREGNINGER 1 Problemløsing... 10 2 Overslag, avrunding og antall gjeldende siffer... 12 3 Målenheter for lengde... 14 4 Omkrets... 16 5 Flatemål... 18 6 Areal av enkle figurer... 20 7 Areal av sammensatte figurer... 22 8 Målenheter for masse og volum... 24 9 Sammensatt eksempel... 26 SAMMENDRAG... 28 TEST DEG SELV... 29 Òvingsoppgaver... 30 Kapittel 2 REGNING OG FORMLER 1 Regnerekkefølge... 42 2 Formelregning... 44 3 Veien om 1.... 46 4 Forholdstall og brøker... 48 5 Lag dine egne formler... 50 6 Sammensatte eksempler... 52 SAMMENDRAG... 54 TEST DEG SELV... 55 Òvingsoppgaver... 56 Kapittel 3 PROSENT 1 Hvor mange prosent er dette?... 66 2 Prosentfaktor hva er det?... 68 3 Vekstfaktor sparer deg for arbeid... 70 4 Når grunnlaget er ukjent... 72 5 Prosentpoeng ikke det samme som vanlig prosentregning... 74 6 Sammensatt eksempel... 76 SAMMENDRAG... 78 TEST DEG SELV... 79 Òvingsoppgaver... 80 Kapittel 4 FORHOLD OG GRAFISKE SAMMENLIKNINGER 1 Grafisk presentasjon... 88 2 Noen spesialtilfeller... 90 3 Kan vi stole på grafiske framstillinger?.. 92 4 Proporsjonale størrelser... 94 5 Omvendt proporsjonale størrelser... 96 6 Sammensatt eksempel... 98 SAMMENDRAG... 100 TEST DEG SELV... 101 Òvingsoppgaver... 102 Kapittel 5 MER OM M LING OG AREAL 1 Pytagoras setning... 112 2 Er hjørnet rett?... 114 3 Omkrets og areal ved hjelp av Pytagoras setning... 116 4 Formlikhet... 118 5 Målestokk... 120 6* Finne lengder ved hjelp av trigonometri... 122 7 * Mer trigonometri... 124 8 Parallellperspektiv, grunnriss, oppriss og sideriss... 126 9 Plan- og snittegninger... 128 10 Perspektivtegning... 130 11 Mangekanter... 132 12 Tesselering med regulære mangekanter.. 134 13 Sammensatt eksempel... 136 SAMMENDRAG... 138 TEST DEG SELV... 139 Òvingsoppgaver... 140 6 INNHOLD
Kapittel 6 VOLUM OG OVERFLATE 1 Rommål... 156 2 Volum av prismer og sylindrer... 152 3 Volum av kjegler, kuler og pyramider... 160 4 Volum av sammensatte figurer... 162 5 Overflata av enkle og sammensatte figurer... 164 6 Sammensatt eksempel... 166 SAMMENDRAG... 168 TEST DEG SELV... 169 Òvingsoppgaver... 170 Kapittel 7 ÒKONOMI 1 Indekser... 180 2 Indeksformelen... 182 3 Reallønn og kroneverdi... 184 4 Timelønn og akkord... 186 5 Provisjon, bonusordninger og frynsegoder... 188 6 Lønn, feriepenger og skatt... 190 7 Skatter og avgifter... 192 8 Sparing... 194 9 Lån... 196 10 Forbruksmuligheter... 198 11 Budsjett og regnskap... 200 12 Sammensatt eksempel... 202 SAMMENDRAG... 204 TEST DEG SELV... 205 Òvingsoppgaver... 206 Fasit... 217 Stikkord... 238 L replan i matematikk... 240 INNHOLD 7
1 M LING OG BEREGNINGER
1.1 ProblemlÖsing Du skal l re ^ forskjellige môter Ô löse matematiske problemer pô For å bli god til å løse matematiske problemer trenger du mye øving. Et problem kan løses på flere måter. Erfaring hjelper deg til å velge en god løsningsmetode. EKSEMPEL 1 Zabi og Bawan skal finne omkretsen av et rektangel. Zabi måler alle sidene og legger sammen, mens Bawan regner slik: ð2 þ 6; 5Þ2 ¼ 17 STRATEGIER: ^ bruke sunn fornuft ^forenkle ^pröveogfeile ^ lete etter mönster ^v resystematisk ^tegnefigurer ^gôveienom1 ^sepôenheter ^ sortere opplysninger (hva vet jeg, og hva trenger jeg Ô vite) ^ ^ Hvordan tenker Bawan? Når du skal finne omkretsen av dette lille rektanglet, er begge løsningene greie. Tenk deg at du skal finne omkretsen av klasserommet ved hjelp av en linjal på 15 cm. Hvordan vil du gå fram? EKSEMPEL 2 Lars, Aslak og Leif har vært sammen med mamma på CABO-sport og kjøpt fotballsko, fotball, keeperhansker og en drikkeflaske til hver. Drikkeflaskene skal de betale selv. Vel hjemme tar de fram kvitteringen for å se hvor mye en drikkeflaske koster. De oppdager at prisen ikke vises. Hva skal de gjøre? Leif regner slik: 1310 750 290 180 ¼ 90 90 : 3 ¼ 30 Kvittering fotballsko... 750,00 fotball... 290,00 keeperhansker... 180,00 3 drikkeflasker... sum 1310,00 Aslak løser problemet på denne måten: 750 þ 290 þ 180 þ 3x ¼ 1310 1220 þ 3x ¼ 1310 3x 3 ¼ 90 3 x ¼ 30 Lars tipper at en drikkeflaske koster 25 kroner. Mamma ringer til butikken for å undersøke prisen. Hva ville du ha gjort? 10 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 3 Tore tenker på et positivt heltall og ganger det med 2. Så tenker han på et annet positivt heltall, som han ganger med 3. Når han legger sammen de to nye tallene, får han 51. Hvilket tall tenker han på? Diskuter mulige løsningsstrategier. Finnes det mer enn én løsning på problemet? Problemet kan formuleres slik: 2u þ 3v ¼ 51. Du kan prøve og feile deg fram til en mulig løsning. Skal du finne alle løsningene, er det lurt å være systematisk. Kanskje det er bedre å lage en tilleggsbetingelse, slik at problemet bare får én løsning? AKTIVITETER Oppgave 1.1 Hva blir de tre neste tallene? a) 2; 4; 6;... b) 1; 4; 7; 10;... c) 1; 4; 9; 16;... Oppgave 1.2 a) Ofte er det lurt å se på enhetene. Fart måler vi i kilometer per time (km=h). Kan du ut fra enheten si hvilke opplysninger som trengs for å finne farten? b) Hva slags sammenheng er det mellom strekning, tid og fart? c) Du kjører i 67 km=h og skal kjøre 11 km. Bruker du mer eller mindre enn én time? Hvor lang tid bruker du? Oppgave 1.3 Ole, Trine og Bente er til sammen 43 år. Ole er dobbelt så gammel som Trine, og Bente er 3 år eldre enn Trine. Hva er alderen til hver av de tre? Oppgave 1.4 Familien til Per driver en kennel, og i hagen har de en stor andedam. Når Per blir spurt om hvor mange hunder og ender de har, svarer han: «Vi har 40 dyr, og de har 116 bein til sammen.» Hjelp hverandre med å finne ut hvor mange hunder og ender de har. Oppgave 1.5 Løs sudokuen slik at alle vertikale og horisontale linjer og alle 3 3-ruter inneholder alle tall fra 1 til 9. 6 2 5 8 2 5 9 6 1 7 9 5 7 3 8 3 7 3 8 4 6 1 3 6 4 8 2 9 4 4 9 2 Oppgave 1.6 Regn ut høyden til et tre, en flaggstang eller skolebygningen din ved hjelp av for eksempel en blyant. Miniprosjekt 1.7 a) Du får utdelt et måleband, en linjal og et litermål. Hvordan vil du gå fram for å finne volumet av en tennisball ved hjelp av hvert av disse hjelpemidlene? Finn volumet. b) Hva ville du gjort for å finne overflata av en basketball? Finn overflata av basketballen. KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 11
1.2 Overslag, avrunding og antall gjeldende siffer Du skal l re ^ Ô avgjöre nôr det er behov for nöyaktighet i matematiske beregninger, og nôr vi kan gjöre overslag ^ Ô runde av desimaltall med ulik grad av nöyaktighet Tallet (pi) har et uendelig antall desimaler, tilsynelatende uten noe mønster. Japaneren Hiroyuki har lært seg de 42 000 første desimalene utenat! Men trenger vi alltid å være så nøyaktige? Tenk deg at du er på MENY og kjøper kjøttvarer. Du har dette i handlekurven: ytrefilet av okse: kr 167;50=kg indrefilet av okse: kr 218;50=kg svinesteik: kr 107;50=kg Du har en femhundrelapp på deg. Hvordan kan du raskt regne ut i hodet om du har nok penger til å handle 1 kg av hver kjøttvare? Knepet er å gjøre et overslag, det vil si at du runder av tallene. Tabellen i margen illustrerer avrundingsreglene for desimaltall. Dersom vi skal runde av til nærmeste hele tall, ser vi på første desimal. Er denne desimalen 5 eller større, runder vi av oppover. I motsatt fall runder vi av nedover. Skal vi runde av til én desimal, ser vi på andre desimal på samme måte, og så videre. TALLET er definert som omkretsen av en sirkel dividert med diameteren, ¼ O=d.Vanligvis nöyer vi oss med to desimaler og skriver 3,14. Avrunding av 7,2356 nærmeste titall 10 nærmeste heltall 7 1 desimal 7,2 2 desimaler 7,24 3 desimaler 7,236 EKSEMPEL 4 Hvordan kan du gjøre et raskt overslag for å finne ut om 1 kg av hver kjøttvare ovenfor koster mer enn 500 kroner? Løsning: Vi runder av oppover til nærmeste titall og legger sammen: 167;50 170 218;50 220 107;50 110 kr 170 þ kr 220 þ kr 110 ¼ kr 500 Ettersom vi har rundet av alle prisene oppover, er 500 kroner nok! Er 5 m, 5;0 m,5;00 m og 5;000 m samme tall skrevet på fire forskjellige måter, eller er det fire ulike tall? Vi går her ut fra at tallene skal uttrykke den målte lengden av en gjenstand. Da forteller tallene med hvilken nøyaktighet vi kjenner lengden. 5 m forteller oss at gjenstanden har en lengde mellom 4;5 m og 5;5 m.5;0 m forteller oss at gjenstanden har en lengde mellom 5;05 m og 5;15 m. 5;00 m forteller oss at vi kjenner lengden på centimeteren, mens 5;000 m forteller oss at vi kjenner lengden 12 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
med millimeters nøyaktighet. I det siste tilfellet sier vi at lengden er oppgitt med fire gjeldende siffer. Er lengden oppgitt som 5;0 m, sier vi at lengden er oppgitt med to gjeldende siffer. I regnestykker er det tallet med lavest nøyaktighet som avgjør nøyaktigheten i svaret. I en multiplikasjon er det faktoren med færrest antall gjeldende siffer som bestemmer antall gjeldende siffer i svaret. Vi skal ta for oss et eksempel. EKSEMPEL 5 Regn ut arealet av rektanglet og skriv svaret med korrekt antall siffer. 1,4 m Løsning: På lommeregneren får vi A ¼ 3;12 m 1;4 m¼ 4;368 m 2 Det er bredden 1;4 m som har færrest antall siffer, nemlig to. Svaret skal derfor også ha to siffer. Vi får altså at arealet er 4;4 m 2. 3,12 m AKTIVITETER Oppgave 1.8 Rund av til én desimal: a) 1,23 b) 1,46 c) 6,96 d) 19,07 e) 4,555 f) 3,849 Oppgave 1.9 Rund av til to desimaler: a) 7,235 b) 11,464 c) 744,968 d) 19,079 e) 20,555 f) 13,445 Oppgave 1.10 Du er i dagligvarebutikken og handler mat. I handlekurven har du 1 purreløk: kr 9,50 3 liter melk à kr 9,00=l 1 brød: kr 14,50 500 g kjøttdeig: kr 40,50 Du står ved kassa og har en hundrelapp i lomma. Gjør overslag og bruk hoderegning for å finne ut om du unngår en pinlig situasjon. DrÖfting 1.11 Tror du at «en meter» betyr det samme for møbelsnekkeren, gravemaskinkjøreren og skytebasen i praktisk arbeid? Diskuter i klassen. Oppgave 1.12 Skriv tallene med to gjeldende siffer: a) 7,235 b) 11,464 c) 744,968 d) 19,079 e) 20,555 f) 13,445 Oppgave 1.13 Regn ut arealene av rektanglene og skriv svarene med et korrekt antall siffer: a) lengde 5;24 m; bredde 0;55 m b) lengde 5;24 m; bredde 0;550 m c) lengde 3;2m; bredde 1;79 m d) lengde 3;20 m; bredde 1;79 m e) lengde 12 m; bredde 7;6m f) lengde 12 m; bredde 7;60 m g) lengde 12;0m; bredde 7;6m h) lengde 12;0 m; bredde 7;60 m KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 13
1.3 MÔlenheter for lengde Du skal l re ^ hvordan du kan regne mellom ulike môlenheter for lengde Den kinesiske mur ble påbegynt rundt 300 f.kr. Muren er om lag 6 000 000 m lang og ca. 1500 cm høy på sitt høyeste. Hvordan kan vi gjøre om lengden til kilometer og høyden til meter? PREFIKSER kilo ¼ 1000 hekto ¼ 100 deka ¼ 10 desi ¼ 1 10 centi ¼ 1 100 milli ¼ 1 1000 Tabellen viser sammenhengen mellom de vanligste målenhetene for lengde: mil kilometer hektometer dekameter meter desimeter centimeter millimeter mil km m dm cm mm 10 000 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 Vi gjør om fra centimeter til meter ved å gå to kolonner mot venstre. Vi flytter altså kommaet to plasser til venstre. Det er det samme som å dele med 100. Den kinesiske mur er altså rundt 1500 cm ¼ 1500 m ¼ 15 m høy. 100 Vi gjør om fra meter til kilometer ved å gå tre kolonner mot venstre. Vi flytter altså kommaet tre plasser til venstre. Det er det samme som å dele med 1000. Den kinesiske mur er 6 000 000 m ¼ 6000 km lang. LENGDEMÅL Meter er grunnenheten for lengde. Hektometer og dekameter blir ikke brukt. 1mil svarer til 10 km. EKSEMPEL 6 a) Hvor mange meter er 120 cm? b) Hvor mange meter er 2,7 km? Løsning: a) Vi flytter kommaet to plasser mot venstre eller deler med 100: 120 cm ¼ 1;2 m 120 cm ¼ 120 100 m ¼ 1;2 m b) Vi flytter kommaet tre plasser mot høyre eller ganger med 1000: 2;7 km 2;700 km ¼ 2700 m 2;7 km¼ 2;7 1000 m 2700 m OMGJØRING AV ENHETER NÔr vi regner om fra större til mindre môlenheter, bruker vi ofte -tegnet. Det gjör vi fordi större enheter gjerne inneb rer usikkerhet. 14 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 7 Den norske løperkongen Mensen Ernst tilbakela i 1832 distansen Paris Moskva på 14 dager. I luftlinje måler denne distansen om lag 2500 km. a) Hvor mange meter svarer det til? b) Hvor mange mil løp Mensen Ernst? c) En engelsk mile er 1609 m. Hvor lang er distansen Paris Moskva i miles? Løsning: a) Vi bruker sammenhengen mellom enhetene for lengde: 2500 km ¼ 2500 1000 meter 2 500 000 meter b) En mil svarer til 10 km: 2500 km ¼ 2500 mil ¼ 250 mil 10 LØPERKONGEN Mensen Ernst ble födt i Sogn og Fjordane i1795 og döde i Egypt i1843. PÔ1800-tallet ble han beundret for sine löperprestasjoner over hele Europa. Dette er like langt som Norges grense mot Sverige, Finland og Russland til sammen! c) Vi gjør om fra meter til miles: 2 500 000 2 500 000 m ¼ miles 1553;76 miles 1554 miles 1609 AKTIVITETER Oppgave 1.14 Gjør om til meter: a) 234 cm b) 170 mm c) 144 dm d) 2,047 km e) 0,2 mil f) 4,5 miles Oppgave 1.18 Obelisken på Petersplassen i Vatikanet er om lag 25 m høy. Oppgave 1.15 Monolitten i Vigelandsparken i Oslo er omtrent 17 m høy. a) Hvor høy er Monolitten i centimeter? b) Tommer er en annen målenhet. En tomme svarer til 2,54 cm. Hvor høy er Monolitten målt i tommer? Oppgave 1.16 Gjør alle mål om til centimeter og regn ut: a) 1;20 m þ 2;7 dmþ 320 cm þ 30 mm b) 200 mm þ 0;15 m þ 5cm c) 0;26 400 km þ 2;0 dmþ 40 mm Oppgave 1.17 Gjør alle mål om til meter og regn ut: a) 18 dm þ 76 cm þ 40 mm b) 0;004 95 km 4;5 dmþ 12 cm þ 30 mm c) 4;000 km þ 1;243 miles 990 dm a) Hvor høy er obelisken målt i fot? ð1 fot ¼ 0;3048 mþ b) Hvor høyt er dette kunstverket målt i tommer? c) Hvor mange tommer er det i en fot? Utfordring 1.19 a) Hvor mange kilometer løp Mensen Ernst i gjennomsnitt per dag på turen Paris Moskva? b) Finn gjennomsnittsfarten til Ernst i kilometer per time, når vi antar at han løp 11 timer per dag. KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 15
1.4 Omkrets Du skal l re ^ hvordan du kan regne ut omkretsen av enkle geometriske figurer De fleste bygningskonstruksjoner er rektangelformede eller kan settes sammen av rektangler. Derfor blir rektangelet spesielt viktig for oss. EKSEMPEL 8 Hvor mange meter taklister går med til et rektangelformet rom med lengden 4 m og bredden 3 m? Løsning: Vi må finne omkretsen av rommet. For å komme rundt må vi legge sammen to lengder og to bredder (se tabellen i margen): O ¼ 4mþ 4mþ 3mþ 3m¼ 14 m Kapp og kanskje andre faktorer gjør at det går med mer enn 14 m taklister. Men vi kommer ikke nærmere svaret her. EKSEMPEL 9 Firmaet Tummelumsk skryter av at de har produsert tivolimarkedets mest spektakulære pariserhjul, med en radius på 21 meter. Rektangel b l O = 2l + 2b Kvadrat s s O = 4s Parallellogram s g O = 2s + 2g Trapes c d b a O = a + b + c + d Trekant c b a O = a + b + c Sirkel r O = 2pr Hvor mange meter har du beveget deg etter en runde med dette pariserhjulet? Løsning: Vi må finne omkretsen til hjulet. Formelen for omkretsen til en sirkel finner du i margen til høyre. Siden et pariserhjul alltid har form som en sirkel, blir omkretsen O ¼ 2 r ¼ 2 21 m ¼ 131;947 m 130 m Her runder vi av svaret. Hvorfor det, tror du? 16 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 10 Karin skal sy et bånd langs kanten av en kjøkkenduk med form som vist på figuren. Hvor mange desimeter kantebånd trenger hun? Løsning: Duken består av et rektangel med en halvsirkel i hver ende. Til sammen utgjør de to halvsirklene en hel sirkel. Dukens omkrets blir derfor summen av omkretsen av en sirkel og omkretsen av rektanglets to langsider: O ¼ 2 l þ 2 r ¼ 2 26 dm þ 2 9dm¼ 108;549 dm 109 dm Her runder vi av oppover. Hvorfor? 18 dm Legg merke til at radien er lik halve diameteren: ¼ 9 dm. 2 Vi tar ikke med kortsidene på rektanglet i dukens omkrets. Studer figuren og finn ut hvorfor! 18 dm 26 dm AKTIVITETER Oppgave 1.20 Regn ut omkretsen av disse figurene: a) b) c) 18 cm 17 m 9 cm 17 m 18 cm 9 cm 30 mm 40 mm Oppgave 1.21 Regn ut omkretsen av et rektangel i centimeter, der a) b ¼ 20 cm; l ¼ 40 cm b) b ¼ 30 cm; l ¼ 17 dm c) b ¼ 4 tommer; l ¼ 2 fot Oppgave 1.22 Ernst er nesten ferdig med å pusse opp og skal legge gulvlister i stua. Rommet har form som et rektangel med lengden 6 m og bredden 4 m. En 70 cm bred dør på den ene kortveggen går inn til kjøkkenet. På den ene langveggen er det en tilsvarende dør ut mot gangen. Hvor mange meter listverk bør Ernst kjøpe? Oppgave 1.23 Jordradien ved ekvator er 6378 km. Hvor stor er avstanden langs ekvator i mil mellom to punkter som ligger på nøyaktig motsatt side av hverandre? Oppgave 1.24 Regn ut omkretsen i meter av en sirkel der a) r ¼ 2,18 cm b) r ¼ 18 dm c) d ¼ 0,637 km Oppgave 1.25 Regn ut omkretsen av figuren: 13 cm KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 17
1.5 FlatemÔl Du skal l re ^ at areal er et môl for störrelsen av en flate ^ hvordan du kan regne mellom ulike môlenheter for areal En flate er todimensjonal og har ingen tykkelse. En firkantet flate er bare representert ved lengden og bredden. Til å oppgi størrelsen av en flate bruker vi betegnelsen areal. Tabellen viser sammenhengen mellom ulike målenheter for areal. kvadratkilometer kvadrathektometer kvadratdekameter kvadratmeter kvadratdesimeter kvadratcentimeter kvadratmillimeter km 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 1 000 000 10 000 100 1 0,01 0,0001 0,000 001 For hver kolonne vi flytter oss i tabellen, må vi flytte kommaet to plasser. Når vi skal gjøre om fra m 2 til dm 2,måvi flytte kommaet to plasser mot høyre. Det er det samme som å gange med 100: 14;25 m 2 ¼ 1425 dm 2 eller 14;25 m 2 ¼ 14;25 100 dm 2 ¼ 1425 dm 2 Vi gjør om fra m 2 til km 2 ved å flytte kommaet seks plasser mot venstre. Det er det samme som å dele med 1 000 000: 70 000 m 2 ¼ 0;07 km 2 70 000 eller 1 000 000 km2 ¼ 0;07 km 2 EUKLIDS DEFINISJONER ^ Et punkt er noe som ikke kan deles. ^ Ei linje er en lengde uten bredde. ^ En ate er noe som bare har lengde og bredde. ENHETER FOR AREAL Kvadratmeter, m 2,er grunnenheten for areal. Et môl (1000 m 2 )brukes ofte i forbindelse med arealet av tomter. En hektar (10 000 m 2 )brukes ofte som môl pô arealet av större landomrôder. EKSEMPEL 11 a) Hvor mange kvadratmeter er 17 400 cm 2? b) Hvor mange kvadratmeter er 564 000 mm 2? b) En serviett har et areal på 4dm 2. Hvor mange kvadratmeter utgjør det? d) New York by har et areal på 787 km 2. Gjør om til kvadratmeter. Løsning: a) Vi flytter kommaet fire plasser mot venstre: 17 400 cm 2 ¼ 1;74 m 2 b) Vi flytter kommaet seks plasser mot venstre: 564 000 mm 2 ¼ 0;564 m 2 c) Vi deler på 100: 4dm 2 ¼ 4 100 m2 ¼ 0;04 m 2 d) Vi ganger med 1 000 000: 787 km 2 ¼ 787 1 000 000 m 2 787 000 000 m 2 18 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 12 a) Arealet av et A4-ark er 624 cm 2. Hvor stort er dette arealet i kvadratmeter? b) En målenhet for arealet av landområder er mål. Dersom vi eier en tomt på 200 mål, hvor mange kvadratkilometer disponerer vi når 1mål er 1000 m 2? A4 Løsning: a) Vi gjør om fra kvadratcentimeter til kvadratmeter: 624 cm 2 ¼ 624 10 000 m2 ¼ 0;0624 m 2 b) Vi gjør om 200 mål til kvadratmeter: 200 mål ¼ 200 1000 m 2 200 000 m 2 Deretter regner vi om til kvadratkilometer: 200 000 m 2 ¼ 0;20 km 2 AKTIVITETER Oppgave 1.26 Gjør om til kvadratmeter: a) 180 cm 2 b) 2500 mm 2 c) 132 dm 2 d) 3;04 km 2 e) 20 500 mm 2 Oppgave 1.27 Gjør om til samme enhet og regn ut: a) 23;0 dm 2 þ 14 cm 2 þ 0;200 m 2 b) 16 000 m 2 þ 0;120 km 2 þ 1mål c) 5;00 hektar 17;2 mål 7840 m 2 Oppgave 1.28 Arealet av et lite landområde, for eksempel en hustomt, blir ofte oppgitt i mål. Ett mål svarer til 1000 m 2. a) Hvor mange kvadratmeter er en tomt på 4,5 mål? b) Hvor mange mål er et landområde på 0,63 km 2? Oppgave 1.29 a) Kunstneren David Åberg fra Helsingborg har malt et maleri med et areal på hele 4000 m 2. Dette er verdens største maleri malt på lerret av en kunstner. Hvor mange kvadratcentimeter er arealet av maleriet? b) Arealet av Oslo fylkeskommune er 454 km 2. Hvor mange mål utgjør det? ð1 mål ¼ 1000 m 2 Þ Pentagonbygningen er verdens største kontorbygning med et indre areal på 0;603 km 2. c) Hvor mange mål er denne bygningen? Nettoppgave 1.30 Euklid var en gresk matematiker som levde omkring 300 f.kr. Bruk Internett eller oppslagsverk og finn ut mer om hva denne mannen arbeidet med. KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 19
1.6 Areal av enkle figurer Du skal l re ^ Ô regne ut arealet av enkle geometriske figurer Tabellen i margen viser formler for arealet av noen enkle geometriske figurer. I bygg- og anleggsfag er det særlig én firkant som peker seg ut, nemlig rektanglet. Vi skal derfor se nærmere på arealet av et rektangel. 1 m 2 Figuren viser et rektangel med lengden 3 m og bredden 2 m. Kvadratmeter er den naturlige enheten for arealet av et slikt rektangel. Vi ser at det går med 6 m 2 for å dekke arealet av rektanglet: 2 3m 2 eller 3 2m 2. Bruker vi formelen, får vi 3 m A ¼ l b ¼ 3m 2m¼ 6m 2 Med utgangspunkt i formelen for rektanglet kan vi forklare formlene for kvadratet, parallellogrammet, trekanten og trapeset. Klarer du det? EKSEMPEL 13 Et spisebord er formet som et rektangel med lengde 2;4 m og bredde 130 cm. a) Hvor stort er arealet av bordet? b) Vi dekker bordet med en duk, slik at duken henger 20 cm ned fra bordkantene på hver side. Hvor stort er arealet av duken? Løsning: a) For å få like enheter på lengden og bredden av bordet gjør vi om bredden fra centimeter til meter: 130 cm ¼ 1;3 m A ¼ l b ¼ 2;4 m 1;3 m¼ 3;12 m 2 3;1 m 2 b) Vi gjør om fra centimeter til meter: 20 cm ¼ 0;2 m Lengden av duken: l ¼ 2;4 mþ 0;2 mþ 0;2 m¼ 2;8 m Bredden av duken: b ¼ 1;3 mþ 0;2 mþ 0;2 m¼ 1;7 m Arealet av duken: A ¼ 2;8 m 1;7 m¼ 4;76 m 2 4;8 m 2 2 m Rektangel b l A = l b Kvadrat s s A = s s = s 2 Parallellogram h g A = g h Trapes b h a (a + b) h A = 2 Trekant h g g h A = 2 Sirkel r A = π r 2 HUSK NÔr du skal regne ut arealet av en geometrisk figur, mô alle lengdene ha samme enhet! 20 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 14 a) En trekant har grunnlinje 1 dm og høyde 6 cm. Hvor stort blir arealet av trekanten? b) I en sirkel er diameteren 1; 4 dm. Hva blir arealet av sirkelen? Løsning: a) Vi gjør om fra desimeter til centimeter for grunnlinja: 1dm¼ 10 cm. Vi bruker formelen for arealet av en trekant: A ¼ g h 2 ¼ 10 cm 6cm 2 ¼ 30 cm 2 6 cm 1 dm b) Radien i en sirkel er halvparten av diameteren: 1;4 dm 2 ¼ 0;7 dm 1,4 dm Vi bruker formelen for arealet av en sirkel: A ¼ r 2 ¼ ð0;7 dmþ 2 ¼ 1;5394 dm 2 1;5 dm 2 AKTIVITETER Oppgave 1.31 «Mona Lisa», malt av Leonardo da Vinci, er verdens mest berømte maleri. Høyden på kunstverket er 77 cm, og bredden er 53 cm. Hvor stort er arealet? Oppgave 1.34 a) Regn ut arealet av en sirkel med radius 15 cm. b) Regn ut arealet av en sirkel med diameter 2,00 dm. c) Regn ut arealet av en trekant med grunnlinje 20 cm og høyde 2 dm. Oppgave 1.35 Ernst skal kjøpe voksduk til et bord. Bordet har form som et kvadrat med side 1;3 m. Hvor stort blir arealet av voksduken dersom den skal henge 15 cm ned fra bordet på hver side? Oppgave 1.32 Regn ut arealene av disse rektanglene: a) lengde 6;2m; bredde 3;0m b) lengde 1;24 m; bredde 55 cm c) lengde 5;2 dm; bredde 0;25 m Oppgave 1.33 En viss type takplater dekker en bredde på 60 cm og en lengde på 120 cm. Hvor mange hele plater trengs det til å dekke et tak på 10 m 2? Oppgave 1.36 Et lerret har form som et trapes med mål som vist på figuren. Hvor mange kvadratmeter er arealet av lerretet? 6 dm 55 cm 120 cm KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 21
1.7 Areal av sammensatte figurer Du skal l re ^ Ô regne ut arealet av sammensatte geometriske figurer Når vi skal regne ut arealet av sammensatte figurer, er det lurt å dele figuren inn i enklere former som vi så kan regne ut arealet av hver for seg. Til slutt legger vi sammen arealene. EKSEMPEL 15 Figuren viser et rom som vi skal finne arealet av. 3 m Løsning: Vi har ingen enkel formel for hovedfiguren. Men vi kan dele figuren inn i to figurer som vi så kan regne arealet av. Ved hjelp av den stiplede linja har vi delt rommet inn i et kvadrat og et rektangel. Kvadratet har side lik 3 m, mens rektanglet har en lengde på 6 m og en bredde på 4m.Vifårda 3 m 4 m A ¼ A kvadrat þ A rektangel ¼ 3m 3mþ 6m 4m¼ 9m 2 þ 24 m 2 ¼ 33 m 2 6 m EKSEMPEL 16 Svært forenklet kan vi si at arenaen på Bislett Stadion omfatter et rektangel med lengden 105 m og bredden 90 m pluss en halvsirkel med radien 45 m i hver ende. Hvor stort er arealet av arenaen? Løsning: Formelen for arealet av arenaen blir 90 m 45 m A ¼ A rektangel þ A halvsirkel þ A halvsirkel ¼ A rektangel þ A sirkel ¼ l b þ r 2 Vi setter inn i formelen ovenfor: A ¼ l b þ r 2 ¼ 105 90 þ 45 2 ¼ 15 811;725 Arealet av arenaen er om lag 15 800 m 2. Her runder vi av mye i svaret. Kan du tenke deg hvorfor? 105 m 105 m 90 m 45 m Vi valgte å sløyfe enhetene underveis i utregningen. Det er ofte praktisk i litt større regnestykker. Men da er det viktig å vite hva slags enhet svaret skal ha! 22 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 17 Det er strenge regler for hvordan nasjonalflagg skal se ut. Figuren viser hvordan forholdene skal være i det japanske flagget. Diameteren til sola i midten er 24 cm. Hvor stort areal dekker det hvite området i det japanske flagget? 40 cm Løsning: Vi finner først det totale arealet av flagget: A ¼ l b ¼ 60 cm 40 cm ¼ 2400 cm 2 Så finner vi arealet av sola i midten: 2 24 A ¼ r 2 ¼ 2 cm ¼ ð12 cmþ 2 452;389 cm 2 452;4 cm 2 Arealet av det hvite området i det japanske flagget blir A ¼ 2400 cm 2 452;4 cm 2 ¼ 1947;6 cm 2 1950 cm 2 60 cm AKTIVITETER Oppgave 1.37 Regn ut arealet av disse flatene: a) b) 0,8 dm 7 cm 10 cm 3 dm c) 6 cm 6 cm 3 cm 3 dm 3 dm 3 dm 3 dm 3 dm 3 dm 3 dm 3 dm 3 dm Oppgave 1.38 En silkeduk har mål og form som vist på figuren. Regn ut arealet av duken. 90 cm 200 cm 18 dm Oppgave 1.39 Et bord har form som et rektangel med lengde 2,00 m og bredde 120 cm. På bordet er det dekket på seks runde bordbrikker. Hver brikke har diameter 40 cm. Hvor mange kvadratcentimeter av bordflata er ikke dekket med bordbrikker? Oppgave 1.40 Lengdeforholdene i det norske flagget er som vist på figuren. Finn det samlede arealet av de hvite og de blå områdene i flagget når alle mål er i desimeter. 6 1 2 1 6 6 1 2 1 12 Oppgave 1.41 I en regulær sekskant er alle sidene 8;0 cm lange. Tegn figur, og regn ut arealet av sekskanten. (Tips: Del figuren inn i seks like store deler.) KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 23
1.8 MÔlenheter for masse og volum Du skal l re ^ hvordan du kan regne mellom ulike môlenheter for masse ^ hvordan du kan regne mellom ulike môlenheter for volum De vanligste måleredskapene på kjøkkenet er vekt, litermål, desilitermål, kryddermål, termometer og vanlige kjøkkenredskaper (spiseskje, teskje og kopp). Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom ulike målenheter for vekt: kilogram hektogram dekagram gram desigram centigram milligram kg hg g dg cg mg 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 Når vi skal gjøre om fra gram til milligram, må vi gå tre kolonner til høyre. Vi flytter altså kommaet tre plasser mot høyre. Det er det samme som å gange med 1000: 40;385 g ¼ 40 385 mg eller 40;385 g ¼ 40;385 1000 mg ¼ 40 385 mg Når vi skal gjøre om fra gram til kilogram, må vi gå tre kolonner til venstre. Vi flytter altså kommaet tre plasser mot venstre. Det er det samme som å dele på 1000: 655 g ¼ 0;655 kg eller 655 g ¼ 655 kg ¼ 0;655 kg 1000 ENHETER FOR MASSE Gram er grunnenheten for masse. De mest brukte enhetene for masse i Norge er gram, kilogram og milligram. 1tonn svarer til 1000 kg. MASSE OG TYNGDE I dagliglivet blir ofte tyngde og masse forvekslet. Vet du forskjellen? EKSEMPEL 18 a) Gjør om til gram og regn ut: 1;213 kg þ 15 000 mg þ 920 g b) I et forsøk i naturfag måtte vi finne massen av reagensrøret. Vi brukte da en skålvekt med målenøyaktighet på 0;01 g. Følgende lodd ble brukt for å oppnå likevekt: ett lodd på 20 g, ett lodd på 2 g, ett lodd på 1 g, to lodd på 200 mg og ett lodd på 20 mg. Hvor stor masse hadde reagensrøret? Løsning: a) 1;213 kg þ 15 000 mg þ 920 g ¼ 1213 g þ 15 g þ 920 g ¼ 2148 g b) Vi gjør om til gram og legger sammen: 20 g þ 2gþ 1gþ 0;200 g þ 0;200 g þ 0;020 g ¼ 23;420 g Siden nøyaktigheten til vekta er oppgitt i hundredels gram, er den siste nullen meningsløs. Massen av reagensrøret er altså 23;42 g. 24 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
Dersom vi har to like store plater, den ene av stål og den andre av aluminium, vil stålplata være ca. tre ganger så tung som aluminiumsplata. Det er fordi stål har om lag tre ganger så høy tetthet som aluminium. Det vil si at stål har tre ganger så stor masse som aluminium når volumet er det samme. Tabellen viser sammenhengen mellom ulike målenheter for volum: ENHETER FOR VOLUM (HULMÅL) Liter er grunnenheten for volum. Liter er det samme som kubikkdesimeter (se kapittel 6). hektoliter dekaliter liter desiliter centiliter milliliter hl l dl cl ml 100 10 1 0,1 0,01 0,001 For å gjøre om fra liter til milliliter må vi gå tre kolonner til høyre. Vi flytter altså kommaet tre plasser mot høyre eller ganger med 1000: 2;125 l ¼ 2125 ml eller 2;125 l ¼ 2;125 1000 ml ¼ 2125 ml Vi gjør om fra liter til hektoliter: 20;5 l ¼ 0;205 hl eller 20;5 l ¼ 20;5 hl ¼ 0;205 hl 100 TETTHET tetthet ¼ masse volum ð¼ g=cm3 Þ masse ¼ tetthet volum ð¼ gþ volum ¼ masse tetthet ð¼ cm3 Þ EKSEMPEL 19 Massetettheten til gull er omtrent 19;3 g=ml. Hvor mye veier en gullbarre fra Norges Bank med et volum på 0;62 l? Løsning: Vi gjør om fra liter til milliliter: 0;62 l ¼ 0;620 l ¼ 620 ml Vi regner så ut vekta av gullbarren: 620 ml 19;3 g=ml ¼ 11 966 g 12 kg AKTIVITETER Oppgave 1.42 Gjør om til gram: a) 2,670 kg b) 3,75 hg c) 27,4 mg d) 14 hg e) 120 mg f) 1,37 tonn Oppgave 1.43 Gjør om til liter: a) 2,670 dl b) 0,34 hl c) 7,3 cl d) 207 ml e) 12,137 hl f) 104 dm 3 Oppgave 1.44 Gjør om til en passende enhet og regn ut: a) 2;13 l þ 18;08 dl þ 4;0 clþ 740 ml b) 210 mg 0;20 g þ 0;000 50 kg 0;0030 hg Oppgave 1.45 Betong har en tetthet på ca. 2;4 kg=dm 3. Hvor stor masse har 670 liter betong? Oppgave 1.46 Tettheten til stål er8;0 kg=dm 3, og tettheten til aluminium er 2;7 kg=dm 3. Hva har størst masse: en aluminiumsplate på 13 dm 3 eller en stålplate på 4;7 dm 3? Miniprosjekt 1.47 Hvor mange liter luft rommer en fotball? (Hjelpemidler: vannbalje og litermål) KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 25
1.9 Sammensatt eksempel EKSEMPEL 20 Den ene av de to figurene nedenfor er et kvadrat. Den andre figuren er et tilsvarende kvadrat, men i hvert hjørne er det klipt bort en kvartsirkel. 1 2 1,6 dm 16 cm 0,8 dm 16 cm a) Regn ut arealet og omkretsen av hver figur. Bruk henholdsvis kvadratcentimeter og centimeter som enheter. b) Gjør om arealet av figur 1 til kvadratmeter og omkretsen av figur 2 til meter. Løsning: a) Vi gjør først om fra desimeter til centimeter for to av lengdene: 1;6 dm¼ 16 cm og 0;8 dm¼ 8cm Deretter regner vi ut arealet og omkretsen av figur 1: A ¼ s s ¼ 16 cm 16 cm ¼ 256 cm 2 O ¼ 4 s ¼ 4 16 cm ¼ 64 cm HUSK NÔr du skal regne ut arealet og omkretsen av geometriske figurer, mô alle lengdene ha samme enhet! Figur 2 er litt mer sammensatt enn figur 1. I hvert hjørne er det klipt bort et område som svarer til en kvartsirkel med radius 4 cm. Til sammen er det altså klipt bort et område tilsvarende en hel sirkel med radius 4 cm. Arealet av figur 2 blir dermed A ¼ A kvadrat A sirkel ¼ 16 16 4 2 205;73 206 Arealet av figur 2 er tilnærmet lik 206 cm 2. Omkretsen av figur 2 består av fire sider med lengde 8 cm og fire kvartsirkler med radius 4 cm. De fire kvartsirklene utgjør til sammen en hel sirkel. REGNING UTEN ENHETER NÔrduarbeidermedlitt större regnestykker, kan det ofte v re greit Ô slöyfe enhetene underveis. Men det er viktig at du vet hvilken enhet svaret skal ha! Omkretsen av figur 2 blir da O ¼ 4 8cmþ 2 4cm 57;13 cm 57 cm Omkretsen av figur 2 er tilnærmet lik 57 cm. 26 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
b) Na r vi skal uttrykke arealet av figur 1 i kvadratmeter, ma vi flytte kommaet fire plasser mot venstre. Det er det samme som a dele pa 10 000: 256 256 cm2 ¼ 0;0256 m2 eller m2 ¼ 0;0256 m2 10 000 Na r vi skal uttrykke omkretsen av figur 2 i meter, ma vi flytte kommaet to plasser mot venstre. Det er det samme som a dele pa 100: 57 57 cm ¼ 0;57 m eller m ¼ 0;57 m 100 AKTIVITETER Oppgave 1.48 Regn ut arealet og omkretsen av figurene: a) 12 m b) 12 m 6m 12 m 12 m 6m Oppgave 1.49 CERN («Conseil Europe en pour la Recherche Nucle aire») er et intereuropeisk anlegg for partikkel- og kjernefysikkforskning. c) Hvor stort er arealet av landomra det som ligger innenfor LEP-tunnelen, men utenfor SPS-tunnelen pa bildet? d) I LEP-tunnelen blir partikler akselerert opp til en fart nær lysfarten pa 300 000 km=s. Dersom en partikkel har en fart pa 290 000 km=s, hvor mange runder i LEP-tunnelen klarer den pa ett sekund? Nettoppgave 1.50 Bildet viser Petersplassen sett fra kuppelen av Peterskirken i Vatikanet. Den underjordiske LEP-tunnelen («Large Electron Positron collider») har tilnærmet sirkelform med en radius pa om lag 4,3 km. SPS-tunnelen (protonakseleratoren) har en radius pa om lag 1,1 km. a) Hvor lang er radien i LEP-tunnelen ma lt i meter? b) Regn ut lengdene av begge tunnelene. KAPITTEL 1 M LING OG BEREGNINGER Under begravelsen til pave Johannes Paul 2. i april 2005 var Petersplassen fylt av rundt 300 000 mennesker. Ytterligere 700 000 stod i gatene omkring. a) Klarer du ut fra dette a gjøre et overslag over arealet av Petersplassen? b) Bruk oppslagsverk eller Internett (Vatikanets Internett-adresse er http://www.vatican.va) og prøv a finne Petersplassens virkelige areal. Hvor stort avvik fikk du i svaret ditt i a? 27
SAMMENDRAG Avrundingsregler Når vi skal runde av et desimaltall til nærmeste hele tall, ser vi på første desimal. Dersom denne desimalen er 5 eller større, runder vi av oppover. I motsatt fall runder vi av nedover. Når vi skal runde av til én desimal, ser vi på andre desimal og gjør tilsvarende, osv. Tallet 6,2736 kan dermed rundes av til 6 6;3 6;27 6;274 Hvis tallet skal rundes av til to gjeldende siffer blir tallet 6,3. Antall gjeldende siffer forteller oss med hvilken nøyaktighet tallet er gitt. Pref kser kilo ¼ 1000 hekto ¼ 100 deka ¼ 10 desi ¼ 1 10 centi ¼ 1 100 milli ¼ 1 1000 MÔlenheter for lengde Meter ðmþ er grunnenheten for lengde. Vi kan gjøre om mellom de ulike enhetene slik:. 10. 10. 10 m dm cm mm : 10 : 10 : 10 Vi gjør om fra meter til centimeter ved å gange med 100. Det svarer til å flytte kommaet to plasser mot høyre: 6;5 m¼ 6;5 100 cm ¼ 650 cm Vi gjør om fra millimeter til meter ved å dele på 1000. Det svarer til å flytte kommaet tre plasser mot venstre: 378 mm ¼ 378 1000 m ¼ 0;378 m Samsvar mellom enhetene Når vi skal regne ut omkretsen eller arealet av en geometrisk figur, må alle lengdene vi bruker, ha samme enhet. MÔlenheter for areal Kvadratmeter ðm 2 Þ er grunnenheten for areal. Vi kan gjøre om mellom de ulike enhetene slik:. 100. 100. 100 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 : 100 : 100 : 100 Vi gjør om fra kvadratmeter til kvadratmillimeter ved å gange med 1 000 000. Vi flytter altså kommaet seks plasser mot høyre: 0;05 m 2 ¼ 0;05 1 000 000 mm 2 ¼ 50 000;0 mm 2 Vi gjør om fra kvadratcentimeter til kvadratmeter ved å dele på 10 000. Det svarer til å flytte kommaet fire plasser mot venstre: 4020;0 cm 2 ¼ 4020;0 10 000 m2 ¼ 0;4020 m 2 Regning uten enheter Når vi arbeider med litt større regnestykker, kan det ofte være greit å sløyfe enhetene underveis. Men det er viktig at vi vet hvilken enhet svaret skal ha. MÔlenheter for masse Gram ðgþ er grunnenheten for masse. Vi kan gjøre om mellom de ulike enhetene slik:. 10. 10. 10 g dg cg mg : 10 : 10 : 10 Vi gjør om fra gram til milligram ved å gange med 1000. Det svarer til å flytte kommaet tre plasser mot høyre: 1;23 g ¼ 1;23 1000 mg ¼ 1230 mg Vi gjør om fra centigram til gram ved å dele på 100. Det svarer til å flytte kommaet to plasser mot venstre: 12;5 cg¼ 12;5 100 g ¼ 0;125 g MÔlenheter for volum Liter ðlþ er grunnenheten for volum. Vi kan gjøre om mellom de ulike enhetene slik:. 10. 10. 10 l dl cl ml : 10 : 10 : 10 Vi gjør om fra liter til desiliter ved å gange med 10. Det svarer til å flytte kommaet én plass mot høyre: 1;2 l ¼ 1;2 10 dl ¼ 12 dl Vi gjør om fra milliliter til liter ved å dele på 1000. Det svarer til å flytte kommaet tre plasser mot venstre: 635 ml ¼ 635 1000 l ¼ 0;635 l 28 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
TEST DEG SELV Test 1.51 En gang i november var natta 5 timer 30 minutter lengre enn dagen. Hvor lang var dagen? Test 1. 52 Pia fikk to ganger mer enn Ellen, som fikk to ganger mer enn Trude. Hvem fikk minst? Test 1. 53 Rund av til én desimal: a) 1,33 b) 1,55 c) 2,67 Test 1. 54 Rund av til tre gjeldende siffer: a) 4,234 b) 13,456 c) 19,957 Test 1. 55 Gjør om til meter: a) 120 cm b) 130 mm c) 1,2 km Test 1. 61 Regn ut arealet og omkretsen av en sirkel med a) r ¼ 1,59 dm b) r ¼ 80 cm c) d ¼ 5;0 cm Test 1. 62 Regn ut arealet og omkretsen av et rektangel med a) b ¼ 10 cm og l ¼ 50 cm b) b ¼ 2;000 m og l ¼ 5;00 m Test 1. 63 Gjør om til kvadratmeter: a) 700 cm 2 b) 4018 mm 2 c) 2 km 2 Test 1. 64 Regn ut arealet og omkretsen av figurene: a) 15 cm 0,8 dm Test 1. 56 Gjør om til meter og regn ut: a) 70 cm þ 0;2 mþ 5dmþ 600 mm b) 334 mm þ 22 cm þ 7dmþ 0;3 m Test 1. 57 Ranger lengdene fra største til minste verdi: a) 12 dm, 119 cm, 1,21 m b) 70 mm, 6 cm, 0,5 b) 20 cm Test 1. 58 Gjør om til gram: a) 1,2 kg b) 4 hg c) 33,2 mg Test 1. 59 Gjør om til liter: a) 200 ml b) 2 dl c) 32 cl Test 1. 60 Gjør om til en passende enhet og regn ut: a) 2;0 l þ 13 dl þ 120 cl þ 3000 ml b) 0;30 kg þ 250 g þ 60 000 mg Test 1. 65 a) Regn ut arealet av en trekant med grunnlinje lik 3,0 cm og høyden 13 cm. b) Regn ut arealet av et kvadrat med side lik 33,0 m. Test 1. 66 Regn ut arealene av de røde feltene på figurene: a) b) 10 cm 10 cm 10 cm 10 cm KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 29
Òvingsoppgaver 1.1 ProblemlÖsing A1.67 Hva blir de tre neste tallene? a) 6; 12; 18;... b) 99; 92; 85; 78;... c) 256; 128; 64; 32;... A1.76 A1.68 Finn fire etterfølgende tall som gir summen 26. A1.69 Sett inn regnetegn slik at svarene stemmer: a) 3 3 3 3 ¼ 1 b) 3 3 3 3 ¼ 2 c) 3 3 3 3 ¼ 5 d) 3 3 3 3 ¼ 6 A1.70 En avis har 52 sider. Hele arket med side 7 er borte. Hvilke andre sidetall mangler? A1.71 Hvordan kan du regne ut pulsen din når vimåler den i hjerteslag=minutt? Hvor mange ganger slår hjertet ditt i løpet av en time? A1.72 Akselerasjon måler vi i m=s 2. Hvilke opplysninger trenger du for å regne ut akselerasjonen? Lag en formel som viser hvordan opplysningene må brukes. A1.73 Trude fikk det dobbelte av Ellen, og Pia fikk fire ganger så mye som Ellen. a) Hvem fikk minst? b) Hvor mye fikk hver av dem når de fikk 35 kroner til sammen? A1.74 La oss si at du vrenger en venstrehanske. Er hansken fortsatt en venstrehanske? A1.75 Sju pærer veier det samme som fire bananer, og fire bananer veier det samme som seks appelsiner. Hvilken frukt veier mest enkeltvis, og hvilken veier minst? Tegn en firkant der ingen sider eller vinkler er like. Del hver side på midten og sett et merke. Lag en ny firkant ved å trekke streker mellom merkene. Hva slags firkant får du? Blir resultatet alltid slik? Prøv å forklare! A1.77 Pappa: «Vil du ha pizzaen delt i 6 eller 8 biter?» Silja: «Vær så snill å dele den i seks. Jeg orker ikke å spise åtte biter.» Diskuter svaret til Silja. A1.78 Hvor mange hjørner og sideflater får vi når vi bretter sammen denne figuren? A1.79 En edderkopp kryper opp innsiden av en brønn som er 9 meter dyp. Om natta kryper edderkoppen 3 meter oppover. Om dagen glir den 2 meter ned. Hvor mange dager bruker den på å komme over kanten? 30 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
B1.80 Hva blir de tre neste tallene? a) 11; 121; 1331;... b) 1; 3; 6; 10; 15; 21;... B1.81 Finn fire etterfølgende tall som gir summen 178. B1.82 Et rektangel er 3 cm bredt og 8 cm langt. Klipp bort en hel remse langs en av kantene slik at arealet blir 3=4 av opprinnelig størrelse. B1.83 Lise, Mia og Ida har brukt 165 kroner. Lise har brukt tre ganger så mye som Ida, og Mia har brukt 15 kroner mer enn Ida. Hvor mye har hver av dem brukt? B1.84 B1.87 Lars har tre venner. Han tilbyr dem å kjøpe et tv-spill for 60 kroner. Det blir 20 kroner på hver. De synes det er dyrt, men lar seg overtale til å kjøpe spillet. Seinere angrer Lars og bestemmer seg for å gi tilbake 10 kroner. På veien tenker han at det blir vanskelig å dele 10 kroner på 3. Han gir dem 3 kroner hver og beholder resten selv. Vennene har nå betalt 17 kroner hver, i alt 51 kroner. Lars beholdt 1 krone. Til sammen blir det 52 kroner. Hvor er det blitt av de 8 kronene som mangler på 60? Diskuter resonnementet. B1.88 Ole tenner to stearinlys som er like lange. Det ene lyset bruker fem timer på å brenne ned, det andre bare tre timer. Ole lar lysene brenne en stund før han blåser dem ut. Da er det ene lyset tre ganger så langt som det andre. Hvor lenge har Ole latt lysene brenne? (Tips: Tegn deg fram til svaret.) Prøv om du kan stå igjen med fire kvadrater etter at du har tatt bort 6; 7; 8; 9 eller 10 fyrstikker. B1.85 Lag to likeformede trekanter ved hjelp av seks fyrstikker. Lag så fire likeformede trekanter ved hjelp av seks fyrstikker. B1.86 Hvilket tall tenker jeg på når alle sifrene er forskjellige bare ett siffer er oddetall jeg finner sifferet på tusenplassen når jeg ganger sifferet på tierplassen med seg selv jegfår15når jeg legger sammen alle sifrene det minste sifferet står påenerplassen 1.2 Overslag, avrunding og antall gjeldende siffer A1.89 Rund av til nærmeste hele tall: a) 3,43 b) 6,55 c) 211,877 d) 9,099 e) 1006,565 f) 0,459 A1.90 Rund av til én desimal: a) 1,44 b) 1,55 c) 2,677 d) 8,951 e) 6,565 f) 1,252 A1.91 Rund av til to desimaler: a) 7,2346 b) 22,4567 c) 1,5555 d) 8,355 16 e) 0,3278 f) 1,078 99 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 31
A1.92 Regn ut arealene av rektanglene og skriv svarene med et korrekt antall siffer: a) lengde 25;24 m; bredde 12;50 m b) lengde 25;24 m; bredde 12;5 m c) lengde 7;2 m; bredde 3;1m d) lengde 5;50 m; bredde 0;9 m e) lengde 5;50 m; bredde 0;90 m f) lengde 5;50 m; bredde 0;900 m A1.93 Du er ansatt av Svada og skal designe en reklameplakat for et spa-firma. Du har fått denne figuren til rådighet: 1.3 MÔlenheter for lengde A1.95 Gjør om til en passende enhet og regn ut: a) 0;034 km 20 m 120 dm d) 1 mm þ 1;0 cmþ 1;00 dm 0;110 m c) 0;03 mil þ 1;0 km 700 m 5000 dm b) 12 cm þ 1;00 fot 190 mm þ 1;0 dm A1.96 a) Plakaten skal være 8 m 8 m. Bruk linjal og regn ut hvor mange ganger bildet må forstørres. b) Dersom du er unøyaktig og måler en millimeter feil, hvor stort blir avviket på lengden og bredden etter forstørringen? B1.94 Ernst har fått sommerjobb på et lakseoppdrettsanlegg og skal finne ut hvor mye laks det er i anlegget. Han merker 80 lakser og slipper dem ut igjen i anlegget. Etter en uke fanger han 150 lakser, seks av dem er merket. a) Omtrent hvor mange lakser er det i dette oppdrettsanlegget? b) Hvilken usikkerhet ligger i tallet du regnet deg fram til? Johan og Eva gikk mange skiturer i påskeuka og førte opp følgende turer på skikortene sine: Eva Johan Mandag: 3;7 km Tirsdag: 14;2 km Tirsdag: 31 km Onsdag: 1;2 mil Onsdag: 1900 m Torsdag: 1790 m Torsdag: 0;2 mil Fredag: 3450 m Hvem av de to gikk lengst på ski i påsken? A1.97 Golden Gate-brua i San Francisco, ferdigstilt i 1937, er 2,70 km lang. a) Finn lengden av brua i meter og i centimeter. b) Hvor lang er brua i miles? (1 miles ¼ 1609 m) c) Brutårnene er 227 m høye. Hvor mange millimeter svarer det til? d) Bruas hovedspenn er 1280 m. Gjør om til mil. 32 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
A1.98 Ranger lengdene fra største til minste verdi: a) 6 m, 250 tommer, 19,8 fot b) 1 mile, 1,608 km, 5000 fot c) 299 m, 0,185 miles, 0,03 mil d) 100 m, 4000 tommer, 0,06 miles, 329 fot A1.104 Regn ut omkretsen av et rektangel med a) b ¼ 10 cm og l ¼ 2,0 dm b) b ¼ 2m og l ¼ 500 cm c) b ¼ 240 mm og l ¼ 0,81 m d) b ¼ 2;0 fot og l ¼ 30 tommer A1.99 Tekst skrevet med skrifttypen Times New Roman i 12 punkter har en linjeavstand på ca. 0,5 cm per linje. En tettskrevet tekst med Times New Roman omfatter 45 linjer. Hvor mange centimeter av arkets høyde går med til tekst? A1.105 Hva er omkretsen i meter for disse sirklene? a) b) 4,2 m 11,5 dm B1.100 Et lysår er den avstanden lyset går i løpet av ett år. Lysets fart er 300 000 km=s. a) Hvor mange kilometer er et lysår? b) Avstanden mellom jorda og sola er 150 000 000 km. Hvor mange ganger lengre enn dette er et lysår? A1.106 Regn ut omkretsen av en sirkel i meter, der a) r ¼ 6,18 dm b) r ¼ 56 cm c) d ¼ 0,137 km 1.4 Omkrets A 1.107 Regn ut omkretsen av figurene: a) b) 2 dm A1.101 Regn ut omkretsen av figurene: a) b) 9 dm 9 dm 60 cm 80 cm c) 24 m 12 m 24 m 12 m c) 5 cm d) 2 dm 1 dm 1 dm A1.102 Regn ut omkretsen av figurene: a) b) 6 cm 12 cm 7 cm 25 m 25 m 25 m 25 m A 1.103 En rektangelformet tomt med lengden 55 m og bredden 26 m skal gjerdes inn. Hvor langt blir gjerdet? KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 33