S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i oka 7.1 a c d 4 1 P (sum antall øyne lir 5) = = 6 9 6 1 P (sum antall øyne lir minst 10) = = 6 6 6 1 P(sum antall øyne lir høyst 4) = = 6 6 11 P(minst én sekser) = 6 7.2 5 10 4 = 200 Man kan sette sammen et måltid på 200 måter. 7. 4 5 = 60 Jaco kan velge ukse, skjorte og genser på 60 måter. 7.4 2 2 2 10 10 10 = 12167 000 Man kan lage 12 167 000 forskjellige svenske ilnummer. 7.5 a 4 6 = 1296 Charlotte kan trekke okstavene på 1296 måter. 1 P (okstavene danner ordet PRAT) = = 0, 000 77 = 0, 077 % 1296 7.6 29 = 2489 Lappene kan trekkes på 24 89 måter. 1 P (okstavene danner ordet EVA) = = 0, 000 041 = 0, 0041 % 24 89 Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 7

7.7 a c 5 = 125 Det fins 125 tresifrede tall der alle sifrene er oddetall. 4 = 64 Det fins 64 tresifrede tall der hvert siffer er 2, 4, 6 eller 8. 4 = 81 Det fins 81 firesifrede tall der hvert siffer er 7, 8 eller 9. 7.8 a c 10 = 59 049 Det er mulig å svare på 59 049 måter. 10 2 = 1024 Det er mulig å svare galt på alle de 10 spørsmålene på 1024 måter. 1024 P (ti gale svar) = = 0, 017 = 1,7 % 59 049 Sannsynligheten er 1,7 % for at Eivind svarer galt på alle de 10 spørsmålene. d P(minst ett riktig svar) = 1 P (ti gale svar) = 1 0,017 = 0,98 = 98, % Sannsynligheten er 98, % for at Eivind får minst ett riktig svar. 7.9 5 = 15 Divya kan velge mellom 15 reiseruter. 7.10 4 5 = 60 Lise kan pynte seg på 60 måter. 7.11 7 = 21 Sykkelen har 21 gir. 7.12 a Det er 6 mulige utfall på den ene treningen og 6 mulige utfall på den andre terningen. 6 6 = 6 Det er tilsammen 6 mulige utfall for de to terningene. 6 = 216 Dette forsøket har 216 mulige utfall. c 5 6 = 7776 Det er 7776 utfall hvis du kaster fem terninger. Aschehoug www.lokus.no Side 2 av 7

7.1 6 2 1 = 64 1 = 6 Det er mulig å lage 6 tegn med lindeskrift. 7.14 a 5 6 4 = 120 Malin kan sette sammen måltidet på 120 måter. 22 = 12 Hun kan sette sammen en middag med suppe, kjøtt og is på 12 måter. 12 1 c P(middag med suppe, kjøtt og is) = = 120 10 Sannsynligheten er 1 for at hun får middag med suppe, kjøtt og is. 10 7.15 9 9 8 = 648 648 av tallene mellom 100 og 999 estår av tre forskjellige sifre. 7.16 4 a 5 = 625 Det er 625 firesifrede tall der alle sifrene er oddetall. 4 5 5 5 = 500 Det er 500 firesifrede tall der alle sifrene er partall. c 9 10 10 2 = 1800 Det er 1800 firesifrede tall som er delelig med 5. 7.17 12 a = 51441 Du kan tippe 51 441 forskjellige rekker. 222 = 72 Du har tippet 72 rekker. c For hver helgardering man gjør, må man multiplisere antall rekker som tippes, med tre, og for hver halvgardering man gjør, må man multiplisere antall rekker som tippes, med to. På denne måten kommer man fram til hvor mange rekker man har tippet, og det er slik Norsk Tipping har kommet fram til taellen på aksiden av tippekupongen. 7.18 a 42 = 24 Mathias kan trekke okstavene på 24 måter. Aschehoug www.lokus.no Side av 7

1 P(okstavene danner ordet TRE) = 24 Sannsynligheten er 1 24 for at okstavene danner ordet TRE. 7.19 a P 2 = 2 = 6 4P 2 = 4 = 12 c 5P = 5 4 = 60 d 6P = 6 5 4 = 120 7.20 6P 5 = 6542 = 720 Klassen kan sette opp stafettlaget på 720 måter. 7.21 5P = 5 4 = 60 Hun kan sette opp lista på 60 måter. 7.22 52 P = 52 51 50 = 12 600 Du kan trekke kortene på 12 600 måter. 7.2 a! = 2 1 = 6 4! = 421 = 24 4! 421 c = = 4! 2 1 5! 5421 d = = 5 4 = 20! 2 1 7.24 5! = 5 4 2 1 = 120 De kan fordele oppgavene på 120 måter. 7.25 a 4! = 421 = 24 Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 7

1 P (lappene danner ordet TONE) = 24 Sannsynligheten er 1 24 for at lappene danner ordet TONE. 7.26 a! = 2 1 = 6 Du kan lage 6 forskjellige tresifrede tall dersom de skal inneholde forskjellige sifre. c = 27 Du kan lage 27 forskjellige tresifrede tall dersom sifrene kan gjentas. Antall tresifrede tall med minst to like sifre, er lik antall tresifrede tall totalt minus antall tresifrede tall med tre forskjellige sifre. 27 6 = 21 Du kan lage 21 forskjellige tresifrede tall dersom det skal inneholde minst to like sifre. 7.27 a 4! = 421 = 24 Du kan lage 24 forskjellig koder dersom koden skal inneholde forskjellige okstaver. c 4 4 = 256 Du kan lage 256 forskjellige koder dersom okstavene kan gjentas. Antall koder med minst to like okstaver, er lik antall koder totalt minus antall koder med fire forskjellige okstaver. 256 24 = 22 Du kan lage 22 forskjellige koder dersom koden skal inneholde minst to like okstaver. 7.28 Vi ruker CAS: Låtene kan spilles i 628 800 forskjellige rekkefølger. 7.29 a Vi ruker CAS: De kan sitte på 55 687 428 096 000 måter. Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 7

Vi ruker CAS: De kan sitte på 9 66 672 71 480 064 000 måter. 7.0! 2 1 a = = 2! 2 1 5! 5421 = = 5 4! 421 c 6P 2 = 6 5 = 0 6P2 6 5 0 d = = = 15 2! 2 1 2 7.1 4! = 421 = 24 De kan fordeles på 24 måter. 7.2 a 4P = 42 = 24 Du kan lage 24 tresifrede tall dersom tallet skal inneholde forskjellige sifre. 4 = 64 Du kan lage 64 tresifrede tall dersom sifrene kan gjentas. c 64 24 = 40 Du kan lage 40 tresifrede tall dersom tallet skal inneholde minst to like sifre. 7. 29 P = 29 28 27 = 21924 Du kan lage 21 924 forskjellige «ord». 7.4 52 P 4 = 52 51 50 49 = 6 497 400 Man kan legge kortene på 6 497 400 måter. 7.5 Vi kan velge hjemmelaget på 20 måter og ortelaget på 19 måter. 20 19 = 80 Det spilles 80 kamper i løpet av en sesong. Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 7

7.6 6! 65421 a = = 6 5 = 0 4! 421 10! 1098765421 = = 10 9 8 = 720. 7! 765421 6P 6 5 4 120 c = = = 20! 2 1 6 5! 5421 20 d = = = 10!2! 2121 2 7.7 a 5P 4 = 5 4 2 = 120 Man kan lage 120 firesifrede tall dersom tallet skal inneholde forskjellige sifre. 4 5 = 625 Man kan lage 625 firesifrede tall dersom sifrene kan gjentas. c 625 120 = 505 Man kan lage 505 firesifrede tall dersom minst to sifre skal være like. 7.8 a Vi ruker CAS: Laglederen kan sette opp laget på 20 274 18 401 472 000 måter. Vi ruker CAS Laglederen kan fordele utøverne på etappene på 1 07 674 68 000 måter. 7.9 1 1 1 P (Judith får alle riktig) = = = = 0, 0014 = 0,14 % 6! 65421 720 Sannsynligheten er 0,14 % for at Judith får alle riktig på gloseprøven. Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 7

7.40 1 1 1 a P (Vegard gjetter alle riktig) = = = = 0, 008 = 0,8 % 5! 5 4 2 1 120 Sannsynligheten er 0,8 % for at Vegard gjetter riktig på alle. Siden sannsynligheten er såpass liten for at Vegard får alle riktig dersom han are gjetter, urde Signe skifte mening og tro på han. 7.41 a 4 4 c 6 6 d 6 6 P2 2 = = = 2 2! 2 1 P 42 = = = 4! 2 1 P2 6 5 0 = = = = 15 2 2! 2 1 2 P 6 5 4 120 = = = = 20! 2 1 6 7.42 5 5P 5 4 60 = = = = 10! 2 1 6 Vennene kan fordele seg på 10 måter. 7.4 a Vi ruker CAS: 10 252 5 = Vi ruker CAS: c 29 ( 7 ) =1560 780 Vi ruker CAS: 7 562 467 00 1 = Aschehoug www.lokus.no Side 8 av 7

d Vi ruker CAS: 50 126 410 606 47 752 25 = 7.44 Vi ruker CAS: 0 ( 4 ) = 27 405 De kan velge utsendingene på 27 405 måter. 7.45 Vi ruker CAS: 10 ( 7 ) =120 De 7 spillerne kan velges ut på 120 måter. 7.46 a Vi ruker CAS: 48 ( 6 ) =12 271512 Det fins 12 271 512 rekker i Viking Lotto. 1 P(Joackim vinner førstepremie) = = 8,15 10 12 271512 8 Aschehoug www.lokus.no Side 9 av 7

7.47 a 4 4 5 5 c 5 5 d 6 6 P2 4 12 = = = = 6 2 2! 2 1 2 P2 5 4 20 = = = = 10 2 2! 2 1 2 P 5 4 60 = = = = 10! 2 1 6 P4 654 65 0 = = = = = 15 4 4! 421 21 2 7.48 6 6P 6 5 4 120 = = = = 20! 2 1 6 Du kan trekke karamellene på 20 måter. 7.49 Vi ruker CAS: 10 ( 8 ) = 45 En elev kan velge ut 8 spørsmål på 45 måter. 7.50 Vi ruker CAS: 15 ( 11 ) =165 Spillerne kan velges ut på 165 måter. 7.51 Vi ruker CAS: 15 ( ) = 455 Delegatene kan velges ut på 455 måter. Aschehoug www.lokus.no Side 10 av 7

7.52 a 7 7 7 7 c 8 8 d 8 8 P2 7 6 42 = = = = 21 2 2! 2 1 2 P4 7 6 5 4 7 6 5 210 = = = = = 5 4 4! 421 21 6 P6 87654 87 56 = = = = = 28 6 6! 65421 21 2 P2 8 7 56 = = = = 28 2 2! 2 1 2 7.5 10 10 P2 10 9 90 = = = = 45 2 2! 2 1 2 Det lir 45 håndtrykk. 7.54 20 20 P2 20 19 80 = = = = 190 2 2! 2 1 2 De to kan velges på 190 måter. 7.55 Vi ruker CAS: 20 ( 15 ) =15 504 Laglederen kan velge ut stafettlaget på 15 504 måter. 7.56 Siden lykketallet 5 skal være med, velges det ut 6 tall fra de resterende tallene. ( 6 ) =1107 568 Lykketallet er med i 1 107 568 lottorekker. Aschehoug www.lokus.no Side 11 av 7

7.57 a Vi ruker CAS: 9 ( 7 ) = 6 Du tipper 6 rekker dersom du krysser av 9 tall. Vi ruker CAS: Du tipper 120 rekker dersom du krysser av 10 tall. c For å finne ut hvor mange rekker man har tippet dersom man krysser av 8, 9, 10, 11 eller 12 tall på lottokupongen, ruker Norsk Tipping formelen for antall uordnede utvalg uten tilakelegging, altså n C r. Her er r lik 7 siden hver rekke estår av 7 tall, mens n er antall tall man har krysset av på lottokupongen. 7.58 Rad 6: 1 6 15 20 15 6 1 Rad 7: 1 7 21 5 5 21 7 1 7.59 x = 28 + 56 = 84 y = 56 + 70 = 126 7.60 a I: II : x+ 2y = 7x 2y+ x= 5 I:2y = 7x x= 4x I II : 4x+ x= 5 7x = 5 x = 5 2y = 4x y = 2x y = 2 5 = 10 Aschehoug www.lokus.no Side 12 av 7

7.61 4 4! 4! = = = 1 0 0! (4 0)! 1 4! 4 4! 4! 4 2 1 = = = = 4 1 1!(4 1)! 1! 21 4 4! 4! 421 4 12 ( 2) 2! (4 2)! 2! 2! 2 1 2 1 2 1 2 4 4! 4! 4 2 1 = = = = 4! (4 )!! 1! 2 1 1 4 4! 4! 4! = = = = 1 = = = = = = 6 4 4! (4 4)! 4! 0! 4!1 Disse tallene finner vi i rad 4 i Pascals trekant. 7.62 a Vi skriver opp de første radene i Pascals trekant: rad 0 1 rad1 1 1 rad 2 1 2 1 rad 1 1 rad 4 1 4 6 4 1 rad 5 1 5 10 10 5 1 rad 6 1 6 15 20 15 6 1 rad 7 1 7 21 5 5 21 7 1 Vi finner tetraedertallene langs den diagonalen som er skrevet med rødt. Vi finner tetraedertall nummer 1 i posisjon nummer i rad nummer nummer 2 i posisjon nummer i rad nummer 4 nummer i posisjon nummer i rad nummer 5 osv. Altså finner vi tetraedertall nummer n i posisjon nummer i rad nummer n + 2. n + 2. c Derfor kan det n -te tetraedertallet gis som Det tiende tetraedertallet er 10 + 2 12 12 P 12 11 10 = = = = 220! 2 1 Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 7

7.6 a Vi ruker CAS: Utrykket i oppgave a kan skrives slik: 1 a + 4 a + 6 a + 4 a + 1 4 2 2 4 Koeffisientene her er 1, 4, 6, 4 og 1. Vi finner dem i rad nummer 4 i Pascals trekant. 7.64 (2x+ y) = (2 x) + (2 x) y+ 2 x ( y) + ( y) a 2 2 = 8x + 6x y + 54xy + 27y 2 2 (2 x+ y) = (2 x) + 4 (2 x) y+ 6 (2 x) y + 4 2x y + y 4 2 2 4 = 16x + 2x y + 24x y + 8xy + y 4 4 2 2 4 c ( x y) = x + 4 x ( y) + 6 x ( y) + 4 x ( y) + ( y) 4 2 2 4 = x 4x y + 6x y 4xy + y 7.65 a rad 0 1 rad1 1 1 rad 2 1 2 1 rad 1 1 rad 4 1 4 6 4 1 rad 5 1 5 10 10 5 1 rad 6 1 6 15 20 15 6 1 4 5 6 6 2 = 10 = 20 = 4 4 2 2 4 7.66 a 1 5 ( 2 ) finner du i rad nummer 5, plass nummer 2. 2 6 ( 4 ) finner du i rad nummer 6, plass nummer 4. Aschehoug www.lokus.no Side 14 av 7

7 ( 2 ) finner du i rad nummer 7, plass nummer 2. 4 7 ( 4 ) finner du i rad nummer 7, plass nummer 4. 1 5 10 2 = 2 6 15 4 = ( 7 ) 21 2 = 4 ( 7 ) 5 4 = Løsninger til oppgavene i oka 7.67 4 4 2 2 4 4 2 a ( x+ 1) = x + 4 x 1+ 6 x 1 + 4 x 1 + 1 = x + 4x + 6x + 4x + 1 c d 4 4 2 2 4 4 2 ( x+ 2) = x + 4 x 2 + 6 x 2 + 4 x 2 + 2 = x + 8x + 24x + 2x + 16 5 5 4 2 2 4 5 5 4 2 ( x+ 1) = x + 5 x 1+ 10 x 1 + 10 x 1 + 5 x 1 + 1 = x + 5x + 10x + 10x + 5x + 1 4 4 2 2 4 4 2 ( x 1) = x + 4 x ( 1) + 6 x ( 1) + 4 x ( 1) + ( 1) = x 4x + 6x 4x + 1 7.68 a 6 7 7 c 7 rad 0 1 rad1 1 1 rad 2 1 2 1 rad 1 1 rad 4 1 4 6 4 1 rad 5 1 5 10 10 5 1 rad 6 1 6 15 20 15 6 1 rad 7 1 7 21 5 5 21 7 1 15 2 = 5 = 21 5 = 5 4 = Vi kan velge elevene på 5 måter. Aschehoug www.lokus.no Side 15 av 7

7.69 a I : II : x+ y = 15 y+ 2x= 20 I : y = 15 x I II : 15 x+ 2x= 20 x = 20 15 x = 5 y = 15 5 y = 10 7.70 a 5 6 7 c 6 rad 0 1 rad1 1 1 rad 2 1 2 1 rad 1 1 rad 4 1 4 6 4 1 rad 5 1 5 10 10 5 1 rad 6 1 6 15 20 15 6 1 rad 7 1 7 21 5 5 21 7 1 10 = 15 4 = 21 5 = 20 = Vi kan velge elevene på 20 måter. d La x stå for antall elever i komiteen. 7 = 5. x Vi har da at Vi ser på den sjuende raden i Pascals trekant. Der finner vi 5 på plass nummer og plass nummer 4. Dette etyr at x = eller x = 4. Det kan være eller 4 elever i komiteen. Aschehoug www.lokus.no Side 16 av 7

7.71 a rad 0 1 rad 1 1 1 rad 2 1 2 1 rad 1 1 rad 4 1 4 6 4 1 rad 5 1 5 10 10 5 1 rad 6 1 6 15 20 15 6 1 rad 7 1 7 21 5 5 21 7 1 rad 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 5 5 ( 2) ( ) 2 6 6 ( 2) ( 4) 7 7 ( ) ( 4) 4 8 8 ( ) ( 5) c n n! = = 10 = = 15 = = 5 = = 56 = r r! ( n r)! n n! n = =! n r ( n r)! n ( n r)! ( n r)! r! Vi ser at de to inominalkoeffisientene er like. Løsninger til oppgavene i oka 7.72 a (2 a ) = (2 a) + (2 a) ( ) + 2 a ( ) + ( ) = 8a 12a + 6a c 2 2 2 2 a+ = a + a + a + a + = a + a + a + a + 4 4 2 2 4 4 2 (2 ) (2 ) 4 (2 ) 6 (2 ) 4 2 16 96 216 216 81 (x 2) = ( x) + 4 ( x) ( 2) + 6 ( x) ( 2) + 4 x ( 2) + ( 2) 4 4 2 2 4 = + + 4 2 81x 216x 216x 96x 16 d 5 5 4 2 2 4 5 x+ y = x+ 5xy+ 10xy + 10xy + 5xy + y 7.7 a I: II : x+ 2y = 7x 7x+ 5 = 7 y I: 2y = 7x x 2y = 4x y = 2x Aschehoug www.lokus.no Side 17 av 7

I II : 7x+ 5 = 7 2x y = 2x = 2 5 = 10 5 = 14x 7x 5 = 7x x = 5 7.74 a rad 0 1 rad1 1 1 rad 2 1 2 1 rad 1 1 rad 4 1 4 6 4 1 rad 5 1 5 10 10 5 1 rad 6 1 6 15 20 15 6 1 Summen i hver av radene: rad 0: 1 rad 1: 2 rad 2: 4 rad : 8 rad 4: 16 rad 5: 2 rad 6: 64 Vi ser at summen fordoler seg for hver rad. Hver rad kan skrives som en toerpotens med radnummeret som eksponent. n n 1 2 2 1 2 = (1+ 1) = n n 1 + n n 1 1+ n n n n 1 1 + + n 1 1 + n 1 0 1 2 n 1 n = n + n + n + + n + n 0 1 2 n 1 n c 7.75 n 1 1 ( 1)! ( 1)! ( 1)! ( 1)! + n n n n n = + = + r 1 r ( r 1)! ( n 1 ( r 1))! r! ( n 1 r)! ( r 1)! ( n r)! r! ( n r 1)! ( n 1)! r ( n 1)! ( n r) ( n 1)! r ( n 1)! ( n r) = + = + ( r 1)! ( n r)! r r! ( n r 1)! ( n r) r! ( n r)! r! ( n r)! ( n 1)! r+ ( n 1)! ( n r) ( n 1)! ( r+ n r) ( n 1)! n = = = r! ( n r)! r! ( n r)! r! ( n r)! n! = = r! ( n r)! n ( r ) Aschehoug www.lokus.no Side 18 av 7

7.76 P (to gutter og én jente) = 5 5 8 8 P1 5 = = = 5 1 1! 1 P2 2 = = = 2 2! 2 1 P 876 = = = 56! 2 1 5 1 ( 2) 8 ( ) Dermed er 5 15 P (to gutter og én jente) = = 56 56 7.77 a 0 4 P(ingen defekte lyspærer) = PX ( = 0) = 4 7 4 P0 = = 1 0 0! 4 4P4 421 = = = 1 4 4! 421 7 7P4 7654 = = = 5 4 4! 421 Dermed er 11 1 P(ingen defekte lyspærer) = PX ( = 0) = = 5 5 1 4 P(én defekt lyspære) = PX ( = 1) = 7 4 P1 = = = 1 1! 1 4 4P 42 = = = 4! 2 1 Dermed er 4 12 P(én defekt lyspære) = PX ( = 1) = = 5 5 Aschehoug www.lokus.no Side 19 av 7

4 c P(tre defekte lyspærer) = PX ( = ) = 1 7 4 P 21 = = = 1! 2 1 4 4P1 4 = = = 4 1 1! 1 Dermed er 14 4 P(tre defekte lyspærer) = PX ( = ) = = 5 5 Løsninger til oppgavene i oka 7.78 a 0 P (ingen røde Non Stop) = 6 P0 = = 1 0 0! P 21 = = = 1! 2 1 6 6P 654 = = = 20! 2 1 Dermed er 11 1 P (ingen røde Non Stop) = = 20 20 1 P (én rød Non Stop) = 2 6 P1 = = = 1 1! 1 P2 2 6 = = = = 2 2! 2 1 2 Dermed er 9 P (én rød Non Stop) = = 20 20 c 1 9 10 1 P(høyst én rød Non Stop) = P(ingen røde Non Stop) + P (én rød Non Stop) = + = = 20 20 20 2 Aschehoug www.lokus.no Side 20 av 7

7.79 a Vi lar X stå for antall gutter i festkomiteen. P(én gutt i festkomiteen) = PX ( = 1) = P(1 X 1) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 18, % for at det lir med én gutt i festkomiteen. P(tre gutter i festkomiteen) = PX ( = ) = P( X ) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 1,7 % for at det lir med tre gutter i festkomiteen. Aschehoug www.lokus.no Side 21 av 7

c P(minst tregutter i festkomiteen) = PX ( ) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren. d Sannsynligheten er 9,6 % for at det lir med minst tre gutter i festkomiteen. Vi lar Y stå for antall jenter i festkomiteen. P(minst to jenter i festkomiteen) = PY ( 2) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 60,4 % for at det lir med minst to jenter i festkomiteen. Aschehoug www.lokus.no Side 22 av 7

7.80 a Vi lar X stå for antall plommer av sort A. P(ti plommer av sort A) = PX ( = 10) = P(10 X 10) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 20,7 % for at kunden får ti plommer av sort A. P(minst ti plommer av sort A) = PX ( 10) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 8,0 % for at kunden får minst ti plommer av sort A. Aschehoug www.lokus.no Side 2 av 7

c Vi lar Y stå for antall plommer av sort B. P(minst åtte plommer av sort B) = PY ( 8) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 17,2 % for at kunden får minst åtte plommer av sort B. 7.81 P (to lå, én rød og én gul kule) = Vi ruker CAS: 4 2 2 1 ( 1) 9 ( 4 ) Sannsynligheten er 28,6 % for at du får to lå, én rød og én gul kule. Aschehoug www.lokus.no Side 24 av 7

7.82 2 a 2 P (to lå kuler) = 0 5 2 2 2P2 21 = = = 1 2 2! 2 1 P0 1 = = = 1 0 0! 1 5 5P2 5 4 20 = = = = 2 2! 2 1 2 10 Dermed er 11 1 P (to lå kuler) = = 10 10 2 1 P (én rød og én lå kule) = 1 5 2 2 2P1 2 = = = 2 1 1! 1 P1 = = = 1 1! 1 Dermed er 2 6 P (én rød og én lå kule) = = = 10 10 5 c 0 2 P (to røde kuler) = 2 5 2 2 2P0 1 = = = 1 0 0! 1 P2 2 = = = 2 2! 2 1 Dermed er 1 P(to røde kuler) = = 10 10 d P(minst én rød kule) = P(én rød kule og én lå kule) + P(to røde kuler) 6 9 = + = 10 10 10 Løsninger til oppgavene i oka Aschehoug www.lokus.no Side 25 av 7

7.8 a Vi lar X være antall røde kuler. P(4 røde kuler) = PX ( = 4) = P(4 X 4) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 22,1 % for å få 4 røde kuler. P(minst røde kuler) = PX ( ) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 68,9 % for å få minst røde kuler. Aschehoug www.lokus.no Side 26 av 7

c P(høyst røde kuler) = PX ( ) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 75, % for å få høyst røde kuler. 7.84 a Vi lar X være antall gutter. P(ikke velger noen gutt) = PX ( = 0) = P(0 X 0) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 25,5 % for ikke å velge noen gutter. Aschehoug www.lokus.no Side 27 av 7

P(velger én gutt) = PX ( = 1) = P(1 X 1) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 50,9 % for at vi velger én gutt. c P(velger to gutter) = PX ( = 2) = P(2 X 2) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 21,8 % for at vi velger to gutter. Aschehoug www.lokus.no Side 28 av 7

7.85 a Vi lar X være antall sjokoladeiter. P(4 sjokoladeiter) = PX ( = 4) = P(4 X 4) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 1,7 % for at du får 4 sjokoladeiter. P(minst 4sjokoladeiter) = PX ( 4) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 4,7 % for at du får minst 4 sjokoladeiter. Aschehoug www.lokus.no Side 29 av 7

c Vi lar Y være antall karameller. P(minst karameller) = PY ( ) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 56, % for at du får minst karameller. 7.86 a Vi lar X være antall defekte lyspærer. P(ingen defekte lyspærer) = PX ( = 0) = P(0 X 0) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 1,1 % for at ingen av lyspærene er defekte. Aschehoug www.lokus.no Side 0 av 7

P(én defekt lyspære) = PX ( = 1) = P(1 X 1) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 4,1 % for at én av lyspærene er defekt. c P(minst 2 defekte lyspærer) = PX ( 2) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 25,8 % for at minst 2 av lyspærene er defekte. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 7

7.87 a Vi lar X være antall seigmenn. P(like mange av hvert kjønn) = PX ( = 2) = P(2 X 2) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 42,9 % for at vi får like mange «seigpersoner» av hvert kjønn. P(flest seigmenn) = PX ( ) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 45,2 % for at vi får flere seigmenn enn seigdamer. Aschehoug www.lokus.no Side 2 av 7

7.88 a Vi ruker CAS: Du kan trekke kulene på 59 775 måter. Vi ruker CAS: c Du kan trekke to kuler av hver farge på 91 125 måter. 91125 P (to kuler av hver farge) = = 0,15 = 15, % 59 775 7.89 a 4 P (tre røde kuler) = 0 7 P 21 = = = 1! 2 1 4 4P0 1 = = = 1 0 0! 1 7 7P 765 = = = 5! 2 1 Dermed er 11 1 P(tre røde kuler) = = 5 5 2 4 P (én lå og to røde kuler) = 1 7 P2 2 = = = 2 2! 2 1 4 4P1 4 = = = 4 1 1! 1 Dermed er 4 12 P (én lå og to røde kuler) = = 5 5 Aschehoug www.lokus.no Side av 7

c P(minst to lå kuler) = 1 P(tre røde kuler) P(én lå og to røde kuler) 1 12 5 1 12 22 = 1 = = 5 5 5 5 7.90 P(én kvinne og én mann) = 2 2 4 4 6 6 P1 2 = = = 2 1 1! 1 P1 4 = = = 4 1 1! 1 P2 65 = = = 15 2 2! 2 1 2 4 1 ( 1) 6 ( 2 ) Dermed er 24 8 P(én kvinne og én mann) = = 15 15 7.91 a Vi lar X være antall gutter. P(to gutter) = PX ( = 2) = P(2 X 2) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 47,6 % for at det lir to gutter i komiteen. Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 7

Vi lar Y være antall jenter. P(to jenter) = PY ( = 2) = P(2 Y 2) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 2,8 % for at det lir to jenter i komiteen. c P(minst to gutter) = PX ( 2) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 7,8 % for at det lir minst to gutter i komiteen. Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 7

d P(flest gutter) = PX ( ) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 26,2 % for at det lir flere gutter enn jenter i komiteen. 7.92 a Vi lar X være antall hjerter. P(to hjerter) = PX ( = 2) = P(2 X 2) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 27,4 % for at en pokerspiller får to hjerterkort. Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 7

P(minst to hjerter) = PX ( 2) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 6,7 % for at en pokerspiller får minst to hjerterkort. 7.9 a Vi lar X være antall vinnertall. P(seks vinnertall) = PX ( = 6) = P(6 X 6) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 0,005 % for at du tipper riktig seks vinnertall. Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 7

P(fem vinnertall) = PX ( = 5) = P(5 X 5) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 0,14 % for at du tipper riktig 5 vinnertall. c P(fire vinnertall) = PX ( = 4) = P(4 X 4) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 1,9 % for at du tipper riktig fire vinnertall. Aschehoug www.lokus.no Side 8 av 7

d P(minst tre vinnertall) = PX ( ) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 1,5 % for at du tipper riktig minst vinnertall. 7.94 a Vi lar X være antall hjerter. P(fem hjerter) = PX ( = 5) = P(5 X 5) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 0,05 % for at en pokerspiller får are hjerterkort. P (alle kortene har samme farge) = 4 0, 0005 = 0, 0020 = 0, 20 % Aschehoug www.lokus.no Side 9 av 7

7.95 a Vi ruker CAS: Sannsynligheten er 10, % for at vi får tre klesklyper av hver farge. Vi ruker CAS: Sannsynligheten er 1,5 % for at vi får fire røde, tre grønne og to gule klesklyper. 7.96 a Vi ruker CAS: Sannsynligheten er 0,07 % for at en ridgespiller får fem spar, fem hjerter og tre kløver. Vi ruker CAS: Sannsynligheten er 2,6 % for at en ridgespiller får fire spar, tre hjerter, tre ruter og tre kløver. 7.97 a P(egge er jenter) = P(eldste er jente) P (yngste er jente) = 0,486 0,486 = 0,26 Sannsynligheten 2,6 % for at ekteparet har to jenter. P(eldste er gutt og yngste er jente) = P(eldste er gutt) P (yngste er jente) = 0,514 0,486 = 0,250 Sannsynligheten 25,0 % for at det eldste arnet er en gutt og det yngste er en jente. c P(eldste er jente og yngste er gutt) = P(eldste er jente) P (yngste er gutt) = 0,486 0,514 = 0,250 Sannsynligheten 25,0 % for at det eldste arnet er en jente og det yngste er en gutt. Aschehoug www.lokus.no Side 40 av 7

7.98 1 1 1 a P(rød første gang og gul andre gang) = P(rød) P (gul) = = 6 18 Sannsynligheten er 1 for at lykkehjulet stopper på rød første gang og på gul andre gang. 18 1 1 1 P(gul første gang og rød andre gang) = P(gul) P (rød) = = 6 18 Sannsynligheten er 1 for at lykkehjulet stopper på gul første gang og på rød andre gang. 18 1 1 2 1 c P(én gang på rød og én gang på gul) = P(rød,gul) + P (gul, rød) = + = = 18 18 18 9 Sannsynligheten er 1 9 for at lykkehjulet stopper én gang på rød og én gang på gul. 7.99 a P(én gutt) = P(GJJJ) + P(JGJJ) + P(JJGJ) + P (JJJG) = 4 0,514 0, 486 = 0, 26 Sannsynligheten er 2,6 % for at ekteparet har én gutt. P P P P P (tre gutter) = (GGGJ) + (GGJG) + (GJGG) + (JGGG) = 4 0,514 0, 486 = 0, 264 Sannsynligheten er 26,4 % for at ekteparet har tre gutter. 7.100 a P PX 4 0 4 4 1 2 2 16 (ingen riktige svar) = ( = 0) = = 1 1 = P PX 4 0 4 81 1 1 2 1 2 2 (ett riktig svar) = ( = 1) = = 4 = 1 81 16 2 48 16 c P(høyst ett riktig svar) = PX ( = 0) + PX ( = 1) = + = = 81 81 81 27 7.101 k 4 k 4 a 4 4 PX ( k) 4 4 ( k) ( k) ( k) 4 ( k) 1 1 1 1 1 = = = = = 2 2 2 2 16 4 1 1 1 P(tre mynt) = PX ( = ) = = 4 = 16 16 4 c 4 1 1 1 P(fire mynt) = PX ( = 4) = = 1 = 4 16 16 16 4 1 5 d P(minst tre mynt) = PX ( = ) + PX ( = 4) = + = 16 16 16 Aschehoug www.lokus.no Side 41 av 7

7.102 a For hvert av spørsmålene kan Signe svare riktig eller galt. For hvert av spørsmålene er sannsynligheten 1 for at hun svarer riktig. Svarene er riktige eller gale uavhengig av hverandre, siden Signe gjetter. Vi har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall riktige svar Signe får. P(fem riktige svar) = PX ( = 5) = P(5 X 5) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Løsninger til oppgavene i oka Sannsynligheten er 21,4 % for at Signe får fem riktige svar. P(minst åtte riktige svar) = PX ( 8) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 8,8 % for at Signe får minst åtte riktige svar. Aschehoug www.lokus.no Side 42 av 7

7.10 Hvert av frøene vil enten spire eller ikke spire. Hvert frø spirer med 80 % sannsynlighet. Vi antar at frøene spirer uavhengig av hverandre og har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall frø som spirer. Det skal være minst 95 % sannsynlighet for at minst 50 frø vil spire. Vi må altså løse ulikheten P(50 X ) 0,95. Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren og prøver oss fram: Vi må så 69 frø for at det skal være minst 95 % sannsynlighet for at minst 50 frø vil spire. 7.104 a For hvert av de tre pengestykkene som kastes, kan man få enten mynt eller kron. Sannsynligheten for å få mynt er 50 % for hvert pengestykke. Pengestykkene gir mynt eller kron uavhengig av hverandre. Vi har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall mynt vi får. 0 1 1 1 1 P(ingen mynt) = PX ( = 0) = 1 1 0 = = 2 2 2 8 P PX c P PX d P PX 1 2 1 1 1 1 (én mynt) = ( = 1) = 1 = = 2 2 2 2 2 8 2 1 1 1 1 1 (to mynt) = ( = 2) = 2 = = 2 2 2 2 2 8 0 1 1 1 1 (tre mynt) = ( = ) = = 1 1 = 2 2 2 8 Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 7

7.105 a For hvert av de åtte pengestykkene som kastes, kan man få enten mynt eller kron. Sannsynligheten for å få mynt er 50 % for hvert pengestykke. Pengestykkene gir mynt eller kron uavhengig av hverandre. Vi har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall mynt vi får. P(ingen mynt) = PX ( = 0) = P(0 X 0) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 0,4 % for å få ingen mynt. P(to mynt) = PX ( = 2) = P(2 X 2) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 10,9 % for å få to mynt. Aschehoug www.lokus.no Side 44 av 7

c P(fire mynt) = PX ( = 4) = P(4 X 4) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 27, % for å få fire mynt. d P(seks mynt) = PX ( = 6) = P(6 X 6) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 10,9 % for å få seks mynt. Aschehoug www.lokus.no Side 45 av 7

7.106 a For hver av de fem terningene som kastes, kan man få enten sekser eller ikke-sekser. Sannsynligheten for å få sekser er 1 for hver terning. 6 Terningene gir sekser eller ikke-sekser uavhengig av hverandre. Vi har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall seksere. P(ingen seksere) = PX ( = 0) = P(0 X 0) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 40,2 % for å få ingen seksere. P(to seksere) = PX ( = 2) = P(2 X 2) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 16,1 % for å få to seksere. Aschehoug www.lokus.no Side 46 av 7

c P(minst to seksere) = PX ( 2) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 19,6 % for å få minst to seksere. 7.107 a Hver av de 20 personene som trekkes ut, kan enten støtte det politiske partiet eller ikke. Sannsynligheten for at en person støtter partiet, er 0 %. Siden personene trekkes tilfeldig, vil det at en person støtter partiet ikke endre sannsynligheten for at en annen person gjør det. Vi har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall personer som støtter partiet. P(fem støtter partiet) = PX ( = 5) = P(5 X 5) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 17,9 % for at fem personer støtter partiet. Aschehoug www.lokus.no Side 47 av 7

P(seks støtter partiet) = PX ( = 6) = P(6 X 6) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 19,2 % for at seks personer støtter partiet. c P(høyst fem støtter partiet) = PX ( 5) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 41,6 % for at høyst fem personer støtter partiet. Aschehoug www.lokus.no Side 48 av 7

d P(minst åtte støtter partiet) = PX ( 8) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 22,8 % for at minst åtte personer støtter partiet 7.108 a Hver av de 0 erteplantene kan enten få gule eller grønne frø. Sannsynligheten for at en erteplante får gule frø, er. Vi antar at fargen på frøene til erteplantene er uavhengig av 4 hverandre, og vi har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall erteplanter med gule frø. P(20 av erteplantene har gule frø) = PX ( = 20) = P(20 X 20) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 9,1 % for at 20 av erteplantene har gule frø. Aschehoug www.lokus.no Side 49 av 7

P(24 av erteplantene har gule frø) = PX ( = 24) = P(24 X 24) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Løsninger til oppgavene i oka Sannsynligheten er 14,5 % for at 24 av erteplantene har gule frø. c P(høyst 20 av erteplantene har gule frø) = PX ( 20) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 19,7 % for at høyst 20 av erteplantene har gule frø. Aschehoug www.lokus.no Side 50 av 7

d P(minst 24 av erteplantene har gule frø) = PX ( 24) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 4,8 % for at minst 24 av erteplantene har gule frø. 7.109 a For hver av de 10 spørsmålene kan Ali svare enten riktig eller galt. Sannsynligheten for at han velger rett svaralternativ, er 1. Siden Ali gjetter, er svarene er riktige eller gale uavhengig av hverandre. Vi har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall riktige svar Ali får. P(Ali vinner 100 000 kroner) = PX ( 9) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 0,04 % for at Ali vinner 100 000 kroner. Aschehoug www.lokus.no Side 51 av 7

Dersom Ali vet svaret på 5 spørsmål, må han gjette på de 5 andre spørsmålene. Han må gjette riktig på minst 4 av de 5 spørsmålene for å vinne 100 000 kroner. La Y være antall riktige svar Ali får lant de 5 spørsmålene han gjetter på. P(Ali vinner 100 000 kroner) = PY ( 4) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 4,5 % for at Ali vinner 100 000 kroner. 7.110 a For hvert av de fem pengestykkene som kastes, kan man få enten mynt eller kron. Sannsynligheten for å få mynt er 50 % for hvert pengestykke. Pengestykkene gir mynt eller kron uavhengig av hverandre. Vi har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall mynt vi får. 2 5 1 1 1 1 10 5 P(tre mynt) = PX ( = ) = 10 = = = 2 2 2 2 2 2 16 P PX 5 c P PX 5 d 4 1 1 1 1 1 5 (fire mynt) = ( = 4) = = 5 = 4 4 2 2 2 2 2 5 0 1 1 1 1 (fem mynt) = ( = 5) = 1 1 5 = = 5 2 2 2 2 5 1 6 P(minst fire mynt) = PX ( = 4) + PX ( = 5) = + = = 2 2 2 16 7.111 a For hver av de seks terningene som kastes, kan man få enten sekser eller ikke-sekser. Sannsynligheten for å få sekser er 1 for hver terning. 6 Terningene gir sekser eller ikke-sekser uavhengig av hverandre. Vi har dermed et inomisk forsøk. Aschehoug www.lokus.no Side 52 av 7

Vi lar X være antall seksere. P(ingen seksere) = PX ( = 0) = P(0 X 0) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er,5 % for å få ingen seksere. P(én sekser) = PX ( = 1) = P(1 X 1) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 40,2 % for å få én sekser. Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 7

c P(to seksere) = PX ( = 2) = P(2 X 2) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 20,1 % for å få to seksere. d P(høyst to seksere) = PX ( 2) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 9,8 % for å få høyst to seksere. Aschehoug www.lokus.no Side 54 av 7

e P(minst tre seksere) = PX ( ) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 6,2 % for å få minst tre seksere. 7.112 a 1 For hver av de tre kulene som trekkes, kan man få enten rød eller lå kule. Sannsynligheten for å få en rød kule er ved hver trekning. Siden kulene legges tilake, 5 er fargen vi får ved en trekning uavhengig av fargen ved en annen trekning. Vi har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall røde kuler. P(to røde kuler) = PX ( = 2) = P(2 X 2) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 4,2 % for å få to røde kuler når vi trekker med tilakelegging. Aschehoug www.lokus.no Side 55 av 7

2 Vi ruker formelen for hypergeometriske sannsynligheter og får 2 2 ( 1) 2 6 P (to røde kuler) = = = = 0,60 = 60% 5 10 10 ( ) Sannsynligheten er 60 % for å trekke to røde kuler når vi trekker uten tilakelegging. 1 Det er nå 00 røde kuler og 200 lå kuler. Altså er sannsynligheten for å trekke en rød kule fortsatt 5 og svaret lir som i oppgave a.1 2 Vi ruker sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 4, % for å trekke to røde kuler når vi trekker uten tilakelegging. 7.11 a Hvert av de 60 frøene kan spire eller ikke spire. Sannsynligheten for at et frø spirer, er 85 %. Vi antar at frøene spirer uavhengig av hverandre. Vi har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall frø som spirer. Aschehoug www.lokus.no Side 56 av 7

1 P(50 frø spirer) = PX ( = 50) = P(50 X 50) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 12,9 % for at 50 av frøene vil spire. 2 P(minst 50 frø spirer) = PX ( 50) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 71,6 % for at minst 50 av frøene vil spire. Aschehoug www.lokus.no Side 57 av 7

Vi må løse ulikheten PX ( 50) 0,99. Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren og prøver oss fram: Vi må så 67 frø for at sannsynligheten skal være minst 99 % for at minst 50 frø vil spire. 7.114 Hver fødsel vil enten være en tvillingfødsel eller så vil den ikke være det. For hver fødsel er sannsynligheten 1 % for at den vil være en tvillingfødsel. Vi antar at fødslene er tvillingfødsel eller ikke uavhengig av hverandre. Vi har dermed et inomisk forsøk og lar X være antall tvillingfødsler. Det skal være minst 90 % sannsynlighet for å få minst tre tvillingpar i løpet av ett år. Vi må altså løse ulikheten PX ( ) 0,90. Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren og prøver oss fram: Det må være 51 fødsler ved sykehuset i løpet av ett år for at sannsynligheten skal være minst 90 % for at det lir født minst tre tvillingpar. Aschehoug www.lokus.no Side 58 av 7

7.115 a Hvert av de 50 frøene vil spire eller ikke spire. Sannsynligheten for at et frø vil spire, er 90 %. Vi antar at frøene spirer uavhengig av hverandre. Vi har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall frø som spirer. P(høyst 9 frø spirer) = PX ( 9) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 0,94 % for at høyst 9 frø vil spire. Siden det er svært usannsynelig at 9 eller færre frø vil spire dersom spireprosenten virkelig er 90 %, har Ane god grunn til å påstå at spireprosenten er mindre enn 90 %. Kapitteltest Oppgave 1 a rad 0 1 rad1 1 1 rad 2 1 2 1 rad 1 1 rad 4 1 4 6 4 1 rad 5 1 5 10 10 5 1 rad 6 1 6 15 20 15 6 1 Aschehoug www.lokus.no Side 59 av 7

4 ( 2 ) = 6 c 1 5 ( 2 ) =10 5 ( ) =10 6 20 = 2 2 1 1 2 2 ( x 1) = x + x ( 1) + x ( 1) + ( 1) = x x + x 1 Løsninger til oppgavene i oka 4 4 1 2 2 1 4 4 2 ( x+ ) = x + 4 x + 6 x + 4 x + = x + 12x + 54x + 108x + 81 ( x+ 2) = x + 5 x 2 + 10 x 2 + 10 x 2 + 5 x 2 + 2 5 5 4 1 2 2 1 4 5 5 4 2 = x + x + x + x + x+ 10 40 80 80 2 Oppgave 2 5! = 5 4 2 1 = 120 Du kan lage 120 femsifrede tall med lappene. Oppgave 4 a 5 = 625 Du kan lage 625 koder. 5P4 = 5 4 2 = 120 Du kan lage 120 koder dersom okstavene er forskjellige. c 625 120 = 505 Du kan lage 505 koder der minst to okstaver er like. Oppgave 4 a For hver av de fire skålene kan man enten trekke en rød Non Stop eller en lå Non Stop. Sannsynligheten for å trekke en rød Non Stop er 2 for hver skål. Siden vi trekker fra fire forskjellige skåler, er fargen vi får fra en skål uavhengig av fargen vi får fra en annen skål. Vi har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall røde Non Stop vi får. P PX 4 P PX 4 1 2 1 2 1 8 (én rød Non Stop) = ( = 1) = 4 1 = = 27 81 2 2 2 1 4 1 24 8 (to røde Non Stop) = ( = 2) = 6 2 = = = 9 9 81 27 Aschehoug www.lokus.no Side 60 av 7

Oppgave 5 a Vi ruker formelen for hypergeometriske sannsynligheter og får 4 2 2 ( 1) 62 P (to FOX) = = = 6 20 5 4 2 P(tre FOX) ( ) c 0 41 1 = = = 6 20 5 1 4 P(minst to FOX) = P(to FOX) + P (tre FOX) = + = 5 5 5 Løsninger til oppgavene i oka Oppgave 6 a I : x+ y = 15 II : y+ 2x= 2y I: x+ y = 15 x= 15 y I II : y+ 2 (15 y) = 2 y y+ 0 2y = 2y 0 = y 0 y = y = 10 x = 15 10 = 5 Oppgave 7 a Vi ruker CAS: Gruppene kan fordeles på 5 068 545 850 68 000 måter. Vi ruker CAS: Gruppene kan fordeles på 1 07 674 68 000 måter. Aschehoug www.lokus.no Side 61 av 7

Oppgave 8 a Hvert av de 100 frøene som sås, vil enten spire eller ikke spire. Sannsynligheten for at et frø vil spire, er 80 %. Vi antar at frøene spirer uavhengig av hverandre og har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall frø som spirer. 1 P(80 frø spirer) = PX ( = 80) = P(80 X 80) Vi fyller inn informasjonen i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 9,9 % for at 80 frø vil spire. 2 P(minst 80 frø spirer) = PX ( 80) Vi fyller inn informasjonen i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 55,9 % for at minst 80 frø vil spire. Aschehoug www.lokus.no Side 62 av 7

P(høyst 70 frø spirer) = PX ( 70) Vi fyller inn informasjonen i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 1,1 % for at høyst 70 frø vil spire. Vi må løse ulikheten PX ( 80) 0,90. Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren og prøver oss fram: Man må så 107 frø for at det skal være minst 90 % sannsynlighet for at minst 80 frø skal spire. Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 7

Oppgave 9 La X stå for antallet av de to som kommer i første heat. Vi merker oss at X = 1 hvis Petter og Henning kommer i forskjellige heat. Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Løsninger til oppgavene i oka Altså er P(de kommer i forskjellige heat) = PX ( = 1) = 0,545 Dermed har vi at P(de kommer i samme heat) = 1 P (de kommer i forskjellige heat) = 1 0,545 = 0,455 Sannsynligheten er 45,5 % for at Petter og Henning kommer i samme heat. Oppgave 10 a For hver av de 200 fødslene vil det enten være en tvillingfødsel eller så vil det ikke være det. For hver fødsel er sannsynligheten 1 % for at det vil være en tvillingfødsel. Vi antar at fødslene lir tvillingfødsel eller ikke uavhengig av hverandre. Vi har dermed et inomisk forsøk og lar X være antall tvillingfødsler. P(ingen tvillingfødsler) = PX ( = 0) = P(0 X 0) Vi fyller inn informasjonen i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 1,4 % for at det ikke lir født noen tvillinger. Aschehoug www.lokus.no Side 64 av 7

P(to tvillingpar) = PX ( = 2) = P(2 X 2) Vi fyller inn informasjonen i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 27,2 % for at det lir født to tvillingpar. c P(høyst ett tvillingpar) = PX ( 1) Vi fyller inn informasjonen i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 40,5 % for at det lir født høyst ett tvillingpar. Aschehoug www.lokus.no Side 65 av 7

d P(minst fire tvillingpar) = PX ( 4) Vi fyller inn informasjonen i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 14,2 % for at det lir født minst fire tvillingpar. Oppgave 11 a Vi lar X være hvor mange av vennene som kommer med på turen. P(egge kommer med på turen) = PX ( = 2) = P(2 X 2) Vi fyller informasjonen inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 52,5 % for at egge vennene kommer med på turen. Aschehoug www.lokus.no Side 66 av 7

P(én kommer med på turen) = PX ( = 1) = P(1 X 1) Vi fyller informasjonen inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 40,4 % for at én av vennene kommer med på turen. c P(minst én kommer med på turen) = PX ( 1) Vi fyller informasjonen inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 92,9 % for at minst én av vennene kommer med på turen. Aschehoug www.lokus.no Side 67 av 7

Oppgave 12 a Vi lar X være antallet av de kontrollerte komponenter som er defekte. 1 P(to komponenter er defekte) = PX ( = 2) = P(2 X 2) Vi fyller informasjonen inn i sannsynlighetskalkulatoren: Løsninger til oppgavene i oka Sannsynligheten er 1,8 % for at to av de kontrollerte komponentene er defekte. 2 P(høyst to komponenter er defekte) = PX ( 2) Vi fyller informasjonen inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 68,1 % for at høyst to av de kontrollerte komponentene er defekte. Aschehoug www.lokus.no Side 68 av 7

P(minst fire komponenter er defekte) = PX ( 4) Vi fyller informasjonen inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 11,0 % for at minst fire av de kontrollerte komponentene er defekte. Vi vet at P(minst fire komponenter er defekte) = PX ( 4) = 0, 294 Vi fyller informasjonen inn i sannsynlighetskalkulatoren og prøver oss fram med ulike antall defekte: Det er 14 defekte komponenter i pakningen. Aschehoug www.lokus.no Side 69 av 7

Oppgave 1 a For at vi skal ha et inomisk forsøk, må vi anta at: Løsninger til oppgavene i oka For hvert av de 20 skuddene Emil skyter, så vil han enten treffe linken eller omme. Sannsynligheten for at et skudd treffer linken, er 85 % for hvert skudd. Skuddene treffer linken uavhengig av hverandre. Men dersom Emil ommer på et skudd, kan det påvirke prestasjonene hans seinere. Da vil ikke skuddene treffe linken uavhengig av hverandre. Dessuten kan forholdene og dagsformen til Emil påvirke hvor stor andel av de 20 skuddene som treffer, og det er dermed ikke sikkert at p = 0,85. La X være antall linker Emil treffer når han skyter 20 skudd. P(Emil treffer alle linkene) = PX ( = 20) = P(20 X 20) Vi fyller informasjonen inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten for at Emil treffer alle linkene, er,9 %. Aschehoug www.lokus.no Side 70 av 7

c P(Emil treffer minst 18 av linkene) = PX ( 18) Vi fyller informasjonen inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten for at Emil treffer minst 18 av linkene, er 40,5 %. d For hvert av de 25 rennene Emil er med på, vil han enten treffe alle linkene eller ikke treffe alle linkene. Sannsynligheten for at han treffer alle linkene, er,88 %. Vi antar at Emils prestasjoner i de 25 rennene er uavhengig av hverandre og har dermed et inomisk forsøk. Vi lar Y være antall renn der Emil treffer alle linkene. P(Emil treffer alle linkene i minst renn) = PY ( ) Vi fyller informasjonen inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten for at Emil treffer alle linkene i minst tre av rennene, er 7,1 %. Aschehoug www.lokus.no Side 71 av 7

Oppgave 14 a For hvert av de 10 sprsmålene kan laget enten svare riktig eller galt. Sannsynligheten for at laget svarer riktig, er 25 % for hvert spørsmål. Vi antar at quiz-laget svarer riktig eller galt på spørsmålene uavhengig av hverandre. Vi har dermed et inomisk forsøk og lar X være antall riktige svar quiz-laget får. 1 P(tre riktige svar) = PX ( = ) = P( X ) Vi fyller informasjonen inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 25,0 % for at laget svarer riktig på tre spørsmål. 2 P(minst fire riktige svar) = PX ( 4) Vi fyller informasjonen inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 22,4 % for at laget svarer riktig på minst fire spørsmål. Aschehoug www.lokus.no Side 72 av 7

Dersom laget svarer galt på minst sju spørsmål, etyr det at de har høyst tre riktige svar. P(høyst tre riktige svar) = PX ( ) Vi fyller informasjonen inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 77,6 % for at laget svarer galt på minst sju spørsmål. La n være antall spørsmål laget må gjette på, og la Y være antall gale svar laget får lant de spørsmålene de må gjette på. Vi må estemme n slik at PY ( 1) = 0,156. Vi fyller informasjonen inn i sannsynlighetskalkulatoren og prøver oss fram: Vi ser at laget må gjette på n = spørsmål, så de vet svaret på sju av spørsmålene. Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 7